广东省潮州市饶平县饶平二中2019-2020学年度高一下学期开学考试数学科试卷

2019～2020学年度第二学期高一级数学科期中考试卷 考试时间：120分钟一．选择题（共12小题，每小题5分）1．若函数f(x)＝a x ＋1－3(a ＞0，a ≠1)的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则tan θ的值等于( )A ．2 B.12C ．－2 D.－122．已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则2019cos()2πα-的值为( )A. -B.C ．2- D.－123．已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t)，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3B ．－2C ．2D ．3 4．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.23 B.－23 C.13 D.－135．下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f(x)＝|cos2x|B ．f(x)＝|sin2x|C ．f(x)＝cos|x|D ．f(x)＝sin|x|6．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．27．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB→＋(1－x)AC →，则x 的取值范围是( ) A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，238．函数y ＝2|x|sin2x 的图象可能是( )9．已知|a|＝|b|＝2，a ·b ＝0，c ＝12(a ＋b)，|d －c|＝2，则|d|的取值范围是( )A ．[0,22]B ．[0,2]C ．[0，2]D ．[0,1]10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CB ＝2，CA ＝4，P 在边AC 的中线BD 上，则CP →·BP →的最小值为( )A ．－12B ．0C ．4D ．－111．已知函数f(x)＝sinx －sin3x ，x ∈[0,2π]，则f(x)的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π12．已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π2)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A(－π6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π6二．填空题（共4小题，每小题5分）13．设向量a ＝(3，－4)，a ＋b ＝(t,8)，c ＝(－1，－1)，若b ∥c ，则t ＝________. 14．已知函数f(x)＝1＋2sin(2x －π3)，x ∈[π4，π2]．若不等式f(x)－m<2在x ∈[π4，π2]上恒成立，则实数m的取值范围为 .15．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间[π6，π2]上具有单调性，且f(π2)＝f(2π3)＝－f(π6)，则f(x)的最小正周期为 .16.已知函数f(x)＝2sin(2x＋π6)，记函数f(x)在区间[t，t＋π4]上的最大值为M，最小值为m，设函数h(t)＝Mt －mt.若t∈[π12，5π12]，则函数h(t)的值域为 . 三．解答题（共70分）17．（本小题10分）某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2 )在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为(5π12，0)，求θ的最小值．18（本小题12分）（1）已知tan α＝－43，求sin 2α＋2sin αcos α的值．（2）在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，Q 是BC 的中点，AQ与CP 的交点为M ，又CM ―→＝t CP ―→，求实数t 的值．19．（本小题12分）已知向量a ＝(mx 2，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1mx －1，x (m 是常数)，且f(x)＝1a ·b .(1)若f(x)是奇函数，求m 的值；(2)设函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x2，讨论当实数m 变化时，函数g(x)的零点个数．20．（本小题12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A(1,0)，B(cos θ，t)，(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．21．（本小题12分）已知a>0，函数f(x)＝－2asin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f(x)≤1.(1)求常数a ，b 的值； (2)设g(x)＝f(x ＋π2)且lg[g(x)]>0，求g(x)的单调区间．22. （本小题12分）已知圆22:()()1(0)C x a y b a -+-=>关于直线320x y -=对称，且与直线3410x y -+=． （1）求圆C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与圆C 交于M ，N 两点，是否存在直线l ，使得6OM ON ⋅=u u u u r u u u r（O 为坐标原点）若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2019～2020学年度第二学期高一级数学科期中考试卷答案一．选择题ABCBA CCDAA CA二．填空题13. 15 14. (1，＋∞) 15. π 16.[1,22] 三．解答题17 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f(x)＝5sin(2x －π6)．……………………5分(2)由(1)知f(x)＝5sin(2x －π6)，则g(x)＝5sin(2x ＋2θ－π6)．因为函数y ＝sinx 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z. 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z. ……………………8分 由于函数y ＝g(x)的图象关于点(5π12，0)成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z. ……………………9分由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.……………………10分18(1)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝169－83169＋1＝－825.……………………6分 （2）因为CP ―→＝23CA ―→＋13CB ―→，所以3CP ―→＝2CA ―→＋CB ―→，即2CP ―→－2CA ―→＝CB ―→－CP ―→，所以2AP ―→＝PB ―→.即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)， 又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM ―→＝λAQ ―→.所以CM ―→＝AM ―→－AC ―→＝λAQ ―→－AC ―→＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋12 AC ―→－AC ―→＝λ2AB ―→＋λ－22AC ―→，又CM ―→＝t CP ―→＝t(AP ―→－AC ―→)＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→－AC ―→＝t 3AB ―→－t AC ―→.故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝12.故t 的值是34.……………………12分19解：(1)由题意知，a ·b ＝mx 2mx －1－x ＝x mx －1，所以f(x)＝mx －1x ＝m －1x.由题设，对任意的不为零的实数x ，都有f(－x)＝－f(x)，即m ＋1x ＝－m ＋1x恒成立，所以m ＝0. ……………………6分(2)由(1)知，g(x)＝m －2x －x2，则g(x)＝0⇔x 2－2mx ＋4＝0，Δ＝4(m 2－4)．………………9分所以当m>2或m<－2时，函数g(x)有两个零点； 当m ＝±2时，函数g(x)有一个零点；当－2<m<2时，函数g(x)没有零点．……………………12分20解：(1)∵AB →＝(cos θ－1，t)，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0.∴cos θ－1＝2t.①……………………1分又∵|AB→|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.②……………………3分由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. ……………………4分 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)，当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B(－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)．……………………6分 (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15，∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.……………………12分21解：(1)∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，7π6]． ∴sin(2x ＋π6)∈[－12，1]，……………………2分 又∵a>0，∴－2asin(2x ＋π6)∈[－2a ，a]． ∴f(x)∈[b,3a ＋b]， 又∵－5≤f(x)≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. ……………………5分 (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f(x)＝－4sin(2x ＋π6)－1， g(x)＝f(x ＋π2)＝－4sin(2x ＋7π6)－1＝4sin(2x ＋π6)－1，……………………7分又由lg[g(x)]>0，得g(x)>1，∴4sin(2x ＋π6)－1>1， ∴sin(2x ＋π6)>12，∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，……………………9分其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g(x)单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g(x)的单调增区间为(k π，k π＋π6]，k ∈Z.又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g(x)单调递减，即k π＋π6<x<k π＋π3，k ∈Z.∴g(x)的单调减区间为(k π＋π6，k π＋π3)，k ∈Z. ……………………11分综上，g(x)的递增区间为(k π，k π＋π6](k ∈Z)；递减区间为(k π＋π6，k π＋π3)(k∈Z)．………12分22【解】…5分（2）假设存在直线l ，使得6=⋅ON OM ，设M （x 1，y 1）N （x 2，y 2），由⎩⎨⎧=-+-+=1)3()2(222y x kx y 得（1+k 2）x 2﹣（2k+4）x+4=0，……………………7分 由△=（2k+4）2﹣16（1+k 2）＞0得340<<k ，……………………8分 22:()()1(0)C x a y b a -+-=>22(2)(3)1x y -+-=且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+14142221221k x x k k x x ，……………………9分 ON OM ⋅=x 1x 2+y 1y 2=（1+k 2）x 1x 2+2k （x 1+x 2）+4=（1+k 2）142+k +2k 1422++k k +4=6， 解得k=﹣1或31-=k ，不满足△＞0，所以不存在直线l ，使得6=⋅ON OM ．……………………12分。

2021-2022学年广东省潮州市饶平县第二中学高一下学期期初数学试题一、单选题1．集合{}13A x x =<<，集合{4B x x =或2}x <，则集合()R A B =（ ） A ．R B ．[2,3) C ．(1,4] D ．∅【答案】C【分析】先求得{|24}R B x x =≤≤，结合集合并集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{4B x x =或2}x <，可得{|24}R B x x =≤≤， 又由{|13}A x x =<<，所以(){|14}(1,4]R A B x x =<≤=. 故选：C.2．已知角α的终边经过点(M ，则cos α=（ ）AB C D 【答案】B【分析】利用三角函数的定义可求得cos α的值.【详解】由三角函数的定义可得cosα==. 故选：B.3．函数()1ln 22f x x x =+-的零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【分析】判断函数()1ln 22f x x x =+-是()0,∞+上的增函数，(2)(3)0f f ⋅<，结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间.【详解】解：函数ln y x =是()0,∞+上的增函数，122y x =-是R 上的增函数，故函数()1ln 22f x x x =+-是()0,∞+上的增函数. 1(2)ln 222ln 2102f =+⨯-=-<，11(3)ln 332ln 3>022f =+⨯-=-，则()0,2x ∈时，()0f x <；()3,x ∈+∞时，()0f x >，因为(2)(3)0f f ⋅<，所以函数()1ln 22f x x x =+-在区间()2,3上存在零点.故选：C.4．函数cos y x x =-的部分图像是A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数cos y x x =-的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】∵cos y x x =-是奇函数，其图像关于原点对称，∴排除A,C 项；当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0y x x =-<，∴排除B 项.故选D.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题.5．若命题“22103x x -+<”是命题“x a >”的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥ B ．12a ≥C ．12a ≤D ．1a ≤【答案】C【分析】解不等式22103x x -+<得112x <<，进而根据题意得集合1,12⎛⎫⎪⎝⎭是集合(),+∞a 的真子集，再根据集合关系求解即可.【详解】解：解不等式22103x x -+<得112x <<， 因为命题“22103x x -+<”是命题“x a >”的充分不必要条件，所以集合1,12⎛⎫⎪⎝⎭是集合(),+∞a 的真子集，所以12a ≤故选：C6．设21log 3a =，0.412b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.513c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】B【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性、幂函数的单调性比较即可求解. 【详解】2log y x =是增函数， 221log log 103a ∴=<=， 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，0.5y x =在(0,)+∞上是增函数， 0.40.50.51110223b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=>>=> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cb ∴<<故选：B7．已知tan α、tan β是方程240x ++=的两个根，且α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则αβ+的值是（ ）A ．3πB ．23π-C ．3π或23π-D ．3π-或23π【答案】B【分析】先用根与系数的关系可得tan α＋tan β＝-tan αtan β＝4，从而可得tan α＜0，tan β＜0，进而,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0παβ-<+<，然后求tan()αβ+的值，从而可求出αβ+的值.【详解】由题意得tan α＋tan β＝-tan αtan β＝4， 所以tan 0,tan 0αβ<<，又α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，故,,02παβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以0παβ-<+<，又tan tan tan()1tan tan 14αβαβαβ+-+===--所以23αβπ+=-. 故选：B.8．若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．ln(1)0y x -+> B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A【分析】将不等式变为2323x x y y ---<-，根据()23t tf t -=-的单调性知x y <，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.二、多选题9．下列函数是奇函数且在区间()0,1上单调递增的是（ ）A ．()3f x x =-B ．()2x f x =C ．()sin f x x x =+D ．()1f x x x=-【答案】CD【分析】依据题意，结合奇偶函数的定义和单调性的判定方法逐项分析即可求解.【详解】对于A ，因为函数()3f x x =在R 上单调递增，所以函数()3f x x =-在R 上单调递减，故A错误；对于B ，因为()()22xxf x f x --===，所以函数()2xf x =为偶函数，故B 错误；对于C ，因为()()()()sin sin f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数为奇函数， 又，任取12,x x ，满足1201x x ，则()()()()()()1211221212sin sin sin sin f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-，由于1201x x ，正弦函数sin y x =在()0,1上单调递增，于是120x x -<，12sin sin 0x x -<， 所以()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，故函数()f x 在()0,1上单调递增，故C 正确； 对于D ，因为()()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，所以函数为奇函数， 又，任取12,x x ，满足1201x x ，则()()()211212*********x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于1201x x ，于是120x x -<，2110x x -+>，120x x > 所以()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()0,1上单调递增，故D 正确. 故选：CD.10．下列说法中正确的是（ ）A ．命题“R x ∃∈，220x x -<”的否定是“R x ∀∈，220x x -≥”B ．函数3()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠的图象经过定点(3,4)AC ．幂函数2231()(69)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 的值为4D ．函数25()log (23)f x x x =--的单调递增区间是[1,)+∞ 【答案】ABC【分析】A.由全称量词命题的否定是存在量词命题判断；B.令30x -=求解判断；C.根据()f x 是幂函数求得m ，再根据单调性判断； D.利用对数复合函数的单调性判断.【详解】A.命题“R x ∃∈，220x x -<”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，即“R x ∀∈，220x x -≥”，故正确；B.因为函数3()3x f x a -=+(0a >且1)a ≠，令30x -=得 3x =，此时 4y = ()f x 的图象经过定点(3,4)A ，故正确；C. 因为2231()(69)m m f x m m x -+=-+是幂函数，所以2691m m -+=，即 2680m m -+=，解得 2m =或 4m =，当2m =时，1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，当 4m =时，5()f x x =在(0,)+∞上单调递增，故正确；D.令2230t x x =-->，得 1x <-或3x >，所以函数的定义域为()(),13,-∞-⋃+∞，又t 在()3,+∞上递增，5log y t =在()0,∞+上递增，所以25()log (23)f x x x =--的单调递增区间是()3,+∞，故选：ABC11．函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =图象的一个对称中心C ．()f x 在区间11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．把()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到函数()2cos2g x x =的图象 【答案】BC【分析】根据题意，结合正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象与性质和图象变换知识，即可求解. 【详解】由题意知，2A =，35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以周期T π=，2ω=，又552sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3πϕ=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以A 错误，又2sin 20663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确.因为11,212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以232,332x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，由于正弦函数在其上单调递减， 所以函数()f x 在11,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确，将()y f x =图象上所有点向右平移12π个单位长度后得到2sin 22cos 2122y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 不正确. 故选：BC.12．已知函数()20lg 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，方程()()210f x mf x --=有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）A ．函数()f x 的零点的个数为2B ．实数m 的取值范围为3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．函数()f x 无最值D ．函数()f x 在()0,∞+上单调递增 【答案】ABC【分析】根据分段函数图像可以判断ABD ，而选项C ，结合分段函数的图像性质，分析得到210t mt --=两个不等的实根122t t <<≤0，0，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.【详解】因为函数()20lg 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，可得函数图像如图：由图知函数()f x 有2个零点，故A 选项正确；函数()f x 没有最值，故C 选项正确；函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故D 选项错误；由于方程()()210f x mf x --=有4个不同的实数根，令()t f x =则210t mt --=有4个不同的实数根， 因为2m 40∆=+>恒成立，设210t mt --=两个不等的实根为12t t ，，由韦达定理知：1212,1t t m t t +==-， 则12t t ，异号，由图可知：122t t <<≤0，0， 所以22210m --≥，解得32m ≤，故B 选项正确； 故选：ABC【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．三、填空题13．求值：2log 314lg lg 254+-=______.【答案】7【分析】利用指数式与对数式的互化，对数运算法则计算作答. 【详解】22log 3log 23214)(lg 4lg lg 25(2lg 25)3lg1002749-+-=+=-=-=.故答案为：714．若扇形的面积为9，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为______． 【答案】6【分析】先由已知求出半径，从而可求出弧长 【详解】设扇形所在圆的半径为r ， 因为扇形的面积为9，圆心角为2弧度， 所以21292r ⨯=，得3r =，所以该扇形的弧长为236⨯=， 故答案为：615．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【解析】根据两角和的正弦公式，将原式化简整理，即可得出结果.【详解】由sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭可得1sin sin 12θθθ+=，则3sin 12θθ=1cos 2θθ+=从而有sin coscos sin66ππθθ+=即sin 6πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭16．已知()f x 为偶函数，当04x ≤<时，()23xf x =-，当4x ≥时，()212f x x =-，则不等式()5f x >的解集为__________． 【答案】()()8,33,8--⋃【解析】求出不等式()5f x >在[)0,x ∈+∞的解，然后根据偶函数的性质可得出不等式()5f x >在R 上的解集.【详解】当04x ≤<时，令()235xf x =->，可得28x >，解得3x >，此时34x <<；当4x ≥时，令()2125f x x =->，解得8x <，此时48x ≤<. 所以，不等式()5f x >在[)0,x ∈+∞的解为38x <<.由于函数()y f x =为偶函数，因此，不等式()5f x >的解集为()()8,33,8--⋃. 故答案为：()()8,33,8--⋃.【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，同时也涉及了函数奇偶性的应用，考查运算求解能力，属于中等题.四、解答题 17．（1）已知02a π<<，4sin 5α，求tan α的值； （2）若tan 4α=，求()()()πsin π2cos 2sin cos παααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++的值. 【答案】（1）43；（2）43.【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出3cos 5α=,即可求得tan α的值； (2)把要求的式子利用诱导公式化为sin sin cos ααα-,进而而求得结果.【详解】解：（1）∵π02α<<，4sin 5α，∴cos α=35=∴sin 4tan cos 3ααα== （2）若tan 4α=，则()()()πsin π2cos 2sin cos παααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++sin 2sin sin cos αααα-+=-sin tan 4sin cos tan 13ααααα===--. 18．已知关于x 的不等式13a x b <+≤的解集是{|34}x x <≤. (1)求关于x 的不等式230ax x a -->的解集A ；(2)若非空集合{}22B x k x k =<≤+，A B A ⋃=，求实数k 的取值范围. 【答案】(1)1{2A x x =<-或2}x >(2)5(,)[1,2)2-∞-【分析】(1)先根据题意求出参数,a b 的值，代入不等式230ax x a -->，解关于x 的一元二次不等式即可求解；(2)根据A B A ⋃=得到B A ⊆，然后根据集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】（1）不等式13ax b <+≤的解集为{|34}x x <≤，∴3143a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得25a b =⎧⎨=-⎩．将2a =代入不等式整理得(2)(21)0x x -+>，解得2x >或12x <-．故1{2A x x =<-或2}x >．（2）∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，又∵B ≠∅，∴22122k kk +>⎧⎪⎨+<-⎪⎩或2222k k k +>⎧⎨≥⎩，∴52k <-或12k ≤<， 故实数k 的取值范围5(,)[1,2)2-∞-．19．已知函数221()sin cos sin )2f x x x x x =-，x ∈R .(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的单调递增区间； (3)求()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值和最小值.【答案】(1)π (2)π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z (3)最大值为14，最小值为12-【分析】（1）应用二倍角公式，两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质得最小正周期； （2）由正弦函数的单调性得增区间； （3）由已知求出23x π-的范围，结合正弦函数性质得结论．【详解】（1）2211()sin cos sin )sin 2224f x x x x x x x =-= 1sin(2)23x π=-所以()f x 的最小正周期22T ππ== （2）由πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，得π5πππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z ． 故函数()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z ． （3）当ππ44x -≤≤时，52636πππ-≤-≤x ∴11sin(2)32x π-≤-≤ ∴111sin(2)2234x π-≤-≤故()f x 在区间[,]44ππ-上的最大值为14，最小值为12-. 20．甲、乙两地相距1000千米，某货车从甲地匀速行驶到乙地，速度为v 千米/小时（不得超过120千米/小时）．已知该货车每小时的运输成本m （以元为单位）由可变部分1y 和固定部分2y 组成：可变部分与速度v （单位：km/h ）的关系是211100y v =；固定部分y 2为81元． （1）根据题意可得，货车每小时的运输成本m=________，全程行驶的时间为t=________； （2）求该货车全程的运输总成本与速度v 的函数解析式；（3）为了使全程的运输总成本最小，该货车应以多大的速度行驶？ 【答案】（1）2181100v +；1000v；（2）8100010y v v =+（0 <v ≤120）；（3）v=90 km/h.【分析】（1）根据货车每小时的运输成本等于可变部分1y 加上固定部分2y 即可得出答案，再根据全程行驶的时间等于总里程除以速度即可得解；（2）根据货车全程的运输总成本等于货车每小时的运输成本乘以时间即可得出答案； （3）根据函数解析式结合基本不等式即可得解. 【详解】解：（1）2181100v +；1000v． （2）货车全程的运输总成本()21210001100081100y mt y y v v v ⎛⎫==+⨯=+⨯ ⎪⎝⎭8100010v v=+（0 <v ≤ 120）．（3）8100010y v v =+≥元， 当且仅当8100010v v=，即v=90时，全程的运输总成本最小，所以为了使全程的运输总成本最小，该货车应以90 km/h 的速度行驶. 21．已知函数x f xb a （a ，b 为常数，0a >且1a ≠）的图象经过点()1,8A ，()3,32B ．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若关于x 不等式0x x a b λ--≥对[]2,2x ∀∈-都成立，求实数λ的取值范围．【答案】(1)()22x f x +=(2)(],12-∞-【分析】（1）将()1,8A ，()3,32B ，代入函数，利用待定系数法即可得出答案；（2）0x x a b λ--≥对[]2,2x ∀∈-都成立，即()min 24x xλ≤-，[]2,2x ∈-，令2x t =，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()2g t t t =-+，求出函数()g t 的最小值即可得解.【详解】（1）解：∵函数()xf x ba =的图象经过点()1,8A ，()3,32B ，∴()()18332f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3832ba ba =⎧⎨=⎩，又∵0a >，∴2a =，4b =，∴()42x f x =⨯，即()22x f x +=；（2）解：由（1）知2a =，4b =，∴240x x λ--≥对[]2,2x ∀∈-都成立，即24x x λ≤-对[]2,2x ∀∈-都成立，∴()min 24x xλ≤-，[]2,2x ∈-，令2x t =，[]2,2x ∈-，则1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()2g t t t =-+，即()21124g t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()g t 的图象是开口向下且关于直线12t =对称的抛物线， ∴()()min 412g t g ==-， ∴12λ≤-，∴λ的取值区间为(],12-∞-． 22．已知函数()1f x x x=+． (1)根据函数单调性的定义，证明()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增；(2)令()()221522x f g x k k x x ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭，若对1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12194g g x x -≤成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2)5,72⎛⎤⎥⎝⎦【分析】（1）由单调性定义证明；（2）换元，设1z x x=+，()g x =222y z kz =--，由（1）求得z 的范围，然后由二次函数性质求得最大值和最小值，由最大值减去最小值不大于194可得k 的范围． 【详解】（1）证明：设1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则()()()121212*********x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当1201x x 时，∴120x x -<，1201x x <<，∴1210x x -<，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， ∴函数()f x 在()0,1上单调递减．当121x x <<时，∴120x x -<，121x x >，∴1210x x ->，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴函数()f x 在()1,+∞上单调递增．综上，函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．（2）解：由题意知()22112g x x k x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， 令1z x x =+，222y z kz =--，由（1）可知函数1z x x =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增，∴522z ≤≤，∵函数222y z kz =--的对称轴方程为52z k =>， ∴函数222y z kz =--在52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当2z =时，222y z kz =--取得最大值，max 42y k =-+， 当52z =时，222y z kz =--取得最小值，min 1754y k =-+， 所以()max 42g x k =-+，()min 1754g x k =-+， 又∵对1x ∀，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12194g g x x -≤恒成立，∴()()max min 194g x g x -≤，即171942544k k ⎛⎫-+--+≤ ⎪⎝⎭，解得7k ≤,又∵52k >，∴k 的取值范围是5,72⎛⎤⎥⎝⎦．。

广东省潮州市高一下学期开学数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一上·南昌月考) 若角的终边落在直线上，则的值等于（）A . 0B . -2C . 2D . -2或22. （2分）已知全集A={x∈N|x＜2}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A . {1，2}B . {0，1，2}C . {1}D . {0，1}3. （2分） (2019高二下·哈尔滨期末) 若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分）已知，则下列结论正确的是（）A . h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B . h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C . h（x）=f（x）g（x）是奇函数D . h（x）=f（x）g（x）是偶函数5. （2分）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（）A . 向左平移单位B . 向右平移单位C . 向左平移单位D . 向右平移单位6. （2分） (2019高一上·平遥月考) 设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A . 是奇函数B . 是奇函数C . 是偶函数D . 是偶函数7. （2分） (2015高三上·潮州期末) 已知，且函数y=f（x）﹣1恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A . （﹣1，+∞）B . （﹣2，0）C . （﹣2，+∞）D . （0，1]8. （2分） (2017高一上·西城期中) 已知函数为奇函数，且当时，，则（）A .B . 0C . 1D . 29. （2分）已知函数满足，其图像与直线的某两个交点的横坐标为,,的最小值为，则和的值分别为（）A . ,B . ,C . .D . ,10. （2分）若函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点M、N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f(x)的一对“和谐点对”(点对(M，N)与(N，M)看作同一对“和谐点对”)．已知函数，则此函数的“和谐点对”有（）A . 1对B . 2对C . 3对D . 4对二、填空题： (共5题；共5分)11. （1分）(2017·石嘴山模拟) （1+tan23°）（1+tan22°）=________．12. （1分） (2017高一上·淮安期末) 已知a=（），b=（），c=ln ，则这三个数从大到小的顺序是________．13. （1分）若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是________14. （1分）已知函数f（x）=tan（x﹣），一条与x轴平行的直线与函数f（x）的图象相交，则相邻的两个交点之间的距离为________．15. （1分） (2016高一上·长春期中) 设f（x）是R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x+3x﹣b（b为常数），则f（﹣2）=________三、解答题： (共6题；共60分)16. （5分）已知f（α）=（1）化简f（α）；（2）若α为第三象限角，且cos（α﹣π）=，求f（α）的值；（3）若α=﹣π，求f（α）的值．17. （10分）(2017·泸州模拟) 设函数f（x）=ex+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）若a=2，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q，求P，Q两点间的最短距离；（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．18. （10分） (2016高一下·成都期中) 已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求AB．19. （15分） (2018高一上·安阳月考) 已知函数， .（1）求的值；（2）试判断并证明函数的奇偶性；（3）试判断并证明函数在区间上的单调性并求的值域．20. （10分） (2018高一上·玉溪期末) 已知 , .（1）若，求的取值范围；（2）求的最大值，并给出取最大值时对应的的值。

2019-2020年高一下学期开学考试数学试题含答案一、选择题：1.已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2.设集合，则（）A． B． C． D．3.已知函数的定义域为，则函数的定义域（）A． B． C． D．5.已知，则的解析式为（）A． B． C．D．6.一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（）A． B． C． D．7. 为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）A．，则 B．，则C．，则 D．，则8.室内有一直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线（）A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直9.设平面，且相等，则是的（）A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心10.在正方体中，分别是的中点，那么，正方体的过的截面图形是（）A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形11.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）A．至少与，中的一条相交 B．与都相交C．至多与，中的一条相交 D．与都相不交12.垂直于同一平面的两条直线一定（）A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能13.某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如果，那么直线不经过的象限是（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．动点在圆上移动时，它与定点连线的中点的轨迹方程是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题16.已知{}{}|25,|11,A x x B x m x m B A =-≤≤=-≤≤+⊆，则的取值范围为________．17．函数的值域是,则实数的取值范围是________．18.函数在内单调递减，则的取值范围是________．19.圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于________．20.已知实数满足，则的最小值等于________．三、解答题21.已知函数是定义在上的奇函数，且在区间上为减函数，若求实数的取值范围．22.如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面．23．已知方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=表示一个圆．（1）求实数的取值范围；（2）求该圆的半径的取值范围．24．如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积．25．已知圆,为坐标原点，动点在圆外，过作圆的切线，设切点为．①若点运动到处，求此时切线的方程；②求满足条件的点的轨迹方程．26．已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若函数有零点，求实数的取值范围．参考答案BCBCA CDDBD ABCBC21．解：由已知得，由，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分因为奇函数在对称的区间上单调性相同，所以在上单调递减，．．．．．．．．．．．．．．．6分 则有，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分22．证明：（1）设与交于点．∵，∴四边形为平行四边形，所以．∵平面，平面，∴平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）连接．∵，且，∴四边形为菱形，∴．∵四边形为正方形，∴．即2244424364326464360m m m m m +++-+-->，整理得，解得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）r ===∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分24．（1）因为分别是的中点，所以．又因为平面，所以平面． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）因为，为的中点，所以，又因为平面平面，且平面，所以平面．所以平面平面． ．．．．．．．．．．．8分（3）在等腰直角三角形中，，所以．所以等边三角形的面积．又因为平面，所以三棱锥的体积等于．又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等地，所以三棱锥的体积为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分25．解：（1）当直线的斜率不存在时，此时直线方程为，到直线的距离，满足条件；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分当直线的斜率存在时，设斜率为，得直线的方程为，即，则，解得．所以直线方程，即综上，满足条件的切线方程为或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（2）设，则22222(1)(2)4PMPC MC x y =-=++--， ，∵，∴，整理，得，故点的轨迹方程为， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分26．解：（1）时，，令，即，解得或（舍）所以，所以函数的零点为． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）若有零点，则方程有解． 于是221111112()()()424224x x x x x a +⎡⎤==+=+-⎢⎥⎣⎦， 因为，所以，即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

2019-2020学年潮州市高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.与2021°终边相同的角是()A. −111°B. −70°C. 141°D. 221°2.已知α满足sinα=12,那么sin(π4+α)sin(π4−α)的值为()A. −12B. 12C. −14D. 143.根据如下样本数据，得到回归方程ŷ=bx+a，则()x345678y4.02.5−0.50.5−2.0−3.0A. a>0，b>0B. a>0，b<0C. a<0，b>0D. a<0，b<04.从甲、乙、丙等5名同学中随机地选出3名参加某项活动，则甲被选中的概率为()A. 35B. 25C. 925D. 8255.A是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为()A. 12B. 23C. √32D. 146.函数f(x)=sinx+e−x在[3π2,2π]上的最大值为()A. −1+e32πB. −√22+e74π C. −12+e116π D. e−2π7.国家物价部门在2015年11月11日那天，对某商品在网上五大购物平台的一天销售量及其价格进行调查，5大购物平台的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：价格x99.51010.511销售量y1110865由散点图可知，销售量y与价格x之间有明显的线性相关关系，已知其线性回归直线方程是：y=−3.2x+a，则a=()A. 24B. 35.6C. 40D. 40.58. 已知平面向量a=(1,−2)，b=(2,1)，c=(−4,−2)，则下列结论中错误的是A. 向量c与向量b共线B. 若c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R)，则λ1=0，λ2=−2C. 对同一平面内任意向量d，都存在实数k1，k2，使得d=k1b+k2cD. 向量a在向量b方向上的投影为09. 问题：①某年级有1000个学生，(男生有551人，女生有449人)对此年级的学生语文成绩进行抽样调查，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会．方法：Ⅰ.简单随机抽样法Ⅱ.系统抽样法Ⅲ.分层抽样法．其中问题与方法最佳配对的是()A. ①Ⅰ，②ⅡB. ①Ⅲ，②ⅠC. ①Ⅱ，②ⅠD. ①Ⅲ，②Ⅱ)上的函数y=2sinx的图象分别与y=cosx，y=tanx的图象交于点(x1,y1)，10. 设定义在(0,π2(x2,y2)，则√5y1+y2=()A. 3+√2B. 2+√2C. 3+√3D. 2+√3二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）11. 在单位圆中，一条弦AB的长度为，则弦AB所对的圆心角α是 ____ rad．−πx)的最小正周期是________12. (1)函数y=tan(π3(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长为4m，则这个扇形的面积为_______(3)设向量a⃗=(1,−2)，b⃗ =(7,1)，则向量b⃗ 在a⃗方向上的投影为________(4)有下列命题：①已知α、β都是第一象限的角，若α<β，则tanα<tanβ；②已知α、β是钝角△ABC中的两个锐角，则sinα<cosβ．③若a⃗、b⃗ 、c⃗是相互不共线的平面向量，则(b⃗ ·c⃗ )a⃗−(c⃗·a⃗ )b⃗ 与c⃗垂直；④若e1⃗⃗⃗ 、e2⃗⃗⃗ 是平面向量的一组基底，则3e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ 、2e2⃗⃗⃗ −6e1⃗⃗⃗ 可作为平面向量的另一组基底；那么以上所有正确的命题序号是________13. 已知{x1,x2,x3,…x n}的平均数为a，标准差是b，则3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数是______ ，标准差是______ ．14. 已知向量a⃗=(sinα,cos2α)，b⃗ =(1−2sinα,−1)，α∈(π2,3π2)若a⃗⋅b⃗ =−85，则tanα的值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15. 已知向量m⃗⃗⃗ =(cosα,1−sinα),n⃗=(−cosα,sinα)(α∈R)．(1)若m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，求角α的值；(2)若|m⃗⃗⃗ −n⃗|=√3，求sinα的值16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知．(1)求；(2)若a=3，△ABC的面积为，求b，c．17. 某小学生同时参加了“掷实心球”和“引体向上”两个科目的测试，每个科目的成绩有7分，6分，5分，4分，3分，2分1分共7个分数等级，经测试，该校某班每位学生每科成绩都不少于3分，学生测试成绩的数据统计二1，2，所示，其中“掷实心球”科目成绩为3分的学生有2人．(1)求该班学生“引体向上”科目成绩为7分的人数；(2)已知该班学生中恰有3人两个科目成绩均为7分，在至少一个科目成绩为7分的学生中，随机抽取2人，求这2人两个科目成绩均为7分的概率．18. 如图在△AOB 中，D 是边OB 的中点，C 是边OA 上靠近O 的三等分点，AD 与BC 交于M 点．设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ．(1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)过点M 的直线与边OA ，OB 分别交于E ，F.设OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =p OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =q OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求1p +2q 的值．19. 已知函数f(x)=cosx(sinx +cosx)−12．(Ⅰ)若0<α<π2，且sinα=13，求f(α)；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．【答案与解析】1.答案：D解析：解：终边相同的角相差了360°的整数倍，设与2021°角的终边相同的角是α，则α=2021°+k⋅360°，k∈Z，当k=−5时，α=221°．故选：D．终边相同的角相差了360°的整数倍，由α=2021°+k⋅360°，k∈Z，令k=−5，即可得解．本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查．2.答案：D解析：解：由诱导公式可得sin(π4−α)=sin[π2−(π4+α)]=cos(π4+α)，∴sin(π+α)sin(π−α)=sin(π+α)cos(π+α)=12×2sin(π4+α)cos(π4+α)=12sin(π2+2α)=12cos2α=12(1−2sin2α)=12(1−2×14)=14故选：D．由诱导公式可得，原式=sin(π4+α)cos(π4+α)=12sin(π2+2α)=12cos2α=12(1−2sin2α)，代入已知数据化简可得．本题考查二倍角的正弦公式，涉及诱导公式的应用，转化为π4+α是解决问题的关键，属中档题．3.答案：B解析：解：根据表中数据可知，总体来看，当x增加时，y减小，所以b<0，且x=5.5,y=14，则14=5.5b+a，则a>0．故选：B．通过表格里的数据，容易判断回归方程中b、a的符号．本题考查回归方程的应用，属于基本知识的考查．4.答案：A解析：解：从甲、乙、丙等5名同学中随机地选出3名参加某项活动，基本事件总数n=C53=10，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C42=6，∴甲被选中的概率为p=mn =610=35．故选：A．基本事件总数n=C53=10，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C42=6，由此能求出甲被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查计算能力，是基础题．5.答案：B解析：根据已知中A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，我们求出B点位置所有基本事件对应的弧长，及满足条件AB长大于半径的基本事件对应的弧长，代入几何概型概率计算公式，即可得到答案．本题考查的知识点是几何概型，其中根据已知条件计算出所有基本事件对应的几何量及满足条件的基本事件对应的几何量是解答的关键．解：在圆上其他位置任取一点B，设圆半径为R，则B点位置所有情况对应的弧长为圆的周长2πR，其中满足条件AB的长度大于等于半径长度的对应的弧长为23⋅2πR，则AB弦的长度大于等于半径长度的概率P=23⋅2πR2πR=23．故选B．6.答案：D解析：解：函数f(x)=sinx+e−x，利用求导得到f′(x)=cosx−e−x，当x∈[3π2,2π]时，函数f′(x)>0，即该区间为单调递增区间，所以当x=2π时，函数取最大值为e−2π．故选：D．利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的最值．本题考查的知识要点：函数的单调性和导数的关系，三角函数的求值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：根据图中数据，得；x=1(9+9.5+10+10.5+11)=10，5(11+10+8+6+5)=8，y=15又线性回归直线方程是：y=−3.2x+a，∴a=y+3.2×x=8+3.2×10=40．故选：C．根据图中数据求出x、y，再根据线性回归直线方程过样本中心点，代人求出a的值．本题考查了计算平均数与线性回归直线方程过样本中心点的应用问题，是基础题．8.答案：C解析：本题考查向量共线的条件，平面向量基本定理以及向量投影的概念等，属于基础题．解：选项A正确，，所以向量与向量共线；选项B正确，由可知，，解得；选项C错误，向量与向量共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们的线性组合不能表示出同一平面内的任意向量；选项D正确，，所以，夹角是，向量在向量方向上的投影为．故选C．9.答案：C解析：问题 个体数量比较大，男女生人数相当，所以采取系统抽样合适，对于问题‚，因个体书比较少，所以简单随机抽样比较适合，故选C。

饶平二中2019学年度第二学期开学考高一级数学参考公式：圆锥侧面积S rl π=，其中r 为圆锥的底面半径，l 为母线球的表面积24S R π=，其中R 为球的半径一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合U R =，{|11}A x x =-≤≤，{|02}B x x =<<，则()U A B = ðA ．[10]-，B ．[12]，C ．[01]，D ．(1][2)-∞+∞ ，，2．已知直线1:(3)4530l m x y m ++-+=，2:l 2(5)80x m y ++-=，若12l l ⊥，则m的值为A ．1-或7-B ．7-C ．133-D ．1333．已知函数()f x =()f x 的单调递减区间是A ．1()2-∞，B ．(2)-∞-，C ．1()2+∞，D ．(3)+∞，4．若一个圆锥的轴截面是面积为1等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积是A B ．C ．2πD ．4π5．下列函数中，既是奇函数又在区间(12)，上有零点的是A ．ln y x=B ．33x xy -=-C ．23y x =-D ．33y x x=-6．对于任意的实数R λ∈，直线(21)(1)10x y λλ++-+=恒过定点A ，则A 的坐标是A ．(00)，B ．12()33，C ．12()33-，D ．12()33-，7．已知函数13()log ||f x x =，若21(log )3a f =， 2.1(3.1)b f -=，(2)c f =，则A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．b c a<<8．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 的夹角为60 ；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是A ．③④B ．②③④C ．②④D ．①②③9．函数()22x x f x a -=+⋅（a R ∈）的图象不可能为A B C D10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，动点E 、F 在棱11A B 上，动点P ，Q分别在棱AD ，CD 上，若1EF =，1A E x =，DQ y =，DP z =（x ，y ，z 大于零），则四面体PEFQ 的体积A ．与x ，y ，z 都有关B ．与x 有关，与y ，z 无关C ．与y 有关，与x ，z 无关D ．与z 有关，与x ，y 无关11．直线:l y kx =与曲线2:11(3)M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是A ．13(]44，B ．13[)24，C ．15[)29，D ．3[0)4，12．已知函数2161,0()1(),02x x x x f x x +⎧-+≥⎪=⎨<⎪⎩，若方程()0f x a -=恰好有3个不同实数根，则a 的取值范围为A.[01)，B.(01]，C.1[1)2， D.1(1]2，A二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若函数1,0(),0x xf x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则((2))f f -=.14．若圆22:(1)2M x y +-=与若圆22:(1)1M x y -+=交于点A 、B ，则直线AB 的方程为.15．已知幂函数()f x 的图象过点(42)，，且(25)(33)f m f m +>+，则实数m 的取值范围为．16．某直三棱柱的侧棱长等于2，底面为等腰直角三角形且腰长为1，则该直三棱柱的外接球的表面积是.三、解答题（满分共共70分，其中第17题满分10分，第18-22题满分各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．计算（1）若0x >，求131311424222(23)(23)4()x x xx x -+---（2）33log 549332165log 4log 3(981----18．正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是棱1CC 的中点．（1）求证：1//AC 平面BDM（2）求证：平面11ACC A ⊥平面1A BD ．19．已知函数21()21x xf x -=+（1）判断()f x 的奇偶性，并证明.（2）判断()f x 的单调性，并证明.20．已知圆C 的圆心坐标为(0)a ，，且圆C 与y 轴相切.（1）已知1a =，(44)M ，，点N 是圆C 上的任意一点，求||MN 的最小值（2）已知0a <，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点2(0)3-，.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围.21．已知函数()=log (1)a f x ax -，其中0a >且1a ≠（1）当3a =时，()1f m <，求实数m 的取值范围（2）若()f x 在[36]，上的最大值大于0，求a 的取值范围.22．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，PA PD AD ==，M N 、分别是AB 、AD 的中点，且平面PAD ⊥平面ABCD （1）证明：CM ⊥平面PNB（2）点E 是棱PA 上的一点，若//PB 平面DEM ，求二面角E BD A --的正切值。

广东省潮州市 2019-2020 年度高一下学期数学期中考试试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 9 题；共 18 分)1. （2 分） 抛物线 A. B. C. D.的准线方程是（ ）2. （2 分） (2019 高一下·中山月考) 已知点于平面对称，则线段 的长为（ ），点 与点 关于 轴对称，点 与点 关A. B.4C.D.3. （2 分） (2020 高一下·宝应期中) 在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若，则这个三角形一定是（ ）A . 等边三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形D . 等腰直角三角形4. （2 分） (2020 高一下·宝应期中) 若圆（）第 1 页 共 13 页关于直线对称，则 a 的值为A . -3B . -1C.0D.45. （2 分） (2020 高一下·宝应期中) 一船以每小时 15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东，行驶 4h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为（ ） ．A . 15B.C.D.6. （2 分） (2020 高一下·宝应期中) 下列命题中，m，n 表示两条不同的直线， 、 、 表示三个不 同的平面．正确的命题是（ ）若，，则；若，，则；若，，则；若，，，则．A. B.C. D.7. （2 分） (2020 高一下·宝应期中) 在中，，，，则的面积为（ ）A.第 2 页 共 13 页B.5 C . 10D.8. （2 分） (2020 高一下·宝应期中) 两平行直线与之间的距离为（ ）A.B. C.1D.9. （2 分） (2020 高一下·宝应期中) 已知圆是，则圆 M 与圆 . 的位置关系是（ ）A . 内切B . 相交C . 外切D . 相离二、 多选题 (共 3 题；共 9 分)10. （3 分） (2020·平邑模拟) 已知正方体,交棱于点 ,下列正确的是（ ）A . 平面 分正方体所得两部分的体积相等；B . 四边形一定是平行四边形；C . 平面 与平面不可能垂直；D . 四边形的面积有最大值.第 3 页 共 13 页截直线所得线段的长度,过对角线作平面 交棱于点11. （ 3 分） (2019 高二上 ·安徽月考 ) 如图,正方 形中,分别是的中点将分别沿折起,使重合于点 .则下列结论正确的是（ ）A. B . 平面C . 二面角 D . 点 在平面的余弦值为 上的投影是的外心12. （3 分） (2020 高一下·宝应期中) 已知点 确的是（ ）A . 恒过定点，直线，下列结论正B.（ 为坐标原点）C . 到直线 的距离有最小值，最小值为 3 D . 到直线 的距离有最大值，最大值为 5三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017 高二上·邢台期末) 底面半径为 3 的圆柱的侧面积是圆柱表面积的 ________．，则该圆柱的高为14. （1 分） (2020·浙江) 已知圆锥展开图的侧面积为 2π，且为半圆，则底面半径为________．15.（1 分）(2020 高一下·宝应期中) 经过点且在坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________.16. （1 分） (2020 高一下·宝应期中) 圆心在直线 圆的标准方程为________.，且与直线相切于点的四、 解答题 (共 6 题；共 57 分)第 4 页 共 13 页17. （5 分） (2017 高一上·白山期末) 已知向量 =（sinx，2cosx）， =（5 cosx，cosx），函数 f （x）= • +| |2﹣ ．（1） 求函数 f（x）的最小正周期；（2） 若 x∈（ ，）时，f（x）=﹣3，求 cos2x 的值；（3） 若 cosx≥ ，x∈（﹣ ， ），且 f（x）=m 有且仅有一个实根，求实数 m 的取值范围．18. （10 分） (2016 高一下·湖北期中) 已知向量 数 f（x）= • +1．=（{cosx，﹣（Ⅰ）求函数 f（x）的单调递增区间；cosx）， =（cosx，sinx），函（Ⅱ）若 f（θ）= ，的值．19. （2 分） (2020·榆林模拟) 已知动圆过定点过 作斜率为的直线 与 交于两点线 与 交于两点．，且与直线，过分别作相切，动圆圆心的轨迹为 ， 的切线，两切线的交点为 ，直（1） 证明：点 始终在直线 上且；（2） 求四边形的面积的最小值．20. （15 分） (2018·凉山模拟) 如图，直三棱柱，点 是棱上不同于的动点.中，，，，第 5 页 共 13 页（1） 证明：；（2） 若 是的中点，求四面体的体积.21. （10 分） (2020 高一下·宝应期中) 某地为响应习总书记关于生态文明建设的指示精神，大力开展“青山绿水”工程，造福于民.为此，当地政府决定将一扇形（如图）荒地改造成市民休闲中心，其中扇形内接矩形区域为市民健身活动场所，其余区域（阴影部分）改造为景观绿地（种植各种花草）.已知该扇形的半径为 200米，圆心角，点 Q 在 上，点在 上，点 在弧 上，设.（1） 若矩形是正方形，求的值；（2） 为方便市民观赏绿地景观，从 点处向修建两条观赏通道 和，，其中依而建，为让市民有更多时间观赏，希望点 应在何处？说明你的理由.（宽度不计），使 最长，试问：此时22. （15 分） (2020 高一下·宝应期中) 已知圆 O：与直线相切．（1） 求圆 O 的方程；（2） 若过点的直线 l 被圆 O 所截得的弦长为 4，求直线 l 的方程；（3） 若过点作两条斜率分别为 ， 的直线交圆 O 于 B、C 两点，且线 BC 恒过定点．并求出该定点的坐标．，求证：直第 6 页 共 13 页一、 单选题 (共 9 题；共 18 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、二、 多选题 (共 3 题；共 9 分)10-1、 11-1、 12-1、三、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 7 页 共 13 页15-1、 16-1、四、 解答题 (共 6 题；共 57 分)17-1、17-2、17-3、第 8 页 共 13 页第 9 页 共 13 页18-1、19-1、19-2、第 10 页 共 13 页20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

2019-2020学年高一下学期开学考试数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．﹣D．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n3．经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为（）A．3x﹣5y+13=0 B．5x+3y﹣1=0 C．5x+3y+1=0 D．5x﹣3y+11=04．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．605．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移6．已知等差数列{an }中a3+a9+a15=9，则数列{an}的前17项和S17=（）A．102 B．36 C．48 D．517．已知双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），且经过点P（﹣3，2），则双曲线的标准方程是（）A． =1 B． =1 C．y2﹣=1 D． =18．设变量x，y满足约束条件目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．D．9．阅读如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．D．10．在区间[﹣1，1]上任取两个实数x，y，则满足不等式的概率为（）A．B．C．D．11．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（）A．2 B．10 C．12 D．1412．N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y）满足|y|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A．﹣2B．﹣C． +D． +二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．若||=2，||=4，且（+）⊥，则与的夹角是．14．设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值．15．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F和一个顶点B，该椭圆的离心率为．116．已知△ABC的周长为26且点A，B的坐标分别是（﹣6，0），（6，0），则点C的轨迹方程为．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知，求实数m的取值范围．18．如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．19．设a是实数，函数f（x）=a﹣（x∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．2019-2020学年高一下学期开学考试数学试卷答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角三角函数的基本关系以及三角函数在各个象限中的符号，求得cosα的值，可得tanα的值．【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第四象限角，∴cosα==，则tanα==﹣，故选：C．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．3．经过点（﹣1，2）且与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为（）A．3x﹣5y+13=0 B．5x+3y﹣1=0 C．5x+3y+1=0 D．5x﹣3y+11=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（﹣1，2）代入即可得出．【解答】解：设与直线3x﹣5y+6=0垂直的直线的方程为5x+3y+m=0，把（﹣1，2）代入可得：﹣5+6+m=0，解得m=﹣1．∴要求的直线方程为：5x+3y﹣1=0．故选：B．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．15 B．20 C．30 D．60【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．据此可计算出答案．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个直三棱柱：底面是一个直角边长分别为3，4的直角三角形，高为5．∴==30．故选C．5．要得到函数y=sin（2x﹣）的图象，应该把函数y=sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】化简函数表达式，由左加右减上加下减的原则判断函数的平移的方向．【解答】解：要得到函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]的图象，需要将函数y=sin2x 的图象，向右平移单位即可．故选：D．6．已知等差数列{an }中a3+a9+a15=9，则数列{an}的前17项和S17=（）A．102 B．36 C．48 D．51【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和求解．【解答】解：∵等差数列{an }中a3+a9+a15=9，∴3a9=9．解得a9=3，∴数列{an }的前17项和S17==17a9=51．故选：D．7．已知双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），且经过点P（﹣3，2），则双曲线的标准方程是（）A． =1 B． =1 C．y2﹣=1 D． =1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，可以确定双曲线的焦点在y轴上，且c=2，进而可以设其标准方程为：﹣=1，分析可得a2+b2=4，①以及﹣=1②；联立解可得a2、b2的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，由于双曲线的焦点分别为（0，﹣2）、（0，2），则其焦点在y轴上，且c=2，可以设其标准方程为：﹣=1，且a2+b2=4，①又由其经过点P（﹣3，2），则有﹣=1，②联立①②解可得a2=1，b2=3，则其标准方程为：y2﹣=1．故选：C．8．设变量x，y满足约束条件目标函数z=x﹣2y的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x﹣2y中，z的几何意义，通过直线平移即可得到z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣2y，得y=，平移直线y=，当直线y=经过点A时，直线的在y轴上的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（2，0），此时z的最大值为z=2﹣2×0=2．故选：B．9．阅读如图所示的程序框图，则输出的S的值是（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，n=2，第一次循环，i=1≤8，s=，n=3，i=2；第二次循环，i=2≤8，s=，n=4，i=3；第三次循环，i=3≤8，s=，n=5，i=4；…，第八次循环，i=8≤8，s=，n=9，i=9＞8，输出s=，故选：A．10．在区间[﹣1，1]上任取两个实数x，y，则满足不等式的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意可知不等式的区域为边长为2的正方形，面积为4，的区域是圆的外面的区域，面积S=4﹣，代入概率公式即可求解【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4∵的区域是圆的外面的阴影区域，其面积S=4﹣P==1﹣故选D11．已知F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，|AB|=8，则|AF2|+|BF2|=（）A．2 B．10 C．12 D．14【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据已知条件，由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，由此能求出结果．【解答】解：椭圆中，a=5，∵F1，F2为椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，∴由椭圆定义知：|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=20，∵|AB|=8，∴|AF2|+|BF2|=20﹣8=12．故选：C．12．N为圆x2+y2=1上的一个动点，平面内动点M（x0，y）满足|y|≥1且∠OMN=30°（O为坐标原点），则动点M运动的区域面积为（）A．﹣2B．﹣C． +D． +【考点】轨迹方程．【分析】由题意，过M作⊙O切线交⊙O于T，可得∠OMT≥30°．由此可得|OM|≤2．得到动点M运动的区域满足（|y|≥1）．画出图形，利用扇形面积减去三角形面积求得动点M运动的区域面积．【解答】解：如图，过M作⊙O切线交⊙O于T，根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．反过来，如果∠OMT≥30°，则⊙O上存在一点N使得∠OMN=30°．∴若圆C上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°．∵|OT|=1，∴|OM|≤2．即（|y|≥1）．把y=1代入，求得A（），B（），∴，∴动点M运动的区域面积为2×（）=．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上13．若||=2，||=4，且（+）⊥，则与的夹角是．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量垂直，它们的数量积等于0，即（+）•=+=0，求得 cos＜，＞=﹣，故＜，＞=．【解答】解：由题意得（+）•=+=4+2×4 cos＜，＞=0，∴cos＜，＞=﹣，∴＜，＞=，故答案为．14．设x＞0，y＞0且x+2y=1，求+的最小值3+2．【考点】基本不等式．【分析】根据题意，x+2y=1，对于可变形为（x+2y）•（），相乘计算可得，3+，由基本不等式的性质，可得答案．【解答】解：根据题意，x+2y=1，则=（x+2y）•（）=3+≥3+2=3+2，故答案为3+2．和一个顶点B，该椭圆的离心率为．15．直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1【考点】椭圆的简单性质．的坐标【分析】根据题意，由直线的方程可得其与坐标轴交点的坐标，即可得椭圆中焦点F1和顶点B的坐标，即可得c、b的值，由椭圆的几何性质可得a的值，由离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线l的方程为x﹣2y+2=0，与x轴交点坐标为（﹣2，0），与y轴交点坐标为（0，1）；和一个顶点B，又有直线l：x﹣2y+2=0过椭圆的左焦点F1的坐标（﹣2，0），顶点B的坐标为（0，1），则有F1则有c=2，b=1，a==，故其离心率e==；故答案为：．16．已知△ABC的周长为26且点A，B的坐标分别是（﹣6，0），（6，0），则点C的轨迹方程为=1（x≠±7）．【考点】轨迹方程．【分析】由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x 轴的交点，利用椭圆的定义和简单性质求出a、b 的值，即得顶点C的轨迹方程．【解答】解：由题意可得|BC|+|AC|=14＞AB，故顶点A的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，除去与x轴的交点．∴2a=14，c=6，∴b=，故顶点C的轨迹方程为=1（x≠±7）．故答案为=1（x≠±7）．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．已知，求实数m的取值范围．【考点】幂函数的性质．【分析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：（1）设函数，函数为R上的单调递增函数…得，m2+m≤﹣m+3…即，m2+2m﹣3≤0…得，（m﹣1）（m+3）≤0所以，m的取值范围为：m∈[﹣3，1]…18．如图，矩形草坪AMPN中，点C在对角线MN上．CD垂直于AN于点D，CB垂直于AM于点B，|CD|=|AB|=3米，|AD|=|BC|=2米，设|DN|=x米，|BM|=y米．求这块矩形草坪AMPN面积的最小值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】由题意，表示出矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．【解答】解：由题意…．SAMPN=（x+2）（y+3）=xy+3x+2y+6=12+3x+2y…．…．当且仅当3x=2y，即x=2，y=3时取得等号．…．面积的最小值为24平方米．…．19．设a是实数，函数f（x）=a﹣（x∈R），（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．【考点】函数的图象．【分析】（1）代值计算即可求出a（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x1，x2后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．【解答】解：（1）．（2）证明：设任意x1，x2∈R，x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）===，由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，所以即，又由2x＞0，得，，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．20．已知函数f（x）=x2﹣2ax+a．（1）若对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，求实数a的值；（2）若f（x）在区间[1，+∞）上为单调增函数，求实数a的取值范围；（3）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即可得出a．（2）函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．根据y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得a≤1．（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，对a分类讨论即可得出．【解答】解：（1）由对任意的实数x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，可知：函数f（x）的对称轴为x=1，即a=1．（2）函数f（x）=x2﹣2ax+a的图象的对称轴为直线x=a．y=f（x）在区间[1，+∞）上为单调递增函数，得，a≤1．（3）函数图象开口向上，对称轴x=a，当a＜0时，x=1时，函数取得最大值为：f（x）max=1﹣a．当a＞0时，x=﹣1时，函数取得最大值为：f（x）max=1+3a．当a=0时，x=±1时，函数取得最大值为：f（x）max=1．21．在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）利用初等函数的性质、弱减函数的定义，判断是[0，+∞）上的弱减函数．（2）根据题意可得，再利用函数的单调性求得函数的最值，可得a的范围．（3）根据题意，当x∈（0，3]时，方程只有一解，分离参数k，换元利用二次函数的性质，求得k的范围．【解答】解：（1）由初等函数性质知，在[0，+∞）上单调递减，而在[0，+∞）上单调递增，所以是[0，+∞）上的弱减函数．（2）不等式化为在x∈[1，3]上恒成立，则，而在[1，3]单调递增，∴的最小值为，的最大值为，∴，∴a∈[﹣1，]．（3）由题意知方程在[0，3]上有两个不同根，①当x=0时，上式恒成立；②当x∈（0，3]时，则由题意可得方程只有一解，根据，令，则t∈（1，2]，方程化为在t∈（1，2]上只有一解，所以．。

2019-2020年高一下学期2月开学考数学试题1含答案一、填空题（每题分，共分）1、设都是实数，命题：“若，则”是 命题（填“真”或“假”）。

2、若，则 。

3、已知集合，则 。

4、函数的反函数是，则 。

5、已知函数，，则 。

6、已知函数为偶函数，且，则 。

7、已知函数的定义域为，那么函数的定义域是 。

8、已知函数的图像过的定点在函数的图像上，其中为正数，则的最小值是 。

9、若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 。

10、已知函数624)2()(2-+--=m mx x m x f 的图像与轴的负半轴有交点，则的取值范围是 。

11、关于的方程0|1|)1(222=+---k x x ，给出下列四个命题：（1）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（2）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（3）存在实数，使得方程恰有个不同的实根；（4）存在实数，使得方程恰有个不同的实根。

其中正确的命题序号是 。

12、当时，函数的最大值为，则实数 。

二、选择题（每题分，共分）13、“”是“”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件14、函数在上为增函数，则实数的取值范围是 ( )（A ） （B ） （C ） （D ）15、函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是 ( )（A ） （B ） （C ） （D ）16、已知|2014||2013||4||3||2||1|)(-++++-+++-++=x x x x x x x f ，且)1()23(2-=+-a f a a f ，则的值有 （ ）（A ）2个 （B ）3个 （C ）xx 个 （D ）无数个三、解答题：（本大题共题，满分分）17、（本题10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）设函数是定义域为且上的奇函数，当时，。

（1）写出时，函数的解析式；（2）解不等式：18、（本题 分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知函数（1）求函数的反函数；（2）若时，不等式)()()1(1x a a x fx ->⋅--恒成立，试求实数的取值范围。

2023-2024学年潮州市饶平二中高一数学下学期开学考试卷卷面满分150分，考试时间120分钟2024.02一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合20.5{|314150},{|log (47)},A x x x B x y x =-+≤==-则A B = （）A ．5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]2,3C ．5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．7,34⎛⎤ ⎥⎝⎦2．下列函数中，在定义域内既是单调函数，又是奇函数的是（）A ．13y x =B ．5xy =C ．2log y x =D ．1y x -=3．以下四个命题中，是假命题的是（）A ．若4tan 3α=，且α为锐角，则4sin 5α=B ．“2x >”是“24x <<”的必要不充分条件C ．若命题p ：x ∃∈R ，210x x ++<，则p 的否定为：x ∀∈R ，210x x ++≥D ．若0a b <<，则22a ab b <<4．函数()ex xf x x =图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．5．已知实数1a >，则函数()12xf x a x =+-的零点所在的区间是（）A ．(2,1)--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,26．已知()3sin 52sin 2ππθθ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，则2sin cos sin sin θθθθ++的值为（）A ．195B ．165C ．2310D ．17107．对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值等于（）．A ．102B ．10C ．552+D ．2528．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()22f x f x +=--，若()11>f ，()2log 1282sin f t =，则实数t 的取值范围（）A ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B ．()2ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭C ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭D ．()5ππ2π,2πZ 66k k k ⎛⎫-+-+∈ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()ππsin 2cos 244f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x （）A ．为偶函数B ．最小正周期为π，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ．最大值为2D ．图象关于直线2x π=对称10．对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(2)0x a x --<的解集可能为（）A ．(2)()a -∞+∞ ,,B ．()(2)a -∞+∞ ,,C ．(),2a D ．∅11．已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：()()R x f x f x ∀∈-=①，；()120,x x ∞∀∈+②，，当12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-；()10f -=③.则下列选项成立的是（）A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(2)-<f m f ，则(,3)m ∈-∞C ．若()0f x x>，则()(),10,1x ∞∈--⋃D ．x R ∀∈，∃∈M R ，使得()f x M≤三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，并且当()0,x ∞∈+时，()2xf x =，那么21(log )5f =.13．当=a （填入恰当的数）时，函数||y x a =-在()1,+∞上递增．14．在ABC 中，已知BC 边上的高等于13BC ，当角π4B =时，tan A =；当角ππ,64B ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，tan A的最大值为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．求以下式子的值(1)132327log 3log 4lg 2lg 50ln18⎛⎫+⋅+++ ⎪⎝⎭；13cos15sin15s 2in 275+16．（1）已知角α终边上有一点P 的坐标是()3,4a a -，其中0a >，求2sin cos αα+的值．（2）证明恒等式：1tan1sin 2cos 1tan 2αααα++=-．17．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x （单位：百辆）新能源汽车需另投入成本()C x （单位：万元），且()210100,040,100005014500,40,x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本）(1)求2023年的利润()P x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．18．已知函数23()3cos sin cos 2x x x f x ωωω=--（其中0ω>），将其图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到的新函数图象关于原点对称．(1)求ω所有可能取值组成的集合；(2)若函数()f x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，求()f x 在π0,2⎛⎤⎥⎝⎦的值域．19．对于定义在区间[],m n 上的两个函数()f x 和()g x ，如果对任意的[],x m n ∈，均有不等式()()1f x g x -≤成立，则称函数()f x 与()g x 在[],m n 上是“友好”的，否则称为“不友好”的．(1)若()f x x =，()2g x x x =-，则()f x 与()g x 在区间[]1,2上是否“友好”；(2)现在有两个函数()()log 3a f x x a =-与()()1log 0,1ag x a a x a=>≠-，给定区间[]2,3a a ++．①若()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，求a 的取值范围；②讨论函数()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是否“友好”．1．D【分析】根据题意，解一个一元二次不等式和一个一元一次不等式即得集合,A B ，再利用集合的交集定义即得.【详解】由集合A 中不等式2314150x x -+≤可解得：533x ≤≤，即5[,3]3A =,由集合B 中函数0.5log (47)y x =-有意义，可得：470x ->，74x >，即7(,)4B ∞=+，则577[,3](,)(,3]344A B ∞⋂=⋂+=.故选：D.2．A【分析】根据解析式可直接判断出单调性和奇偶性.【详解】对于A ：13y x =为奇函数且在R 上单调递增，满足题意；对于B ：5x y =为非奇非偶函数，不合题意；对于C ：2log y x =为非奇非偶函数，不合题意；对于D ：1y x -=在整个定义域内不具有单调性，不合题意.故选：A.3．D【分析】由同角三角函数的关系验证选项A ；根据包含关系结合充分条件必要条件的定义判断选项B ；由特称命题的否定判断选项C ；由不等式的性质判断选项D.【详解】对于选项A ：若4tan 3α=，则22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，由α为锐角，sin 0α>，解得4sin 5α=，故A 选项为真命题；对于选项B ：因为{}|24x x <<是{}|2x x >的真子集，所以“2x >”是“24x <<”的必要不充分条件，故B 选项为真命题；对于选项C ：由特称命题的否定可知：p 的否定为：x ∀∈R ，210x x ++≥，故C 选项为真命题；对于选项D ：若0a b <<，则2a ab >，2ab b >，故D 选项为假命题.故选：D.4．A【分析】结合指数函数单调性以及特殊点即可判断.【详解】由题意()1,0e 1e ,0e xx xx x f x x x ⎧>⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩，所以当0x <时，()1e xf x =-单调递增，且()0f x <，当0x >时，()1ex f x =单调递减，且()0f x >，且当x 从左边趋于0时，()1e x f x =-趋于1-，当x 从右边趋于0时，()1e xf x =趋于1.故选：A.5．B【分析】利用零点存在定理即可判断出函数()12xf x a x =+-的零点所在的区间.【详解】实数1a >，()f x 在定义域上递增，则()211322120222f a --=--<--=-<，()111111110222f a --=--<--=-<，()01100022f a =+-=>，()111311110222f a =+->+-=>，()211522120222f a =+->+-=>，则()()100f f -<，则函数()12xf x a x =+-在()1,0-内必有零点.故选：B 6．C【分析】利用诱导公式化简得tan 2θ=，再利用tan θ齐次式代入求值即可.【详解】因为()3sin 52sin 2ππθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2cos θθ-=-得tan 2θ=则222222sin cos tan 1sin tan 1tan 3423sin sin tan sin cos tan 1tan 2510θθθθθθθθθθθθθ++++=+=+=+=++故选：C 7．C【分析】先由勾股定理得2225a b +=，再利用基本不等式易得()250a b +≤，由此得到552a b c ++≤+【详解】不妨设该直角三角形的斜边为5c =，直角边为,a b ，则22225a b c +==，因为222ab a b ≤+，所以()222222a b ab a b ++≤+，即()250a b +≤，当且仅当a b =且2225a b +=，即52a b ==因为0,0a b >>，所以52a b +≤所以该直角三角形周长52552a b c c ++≤+=+52+.故选：C.8．D【分析】利用所给条件求出()f x 的最小正周期，再转化到给定的函数值求范围即可.【详解】由()()22f x f x +=--，()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()()4f x f x +=，故()f x 的最小正周期为4，且已知()2log 1282sin f t =，故()72sin f t =，()()()7112sin f f f t =-=-=，()12sin f t =-，已知()11f >，则2sin 1t ->，解得()5ππ2π,2πZ 66t k k k ⎛⎫∈-+-+∈ ⎪⎝⎭.故选：D 9．ABD【分析】先由()22f x x ，再利用函数的奇偶性定义判断.【详解】解：因为()f x 的定义域为x ∈R ，又()ππππsin 2cos 22sin 22cos 24444f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()()()2222f x x x f x ⎡⎤-=-==⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故A 正确,()f x 2C 错误；当π2x =时，22f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的图象关于π2x =对称，故D 正确.()f x 的最小正周期为2ππ2=，且当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,πx ∈，结合余弦函数的单调性可得()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，故B 正确，10．CD【分析】对a 进行分2a <、2a =和2a >讨论即可.【详解】当2a <时，此时解集为(),2a ；当2a =时，此时解集为∅；当2a >时，此时解集为()2,a ；故选：CD.11．ACD【分析】根据函数的单调性，奇偶性以及最值的应用，对每个选项进行注意判断，即可选择.【详解】因为函数()f x 定义在R 上的函数，所以由①：x ∀∈R ，()()f x f x -=得函数()f x 为偶函数．又因为由②知：1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-，所以函数()f x 在()0+∞，上单调递减．对A ：因为函数()f x 为偶函数，所以()()44f f -=，而函数()f x 在()0+∞，上单调递减，因此()()43f f <，即()()43f f -<，故A 正确；对B ：因为定义在R 上的偶函数()f x 在()0+∞，上单调递减且连续，且()()12f m f -<，所以12m ->，解得1m <-或3m >，故B 错误；对C ：因为()10f -=，函数()f x 为偶函数，所以()10f =．因为函数()f x 为偶函数，在()0+∞，单调递减，当0x >时，令()0f x >，解得()0,1x ∈；当0x <时，令()0f x <，解得(),1x ∈-∞-，所以由()0f x x>，得1x <-或01x <<，故C 正确；对D ：由C 知：()0f 是函数()f x 的最大值，因此x ∀∈R ，()0M f R ∃=∈，使得()f x M ≤，故D 正确.故选：ACD ．12．5【分析】根据题意，结合对数的运算，以及2221(log )(log 5)(log 5)5f f f =-=，即可求解.【详解】由函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()0,x ∞∈+时，()2xf x =，又由2log 52221(log )(log 5)(log 5)255f f f =-===.故答案为：5.13．1（答案不唯一，只需1a ≤即可）【分析】由题意可知：||y x a =-的单调递增区间为(),a ∞+，结合单调性分析求解.【详解】因为||y x a =-的单调递增区间为(),a ∞+，若函数||y x a =-在()1,+∞上递增，则1a ≤，可取1a =.故答案为：1（答案不唯一，只需1a ≤即可）.14．3-125-## 2.4-【分析】第一空：由锐角三角函数结合两角和的正切公式即可得解；第二空：注意到113tan tan B C+=，结合基本不等式得19tan tan 4B C ≤，由此即可进一步得到312tan 151tan tan A B C=≤--，注意取等条件是否成立.【详解】设AD 为BC 边上的高，所以13AD BC =，如图所示：又因为π4B =，所以πtan tan 14AD B BD ===，又13AD BC =，所以13BD BC =，23CD BC =，1tan 2C =，所以()112tan tan 31112A B C +=-+==-⨯-；因为ππ,64B ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3tan ,13AD B BD ⎤=∈⎢⎥⎣⎦，又13AD BC =，所以垂足D 落在线段BC 上，故,B C 都是锐角，所以tan ,tan B C 均大于0，因为11tan tan tan tan tan tan AD ADB C BD CDAD AD B C B C BD CD+++==⋅()213tan tan AD CD BD BC AD AD B C+===≥即19tan tan 4B C ≤，等号成立当且仅当2tan tan 3B C ==，所以151tan tan 4B C -≥-；所以()tan tan 312tan tan 1tan tan 151tan tan B CA B C B C B C +=-+=≤---，因为ππ,64B ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3tan B ⎤∈⎥⎣⎦，所以当且仅当2tan tan 3B C ==时，有()max 12tan 5A =-.故答案为：3-；125-.【点睛】关键点睛：第二空的关键是发现113tan tan B C+=，由此结合基本不等式以及两角和的正切公式即可得解.15．(1)112(2)1322+【分析】（1）根据指、对数运算求解即可；（2）根据两角和差公式运算求解即可.【详解】（1）原式1332223ln 3ln 43311lg1000log 2lg10222ln 2ln 3222⎡⎤⎛⎫=+⨯++=++=++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）原式()()1232sin 304513222222sin 301522⨯++===++ooo o .16．（1）1-；（2）证明见解析.【分析】（1）根据角α终边上的点坐标求sin α、cos α，进而求2sin cos αα+即可；（2）利用二倍角正余弦公式、同角的弦切关系，即可证恒等式.【详解】（1）当0a >时，点P 到原点的距离为5a ，由三角比的定义得：44sin 55a a α-==-，33cos 55a a α==，∴432152si os 5n c αα⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭+；（2）证明：222sin cos 12sin cos sin cos 1sin 222222cos cos sin cos sin cos sin cos sin 22222222αααααααααααααααα⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭===⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1tan 21tan 2αα+=-．17．(1)()2104002500,040,100002000,40.x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)100百辆，最大利润为1800万元．【分析】（1）根据给定的函数表达式结合利润的求法即可得到函数关系；（2）分040x <<和40x ≥,再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较即可.【详解】（1）∵()210100,040,100005014500,40,x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩∴当040x <<时，()22500101002500104002500P x x x x x x =---=-+-，当40x ≥时，()1000010000500501450025002000P x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭．故()2104002500,040,100002000,40.x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）由（1）得()2104002500,040,100002000,40.x x x P x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩当040x <<时，()()210201500P x x =--+，∴()()max 201500P x P ==；当40x ≥时，()100001000020002000220002001800P x x x x x ⎛⎫=-+≤-+=-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=，即100x =时等号成立，故()()max 1001800P x P ==．∵18001500>，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．18．(1){}|31,k k ωω=+∈N (2)32⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【分析】（1）由三角恒等变化得()πcos 26f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭，进一步得()()12ππsin 262g x x ωω⎡⎤+=-+-⎢⎥⎣⎦是奇函数，由此得()12πππ,62k k ω+-=∈Z ，结合0ω>即可得解.（2）由复合函数单调性得()sin 2g x x ω=-，且302ω<≤，结合{}|31,k k ωω=+∈N 得0,1k ω==，进一步得函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合余弦函数有界性分析求解.【详解】（1）由题意()231cos 213π3sin cos 3sin cos 222226f x x x x x x x ωωωωωω+⎛⎫=--=⨯--=+ ⎪⎝⎭，将其图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到的新函数解析式为()()12ππππcos 2cos 26666g x f x x x ωωω⎡⎤+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()()12π12πππsin 2sin 22662x x ωωωω⎡⎤⎡⎤++=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由题意()g x 是奇函数，则()12πππ,62k k ω+-=∈Z ，解得31,k k ω=+∈Z ，且0ω>，所以ω所有可能取值组成的集合为{}|31,k k ωω=+∈N .（2）由（1）可知：()sin 2g x x ω=或()sin 2g x x ω=-，而π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有π20,3t x ωω⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，且2t x ω=关于x 单调递增，若函数()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上关于x 单调递减，由复合函数单调性可知sin y t =或sin y t =-在π0,3ω⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得()sin 2g x x ω=-，且ππ0,0,32ω⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ππ32ω≤，解得302ω<≤，又因为{}|31,N k k ωωω∈=+∈，则0,1k ω==，所以()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为2π0,x ⎛⎤⎥⎝⎦∈，则ππ7π2,666x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，可得π3cos 21,62x ⎡⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭+∈-，所以()f x 在π0,2⎛⎤⎥⎝⎦的值域为32⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭．19．(1)()f x 与()g x 在区间[]1,2上是“友好”的(2)①(0,1)；②答案见解析【分析】（1）按照定义，只需判断()()2(1)11f x g x x -=--≤在区间[]1,2上是否恒成立；（2）①由题意解不等式组23020a a a a +->⎧⎨+->⎩即可；②假设存在实数a ，使得()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的，即()()22log (43)1a f x g x x ax a -=-+≤，即221log (43)1a x ax a -≤-+≤，只需求出函数22log (43)a y x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上的最值，解不等式组即可.【详解】（1）由题意可得：()()()22211f x g x x x x -=-=--，因为[]1,2x ∈时，则2(1)1[1,0]y x =--∈-，可知()()2(1)11f x g x x -=--≤恒成立，故()f x 与()g x 在区间[]1,2上是“友好”的.（2）①()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，可得23020a a a a +->⎧⎨+->⎩，解得1a <，且0a >且1a ≠，所以a 的取值范围为(0,1)；②假设存在实数a ，使得()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的，则()()()22log 431a f x g x x ax a -=-+≤，即()221log 431a x ax a -≤-+≤，因为(0,1)a ∈，则2(0,2)a ∈，22a +>，所以[]2,3a a ++在2x a =的右侧，可知log a y x =在[]2,3a a ++上为减函数，2243y x ax a =-+在[]2,3a a ++上为增函数，由复合函数的单调性可得()22log 43a y x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上为减函数，从而()max 2,log 44a x a y a =+=-，()min 3,log 96a x a y a =+=-，所以()()log 441log 96101a a a a a ⎧-≤⎪-≥-⎨⎪<<⎩，解得957012a <≤，所以当957012a <≤时，()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的；当957112a <<时，()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“不友好”的.。

2023-2024学年广东省潮州市饶平二中高一（下）月考数学试卷（1）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是()A.和B.与C.与 D.与2.已知向量，满足，若，则实数()A.B. C.3D.3.已知向量、，向量平分与的夹角，则下列结论一定正确的是()A. B.C.D.4.已知两非零向量，满足，且，则()A.8B.3C.2D.5.的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，已知，，则()A.6B.5C.4D.36.在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，若，则的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形7.如图所示，为了测量A ，B 处岛屿的距离，小明在D 处观测A ，B 分别在D 处的北偏西，北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至C 处，观测B 在C 处的正北方向，A 在C 处的北偏西方向，则A ，B两处岛屿间的距离为()A.海里B.海里C.海里D.40海里8.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCDEFGH 的边长为2，P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点，则的最小值为()A. B.0 C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知i 是虚数单位，则下列说法正确的有() A.是关于x 的方程的一个根，则B.“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件C.若复数，且，则D.若复数z 满足，则复数的虚部为10.如图，设Ox ，Oy 是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x 轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy 中的坐标.若在坐标系xOy 中，，则下列结论正确的是()A. B.C. D.与的夹角为11.已知中，，，，O 为外接圆的圆心，I 为内切圆的圆心，则下列叙述正确的是()A.外接圆半径为B.内切圆半径为C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。