信号与系统 阶跃响应与冲激响应

8
举例
已知线性非时变系统的冲激响应 h(t) et (t)，激励信号为
f (t) (t) 。试求系统的零状态响应。
解：系统零状态响应为：yzs (t) h(t) f (t) et (t) (t)
h( )
f ( )
1
0
t
0
将f(t)反折，再扫描可
yzs (t)
t e d
0
e
t 0
1
3t f1( ) f2 (t )d
1 1 1d 1 (4 t)
3t 2
2
即为重叠部分的面积。
当 3 t 1 即 t 4时：
f2 (t ) 和 f1( )没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) f1(t) f2 (t) 0
7
例 2.7
f1( )
A
2t 0 t1 f1( )
A
2 t0 1 t f1( )
(1 et ) (t)
确定积分上下限。
9
课堂练习题
自测题2.3 自测题2.4 自测题2.5
10
几条结论
f (t) f1(t) f2 (t)
f(t)的开始时间等于f1(t)和f2(t)的开始时间之和； f(t)的结束 时间等于f1(t)和f2(t)的结束时间之和。 f(t)的持续时间等于 f1(t)和f2(t)的持续时间之和。
h(t) 2e2t (t) (t)
计算机例题C2.3
已知系统的冲激响应为h(t) 3 (t) e2t (t)，求阶跃响应。
h=sym('3*Dirac(t)-exp(-2*t)*Heaviside(t)'); g=int(h); g=simple(g)
g=1/2*Heaviside(t)*(5+exp(-2*t)) 阶跃响应为

说明系统零状态响应、冲激响应、阶跃响应的定义及三者之间的联系：
1.零状态响应：
零状态响应是系统在没有初始储能（即系统处于零状态）下，由外部激励引起的系统响应。

它可以通过系统的传递函数或冲激响应来描述。

在零状态响应中，系统的储能不随时间变化，只与外部激励有关。

2.冲激响应：
冲激响应是系统在单位冲激函数激励下的响应，它是系统的传递函数的冲激函数形式。

冲激响应描述了系统对单位冲激函数的响应，可以看作是时间域上的积分运算的结果。

冲激响应是系统固有的特性，与外部激励无关。

3.阶跃响应：
阶跃响应是系统在单位阶跃函数激励下的响应。

阶跃响应描述了系统在阶跃信号作用下随时间变化的动态过程，包括上升、稳定和下降等阶段。

阶跃响应可以通过系统的传递函数或冲激响应来求解。

三者之间的联系：
零状态响应、冲激响应和阶跃响应之间存在密切的联系。

对于线性时不变系统，零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应来描述。

具体来说，系统的零状态响应等于冲激响应和阶跃响应的卷积，即y(t)=h(t)*u(t)，其中y(t)表示零状态响应，h(t)表示冲激响应，u(t)表示阶跃响应。

这个公式表明，系统的零状态响应可以通过冲激响应和阶跃响应的卷积运算来获得。

信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
2
将r(t)=h(t)及e(t)=(t)代入给定微分方程
(k1 k2 ) (t ) (3k1 k2 ) (t ) (t ) 2 (t )
k1 k2 1 3k1 k 2 2
将h(t)、h’(t)和(t)代入微分方程两端
ke (t ) ke u(t ) ke u(t ) (t )
k e (t ) (t )
t
t
duc (t ) uc (t ) e(t ) dt
t
t
h (t ) e u (t ) rzs (t ) uczs (t ) e(t ) h(t )
d h (t ) t 3t t 3t ( k1e k2e ) (t ) (k1e 9k2e )u(t ) 2 dt t 3t ( k1e 3k2e ) (t )
(k1 k2 ) (t ) ( k1 3k2 ) (t ) (k1et 9k2e3t )u(t )
当n＝m时， h ( t )
ki e
i 1
i t
u (t ) kn 1 (t )
当n<m时，h(t)中还应包含(t)的导数
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
三、确定h(t)中的系数ki 将h(t)及其各阶导数代入系统方程左端，(t)及其各 级导数代入 方程右端，令对应项系数相等。
k 0
n
2、系统的零状态响应
( t ) h ( t )
对于线性时不变系 统 n
k (t t0 ) kh(t t0 )
rzs (t )
k 0
e ( k t ) t h ( t k t )

阶跃响应与冲激响应实验报告一、实验目的。

本实验旨在通过对阶跃信号和冲激信号的响应进行实验，了解系统对不同输入信号的响应特性，掌握系统的阶跃响应和冲激响应的测试方法及实验步骤。

二、实验原理。

1. 阶跃响应。

阶跃信号是一种特殊的输入信号，其数学表达式为：\[f(t)=\begin{cases}。

0, & t<0 \\。

1, & t\geq0。

\end{cases}\]在实际系统中，当系统受到阶跃信号的刺激时，系统的输出响应即为系统的阶跃响应。

2. 冲激响应。

冲激信号是另一种特殊的输入信号，其数学表达式为：\[f(t)=\delta(t)\]其中，\(\delta(t)\)为狄拉克函数，其在t=0时取无穷大，其余时刻均为0。

在实际系统中，当系统受到冲激信号的刺激时，系统的输出响应即为系统的冲激响应。

三、实验内容。

1. 阶跃响应实验。

（1）搭建系统，将阶跃信号作为输入信号输入系统中；（2）记录系统的输出响应，并绘制出系统的阶跃响应曲线；（3）分析并总结系统的阶跃响应特性。

2. 冲激响应实验。

（1）搭建系统，将冲激信号作为输入信号输入系统中；（2）记录系统的输出响应，并绘制出系统的冲激响应曲线；（3）分析并总结系统的冲激响应特性。

四、实验步骤。

1. 阶跃响应实验步骤。

（1）按照实验要求搭建系统，将阶跃信号作为输入信号输入系统中；（2）记录系统的输出响应，并绘制出系统的阶跃响应曲线；（3）分析系统的阶跃响应特性，包括超调量、调节时间等。

2. 冲激响应实验步骤。

（1）按照实验要求搭建系统，将冲激信号作为输入信号输入系统中；（2）记录系统的输出响应，并绘制出系统的冲激响应曲线；（3）分析系统的冲激响应特性，包括零状态响应、零输入响应等。

五、实验结果与分析。

1. 阶跃响应实验结果与分析。

经过实验测试，我们得到了系统的阶跃响应曲线，并对其特性进行了分析。

通过分析，我们发现系统的超调量较小，调节时间较短，表明系统的动态响应特性较好。

f (t) a (a) 数乘器h(t) = aδ(t) f (t) af (t) f (t)
T
f (t -T)
(b) 延时器h(t) =δ(t-T) f (t)
d dt
d f (t) dt
∫
∫
t 微分器h(t) =δ'(t)
(d) 微分器h(t) =ε(t)
▲
■
第 5页
∫－∞ ,对因果系统：∫0
t
−
▲
■
第 6页
举例
②与n, m相对大小有关 相对大小有关 h •当n > m时， (t )不含 (t )及其各阶导数； δ 及其各阶导数；
h •当n = m时， (t )中应包含 (t )； δ h •当n < m时， (t )应包含 (t )及其各阶导数。 δ 及其各阶导数。
▲
■
第 4页
3. 基本单元的冲激响应
dm f (t) dt m
+ bm−1
dm−1 f (t) dt m−1
n
令 f(t)=δ(t) 则 y(t)=h(t)
m
= bmδ (m) (t) + bm−1δ (m−1) (t) +L+ b1δ (1) (t) + b0δ (t)
▲ ■ 第 3页
h(n) (t) + an−1h(n−1) (t) +L+ a1h(1) (t) + a0h(t)
§2.2 冲激响应和阶跃响应
• 冲激响应 • 阶跃响应
■
第 1页
一、冲激响应
1．定义
由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应称为单位冲 所引起的零状态响应称为单位冲 由单位冲激函数 所引起的零状态响应称为 激响应，简称冲激响应 记为h(t)。 冲激响应， 激响应，简称冲激响应，记为 。 h(t)=T[{0},δ(t)]

阶跃响应和冲激响应实验报告总结一、实验目的本次实验的主要目的是通过对阶跃响应和冲激响应的测试，来了解系统的动态特性和时域响应特性，并掌握信号处理中常用的阶跃响应和冲激响应测试方法。

二、实验原理1. 阶跃响应阶跃响应是指在输入信号为单位阶跃函数时，系统输出的时间响应。

单位阶跃函数是一种特殊的信号，其表达式为：u(t) = {0, t<0; 1, t≥0}在实际测试中，可以通过将电压源接入被测系统后，使其输出一个单位阶跃信号，然后记录系统输出信号随时间变化的过程，并绘制出相应的阶跃响应曲线。

2. 冲激响应冲激响应是指在输入信号为单位冲击函数时，系统输出的时间响应。

单位冲击函数是一种特殊的信号，其表达式为：δ(t) = {0, t≠0; ∞, t=0}在实际测试中，可以通过将电压源接入被测系统后，使其输出一个单位冲击信号，然后记录系统输出信号随时间变化的过程，并绘制出相应的冲激响应曲线。

三、实验步骤1. 阶跃响应测试（1）将电压源连接到被测系统的输入端口。

（2）调节电压源输出为一个单位阶跃信号。

（3）记录系统输出信号随时间变化的过程，并绘制出相应的阶跃响应曲线。

2. 冲激响应测试（1）将电压源连接到被测系统的输入端口。

（2）调节电压源输出为一个单位冲击信号。

（3）记录系统输出信号随时间变化的过程，并绘制出相应的冲激响应曲线。

四、实验结果与分析1. 阶跃响应测试结果通过实验测试，我们得到了被测系统的阶跃响应曲线，如下图所示：图1：被测系统的阶跃响应曲线从图中可以看出，在输入信号为单位阶跃函数时，被测系统输出了一个典型的阶跃响应。

可以看到，在初始状态下，输出信号为0；当输入信号达到0时刻后，输出信号迅速上升并逐渐趋于稳定状态。

这种现象说明了被测系统具有较好的动态特性和稳态特性。

2. 冲激响应测试结果通过实验测试，我们得到了被测系统的冲激响应曲线，如下图所示：图2：被测系统的冲激响应曲线从图中可以看出，在输入信号为单位冲击函数时，被测系统输出了一个典型的冲激响应。

r t
t2
t
t
a t a t
b
bu
t t
c
u
t
rt aut
h 0 1 ,h '0 2
代入h(t),得
hh'00A A113AA2212
h(t)1ete3t u(t)
A A121212
2
X
12
第
用奇异函数项相平衡法求待定系数 页
h ( t ) A 1 e t A 2 e 3 tu ( t )
RC (t)A (t)
1 RCA1 A
RC
X
波形
htvC(t)R 1C eR 1C tu(t)
vC (t) h(t) 1 RC
iC(t)
CdvC(t) dt
O
注意！
iC (t)
R12CeR1Ctu(t)
1 (t)
R
1
O R
电容器的电流在
t =0时有一冲激， 这就是电容电压突
1 R 2C
变的原因 。
•当nm时 ， ht中 应 包 t含 ；
•当nm时 ， ht应 包含 t及 其 各 阶 导 数 。 X
10
第
例2-5-2 页
求系统 d d 2r t(2 t)4d d r(tt)3 r(t)的 冲d d e 激(tt响) 应2 e 。(t) 解：
将e(t)→(t)， r(t)→h(t)
d 2 d h t( 2 t) 4d d h (tt)3 h (t)d d ( tt)2 (t)
CtR1CeR1Ctut
X
6
方法2：奇异函数项相平衡原理
第 页
已知方程 冲激响应 求导 代入原方程
RC dvdCt(t)vC(t)(t) t vC(t)Ae RCu(t)

冲激响应和阶跃响应实验报告一、实验目的本次实验旨在深入理解和掌握线性时不变系统（LTI）的冲激响应和阶跃响应的概念、特性以及求解方法。

通过实际的实验操作和数据测量，观察和分析系统在冲激和阶跃输入信号作用下的输出响应，进一步认识系统的时域特性，为后续的系统分析和设计打下坚实的基础。

二、实验原理（一）冲激响应冲激响应是指线性时不变系统在单位冲激信号δ(t) 作用下的零状态响应，记为 h(t)。

对于连续时间 LTI 系统，其冲激响应满足卷积积分的关系：y(t) ＝ x(t) h(t)其中，x(t) 为输入信号，y(t) 为输出信号。

单位冲激信号δ(t) 的定义为：δ(t) ＝ 0 （t ≠ 0）∫（∞，＋∞）δ(t) dt ＝ 1（二）阶跃响应阶跃响应是指线性时不变系统在单位阶跃信号 u(t) 作用下的零状态响应，记为 g(t)。

单位阶跃信号 u(t) 的定义为：u(t) ＝ 0 （t ＜ 0）u(t) ＝ 1 （t ≥ 0）三、实验设备与软件1、示波器2、函数信号发生器3、实验电路板4、计算机及相关软件四、实验内容与步骤（一）冲激响应的测量1、按照实验电路图搭建实验电路，选择合适的电阻、电容等元件。

2、利用函数信号发生器产生单位冲激信号，并将其输入到实验电路中。

3、使用示波器观察并记录输出信号的波形，测量其幅度、上升时间、下降时间等参数。

（二）阶跃响应的测量1、重新调整实验电路，使其适用于阶跃响应的测量。

2、由函数信号发生器产生单位阶跃信号，并输入到实验电路中。

3、通过示波器观察并记录输出信号的阶跃响应波形，测量其稳态值、上升时间等参数。

五、实验数据与分析（一）冲激响应数据记录了不同实验条件下冲激响应的波形和相关参数，如下表所示：｜实验条件|幅度|上升时间|下降时间|｜｜｜｜｜｜条件 1|＿____|＿____|＿____|｜条件 2|＿____|＿____|＿____|通过对数据的分析，可以发现冲激响应的幅度与电路中的元件参数有关，上升时间和下降时间则反映了系统的响应速度。

冲激响应和阶跃响应关系嘿，朋友们！今天咱来唠唠冲激响应和阶跃响应的关系，这可有意思啦！你看啊，冲激响应就像是短跑比赛里的那声发令枪响，“砰”的一下，系统立刻就有了反应。

它能让我们快速地看到系统在瞬间受到刺激后的表现，那叫一个干脆利落！而阶跃响应呢，就像是慢慢爬坡，一步一步地展现出系统在持续刺激下的变化过程。

比如说，咱可以把系统想象成一个调皮的小孩子。

冲激响应就是突然吓他一下，他会猛地一跳，马上给出一个很直接的反应。

而阶跃响应呢，就像是慢慢给他增加任务，他会一点一点地调整自己去适应，表现出一个逐渐变化的过程。

这两者的关系那可是相当紧密啊！冲激响应就像是系统的“急性子”一面，能让我们快速了解它的瞬间反应能力。

而阶跃响应则像是系统的“慢性子”一面，展示出它在持续压力下的稳定程度。

它们就像是一对好兄弟，互相补充，让我们能更全面地认识这个系统。

你想想，如果只有冲激响应，那我们就只能看到系统一瞬间的表现，就好像只看到了闪电，却不知道后续的雷声会怎样。

而有了阶跃响应，就像我们能一直听到雷声的变化，从而更深入地了解整个天气情况。

那它们在实际应用中又有啥用呢？哎呀呀，用处可大了去啦！比如在电子电路设计里，通过研究冲激响应和阶跃响应，工程师们就能更好地优化电路，让它工作得更稳定、更高效。

在控制系统中，了解它们可以帮助我们更好地调整参数，让系统按照我们的期望去运行。

再比如在通信领域，冲激响应和阶跃响应能让我们知道信号在传输过程中会发生什么变化，从而采取相应的措施来保证信号的质量。

这不就像我们走路，要知道路上哪里有坑洼，才能更好地选择走哪条路嘛！总之啊，冲激响应和阶跃响应是非常重要的概念，它们就像系统的两面镜子，让我们能从不同角度看清系统的本质。

咱可得好好掌握它们的关系，这样才能在各种领域中游刃有余啊！它们可不是什么高深莫测的东西，只要咱用心去理解，就一定能搞明白！难道不是吗？。

一、 实验目的1.观察和测量RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应的波形和有关参数，并研究其电路元件参数变化对响应状态的影响；2.掌握有关信号时域的测量方法。

二、实验设备1.双踪示波器 1台2.信号系统实验箱 1台三、实验原理实验如图1-1所示为RLC 串联电路的阶跃响应与冲激响应的电路连接图，图1-1（a ）为阶跃响应电路连接示意图；图1-1（b ）为冲激响应电路连接示意图。

图1-1 (a) 阶跃响应电路连接示意图图1-1 (b) 冲激响应电路连接示意图其响应有以下三种状态：（1） 当电阻R ＞2 LC时，称过阻尼状态； （2） 当电阻R = 2 LC时，称临界状态； （3） 当电阻R ＜2LC时，称欠阻尼状态。

现将阶跃响应的动态指标定义如下：上升时间t r ：y(t)从0到第一次达到稳态值y （∞）所需的时间。

0.1μC2C2 0.1μ峰值时间t p：y(t)从0上升到y max所需的时间。

±%误差范围所需的时间。

调节时间t s：y(t)的振荡包络线进入到稳态值的5路后得到的尖顶脉冲代替冲激信号。

四、实验内容1.阶跃响应波形观察与参数测量设激励信号为方波，其幅度为1.5V，频率为500Hz。

实验电路连接图如图1-1（a）所示。

①连接P702与P914, P702与P101。

(P101为毫伏表信号输入插孔).② J702置于“脉冲”，拨动开关K701选择“脉冲”；③按动S701按钮,使频率f=500Hz，调节W701幅度旋钮，使信号幅度为1.5V。

（注意：实验中，在调整信号源的输出信号的参数时，需连接上负载后调节）④示波器CH1接于TP906，调整W902，使电路分别工作于欠阻尼、临界和过阻尼三种状态，并记录实验数据⑤ TP702为输入信号波形的测量点，可把示波器的CH2接于TP702上，便于波形比较。

在欠阻尼状态下的波形如下：在临界状态下的波形如下：在过阻尼状态下的波形如下：2.冲激响应的波形观察冲激信号是由阶跃信号经过微分电路而得到。

冲激响应和阶跃响应收敛域简介冲激响应和阶跃响应是信号系统中常用的两种响应形式。

它们在频域和时域的特性不同，对于系统的稳定性和收敛性有着重要影响。

本文将从频域和时域的角度，分别探讨冲激响应和阶跃响应的收敛域。

冲激响应的收敛域冲激响应是指在输入信号为冲激函数（或称单位冲激信号）时，系统的输出响应。

冲激响应在频域上表示为系统的频率响应，决定了系统对不同频率成分的响应程度。

对于线性时不变（LTI）系统，冲激响应的收敛域是指频率响应的收敛域。

一个系统的冲激响应收敛域可分为以下几种情况：1.绝对收敛域：该系统的冲激响应在整个复平面上都收敛到有限值。

这意味着系统对于所有频率的输入都有有限的响应。

这种系统一般被认为是稳定的。

2.条件收敛域：该系统的冲激响应只在部分复平面上收敛，而在其他部分则发散或者无限增大。

这意味着系统只对某些输入频率有有限的响应，对于其他频率则无法给出有限的响应。

这种系统一般被认为是不稳定的。

3.绝对不收敛域：该系统的冲激响应在整个复平面上均不收敛，要么是无穷大，要么是震荡、振荡等无法收敛到有限值的情况。

这种系统一般被认为是不稳定的。

冲激响应的收敛域的确定需要分析系统的传递函数或者脉冲响应。

在实际工程应用中，常常使用频率响应曲线（Bode图）来观察系统的收敛性质。

阶跃响应的收敛域阶跃响应是指在输入信号为阶跃函数时，系统的输出响应。

阶跃响应描述了系统对于单位阶跃输入的反应情况，常常用来分析系统的稳态性能和时间特性。

阶跃响应收敛域与冲激响应收敛域是有区别的。

一个系统的阶跃响应收敛域可分为以下几种情况：1.绝对收敛域：该系统的阶跃响应在整个时间轴上收敛到有限值。

这意味着系统对于所有时刻的输入都有有限的响应。

这种系统一般被认为是稳定的。

2.条件收敛域：该系统的阶跃响应只在部分时间轴上收敛，而在其他部分则发散或者无限增大。

这意味着系统只对某些时间上的输入有有限的响应，对于其他时间则无法给出有限的响应。

对系统的微分方程进行拉普拉斯变换
01
将时域中的微分方程转换为复平面上的代数方程。
求解代数方程
02 根据复平面上的代数方程，求解系统的输出响应的拉
普拉斯变换式。
对输出响应的拉普拉斯变换式进行反变换
03
将复平面上的输出响应的拉普拉斯变换式反变换回时
域，得到系统的阶跃响应。
频域分析法求解阶跃响应
确定系统的频率响应函数
02 冲激响应与阶跃响应概述
冲激函数定义及性质
定义
冲激函数是一种特殊的信号，它在某一时刻取值为无穷大，而在其他时刻取值 为零。
性质
冲激函数具有筛选性、可加性、奇偶性等性质，其中筛选性是指冲激函数与任 何函数相乘的结果都等于该函数在冲激时刻的值。
阶跃函数定义及性质
定义
阶跃函数是一种在某一时刻发生跳变的信号，它的取值在跳变前为0，跳变后为1 （或其他常数）。
卷积积分法求解冲激响应
确定系统单位冲激响应。
利用卷积积分公式，将输入信号与系统单位冲激响应进 行卷积运算。
将输入信号表示为冲激函数的线性组合。
对卷积结果进行积分，得到系统的零状态响应，即为冲 激响应。
04 离散时间系统冲激响应分 析
差分方程求解方法
迭代法
通过逐步代入差分方程，求解系统的冲激响应。
区别
冲激响应描述的是系统在极短时间内对输入信号的响应，而阶跃响应描述的是系统在长时间内对输入信号的响应。 此外，冲激响应可以通过卷积运算得到系统的零状态响应，而阶跃响应则可以通过对冲激响应进行积分得到。
03 连续时间系统冲激响应分 析
微分方程求解方法
经典法
01
通过求解系统微分方程的通解，并根据初始条件确定特解，从

系统的冲激响应和阶跃响应的关系(一)
系统的冲激响应和阶跃响应的关系
1. 冲激响应和阶跃响应的定义
•冲激响应是指系统在输入信号为单位冲激函数时的输出情况。

•阶跃响应是指系统在输入信号为单位阶跃函数时的输出情况。

2. 冲激响应和阶跃响应的关系
•冲激响应和阶跃响应之间存在一定的数学关系，即阶跃响应是冲激响应的积分。

•具体而言，阶跃响应是将冲激响应进行积分得到的，即用单位阶跃函数乘以冲激响应，再对得到的积分进行求解。

3. 冲激响应和阶跃响应关系的解释
•当输入信号为冲激函数时，系统对这个冲激函数进行处理后的输出即为冲激响应。

•而当输入信号为阶跃函数时，系统对这个阶跃函数进行处理后得到的输出即为阶跃响应。

•由于阶跃函数是冲激函数的积分形式，所以阶跃响应是冲激响应的积分形式。

4. 结论
•在不同的输入信号形式下，系统的输出表现也会有所不同。

•冲激响应描述了系统对冲激信号的处理情况，而阶跃响应则描述了系统对阶跃信号的处理情况。

•通过对冲激响应进行积分，可以得到对应的阶跃响应。

以上是关于系统的冲激响应和阶跃响应的关系的简要说明。

冲激响应和阶跃响应是信号处理中重要的概念，它们的关系可以帮助我们更好地理解和分析系统的输入输出特性。

阶跃响应和冲激响应的关系阶跃响应和冲激响应，这两个名词听起来就像是那些复杂的数学公式，咱们普通人一听就感觉头大。

不过，别急，今天就来聊聊这两个家伙，保证让你听得轻松有趣，心里明白透彻。

阶跃响应就像是你早上起床时的第一杯咖啡，突然的提神，让你瞬间清醒过来。

你可以想象一下，早上赖床的你，突然听到闹钟响起，那一瞬间，你的身体就像被电击了一样，瞬间进入了“工作状态”。

这种反应其实就是阶跃响应，系统对一个突如其来的输入（比如你闹钟的响声）作出的反应。

而冲激响应呢，简单来说，就是系统对一个瞬间信号的反应。

想象一下，朋友们一起聚会，突然有人拍了一下桌子，整个房间的注意力瞬间都被吸引过去。

这一拍就是冲激信号，大家的反应就是冲激响应。

看，原来这两个概念在生活中随处可见，不管是喝咖啡的清醒还是拍桌子的注意力，都在告诉我们，反应其实是很有趣的事情。

这两者之间的关系就像是亲兄弟。

阶跃响应可以说是冲激响应的积累。

想象一下，你喝了第一口咖啡，然后喝第二口、第三口，直到你感觉整个人都充满了能量。

每一口咖啡就是一次小小的冲击，而最终的清醒状态就是阶跃响应的结果。

学术上说，阶跃响应是冲激响应在时间上的积分，听起来复杂，但其实就是一个简单的累积过程，没啥好担心的。

有趣的是，这种关系在信号处理和控制系统中非常重要。

比如说，你设计一个自动驾驶的系统。

它需要在感知到障碍物时快速反应。

这个时候，系统的冲激响应决定了它的灵敏度，而阶跃响应则决定了它的最终反应时间。

换句话说，如果你的系统冲击响应不够好，可能就会导致“撞车”事件。

哈哈，是不是听起来有点吓人，但这就是技术的魅力所在，能把抽象的概念变得生动起来。

在日常生活中，咱们也可以用简单的例子来理解这些概念。

比如说，看一部电影，突然有一个惊悚的情节出现，你的心脏会猛跳一下，这就是冲激响应。

而电影的节奏随着情节的推进而变得紧张，这个过程就是阶跃响应的体现。

换句话说，冲激和阶跃就像是电影中的快节奏和慢节奏交替，制造着情感的高兴与低谷，让人欲罢不能。

冲激响应和阶跃响应实验报告一、实验目的通过实验，了解冲激响应和阶跃响应的基本概念和特性，进一步掌握信号与系统的应用和分析方法。

二、实验原理1. 冲激响应冲激响应是指系统对冲激信号的响应。

冲激信号是一种具有瞬时高幅度，持续时间极短的信号。

在实际中通常使用一段宽度很小的方波代替，即取宽度很小的矩形脉冲。

2. 阶跃响应阶跃响应是指系统对阶跃信号的响应。

阶跃信号是一种瞬时跃变的信号，从零到某一定值的跃变称为正跃变，实际上是由一个比较窄的方波组成。

从某一定值到零的跃变称为负跃变。

三、实验内容1. 冲激响应实验（1）将信号发生器输出相干的正弦波信号，并接入可变数字延时器。

（2）在延时器的输出端连接一个手动开关，按下手动开关，可以在延时时间内给信号发生器输出一个矩形脉冲，瞬间充当冲激信号。

（3）观察接收信号的波形，并记录数据。

2. 阶跃响应实验（1）将信号发生器输出一个幅度为零的正弦波信号，并接入比例调节器。

（2）比例调节器将幅度非线性放大，形成一个输入阶跃信号。

（3）接收信号并观察波形，记录数据。

四、实验结果1. 冲激响应实验结果（1）观察到响应信号最大幅值为4.5V。

（2）响应时间为0.375ms。

（3）计算得到冲激响应函数为H(t) = 12.0^4.5 e^(-18.75t)u(t)。

2. 阶跃响应实验结果（1）观察到阶跃信号到达峰值的时间为5.5ms。

（2）观察到响应信号最大幅值为6.3V。

（3）根据观察数据计算得到阶跃响应函数为H(t) = 1.8e^(-5.5t)u(t)。

五、实验结论在冲激响应实验中，得到了系统的冲激响应函数，该函数表明系统在接收到一个冲激信号时，系统输出的响应。

而在阶跃响应实验中，得到了系统的阶跃响应函数，该函数表明系统在接收到一个阶跃信号时输出的响应。

这两个函数是系统的重要性质，也是深入探究系统响应特性的基础。

六、实验注意事项（1）实验中需要小心操作，避免短路或电流过大等故障。

信号与系统
t t t t g ( t ) Ae u ( t ) e u ( t ) Ae e u(t ) 将
代入
d g (t ) g (t ) (t ) 2e t u (t ) dt
得
( A 1) (t ) ( Aet et )u(t ) ( Aet et )u(t ) (t ) 2et u(t )
A1 2, A2
1 3 , A3 2 2
故：
1 3 g(t ) (2e t e 2t )u(t ) u(t ) 2 2
信号与系统
二．阶跃响应
h(t ) (2e t e 2t )u(t )
ii)先求h(t)再积分法
g (t ) h( )d (2e e2 )d
信号与系统
小
冲激响应的定义 •零状态；
结
•单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应
冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ( t )，看 响应 h( t )，h( t )不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性。 （1）系统的在 x(t ) 激励下的零状态响应为 yzs (t ) x(t )* h(t ) （2）LTI系统因果性的充要条件可表示为 当
信号与系统
二．阶跃响应
2．阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性
u (t ) ( ) d

t
t
d (t ) u (t ) dt
dg (t ) h(t ) = dt
g (t ) h( ) d

阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限

t

电路如图所示，C=0.1F, 电路如图所示，C=0.1F, L=1H, R=2Ω t=0时，电路处于零状态， R=2Ω, 在t=0时，电路处于零状态， δ(t) 则：iC(0+)=______A, )=______A, -5
iR
R
iL(0+)=______A, iR(0+)=______A。 )=______A, )=______A。 0 5
阶跃响应为： ε (t) = ∫ h(τ )dτ = 1 − 1 e−0.5τ r 2 2
第二章第2讲
= (1− 1 e−0.5t )ε (t) 2
10
例
3
电路如图所示，电容C原已充电到3 电路如图所示，电容C原已充电到3V，现通过强度为 8δ(t) 的冲激电流, 的冲激电流, 则在冲激电流作用时刻，电容电压的跃变量 为______。 ______。 B + 8δ(t) (A) 7V (B) 4V 2F uC (C) 3V (D) -4V −
b0 特解为 rp = ε(t)，齐次解的确定与冲激响应类似。 a0 n b0 λi t 当 n≥m 时： rε (t) = (∑Ci e + )ε (t) a0 i=1
= bme(m) (t) + bm−1e(m−1) (t) +⋯+ b e′(t) + b0e(t) 1
当 n<m 时： rε (t)中含有δ(t)，确定方法与冲激响应类似。 中含有δ(t 阶跃响应与冲激响应的关系： 阶跃响应与冲激响应的关系： t d rε (t) rε (t) = ∫ h(τ )dτ h(t) = −∞ dt 第二章第2讲
∴ 利用线性时不变特性求h(t)。 h0 (t) = (e−t − e−2t )ε (t) • 利用线性时不变特性求h(t)。