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第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计解析

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数字信号处理第三版西科大课后答案第6章

数字信号处理第三版西科大课后答案第6章

λp=1,
s
s p
4
(4) 求阶数N和ε。
N arch k 1
arch s
k 1
100.1as 1 100.1ap 1 1456.65
N arch 1456.65 3.8659 arch 4
为了满足指标要求， 取N=4。
100.1ap 1 0.2171
(3) 求归一化系统函数G(p)
3.2361p 1
或
G( p)
1
( p2 0.618 p 1)( p2 1.618 p 1)( p 1)
当然， 也可以先按教材（6.2.13）式计算出极点：
p ejπ
1 2
2k 1 2N
k
k 0,1, 2,3, 4
再由教材（6.2.12）式写出G(p)表达式为
G( p) 4 1
( p pk )
p1
ch0.5580 sin
π 8
j
ch0.5580 cos
π 8
0.4438
j1.0715
3π
3π
p2 ch0.5580sin 8 j ch0.5580 cos 8 1.0715 j0.4438
p3
ch0.5580 sin
5π 8
j
ch0.5580 cos
5π 8
1.0715
j0.4438
fp=20 kHz， 阻带截止频率fs=10 kHz， fp处最大衰减为3 dB，
阻带最小衰减as=15 dB。 求出该高通滤波器的系统函数Ha(s)。
解: (1) 确定高通滤波器技术指标要求：
p=20 kHz, ap=3 dB fs=10 kHz, as=15 dB
(2) 求相应的归一化低通滤波器技术指标要求： 套用图 5.1.5中高通到低通频率转换公式②， λp=1, λs=Ωp/Ωs， 得到

6无限脉冲响应数字滤波器的设计

6无限脉冲响应数字滤波器的设计
解：(1) 设计模拟滤波器的指标为
p=2fp=104(rad/s)， α p=2dB
s=2fs=2.4×104(rad/s)， α s=30dB
(2Nk) ss确pp 定22滤l11gll00g波g0ff00ps...101k器aa2pssspp4的k2N2=s.s11pp4阶数022l.N11g000l20fgf004ps...10212aa2.ps4422k.N114sspp40.2.220l511g2,00l40fgf002ps...取1021Naa2.ps4N422为.1145540.2.052, 42N 5
N
4.25, N 5
lg 2.4
(3) 求极点
j 3 j 3
s0 sP00e5e ,5 ,
p e s s e e , , j 12k1 20 20N
j 3j 3 55
k
sP11
j 4
s1e5e
j 45s2Ps22
eje,j
,
s1 s1
j 4j 4
e e5 5
s2
e j ,
j 6j 6
FIR滤波器设计方法 (1)采用的是窗函数设计法和频率采样法， (2)用计算机辅助的切比雪夫最佳一致逼近法设计。
6.2 模拟滤波器的设计
理论和设计方法相当成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选
择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤
波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波 器都有严格的设计公式、现成的曲线Ha和H(jΩa (图)jΩ)表供设计人HH员aa (j使ΩΩ)) 用。
j 1 2 k1
p e 归一化极点 k
2 2N

第六章 无限冲击响应数字滤波器设计

第六章 无限冲击响应数字滤波器设计
k =0
分子分母同除Ω , 得 Ha (s) = ：
N c
1 s − sk ) ∏(Ωc Ωc k =0
N −1
因为
令λ = ΩΩc 称为归一化频率；p = jλ 称为归一化复变量
归一化巴特沃斯的传输函数为
Ha ( p) = 1
s = jΩ Ωc Ωc
∏( p − p )
k =0 k
N −1
Ha ( p) =
sk = (−1)
( jΩc ) = Ωce
1 2k −1 jπ [ + ] 2 2N
, k =1 ⋯,2N ,2
jΩ
例如，N=3时， 例如， 时
s0 =Ωce
s3 =Ωce
j 2π 3
s0
s5
s1 = −Ωc s2 =Ωce
− j 2π 3
s1
s2
s4
s3
− j 1π 3
s4 = Ωc
s5 =Ωce
Ha ( jΩ)
2
由于一般滤波器的单位冲响应为实数， 由于一般滤波器的单位冲响应为实数，其传递函数是对称 的，有：
* Ha ( jΩ) = Ha (s)Ha (−s) s= jΩ = Ha ( jΩ)Ha ( jΩ) 2
确定 Ha ( jΩ) 极、零点，并将左半S平面极点分配给 Ha (s) ， 零点，并将左半 平面极点分配给 此系统是因果稳定的。 得到滤波器的传递函数 Ha (s) ，此系统是因果稳定的。
Ha ( jΩ)
1
1 2
Ωc
巴特沃斯幅度特性和N的关系 巴特沃斯幅度特性和 的关系
Ω
3、巴特沃斯滤波器的极、零点分布 、巴特沃斯滤波器的极、 由于 H (s)H (−s) = a a 在

数字信号处理第六章数字滤波器设计

数字信号处理第六章数字滤波器设计

窗函数法是一种常用的数字滤 波器设计方法，通过选择合适 的窗函数和滤波器系数，实现
滤波器的设计。
窗函数法具有简单、直观的 特点，但设计出的滤波器性
能可能不是最优的。
常用的窗函数包括矩形窗、汉 宁窗、海明窗等，不同窗函数
具有不同的特性。
频率采样法
频率采样法是一种基于频率域的数字滤波器设计方法，通过在频域内采样并重构滤 波器的频率响应，实现滤波器的设计。
IIR滤波器具有较好的幅频特性，但相位特性较差，且存 在稳定性问题。
在实际应用中，应根据具体需求选择合适的滤波器类型 和设计方法。
04
数字滤波器的实现
数字滤波器的实现步骤
确定滤波器参数
设计滤波器系数
根据实际需求，确定滤波器的阶数、截止 频率等参数。
根据滤波器类型和参数，计算滤波器系数 。
实现滤波器算法
描述滤波器实现的难易程度，包括运算量和 存储需求。
数字滤波器的基本结构
直接实现型
将输入信号直接与滤波器系数进行运算，得到输 出信号。
级联实现型
将滤波器分解为若干个简单滤波器的级联，以降 低计算复杂度。
并行实现型
将滤波器分解为若干个简单滤波器的并行运算， 以提高处理速度。
03
数字滤波器的设计方法
窗函数法
验证滤波器效果
根据滤波器系数，编写滤波器算法，实现 信号的滤波处理。
对滤波后的信号进行验证，确保满足设计 要求。
数字滤波器的编程实现
选择编程语言
根据实际需求，选择适合的编程语言，如C、 Python等。
设计滤波器函数
根据滤波器算法，编写滤波器函数，实现信 号的滤波处理。
测试滤波器函数
对滤波器函数进行测试，确保其正确性和稳 定性。

6无限脉冲响应数字滤波器

6无限脉冲响应数字滤波器
（3）、滤波器的功能与实现 滤波就是对输入序列 x(n)进行一定的运算操作。 从而得
到输出序列y(n)。
（4）、数字滤波器的分类
DF按频率特性分类：可分为低通、高通、带通、带阻和全通。
低通
2π
π
高通
H (e j )
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带通
0
π
H (e j )
2π
2π
π
带阻
0
π
H (e j )
第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
理解滤波器的基本概念 掌握巴特沃斯（Butterworth）、切比雪夫（Chebyshev）低通 滤波器的特点 掌握冲激响应不变法 掌握双线性不变法
了解利用模拟滤波器设计IIR滤波器的设计过程
了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法
6.1 数字滤波器DF（Digital Filter）的基本概念
（１）.滤波器： 指对输入信号起滤波作用的装置。
x(n)
h(n)
y(n)
对其进行傅氏变换得:
（2）、当输入、输出是离散信号，滤波器的冲激响应是单位抽 样响应 h(n)时，这样的滤波器称作数字滤波器。
数字滤波器： 输入输出均为数字信号，通过一定的运算关系改变输入信
号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件
由通带衰减决定 • N：滤波器阶数，等于通带内最大最小值的总数
为阻带截止频率 阻带衰减越大 所需阶数越高
3）幅度平方特性的极点分布：
N＝４时模拟切比雪夫Ｉ型极点位置图
4）滤波器的系统函数：
其中：
5）滤波器的设计步骤: • 确定技术指标：
归一化：

数字信号处理 第6章

数字信号处理 第6章

H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(6.1.2)
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2) 式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种 数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分 别进行学习。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
s 20 lg
| H (e j0 ) |
j s
dB
(6.1.4b)
p 20 lg | H (e
j p
) | dB
(6.1.5)
s 20 lg | H (e js ) | dB
(6.1.6)
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
当幅度下降到 2 / 2 时，标记ω=ωc，此时 p 3dB，称 ωc为3 dB通带截止频率。ωp、ωc和ωs统称为边界频率， 它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他 类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改 成
拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转
换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的 设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善
的图表和曲线供查阅； 另外，还有一些典型的优良滤波
器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计 数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助 设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表
示为
p 20 lg
| H (e j0 ) | | H (e

有限脉冲响应数字滤波器的设计解读ppt课件

有限脉冲响应数字滤波器的设计解读ppt课件

满足第一类线性相位的条件是：h(n)是实序列且 对(N-1)/2偶对称。即：h(n)=h(N-n-1)
满足第二类线性相位的条件是：h(n)是实序列且 对(N-1)/2奇对称。即：h(n)=-h(N-n-1)
贵州大学计算机科学与信息学院
《数字信号处理》
(1) 第一类线性相位条件证明
N 1
H (z) h(n)zn n0
n0
m0
n N
令m=N-n-1，则有
2
N 1
N 1
2
2
H (z) h(n)zn h( N m 1)z(N m1)
n0
m0
h(n) h(N n 1)
N 1 2
H (z) h(n)[zn z ] ( N n1)
n0
贵州大学计算机科学与信息学院
《数字信号处理》
若N为奇数，则将中间项h[(N-1)/2]单列.
《数字信号处理》
理想低通的单位脉冲响应及矩形窗
贵州大学计算机科学与信息学院
《数字信号处理》
截断效应的讨论
Hd(ej)是一个以2为周期的函数，可以展开为 Fourier级数，系数就是Hd(ej)对应的hd(n). 即
Hd (e j )
hd (n)e j n
n
FIR设计就是寻找有限项傅立叶级数的系数去近 似代替无限项傅立叶级数的系数.
2
Hd
(
)e
j
a RN
(
)e
j(
)a d
e j a 1
2
Hd ( )RN ( )d
主要内容
《数字信号处理》
线性相位FIR数字滤波器的条件和性质 窗函数法设计FIR数字滤波器 频率采样法设计FIR数字滤波器 切比雪夫逼近法设计FIR数字滤波器 IIR和FIR数字滤波器的比较

无限脉冲响应滤波器的设计

无限脉冲响应滤波器的设计
2 2 N
它可写为
sk 1 CN ( )j j p r
切比雪夫多项式的任一定义都可求解分母的 根。现在选第一个公式求解分母的根。先设
3
模拟滤波器的幅频特性|H(Ω)|用分贝表示 时叫衰减函数，
| H ( ) | 2 max A( ) 10lg (分贝) | H ( ) | 2
如果|H(Ω)|max=1，则衰减函数变为
A( ) 20lg | H ( ) | (分贝)
幅频特性的平方|H(Ω)|2 叫做幅度平方响应， 也是描述模拟滤波器的方法。因h(t)是实数， 故H*(Ω)=H(-Ω)。
N决定幅频特性的波动密度和过渡带宽度，r 决定幅频特性波动的幅度。 将s=jΩ代入幅度平方函数，得
H ( )
2
( j p ) 2 N r 2 2 2( N 1) ( s s1 )(s s 2 ) ( s s 2 N )
14
其分母有2N个根。求解的依据是
sk 1 r C ( ) 0 (k 1 ~ N ) j p
2N
( j c ) 2 N 2N s ( j c ) 2 N
s 1 j c ( j c ) 2 N ( s s1 )(s s2 ) ( s s2 N )
s 2 N ( jc ) 2 N 0 求解的依据是：
6
因-1= ej(2πk-π)，k=1~2N，故极点
12
7.1.3 切比雪夫滤波器的设计 切比雪夫滤波器有两种类型：
切比雪夫1型滤波器的幅度平方函数
| H ( ) | 2 1 1 [rC N ( / p )]2
13
切比雪夫多项式的定义
cos[N arccos(x)] (| x | 1) C N ( x) (| x | 1) ch[ Narch( x)]

数字信号处理--第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

数字信号处理--第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计

1 0 0.1a p 1 k sp 1 0 0.1as 1 0 .0 2 4 2
sp

2 2
fs fp

2.4
N lg 0.0242 4.25, N 5 lg 2.4
2019/10/17
数字信号处理
(2) 按照(6.2.12)式，其极点为
j3
s0 e 5 ,
滤波器幅频特性。其幅度平方函数用A2(Ω)表示：
A2()Ha(j)2 12C1N 2( p)
(6.2.19)
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
图6.2.5 切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性
数字信号处理
式中，ε为小于1的正数，表示通带内幅度波动的 程度，ε愈大，波动幅度也愈大。Ωp称为通带截止频率。 令λ=Ω/Ωp，称为对Ωp的归一化频率。CN(x)称为N阶切 比雪夫多项式，定义为
数字信号处理
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
数字信号处理
例6.2.1 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减 αp=2dB ， 阻 带 截 止 频 率 fs=12kHz ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。
解 (1) 确定阶数N。
(6.2.3) (6.2.4)
以上技术指标用图6.2.2表示。图中Ωc称为3dB截止 频率，因 H a (j c ) 1 /2 , 2 0 lg H a (j c ) 3 d B
2019/10/17
数字信号处理
2019/10/17
图6.2.2 低通滤波器的幅度特性
数字信号处理
滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函
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借助于模拟滤波器的设计方法； 直接在频域或者时域中进行设计。
3
6.2 数字滤波器的技术指标与设计方法

数字滤波器的技术要求 数字滤波器的设计方法

4
Байду номын сангаас
6.2.1 数字滤波器的技术要求

传输函数
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )

j H ( e ) 幅频特性
19
模拟滤波器的设计步骤

2 H ( j ) p 由给定的 p 、 、 s 和 s求出 a
由
H a ( j )
2
得到滤波器的系统函数 H a (s)
Ha(s)的极点（或零点）与Ha(-s)的极点 （或零点）具有象限对称性。为了保证设计的 滤波器稳定，将|Ha(s)|2的左半平面的极点赋 给Ha(s)。

数字滤波器的设计问题就是寻找一组系 数ai和bi，使得其性能在某种意义上逼近 所要求的特性。
数字滤波器的设计步骤:


给出所需要的滤波器的技术指标；


设计一个H(z)使其逼近所需要的技术指标；
用数字硬件或在计算机上编写算法实现所设 计的H(z)。
9
IIR的设计方法—借用模拟滤波器

先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足 给定指标的数字滤波器。
14
切比雪夫型滤波器幅度特性
15
椭圆滤波器幅度特性
16
贝塞尔滤波器幅度特性
17
理想模拟滤波器幅频特性
18

幅度平方函数
* H a ( j) H a (s) H a (s) s j H a ( j) H a ( j) 2

模拟低通滤波器的设计指标

通带截止频率 p 通带最大衰减 p 阻带截止频率 s 阻带最小衰减 s
H a ( s)
（S Sk）
k 0
N 1
N Ωc
26
频率归一化

将所有的频率对Ωc归一化，归一化频率 ：
c

归一化的幅度平方函数为：
H a ( j )
2
1 1
2N
27
模拟巴特沃斯低通滤波器的设计步骤

由给定的设计指标Ωp、α p 、 Ωs和αs确定巴 特沃斯滤波器的阶数N和频率Ωc 。


巴特沃斯（Butterworth）滤波器 具有单调下降的幅频特性 切比雪夫（Chebyshew）滤波器 幅频特性在通带或者阻带内有波动， 可以提高选择性； 椭圆（Ellipse）滤波器 在通带和阻带内都有纹波 贝塞尔（Bessel）滤波器等 通带内有较好的线性相位特性
13
巴特沃斯型滤波器幅度特性
不管N的取值是多少，都经过
1 点。 2


23
幅度平方函数的极点分布
1 H a ( s) H a ( s) 1 ( s j c ) 2 N

返回
幅度平方函数有2N个极点
sk c e

1 2 k 1 j 2 2N
k 0,1, 2,
, 2 N 1
20
巴特沃斯低通滤波器的设计方法

巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：
1 H a ( j) 1 ( c ) 2 N
2

N为滤波器阶数 Ωc为3dB截止频率
21
巴特沃斯低通滤波器幅度特性与阶数关系
22
巴特沃斯低通滤波器的特点

幅度特性随着Ω增加单调下降，下降的 速度与阶数N有关。 随着N增大，幅度下降的速度越快，过渡 带越窄，在通带内更接近于1，在阻带内 迅速接近于零，因而幅度特性更接近于 理想的矩形频率特性。
很方便，这是因为模拟滤波器的设计方法已经很 成熟，它不仅有完整的设计公式，还有完善的图 表供查阅。


设计步骤

将给定的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技 术指标；

根据转换后的技术指标设计模拟原型滤波器；
按照一定规则将模拟滤波器转换为数字滤波器。
10
IIR的设计方法—直接设计

第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
本章目录

数字滤波器的技术指标与设计方法 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器
(脉冲响应不变法、双线性变换法)

IIR数字滤波器的优化设计 IIR数字滤波器的Matlab仿真实现
2
6.1 引言

理想的数字滤波器是非因果的，因而是物 理上不可实现的。滤波器的设计就是用一 个因果稳定的离散线性移不变系统的系统 函数H(z)去逼近理想滤波器的性能。 IIR数字滤波器的两类设计方法：

这2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的圆上 （该圆称为巴特沃斯圆），间隔是/Nrad。 这些极点以虚轴为对称轴，而且不会落在虚 轴上。

当N是奇数时，实轴上有两个极点； 当N是偶数时，实轴没有极点。
24
25
Ha(s)的表达式

为了保证所设计的滤波器是稳定的，将s 平面左半平面的N个极点分配给Ha(s)， 而将右半平面的N个极点分配给Ha(-s)
表示信号通过该滤波器后各频率成分 衰减情况；

相频特性 φ(ω) 反映各频率成分通过滤波器后在时间上 的延时情况
5

理想滤波器是非因果的，物理上不可实 现。 为了物理上可实现，在通带与阻带之间 应设置一定宽度的过渡带，并且在通带 和阻带都允许一定的误差容限，即通带 不一定是完全水平的，阻带不一定都绝 对衰减到零。
直接在频域或者时域中进行设计
这是一种最优化设计法。 由于要解联立方程，因此需要计算机辅 助进行设计。
11
6.3 用模拟滤波器设计IIR数字滤波器

模拟滤波器的设计 脉冲响应不变法 双线性变换法 数字高通、带通和带阻滤波器的设计方法
12
6.3.1 模拟滤波器的设计

常用的模拟滤波器



6
低通滤波器

通带
0 p
(1 1 ) H (e j ) 1

阻带
s
H (e j ) 2
7

通带内允许的最大衰减
a g p 201 H (e j 0 ) H (e
j p
归一化
)
dB
a g H (e p 201
j p
) dB

阻带内允许的最小衰减
a g s 201 H (e j 0 ) H (e j s ) dB
a s 201 g H (e
j s
) dB

3dB通带截止频率 j H ( e )下降为 当幅度下降到 2 / 2 时，即 3dB，对应的频率 c 0.707, a
8
6.2.2 数字滤波器的设计方法