华东师大版七年级数学下册 三角形的三边关系教案

《三角形的三边关系》教案【知识与技能】1.掌握和理解三角形三边的关系.2.认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题.【过程与方法】联系三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，探索三角形的三边之间的不等量关系.【情感态度】结合实践与应用，充分感受三角形的三边关系，体会三角形的稳定性.【教学重点】三角形任何两边之和大于第三边的应用.【教学难点】已知三角形的两边求第三边的范围.一、情境导入，初步认识警察抓劫匪（一名罪犯实施抢劫后，经AB—BC的路线往山上逃窜.警察为了能尽快抓到逃犯，经路线AC追赶，终于在山顶将罪犯捉拿归案.）警察为什么能在这么短的时间内抓到罪犯呢？（学生各抒已见.）引入：警察的追击路线和罪犯的逃跑路线正好围成了一个三角形，那么警察能在这么短的时间内抓到罪犯，是不是与三角形的三条边有关系呢？是不是任意的三条线段都能围成一个三角形呢？今天我们就通过实际操作，分组讨论来研究三角形三条边之间的关系.【教学说明】创设情境，激发学生探究知识的欲望.二、思考探究，获取新知探究1 画一个三角形，使它的三条边分别为:4cm,3cm,2.5cm.画法步骤如下：(1)先画线段AB=4cm；(2)以点A为圆心，3cm长为半径画圆弧；(3)再以B为圆心，2.5cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；(4)连接AC、BC.△ABC就是所要画的三角形.这是根据圆上任意一点到圆心的距离相等.探究2 现有长2cm、3cm、4cm、5cm、6cm的五条线段，你任意选三条线段画三角形，使它的三边长分别是你所选择的三条线段的长.你在画的过程中可能会遇到什么情况？这是为什么？【归纳结论】三角形的任意两边的和大于第三边.你能用其它的依据说明“三角形的任意两边的和大于第三边”吗？探究3 用3根木条钉一个三角形，拉三角形的顶点，这个三角形的形状会发生改变吗？三角形的大小会变吗？你知道这是为什么？用四根木条钉一个四边形，拉四边形的顶点，这个四边形的形状会发生改变吗？四边形的大小会变吗？你知道这是为什么？【归纳结论】如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形稳定性.四边形具有不稳定性.三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用.例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构.你还能列举生活中哪些地方用到了三角形的稳定性，哪些地方用到了四边形的不稳定性吗？【归纳结论】教师有意设置这些动手操作，共同探讨的活动，既满足了学生的这种需要，又让学生在高昂的学习兴趣中学到了知识，体验到了成功.三、运用新知，深化理解1.三条线段的长度分别为：(1)3cm、4cm、5cm (2)8cm、7cm、15cm(3)13cm、12cm、20cm (4)5cm、5cm、11cm能组成三角形的有（）组.A.1B.2C.3D.42.现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（）.A.1B.2C.3D.43.已知三条线段的比是:①1∶3∶4;②1∶2∶3;③1∶4∶6;④3∶3∶6;⑤6∶6∶10;⑥3∶4∶5.其中可构成三角形的有( )A.1个B.2个C.3个C.4个4.已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( )A.9B.12C.15D.12或155.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是.若x是奇数，则x的值是，这样的三角形有个；若x是偶数，则x的值是，这样的三角形有个.6.已知一个三角形的两边长分别是4cm、7cm，则这个三角形的周长的取值范围是什么？7.已知等腰三角形的两边长分别为4,9,求它的周长.8.如图，在△ABC内有一点D，试说明AB＋AC＞BD＋DC.【教学说明】通过练习及解决课前问题，进一步提高学生知识应用的能力.【答案】1.B2.B3.B4.C5.1<x<7 3、5 2 2 、4、6 36.解：根据三角形三边的关系可知，3<第三条边<11所以三角形的周长大于：4＋7＋3三角形的周长小于：4＋7＋11即，三角形的周长的取值范围是大于14 cm小于22 cm.7.解：因为三角形是等腰三角形，所以，当腰长为4时，三角形的三边分别为：4、4、9，而4＋4<9所以不能构成一个三角形，应舍去.当腰长为9时，三角形的三边分别为：9、9、4，4＋9>9所以能构成一个三角形.即周长为22.8.解：如图延长线段BD交AC于点E，在△ABE中，AB＋AE＞BE. ①在△DEC中，DE＋EC＞DC. ②由①＋②得，AB＋AE＋EC＋DE＞BD＋DE＋DC，即AB＋AC＞BD＋DC.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获与感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.1.布置作业:教材第82页“练习”.2.完成练习册中本课时练习.课堂上通过有趣的情境故事引出本节课的知识点，激发学生的学习兴趣，让学生在经过自己的思考后，教师启发诱导解决实际问题，让学生做学习的主人，并探讨多种不同问题，使探究过程活跃起来，以更好地激发学生的积极思维，得到更大的收获.。

9.1.3《三角形三边关系》教学设计教学目标：1、通过微课创设问题情景、结合实验记录，初步感知三角形的三边关系。

2、学生通过动手实践、猜想验证、自主探索、合作交流发现三角形任意两边之和大于第三边两边之差小于第三边的性质；3、能判断给定长度的三条线段是否能围成三角形，能运用三角形的三边关系及其稳定性这一知识解决生活中简单的实际问题,感受到生活中处处有数学。

教学重点：1、通过微课和动手操作引导学生发现不能摆成三角形的原因，并探索能摆成三角形的条件2、理解、掌握“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”的性质以及三角形的稳定性。

教学难点探索三角形三边关系的过程及发现总结“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”的性质。

教学过程：一、 微课引入，创设情境。

首先观看微课使学生对探索三角形的三边关系产生兴趣；引出本节课的主题，并抛出问题引发思考“满足什么条件的三条线段能组成三角形”（二）动手操作，初步感知。

以小组为单位用学生手中的线段拼三角形，并填写实验报告单，学生发现有的能围成，有的不能围成。

怎样的三根小棒能围成三角形？怎样的三根小棒不能围成三角形？学生提出猜想并初步感知能组成三角形的三条线段需要满足的数量关系；（三）小组合作，探索规律学生自主尝试制定问题解决策略，教师适时进行补充。

得出结论“三角形的任意两边之和大于第三边”；以一个三角形为例，用数学符号表示三边的关系结论：三角形的任意两边之和大于第三边例1：下列长度的各组线段能否组成一个三角形?（1）15cm 、9cm 、7cm;（2）3cm 、6cm 、10cm（3）3cm 、8cm 、5cm;（4）2cm 、5cm 、6cm引导学生将结论1中的数学符号表达式进行变形得出a cb A B C a+b ＞c b+c ＞a a+c ＞bcb Ab ＞c - a c ＞a - b c ＞b - a结论：三角形的任意两边之差小于第三边综上三角形第三边的取值范围是：两边之差＜第三边＜两边之和例2：在△ABC中,已知a=8cm,b=5cm,则c的取值范围是_______ ；若c取奇数,则c取何值_______例3 等腰三角形的周长为18厘米,其中一边长为4厘米,求其它两边的长?填空：如果一个等腰三角形的两条边的长分别为8 cm和5cm ，那么它的周长是 _______cm 观看图片感知三角形与四变形谁是“变形金刚”并得出三角形的“稳定性”，并体会其稳定性在生活中的应用。

（二）媒体资源
我将使用以下教具、多媒体资源和技术工具来辅助教学：
1.教具：三角板、直尺、量角器等，用于直观展示三角形的三边关系和等腰三角形的性质。
2.多媒体资源：PPT课件、教学视频、动画等，形象生动地展示三角形的性质和判定方法，提高学生的学习兴趣。
3.技术工具：电子白板、几何画板等，方便学生实时操作、观察和探究三角形的三边关系。
（2）掌握等腰三角形的性质，能够识别等腰三角形。
（3）了解三角形的稳定性，能够解释三角形的稳定性在实际生活中的应用。
2.过程与方法：
（1）通过实际操作，培养学生动手实践、观察和思考的能力。
（2）通过小组讨论，培养学生合作学习和解决问题的能力。
（3）通过问题引导，激发学生探究三角形三边关系的兴趣，提高学生自主学习的意识。
（二）学习障碍
学生在学习本节课之前，已经掌握了线段、射线和角度的基本概念，以及平面几何图形的基本性质。但可能存在以下学习障碍：
1.对于三角形三边关系的理解不够深入，难以将其运用到实际问题中。
2.对等腰三角形的性质和识别方法不够熟练，容易与其他类型的三角形混淆。
3.在解决实际问题时，可能无法灵活运用所学知识，缺乏解题技巧。
3.课堂展示：鼓励学生上台展示自己的解题过程和成果，分享学习心得，增强表达能力和自信心。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.生活实例引入：向学生展示一些生活中常见的三角形物体，如自行车架、衣架等，让学生观察这些物体为何采用三角形结构，从而引出三角形的稳定性。
1.教学重点：
（1）三角形三边关系及其应用。
（2）等腰三角形的性质和识别。
2.教学难点：

三角形的三边关系知识技能目标1.掌握和理解三角形的三边关系；2.认识三角形的稳定性，并能利用三角形的稳定性解决一些实际问题.过程性目标1.联系三角形的三个内角、外角以及外角与内角之间的数量关系，探索三角形的三边之间的不等量关系；2.结合实践与应用，充分感受三角形的三边关系，体会三角形的稳定性.教学过程一、创设情境让学生拿出预先准备好的四根牙签（2cm,3cm,5cm,6cm各一根）请你用其中的三根，首尾相接，摆成三角形，是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？你从中发现了什么？二、探索归纳从4根中取出3根有一下几种情况：(1) 2cm,5cm,6cm (2) 3cm,5cm,6cm(3) 2cm,3cm,5cm (4) 2cm,3cm,6cm通过实践可知(1)，(2)可以摆出三角形，(3)，(4)不能摆成三角形我们可以发现这三根牙签中，如果较小的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角.这就是说：三角形的任意两边的和大于第三边.三、实践应用例1 画一个三角形，使它的三条边分别为7cm,5cm,4cm.画法步骤如下：(1)先画线段AB=7cm；(2)以点A为圆心，5cm长为半径画圆弧；(3)再以B为圆心，4cm长为半径画圆弧，两弧相交于点C；(4)连结AC，BC.△ABC就是所要画的三角形.练习：以下列长度的各组线段为边，能否画一个三角形？(1)7cm,4cm,2cm; (2)9cm,5cm,4m.例2 有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，现在再取一根木棒与它们摆成一三角形，你说第三根要多长呢？用长度为3cm的木棒行吗？为什么？长度为14cm的木棒呢？解取长度3cm的木棒时，由于3+5=8，与三角形两边之和大于第三边相矛盾，所以不能摆成三角形；取长度为14cm的木棒时，由于5+8<14，同样与三角形两边之和大于第三边相矛盾，所以也不能摆成三角形.从上可知第三木棒的长度应该是大于3cm且小于13cm.结论 1. 三角形两边之差小于第三边；2．已知三角形的两边长度，第三边长度范围是大于这两边的差小于这两边的和.练习下列长度的各组线段能否组成一个三角形？(1)15cm、10cm、7cm； (2)4cm、5cm、10cm；(3)3cm、8cm、5cm； (4)4cm、5cm、6cm.例3 (1)如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm，则这个等腰三角形的周长为多少？(2)如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长是多少？解 (1)若4cm为底边9cm为腰时，有4+9>9和9+9>4能构成三角形周长为22cm；若4cm 为腰9cm 为底时，有4+4<9不能构成三角形假设不成立；(2)若5cm 为底8cm 为腰时，有5+8>8和8+8>5能构成三角形，周长为21 cm ； 若5cm 为腰8cm 为底时，有5+5>8和8+5>8也能构成三角形，周长为18cm.故已知等腰三角形的二条边求第三边的长时，首先要判断这三边能否构成三角形，再求第三边的长.用三根木条钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是说，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形稳定性.有四根木条钉一个四边形，你会发现可以任意改变这个四边形的形状和大小，这说明四边形具有不稳定性.三角形的稳定性在生产实践中有着广泛的应用.例如桥梁拉杆、电视塔底座都是三角形结构.四、 交流反思三角形的三边关系：三角形任何两边的和大于第三边.注意“任何”两字.如三角形的三边分别为a 、b 、c 则a +b >c ,a +c >b ,b +c >a 都成立才可以，三角形任何两边之差小于第三边也同样如此.五、检测反馈1.画一个三角形，使它的三条边长分别为3cm 、4cm 、6cm ；2.已知△ABC 是等腰三角形,(1)如果它的两条边的长分别为8cm 和3cm ，那么它的周长是多少？ (2)如果它的周长为18cm ，一条边长为4cm ，那么腰长是多少？ 3.一个等腰三角形的周长为18cm ，(1)若腰长比底边长短3cm ，求底边长；(2)若腰长是底边长的74，求腰长；(3)若其中一边长是4cm ，求其它两边长； (4)若其中两边之和为13cm ，求三边长. 多边形的内角和与外角和（一） 知识技能目标1.理解多边形的概念和正多边形的概念；2.了解多边形的内角、外角、对角线等概念. 过程性目标1.联系三角形的概念，三角形的内角和外角的概念，经历探索多边形和多边形内角、外角的概念；2.结合实践与应用，充分感受正多边形的意义，体会多边形与三角形之间的相互关系及转化. 教学过程 一、创设情境问题1 什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？ 二、探索归纳三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形. 记作：△ABC ．四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：四边形ABCD ．五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形.记作：五边形ABCDE ．一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n 边形，又称为多边形.注意 (1)我们现在只研究多边形，如图(2) ，(3)； (2)图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围.与三角形类似，如图(5)所示，∠A 、∠D 、∠C 、∠ABC 是四边形ABCD 的四个内角，∠CBE 和∠ABF 都是与∠ABC 相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角.问题 (1)五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？ 答 五边形有5个内角，10个（5对）外角； 六边形有6个内角，12个（6对）外角. (2)n 边形有多少个内角？多少个外角？ 答 n 边形有n 个内角，2n 个（n 对）外角.如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形. 如：正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等.AB FECD(4)(5)连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.ABCDABCD EABCDE F (9)(10)(11)如图(9)线段AC 是四边形ABCD 的一条对角线；如图(10)线段AC 、AD 是五边形ABCDE 的对角线； 如图(11)线段AC 、AD 、AE 是六边形ABCDEF 的对角线.如图(9)、(10)、(11)可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180°，那么四边形的内角和等于多少度？五边形、六边形呢？由此，n 边形的内角和等于多少呢？结论 n 边形的内角和为(n -2)·180°. 三、实践应用例1 求八边形的内角和的度数.解 (n -2)·180°=（8-2）×180°=1080°.练习 十边形的内角和是多少？若十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是多少度？例2 (1)一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数； (2)一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形？ 解 (1)设边数为n ，则有(n -2)·180°=2340°n -2=13n =15；(6)(7)(8)(2)设这个多边形为n 边形，则有 (n -2)·180°=150°n n =12 这个就是十二边形.练习 (1)一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是 边形；(2)一个多边形的每一个内角都是120°，则这个多边形是 边形. 四、交流反思多边形的内角、外角及对角线的概念和多边形的内角和定理,通过把多边形划分若个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n -2)·180°. 五、检测反馈1.先任意画一个五边形，然后画出它所有的对角线，数一数，一共有多少条对角线？2.如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2∶3∶4，那么这三个内角的度数分别是多少？3.一个多边形的内角和等于1080°，求它的边数.4.一个多边形的每一个外角都等于144°，求它的边数. 多边形的内角和与外角和（二） 知识技能目标1.理解多边形内角和的各种推导方法；2.在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理. 过程性目标1.联系多边形的内角和定理，三角形内角和定理，多边形内角与外角的关系，经历探索多边形的外角和定理；2.结合实践与应用，充分感受多边形内角和，多边形外角和定理，体会多边形内角和、外角和的相互关系及转化. 教学过程 一、创设情境如图(1)四边形ABCD ，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数.D ACB(1)1234二、探究归纳因为∠1+∠DAB =∠2+∠CBA =∠3+∠DCB =∠4+∠ADC =180°又因为∠DAB +∠CBA +∠DCB +∠ADC =360°（四边形内角和等于360°） 所以∠1+∠2+∠3+∠4=360°.与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.四边形的外角和等于360°.根据n 边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n 边形的外角和，填表结论：n 边形的内角与外角的总和为n ·180°；n 边形的内角和为(n -2)·180°；那么多边形的外角和为n ·180°－(n －2)·180°=n ·180°－n ·180°+360°=360°；因此：任意多边形的外角和都为360°. 注：多边形的外角和与边数无关. 三、实践应用例1 一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数.分析 正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是3600.解 设一个外角为x °，则内角为(x +36)°因为多边形的内角与相邻的外角互补； 所以 x +x +36=180 解得 x =72 360÷72=5 答 这个多边形的五边形.练习：1.一个多边形的外角都是45°，则这个多边形是几边形？2．多边形的每个外角都是相邻内角的31，则此多边形是几边形？内角和、外角和分别是多少？例2 (1)四边形有几条对角线？(2)五边形有几条对角线？六边形呢？n 边形呢？ABCDE(2)解 (1)四边形有两条对角线，(2)如图2，以A 为顶点的对角线有两条AC 、AD 同样以B 为端点的对角线也有2条，以C 为端点也有2条，但AC 与CA 是同一条线段，以D 为端点的两条DA 、DB 与AD 、BD 分别表示同一条线段，所以只有5条，以此类推六边形有9条对角线，从以上分析可知从n 边形的一个顶点引对角线，可以引(n -3)条，那么n 个顶点就有n (n -3)条，但其中每一条都重复计算一次，所以n 边形一共有()23-n n 条对角线.例3 已知多边形的内角和等于1440°，求(1)这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数.解 (1)(n -2)·180°=1440° n =10(2)n -3=10-3=7（3）()()3523101023=-⨯=-n n答 这个多边形是十边形，过一个顶点的对角线有7条，共有35条对角线.四、交流反思多边形的外角和定理及多边形对角线条数的计算方法. 五、检测反馈1.在n 边形某一边上任取一点P ，连结点P 与多边形每一个顶点，可得多少个三角形？你能否根据这样划分多边形的方法来说明n 边形的内角和等于(n -2)×180°?（图中取n =5的情形）PBCDA 122．根据图填空：(1)∠1=∠C + ，∠2=∠B + ；(2)∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = +∠1+∠2= ； 想一想，这个结论对任意的五角星是否成立？ 3.一个多边形的外角和是内角和的72，求这个多边形的边数；4.已知一多边形的每一个内角都相等，它的外角等于内角的32，求这个多边形的边数；5.一多边形内角和为2340°，若每一个内角都相等，求每个外角的度数.。