用方程解决问题(7)

用方程解决问题应用题用方程解决问题是数学的一种重要应用。

方程是描述数学关系的一种方式，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。

在本文中，我们将探讨一些常见的用方程解决问题的案例，并详细解释如何建立和求解这些方程。

第一部分：代数方程的应用问题1：购买水果假设你去市场购买了苹果和橙子，其中每个苹果的价格为x元，每个橙子的价格为y元。

你购买了5个苹果和3个橙子，总花费为20元。

现在，我们需要建立一个方程来计算每个水果的价格。

解答：令方程为5x + 3y = 20，其中x表示苹果的价格，y表示橙子的价格。

通过观察这个方程，我们可以发现，当x = 2和y = 4时，方程成立。

因此，每个苹果的价格为2元，每个橙子的价格为4元。

问题2：年龄之谜现在我们来考虑一个更复杂的问题。

假设有一个父子年龄之和为36岁的问题，父亲的年龄是儿子年龄的三倍。

我们需要建立一个方程，找到父亲和儿子的实际年龄。

解答：设父亲的年龄为x岁，儿子的年龄为y岁。

根据问题的描述，我们可以得到两个方程：x + y = 36 （年龄之和为36岁）x = 3y （父亲的年龄是儿子年龄的三倍）将第二个方程代入第一个方程，得到：3y + y = 364y = 36y = 9将y = 9代入第二个方程，可以求得：x = 3 * 9x = 27因此，父亲的年龄是27岁，儿子的年龄是9岁。

第二部分：几何方程的应用问题3：等腰三角形的高度假设我们有一个等腰三角形，其中底边的长度为x，斜边的长度为y。

我们需要建立一个方程，计算这个等腰三角形的高度。

解答：根据等腰三角形的性质，高度将从中点垂直于底边画出，并且它将把底边划分为两个相等的部分。

因此，我们可以将等腰三角形的高度表示为x / 2。

根据勾股定理，我们可以得到另一个方程：y = √((x / 2)^2 + h^2)，其中h表示等腰三角形的高度。

解方程组：将x / 2代入y的方程，得到：y = √((x / 2)^2 + (x / 2)^2)y = √(x^2 / 4 + x^2 / 4)y = √(x^2 / 2)y = x / √2因此，等腰三角形的高度可以表示为x / 2或x / √2，具体取决于问题的要求和条件。

五年级数学下册典型例题系列之第七单元用方程解决问题部分（原卷版）编者的话：《五年级数学下册典型例题系列》是基于教材知识点和常年考点考题总结与编辑而成的，该系列主要包含典型例题和专项练习两大部分。

典型例题部分是按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。

专项练习部分是从常考题和期末真题中选取对应练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。

本专题是第七单元用方程解决问题部分。

本部分内容主要考察方程的应用，考点和题型以应用为主，题目综合性强，难度较大，建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为九个考点，欢迎使用。

【考点一】和倍问题。

【方法点拨】以和作为等量关系来列方程，设小不设大。

【典型例题】食堂买来大米和面粉共594千克，其中大米是面粉的2倍，买来大米、面粉各多少千克？【对应练习1】学校举行书画竞赛,四、五年级共有75人获奖，其中五年级获奖人山数是四年级的2倍，四、五年级各有多少同学获奖?【对应练习2】实验小学五年级有学生540人，男生人数是女生人数的2倍，男、女生各有多少人？【对应练习3】星期天同学们去听科学家作报告。

五、六年级一共去了276人，六年级去的人数是五年级的2倍。

两个年级各去多少人？【考点二】稍复杂的和倍问题。

【方法点拨】以和作为等量关系来列方程，设小不设大。

【典型例题】学校图书馆有故事书和科技书共800本，故事书的本数比科技数的4倍多20本。

问两种书各有几本？【对应练习1】李明、王刚两人共加工105个零件，李明加工的个数比王刚的3倍还多5个，李明和王刚各加工零件多少个？【对应练习2】新华书店去年和今年共售书340万册，今年售书量比去年售书量的3倍还多20万册，问去年和今年各售书多少万册？【对应练习3】一次春季运动会中学生共有1002人，其中男生比女生的3倍多2人，求男生、女生各有多少人？【考点三】差倍问题。

【方法点拨】以差作为等量关系来列方程，设小不设大。

第7单元用方程解决问题对于方程的学习,本套教材安排了四次。

第一次是在四年级下册,学习的主要内容是初步认识方程,会用等式的性质解简单的方程,会列方程解决简单的实际问题。

第二次是在本册第五单元“分数除法”中,安排了运用方程解决简单的分数问题。

第三次是在本单元,其主要学习内容,一是解形如a±=b的简单方程,二是进一步运用方程解决问题。

通过本单元内容的学习,可以进一步加深学生对方程作为重要数学思想的理解。

第四次是六年级上册,主要内容是会用方程解决复杂的分数、百分数问题。

本单元是在四年级下册所学的字母表示数、初步认识方程,会用等式的性质解简单方程,会列方程解决简单的实际问题的基础上进行教学的。

通过本单元的学习,理解方程的意义,感受方程的思想方法及价值。

同时,在解决实际问题的过程中,经历将现实问题抽象为方程的过程,发展抽象能力和符号感。

因此,本单元教材编写的基本特点主要体现在以下两个方面。

1结合具体情景,经历寻找实际问题中数量之间相等的关系,列方程求解的全过程。

列方程解决实际问题的过程中,有三个关键步骤:一是根据题意找出等量关系;二是根据等量关系列出方程;三是解方程。

教材结合“邮票的张数”“相遇问题”两个具体情景,引导学生用方程解决实际问题,重视在现实背景下分析题目中的数量关系、求解方程,从学生已有的知识和经验出发,自主理解并掌握这些方程的解法。

这有助于学生理解解方程的过程,加深对列方程解决实际问题的体验,不仅如此,在学习的整个过程中,都关注学生用方程来解决实际问题,提高学生解决问题的能力。

2用不同的直观模型表示数量之间的相等关系,帮助学生分析和解决问题。

在“邮票的张数”“相遇问题”中,教材呈现了不同的图示表示实际问题中数量之间的相等关系。

期中,“邮票的张数”中用的是方框图,表示姐姐的邮票张数弟弟的邮票张数=180张,从中可以清楚看出姐姐的邮票张数=弟弟的邮票张数×3;“相遇问题”用的是线段图,可以直观地观察到淘气走的路程笑笑走的路程=840米。

第七单元：《用方程解决问题》7、方程：含有未知数的等式称为方程。

（所有的方程都是等式，但等式不一定都是等式。

）使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

求方程的解的过程叫做解方程。

（方程的解是一个数；解方程是一个计算过程。

）8、解方程原理：天平平衡。

等式左右两边同时加、减、乘、除相同的数（0除外），等式依然成立。

9、解方程的方法：方法一：利用天平平衡原理（即等式的性质）解方程；方法二：利用加、减、乘、除运算数量关系解方程。

10、加、减、乘、除运算数量关系式：加法：和=加数+加数一个加数=和-两一个加数减法：差=被减数-减数被减数=差+减数减数=被减数-差乘法：积=因数×因数一个因数=积÷另一个因数除法：商=被除数÷除数被除数=商×除数除数=被除数÷商11、常用数量关系式：路程＝速度×时间速度＝路程÷时间时间＝路程÷速度总价＝单价×数量单价＝总价÷数量数量＝总价÷单价总产量＝单产量×数量单产量＝总产量÷数量数量＝总产量÷单价被减数－减数＝差减数＝被减数－差被减数＝差＋减数（大数－小数=相差数大数－相差数=小数小数＋相差数=大数）因数×因数＝积一个因数＝积÷另一个因数被除数÷除数＝商除数＝被除数÷商被除数＝商×除数（一倍量×倍数＝几倍量几倍量÷倍数＝一倍量几倍量÷一倍量＝倍数）工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率12、相遇问题：特点：必须是同时的可根据不同的行程进行分析。

路程=速度和×相遇时间速度和=路程÷相遇时间相遇时间=路程÷速度和速度1=路程÷相遇时间－速度213、列方程解应用题的一般步骤：1、弄清题意，找出未知数，并用x表示。

七年级数学上册同步培优题典一元一次方程的应用（7）日历数字问题姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•道里区校级期中）在一张日历上，在同一行或同一列上任意圈出三个相邻的数，它们的和不可能是（）A．60B．39C．40D．57【分析】列出代数式并化简，以选项中的数是3的倍数确定选项．【解析】如果三个数在同一列上时，设第二个数为x，则第一个数为x﹣7，第三个数为x+7．三个数字之和是x+x﹣7+x+7＝3x．∵x是正整数，∴三个数的和是3的倍数．如果三个数在同一行上时，设第二个数为x，则第一个数为x﹣1，第三个数为x+1．三个数字之和是x+x﹣1+x+1＝3x．∵x是正整数，∴三个数的和是3的倍数．综上所述：三个数的和是3的倍数．选项中的60、39、57都是3的倍数，而40不是3的倍数，故选：C．2．（2019秋•定州市期末）在如图所示的月历表中，任意框出表中竖列上的三个相邻的数，这三个数的和不可能是（）A．72B．65C．51D．27【分析】设中间的数为x，从而可知三个数的和为3x，分别求出x的值即可判断．【解析】设中间的数为x，由表格可知：从上至下三个数分别为x﹣7，x，x+7，∴这三个数为：x﹣7+x+x+7＝3x，当3x＝72时，此时x＝24，当3x＝65，时，此时x=653，不符合题意，当3x＝51时，此时x＝17，当3x＝27时，此时x＝9，故选：B．3．（2019春•晋江市期末）小明在某月的日历上圈出了三个数a、b、c，并求出了它们的和为39，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（）A．B．C．D．【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻差1，根据题意列方程可解．【解答】解；A：设最小的数是x，则x+（x+1）+（x+2）＝39，解得：x＝12，故本选项不符合题意；B：设最小的数是x，则x+（x+1）+（x+8）＝39，解得x＝10，故本选项不符合题意；C：设最小的数是x，则x+（x+8）+（x+16）＝39，解得x＝5，故本选项不符合题意；D：设最小的数是x，则x+（x+8）+（x+14）＝39，解得x=173，故本选项符合题意．故选：D．4．（2018秋•蔡甸区期末）一个两位数，十位上的数比个位上的数的3倍大1，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是（）A．54B．72C．45D．62【分析】设个位数字为x，则十位数字是（3x+1）．根据“个位上的数与十位上的数的和等于9”列出方程并解答．【解析】设个位数字为x，则十位数字是（3x+1），依题意得：x+（3x+1）＝9，解得x＝2，则3x+1＝3×2+1＝7，即所求的两位数是72．故选：B．5．（2020•盐城）把1～9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（）A．1B．3C．4D．6【分析】根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第三行与第三列上的两个数之和相等，依此列出方程即可．【解析】由题意，可得8+x＝2+7，解得x＝1．故选：A．6．（2019秋•黄陂区期末）在2020年1月的月历表中，用如图所示的“S”型框任意框出表中四个数，这四个数的和可能是（）A．28B．34C．58D．82【分析】设四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为（x+1），（x+6），（x+7），根据四个数的和，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，逐一分析各x值即可得出结论．【解析】设四个数中最小的数为x，则另外三个数分别为（x+1），（x+6），（x+7），依题意，得：x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝28或x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝34或x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝58或x+（x+1）+（x+6）+（x+7）＝82，解得：x=72或x＝5或x＝11或x＝17．x=72不是整数，舍去；x＝5在第一列，无法框出“S”型框，舍去；x＝11在第七列，无法框出“S”型框，舍去．故选：D．7．（2019秋•北海期末）在排成每行七天的日历表中取下一个3×3的方块（如图），若方块中所有日期之和为207，则n的值为（）A．23B．21C．15D．12【分析】先求出这九个日期之和，列出方程可求解．【解析】这九个日期分别为：n﹣8，n﹣7，n﹣6，n﹣1，n，n+1，n+6，n+7，n+8，∴所有日期之和＝9n，由题意可得9n＝207，∴n＝23，故选：A．8．（2019秋•张家港市期末）小淇在某月的日历中圈出相邻的三个数，算出它们的和是19，那么这三个数的位置可能是（）A．B．C．D．【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解．【解析】A、设最小的数是x．x+x+7+x+7+1＝19x=4 3故本选项不符合题意；B、设最小的数是x．x+x+6+x+7＝19，x＝2．故本选项符合题意．C、设最小的数是x．x+x+1+x+8＝19，x=10 3，故本选项不符合题意．D、设最小的数是x．x+x+1+x+7＝19，x=11 3，故本选项不符合题意．故选：B．9．（2019秋•霸州市期末）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“H”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是（）A．63B．70C．96D．105【分析】设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣8，x﹣6，x+﹣1，x+1，x+6，x+8，表示出这7个数之和，然后分别列出方程解答即可．【解析】设“H”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，这7个数之和为：x﹣8+x﹣6+x﹣1+x+1+x+x+6+x+8＝7x．由题意得A、7x＝63，解得：x＝9，能求得这7个数；B、7x＝70，解得：x＝10，能求得这7个数；C、7x＝96，解得：x=967，不能求得这7个数；D、7x＝105，解得：x＝15，能求得这7个数．故选：C．10．（2019秋•武安市期末）如图是某月份的日历表，任意框出同一列上的三个数，则这三个数的和不可能是（）A．39B．43C．57D．66【分析】可设中间的数为x，根据竖列上相邻的数相隔7可得其余2个数，相加等于各选项中数字求解即可．【解析】A、设中间的数为x，则最小的数为x﹣7，最大的数为x+7．x+（x﹣7）+（x+7）＝39，解得：x＝13，故此选项错误；B、设中间的数为x，则最小的数为x﹣7，最大的数为x+7．x+（x﹣7）+（x+7）＝43，解得：x=433，故此选项符合题意；C、设中间的数为x，则最小的数为x﹣7，最大的数为x+7．x+（x﹣7）+（x+7）＝57，解得：x＝19，故此选项错误；D、设中间的数为x，则最小的数为x﹣7，最大的数为x+7．x+（x﹣7）+（x+7）＝66，解得：x＝22，故此选项错误；故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•孝感）有一列数，按一定的规律排列成13，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是﹣81．【分析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为﹣567，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，依题意，得：x﹣3x+9x＝﹣567，解得：x＝﹣81．故答案为：﹣81．12．（2019秋•越秀区期末）在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和为27，则这三个数分别是2，9，16．【分析】设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为（x+7），（x+14），根据三个日期数之和为27，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】设三个数中最小的数为x，则另外两个数分别为（x+7），（x+14），依题意，得：x+x+7+x+14＝27，解得：x＝2，∴x+7＝9，x+14＝16．故答案为：2，9，16．13．（2018秋•香坊区校级月考）有一列数，按一定规律排列成1、﹣4、16、﹣64、256…，其中某相邻三个数的和是﹣832，那么这三个数中最大的数是256．【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的变化规律，再根据某相邻三个数的和是﹣832，可以列出相应的方程，从而求得最大的数，本题得以解决．【解析】∵有一列数，按一定规律排列成1、﹣4、16、﹣64、256…，∴这列数中每个数都是前面相邻数的﹣4倍，设这三个相邻的数中的中间数为x，则第一个数为−x4，第三个数为﹣4x，−x4+x+（﹣4x）＝﹣832，解得：x＝256，∴﹣4x＝﹣4×256＝﹣1024，−x4=−64，∴这三个数﹣64，256，﹣1024，∴这三个数中最大的数是256，故答案为：256．14．（2018秋•万州区期末）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”则客人的个数为72．【分析】设共有客人x人，根据“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗”列出方程即可．【解析】设有x个客人，则x2+x3+x4=78解得，x＝72答；有72个客人．故答案是：72．15．（2019秋•黄冈期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36，这个两位数是84．【分析】首先设个位数字为x，则十位数字为2x，则原两位数可表示为10×2x+x，数字对调后所得两位数是（10x+2x），再根据“将两个数对调后得到的两位数比原来的两位数小36”可得方程：10×2x+x﹣（10x+2x）＝36，解方程得到个位数，进而可得十位数字．【解析】设个位数字为x，则十位数字为2x，由题意得：10×2x+x﹣（10x+2x）＝36，解得：x＝4，则2x＝8，答：原两位数是84．故答案为84．16．（2015秋•哈尔滨校级月考）一个数的一半，它的三分之一，它的百分之四十，它的六分之一，加起来一共是49，则这个数是35．【分析】设这个数为x，根据“一个数的一半，它的三分之一，它的百分之四十，它的六分之一，加起来一共是49”找到等量关系并列出方程求解即可．【解析】设这个数为x，根据题意得：1 2x+13x+40%x+16x=49，解得：x＝35．故答案为：3517．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图是某月的月历，用一个矩形框，每次框住9个数．若这9个数之和是81，则这9个数中最大的数为17，这9个数之和可能会是100吗？不能（填“能”或“不能”）【分析】设中间的数为x，根据框柱的数之间的规律即可求出答案．【解析】设最中间的数为x，则这9个分别是x﹣8，x﹣7，x﹣6，x﹣1，x，x+1，x+6，x+7，x+8，这9个数之和为：x﹣8+x﹣7+x﹣6+x﹣1+x+x+1+x+6+x+7+x+8＝9x，∴9x＝81，∴x＝9，∴最大的数为x+8＝17，当9x＝100时，此时x=100 9，所以这9个数之和不可能是100，故答案为：17，不能．18．（2019秋•东莞市期末）中国始有历法大约在四千年前每页显示一日信息的叫日历，每页显示一个月信息的叫月历，每页显示全年信息的叫年历如图是2019年1月份的月历，用一个方框圈出任意2×2的4个数，设方框左上角第一个数是x，则这四个数的和为4x+16（用含x的式子表示）【分析】根据同一行中相邻两个数的差为1，同一列中，相邻两个数的差为7列出代数式．【解析】x+x+1+x+7+x+8＝4x+16．故答案是：4x+16．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2015秋•吉安月考）生活与数学．（1）小明在某月的日历上象图①样圈了2×2个数，若正方形的方框内的四个数的和是44，那么这四个数是7、8、14、15．（直接写出结果）（2）小莉也在日历上象图②样圈出5个数，呈十字框形，若这五个数之和是60，则中间的数是12．（直接写出结果）（3）小虎说他在日历上向图③样圈了五个数，算了它们的和是65．你认为小虎计算正确吗？说明理由．拓展与推广：若干个偶数按每行8个数排成如图④所示：（1）写出图④中方框内的9个数的和与中间的数的关系是9个数的和是中间的数的9倍．（2）小明说若用图④中所画的方框去框9个数，其和可以是360，你能求出所框的中间一个数是多少吗？（3）小华画了一个如图⑤所示的斜框，小华能用这个斜框框处9个数的和为2016吗？若能，请求出第行中间一个数，若不能，请说明理由．【分析】（1）设第一个数是x，根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可；（2）设中间的数是x，根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可；（3）设中间一个为x，根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可；拓展与推广：设中间的数是x，根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可．【解析】（1）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+7，x+8，则x+x+1+x+7+x+8＝44，解得x＝7；∴四个数分别为7、8、14、15，故答案为：7、8、14、15；（2）设中间的数是x，则5x＝60，解得x＝12，故答案为：12；（3）不准确，理由如下：设中间一个为x，则其它数从上到下依次为：x﹣14，x﹣7，x+7，x+14，则x﹣7+x﹣14+x+x+7+x+14＝65，解得x＝13；所以最上面一个数为x﹣14＝﹣1，显然不在日历上，所以小虎计算错误；拓展与推广：①9个数的和是中间的数的9倍．②设中间的数是x，解得x＝40；③由图⑤中数据的排列可知224这个偶数排在第14行的最后一个，因此其后的226这个偶数排在第15行第一个数，因此实际上图⑥这个框框不到226这个偶数，因此小华不可能框出9个数据的和为2016．20．（2018秋•宁都县期中）生活中处处有数学，表一是某月的日历表，用一个正方形框出3×3＝9个数（如图），（1）在表中框出九个数之和最大的正方形；（2）若一个正方形内九个数字之和是108，求出它中间的数字；（3）将自然数1至2014按表二的方式排列，框出九个数其和能为2016吗？若能，求出该方框中的最小数，若不能，请说明理由．【分析】（1）根据表格容易找到九个数之和最大的正方形，中间数字为22；（2）设中间数字为a，根据九个数之间的联系即可列出方程，解方程即可；（3）和（2）一样，设中间数字为a，根据九个数之间的联系即可列出方程9a＝2016，解方程求出x＝224，但是224在第7列，由此即可判定这样的九个数不存在．【解析】（1）如图，红颜色框，是九个数之和最大的正方形；（2）设中间数字为a，则9a＝108，解得a＝12；（3）依题意得9a＝2016，∵224÷7＝32，∴224在第7列，故这样的九个数不存在．21．（2009秋•沙坪坝区校级月考）下面是2006年12月的日历，仔细观察，你能发现其中有何规律吗？（1）现任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a，则用含a的代数式表示这三个数（从小到大排列）分别是a﹣7，a，a+7．（2）用正方形任意框出4个数，设最小的一个为a，则这4个数的和为4a+16．（3）现将连续自然数1至2008按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数，如图①图中框出的这16个数的和为352；②图中要使一个正方形框出的16个数之和分别等于2000，2006，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．【分析】（1）根据每列中上面一个数比下面的一个数大7即可用中间的一个数表示出上面和下面的那个数；（2）根据框出的四个数的关系，用最小的数表示出来其他的三个数即可求得4个数的和；（3）①设左上角一个为n，然后表示出其他各数，最后即可表示出16个数的和与n的关系，最后将n ＝10代入求值即可；②令16（n+12）＝2000或2006，求得n为正整数就行，否则就不行，【解析】（1）∵设中间一个数为a，则上面的一个数是a﹣7，下面的一个数是a+7，∴三个数按从小到大排列为：a﹣7，a，a+7；（2）设最小的一个为a，则右边一个为a+1，下面一个数是a+7，最后一个为a+8，故四个数的和为：a+（a+1）+（a+7）+（a+8）＝4a+16；（3）①设左上角第一个数为n，根据相邻之间的关系可以得到下表：其中最小数为n，最大数为n+24．这16个数的和为16n+192＝16（n+12）．∴当n＝10时，16（n+12）＝16×22＝352．②设在16（n+12）＝2000，n＝113，∴存在最小为113，最大为137，16（n+12）＝2006，n＝113.375，∴不存在．22．（2019秋•文水县期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，图是2020年1月份的日历，我们用如图所示的四边形框出五个数．2020年1月（1）将每个四边形框中最中间位置的数去掉后，将相对的两对数分别相减，再相加，例如：（10﹣8）+（16﹣2）＝16，（21﹣19）+（27﹣13）＝16．不难发现，结果都是16．若设中间位置的数为n，请用含n的式子表示发现的规律，并写出验证过程．（2）用同样的四边形框再框出5个数，若其中最小数的2倍与最大数的和为56，求出这5个数中的最大数的值．【分析】（1）根据运算法则写出规律即可；（2）设中间位置的数为x，则最小的数为x﹣7，最大的数为x+7．最小数的2倍与最大数的和为56，可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解析】（1）规律：[（n+1）+（n+7）]+[（n+7）﹣（n﹣7）]＝16．验证：[（n+1）+（n+7）]+[（n+7）﹣（n﹣7）]＝（n+1﹣n+1）+（n+7﹣n+7）＝2+14＝16；（2）解：设中间位置的数为x，则最小的数为x﹣7，最大的数为x+7．根据题意得：2（x﹣7）+（x+7）＝56．解得x＝21．则x+7＝28．答：这5个数中最大数的值为28．23．（2019秋•沈河区校级期中）生活与数学（1）莹莹在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的3倍，莹莹又在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是50，则中间的数是10：（2）小丽同学也在某月的日历上圈出如图所示“七”字形，发现这八个数的和是125，那么这八个数中最大数为26：（3）在第（2）题中这八个数之和不能为101（填“能”或“不能”）．【分析】（1）根据日历上的数据规律即可得出答案；（2）先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，再用一元一次方程求解即可；（3）根据（2）的规律解得即可．【解析】（1）莹莹在日历上圈出三个数，呈大写的“一”字，这三个数的和是中间数的3倍，莹莹又在日历上圈出5个数，呈“十”字框形，它们的和是50，则中间的数是10；故答案为：3；10（2）设最小的数为x，则其余数分别为：x+6，x+7，x+8，x+14，x+21，x+22，x+23，根据题意得x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝125，解得x＝3，∴这八个数中最大数为3+23＝26．故答案为：26；（3）x+（x+6）+（x+7）+（x+8）+（x+14）+（x+21）+（x+22）+（x+23）＝101，解得x＝0，但是日历上最小的数是1，所以在第（2）题中这八个数之和不能为101．故答案为：不能24．（2016秋•灌云县校级月考）生活与数学日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）山姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，如图1，正方形的方框内的四个数的和是48，那么这四个数是8，9，15，16．（2）小丽也在上面的日历上圈出2×2个数，如图2，斜框内的四个数的和是46，则它们分别是8，9，14，15．（3）刘莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，如图3，它们的和是55，则中间的数是11．（4）某月有5个星期日的和是75，则这个月中最后一个星期日是29号？【分析】先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，用一元一次方程求解即可；【解析】（1）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+7，x+8，则x+x+1+x+7+x+8＝48，解得x＝8；所以这四个数是：8，9，15，16；故答案为：8，9，15，16；（2）设第一个数是x，其他的数为x+1，x+6，x+7，则x+x+1+x+6+x+7＝46，解得x＝8．x+1＝9，x+6＝14，x+7＝15；故答案为：8，9，14，15；（3）设中间的数是x，则5x＝55，解得x＝11；故答案为：11；（4）设最后一个星期日是x，x﹣7，x﹣14，x﹣21，x﹣28，则x+x﹣7+x﹣14+x﹣21+x﹣28＝75，解得x＝29；故答案为：29．。

用一元一次方程解决问题（1）一、情境引入数学实验室：准备一本月历，两人一组做游戏：（1）在月历的同一行上任意圈出相邻的5个数，并把这5个数的和告诉同学，让同学求出这5个数；（2）在月历上任意找1个数以及它的上、下、左、右的4个数，把这5个数的和告诉同学，让同学求出这5个数．二、问题解决问题1 一张桌子有一张桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木料 m3，做一条桌腿需要木料 m3．用 m3木材可做多少张这样的桌子（不计木材加工时的损耗）？通过问题1的研究，你能概括出用一元一次方程解决问题的一般思路吗？三、思维拓展某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：如果一户每月用水量不超过15立方米，每立方米按元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米元收费，其余仍按每立方米元计算．另外，每立方米加收．．污水处理费1元．若某户一月份共支付水费元，求该户一月份用水量．四、课堂练习1．某商店今年共销售21英寸（54 cm）、25英寸（64 cm）、29英寸（74 cm）3种彩电360台，它们的销售数量的比是1∶7∶4．这3种彩电各销售了多少台？2．某学生寄了2封信和一些明信片，一共用了元．已知每封信的邮费为元，每张明信片的邮费为元．他寄了多少张明信片？3．一本书封面的周长为68 cm ，长比宽多6 cm ．这本书封面的长和宽分别是多少？4．某人从甲地到乙地，全程的12 乘车，全程的13乘船，最后又步行4 km 到达乙地．甲、乙两地的路程是多少？用一元一次方程解决问题（2）一、问题引入问题2 小丽在水果店花18元买了苹果和橘子共6kg ，已知苹果每千克元，橘子每千克元，小丽买了苹果和橘子各多少？思考1：（1）找出问题中的已知数量，并填入下表；（2）设小丽买了x kg苹果，根据表格分析问题中的等量关系，列出方程．二、议一议：在问题2中，如果设橘子买了x千克，可以列出怎样的方程？三、数学运用例1 学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖．女同学每人每次搬6块，男同学每人每次搬8块，每人搬了4次，共搬了1800块．问这些新团员中有多少名男同学？分析：等量关系是：．例2 某天，一蔬菜经营户用70元钱从蔬菜市场批发了辣椒和蒜苗共40kg到市场去卖，辣椒和蒜苗这天的批发价与零售价如表所示：课堂巩固1．期中考试后，班主任为了奖励学习进步的12名同学，让班长去买了12件奖品，其中笔记本每本3元，圆珠笔每支4元，共用了43元．班长买了几本笔记本和几支圆珠笔？2．甲、乙两个仓库共有粮食60t，甲仓库运进粮食14t，乙仓库运出粮食10t后，两个仓库的粮食数量相等．两个仓库原来各有多少粮食？3．某课外活动小组的女学生人数占全组人数的一半，如果再增加6个女学生，那么女学生人数就占全组人数的2，求这个课外活动小组的人数．34．两枝一样高的蜡烛，同时点燃后，第一支蜡烛每小时缩短8cm，第二支蜡烛每小时缩短6cm，2h后第二支蜡烛的高度是第一支蜡烛的倍，求这两支蜡烛原来的高度．用一元一次方程解决问题（3）例题讲解：问题3 某小组计划做一批“中国结”，如果每人做5个，那么比计划多了9个；如果每人做4个，那么比计划少了15个．该小组共有多少人？计划做多少个“中国结”？说明：请学生尝试分析问题中的等量关系．思考1：如何把问题中的等量关系的分析过程直观地展示出来？设该小组共有x人．（1）如果每人做5个“中国结”，那么共做了个，比计划个．课堂练习：1、将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人分2颗，那么就多8颗，如果每人分3颗，那么就少12颗，这个班共有多少名小朋友？2、七年级（2）班举办了一次集邮展览，展出的邮票张数比每人4张多14张，比每人5张少26张，问：（1）这个班共有多少名学生？（2）展出的邮票共有多少张？3、某汽车队运送一批货物，每辆汽车装4t还剩下8t未装，每辆汽车装就恰好装完。