兴化市板桥初级中学中考第二轮专题复习第二讲规律型问题

例析中考规律型问题的解题策略规律探索问题是中考的热点问题，此类问题能比较系统地考查学生的逻辑推理能力，归纳猜想能力，以及运用所学知识和方法分析、解决数学问题的能力。

对于规律探索问题而言，确有规律可寻，但由于题目的视角新颖，综合性强，结构独特等特点，此类问题有一定的难度，因此规律问题常常在中考试卷的选择，填空的最后两题出现，起到一定的区分与选拔功能。

现结合近两年的中考试题分类解析，展示规律问题的解题策略。

一、“数字型”规律例１如图１，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，….（1）“17”在射线上；（2）写出各射线上数字的排列规律。

分析：射线OF上的数字是6的整数倍，按照顺时针方向，射线OA上的数字除以6余1，射线OB上的数字除以6余2，射线OC上的数字除以6余3，射线OD上的数字除以6余4，射线OE上的数字除以6余5.(1)17除以6余5，所以“17”在射线OE上.(2)射线OA上数字的排列规律:6n+1(其中n为非负整数，以下同)；射线OB上数字的排列规律:6n+2；射线OC上数字的排列规律:6n+3；射线OD上数字的排列规律:6n+4；射线OE上数字的排列规律:6n+5；射线OF上数字的排列规律:6n。

策略：此类问题的解题策略为对前几个数进行观察，分析归纳出规律，主要看后一个数比前一个数多几。

二、“式子型”规律例２观察等式：①9-1=2×4，②25-1=4×6，③49-1=6×8，…，按照这种规律，写出第n个等式：。

分析：通过对前3个式子的研究可知，式子左边为奇数平方减1，右边为连续两个偶数的乘积，从而得到最后的答案。

答案：(2n+1)2-1=2n(2n+2)策略：此类问题的解题策略为“横向看一看，纵向比一比”的方法，可以先将式子全部纵向写好，之后研究其规律。

三、“表格型”规律例３观察下表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有次．分析：本题是数字有关的规律探索题，2008=2×2×2×251，所以在第1行、第2行、第4行、第8行、第251行、第502行、第1004行、第2008行都会出现2008，所以共有8次。

☆◇☆中考数学中的操作型问题☆◇☆在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题。

动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题。

这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念。

操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想。

因此，实验操作问题将成为今后中考的热点题型。

题型1动手问题此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起。

题型2证明问题动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明。

题型3探索性问题此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系，此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念。

例1、将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，•得到的图形是（）【答案】C例2、如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F 表示）（图1） （图2） （图3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．（1）将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离；（2）将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；（3）将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH ﹦DH（图4） （图5） （图6）解：（1）图形平移的距离就是线段BC 的长（2分）又∵在Rt △ABC 中，斜边长为10cm ，∠BAC ＝30，∴BC ＝5cm ， ∴平移的距离为5cm ．（2分） （2）∵∠130A FA =，∴∠60GFD =，∠D ＝30°． ∴∠90FGD =．（1分）在Rt EFD 中，ED ＝10 cm ，∵FD ＝，（1分）∵2FC =cm ．（2分） （3）△AHE 与△1DHB 中，∵130FAB EDF ∠=∠=，（1分）∵FD FA =，1EF FB FB ==，∴1FD FB FA FE -=-，即1AE DB =．（1分） 又∵1AHE DHB ∠=∠，∴△AHE ≌△1DHB （AAS ）（1分）． ∴AH DH =．（1分）例3、在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图2）．（图1） （图2）请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN 交BC 于P ，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论． （2）在图2中，若AB ＝a ，BC ＝b ，a 、b 满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？（3）设矩形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM '为y kx =，当M BC '∠＝60°时，求k 的值.此时，将△ABM ′沿BM′折叠，点A 是否落在EF 上（E 、F 分别为AB 、CD 中点）？为什么？解：（1）△BMP 是等边三角形． （图3）证明：连结AN ，∵EF 垂直平分AB ∴AN ＝ BN ，由折叠知 AB ＝ BN ∴AN ＝ AB ＝ BN ∴△ABN 为等边三角形，∴∠ABN ＝60° ∴∠PBN ＝30° 又∵∠ABM ＝∠NBM ＝30°，∠BNM ＝∠A ＝90°， ∴∠BPN ＝60° ∠MBP ＝∠MBN ＋∠PBN ＝60°，∴∠BMP ＝60°，∴∠MBP ＝∠BMP ＝∠BPM ＝60°，∴△BMP 为等边三角形 ．（2）要在矩形纸片ABCD 上剪出等边△BMP ，则BC ≥BP 在Rt △BNP 中， BN ＝ BA ＝a ，∠PBN ＝30°，∴BP ＝cos30a∴b ≥cos30a ∴a ≤23b ．∴当a ≤23b 时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP ． （3）∵∠M′BC ＝60° ∴∠ABM′ ＝90°－60°＝30°，在Rt △ABM′中，tan ∠ABM′ ＝AM AB ' ∴tan 30°＝2AM ' ∴AM′，∴M′(，2). 代入y ＝kx 中 ，得k设△ABM′沿BM′折叠后，点A 落在矩形ABCD 内的点为A '，过A '作A 'H ⊥BC 交BC 于H ．∵△A 'BM′ ≌△ABM′ ∴A BM ''∠＝ABM '∠＝30°， A 'B ＝ AB ＝2 ∴A BH MBH ''∠=∠－A BM ''∠＝30°．在Rt △A 'BH 中， A 'H ＝12A 'B ＝1 ，BH ＝3∴)A '，∴A '落在EF 上。

20XX年初中毕业生学业考试复习初中数学专题二规律探索型问题考点知识梳理探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”、“计算规律”、“图形规律”与“动态规律”等题型，近年来关于数列与图形排列规律的题目越来越多．1．数列规律数列规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．2．计算规律计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，然后通过适当的计算(主要以等差数列的计算为主)回答问题．3．图形规律图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．动态规律例1 (1)(2020 ·沈阳)有一组多项式：a＋b2，a2－b4，a3＋b6，a4－b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为____________．(2)(2020 ·广东)观察下列等式：第1个等式：a1＝11×3＝12×(1－13)；第2个等式：a2＝13×5＝12×(13－15)；第3个等式：a3＝15×7＝12×(15－17)；……请解答下列问题：①按以上规律列出第5个等式：a5＝__________________＝__________________；②用含n的代数式表示第n个等式：a n＝____________＝____________(n为正整数)；③求a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100的值．A．50 B．64 C．68 D．72例3 (2020 ·潍坊)如图所示，图中每一个小方格的面积均为1，则可根据面积计算得到如下算式：1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝____________(用n表示，n是正整数)．例4(2020 ·广州)如图，在标有刻度的直线l上，从点A开始，以AB＝1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC＝2为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD＝4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE＝8为直径画半圆，记为第4个半圆，……，按此规律，继续画半圆．则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的____________倍，第n个半圆的面积为____________(结果保留π)．1．(2020 ·丽水)小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图①中棋子围成三角形，其颗数3,6,9,12，…称为三角形数，类似地，图②中的4,8,12,16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A．2 010 B．2 012 C．2 014 D．2 0162．探索以下规律，则根据规律，从2 010到2 012，箭头的方向依次是() A．向上再向右B．向右再向上C．向下再向右D．向右再向下3．观察图中正方形四个顶点所标的数的规律，可知2 012应标在()A．第502个正方形的左下角B．第502个正方形的右下角C．第503个正方形的左上角D．第503个正方形的左下角4．观察下列算式：31＝3,32＝9,33＝27,34＝81,35＝243，36＝729,37＝2 187,38＝6 561，……，通过观察，用你所发现的规律确定32 012的个位数字是()A．3 B．9 C．7 D．15．(2020 ·盐城)已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝－|a1＋1|，a3＝－|a2＋2|，a4＝－|a3＋3|，……，依次类推，则a2 012的值为()A．－1 005 B．－1 006 C．－1 007 D．－2 0126．(2020 ·荆门)已知；顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③，如此反复操作下去，则第2 012个图形中直角三角形的个数是()A．8 048 B．4 024 C．2 012 D．1 0667．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，……，则边长为8的正方形内部的整点的个数为()A．65 B．49 C．36 D．25A ．52 012－1B ．52 013－1 C.52 013－14 D.52 012－14二、填空题(每小题5分，共25分)9．(2020 ·云南)观察如图所示图形的排列规律(其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星)．若第一个图形是三角形，则第18个图形是 (填图形名称)．10．(2020 ·肇庆)观察下列一组数：23，45，67，89，1011，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k 个数是 .11．(2020 ·株洲)一组数据为：x ，－2x 2,4x 3，－8x 4，…，观察其规律，推断第n 个数据应为 .12．(2020 ·莱芜)将正方形ABCD 的各边按如图所示延长，从射线AB 开始，分别在各射线上标记点A 1，A 2，A 3，……，按此规律，则点A 2 012在射线 上．13．(2020 ·毕节)在下图中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有 个小正方形．三、解答题(共35分)14．(10分)(2020 ·珠海)观察下列等式：12×231＝132×21，13×341＝143×31，23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，……以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×________＝________×25；②________×396＝693×________.(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a ，个位数字为b ，且2≤a ＋b ≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子(含a 、b )，并证明．15．(10分)(2020 ·益阳)观察图形，解答问题：(1)按下表已填写的形式填写表中的空格：(2)请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x.。

2024江苏中考数学二轮专项训练题型一规律探索题类型一数式规律探索典例精讲例1(1)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是__________，这n (n ≥1)个数的和为________；(2)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________；(3)若一列数：1，4，9，16，25，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________；(4)若一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________；(5)若一列数：4，7，10，13，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________；(6)若一列数：12，1，54，75，…，依照此规律，则第n (n ≥1)个数是________；(7)按一定规律排列的代数式a 2，3a 4，5a 6，7a 8，…，则第n (n ≥1)个代数式是________；(8)给定一列分式：x 3y 2，－x 5y 4，x 7y 6，－x 9y 8(其中y ≠0)根据你发现的规律，试写出第9个分式________；(9)按一定规律排列的一列数：21，22，23，25，28，213，…，若x 、y 、z 表示这列数中的连续三个数，猜想x 、y 、z 满足的关系式是________；(10)观察下列图形中各数之间的规律，则a 的值为________；例1题图(11)观察下列数字：在上述数字宝塔中，第4层的第2个数是17，请问第19层的第20个数是________．满分技法1.对于循环型的数字规律探索题：(1)先找出循环周期n ；(2)用N(设问中给出的第N次变化)除以n，当商b余m(0≤m<n)时，第N次变化对应的数即为一个循环变化中第m次变化后所对应的数．2.在求多个分数的和时，常考虑拆项相消法：(1)1n（n＋1）＝1n－1n＋1；(2)kn（n＋k）＝1n－1n＋k；(3)1n（n＋k）＝(1n－1n＋k)×1k.3.数阵规律探究求某个数字的位置或者某个位置的数字时需分析数阵中的数字排列方式：(1)每行、列的个数；(2)相邻数据的变化特点，并且观察某行或列具有的某些特别的性质(如完全平方数，正整数)等．4.对于“杨辉三角”型规律探究，常涉及到以下规律：(1)每个数等于它上方两数之和；(2)第n行数字之和为2n－1；(3)(a＋b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角形的第(n＋1)行中的每一项．针对训练1.美妙的音乐能陶冶情操，催人奋进，根据下面五线乐谱中的信息，确定最后一个音符(即“？”处)的时值长应为()第1题图A .34B .12C .14D .182.人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________．3.如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第1个数记为a 1，第2个数记为a 2，第3个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 6＋a 199的值为______．第3题图类型二图形规律探索典例精讲例2如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下去，所得的正方形A n B n C n D n的面积是________．例2题图满分技法图形成倍递变规律题常考的两种类型：1．点坐标成倍递变：(1)根据图形的变换规律分别求出第1个点的坐标，第2个点的坐标，第3个点的坐标，第4个点的坐标，…，归纳出后一个点的坐标与前一个点的坐标之间存在的倍分关系；(2)根据(1)中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标．2．线段(面积)成倍递变：已知一个几何图形的边长(周长或面积)，通过一定变换确定第M次变换后的图形的边长(周长或面积)．解题步骤是：第一步：根据题意可得出第一次变换前图形的边长(周长或面积)；第二步：通过计算得到第一次变换后、第二次变换后、第三次变换后、第四次变换后图形的边长(周长或面积)，归纳出每次变换后的图形的边长(周长或面积)与序数n之间的关系式，并验证；第三步：根据第二步中的关系式，得到第M次变换后的图形的边长(周长或面积)．针对训练4.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：第4题图图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为________．5.如图，多边形A1A2A3A4A5A6、多边形A7A8A9A10A11A12、…、多边形A6n－5A6n－4A6n－3A6n－2A6n A6n(n为正整数)均为正六边形，它们的边长依次是2、4、…、2n，顶点A6、A12、…、A6n －1均在x轴上，点O是所有正六边形的中心，则A2022的坐标是________．第5题图6.如图，直线y＝－x＋1分别交x轴、y轴于点A、B，点O1、A1分别是BO、BA的中点，连接A1O1、AO1；O2、A2分别是BO1、BA1的中点，连接A2O2、A1O2，…，按此规律进行下去，则O n到AB的距离是________．第6题图参考答案典例精讲例1解：(1)2n －1，n 2；(2)(－1)n ＋1；(3)n 2；(4)n 2＋1；(5)3n ＋1；(6)2n －1n ＋1；【解析】观察这列数，可将1写成33.则这列数为12，33，54，75，…，从中得到规律：分子是连续奇数1，3，5，7，…，则第n 个数的分子是2n －1，分母比其序号大1，则第n 个数的分母是n ＋1，∴第n 个数为2n －1n ＋1.(7)(2n －1)a 2n ；(8)x 19y18；【解析】根据式子x 3y 2，－x 5y 4，x 7y 6，－x 9y8，…，发现分母分别是y 2，y 4，y 6，y 8，…，故第9个式子分母是y 9×2＝y 18，分子分别是x 3，x 5，x 7，x 9，…，故第9个式子的分子是x 2×9＋1＝x 19，再观察符号发现奇数项为正，偶数项为负，∴第9个式子应该是x 19y18.(9)xy ＝z ；【解析】∵21×22＝23，22×23＝25，23×25＝28，25×28＝213，…，∴x 、y 、z满足的关系式是xy ＝z .(10)226；【解析】观察发现：2＝1×2－0，10＝3×4－2，26＝5×6－4，50＝7×8－6，…，∴a ＝15×16－14＝226.(11)380.【解析】由题目中的数字可知，第1层有2个数，最后的数字是1×2＝2，第2层有3个数，最后的数字是2×3＝6，第3层有4个数，最后的数字是3×4＝12，第4层有5个数，最后的数字是4×5＝20，…，故第19层的第20个数是19×20＝380.针对训练1.C【解析】根据下面的分数表示，每个节拍上的分数之和都是34，∴最后一个节拍上的时值长为34－12＝14.2.10【解析】∵ab ＝1，∴S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.3.19921【解析】a 1＝1，a 2＝3＝1＋2，a 3＝6＝1＋2＋3，a 4＝10＝1＋2＋3＋4，a 5＝15＝1＋2＋3＋4＋5，∴a 6＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，a 199＝1＋2＋…＋199＝199×（1＋199）2＝19900，∴a 6＋a 199＝21＋19900＝19921.典例精讲例2(92n －1【解析】由题意可知，△A 2C 1D 1和△B 1B 2C 1都是等腰直角三角形，∴A 2C 1＝22C 1D 1，B 2C 1＝2B 1C 1，∴第二个正方形的边长是第一个正方形边长的(22＋2)倍，即322倍，同理可求出第三个正方形的边长是第二个正方形边长的322倍，∴第n 个正方形的边长是第1个正方形边长的(322)n －1倍，∵A 1(1，0)，∴第一个正方形的边长是1，∴第n 个正方形的面积为(92)n －1.针对训练4.1275【解析】第①个图形中的黑色圆点的个数为1×（1＋1）2＝1，第②个图形中的黑色圆点的个数为2×（2＋1）2＝3，第③个图形中的黑色圆点的个数为3×（3＋1）2＝6，第④个图形中的黑色圆点的个数为4×（4＋1）2＝10，…，第n 个图形中的黑色圆点的个数为n （n ＋1）2，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，…，其中每3个数中，都有2个能被3整除且为后两个数，33÷2＝16……1，16×3＋2＝50，则第33个能被3整除的数为原数列中第50个数，即为50×（50＋1）2＝1275.5.(674，0)【解析】观察图形可知，六边形的顶点是6个为一个循环，∵2022÷6＝337，∴点A 2022是第337个正六边形的顶点，且在x 轴上，如解图，连接OA 11，则OA 11过点A 5，∵点O 是所有正六边形的中心，易得△OA 5A 6、△OA 11A 12…都是等边三角形，∴OA 6＝2、OA 12＝4、…、OA 2022＝337×2＝674，∴点A 2022的坐标是(674，0)．第5题解图6.2×12n＋1【解析】把x ＝0代入y ＝－x ＋1得，y ＝1，∴OB ＝1，把y ＝0代入y ＝－x＋1得，x＝1，∴OA＝1，∴OA＝OB，∵点O1、A1分别是BO、BA的中点，∴OO1＝12 OB＝12，O1A1是△OAB的中位线，∴O1A1∥OA，O1A1＝12OA＝12，如解图，连接OA1，O1A2，易得OA1⊥AB，O1A2⊥AB，∠A1OA＝45°，∠A2O1A1＝45°，∴OA1＝2×121，O1A2＝2×1 22，O2A3＝2×123，∴O n－1A n＝2×12n.即0n到AB的距离为2×12n＋1.第6题解图。

2020届中考数学二轮重难题型类型二图形规律例1.将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第n个图形中“”的个数是78，则n 的值是( )第1题图A ．11B ．12C ．13D ．14 【答案】B【解析】由每个图形中小圆的个数规律可得第n 个图形中，小圆的个数为n （n ＋1）2，由此可得方程n （n ＋1）2＝78，解得n ＝12，故选B.例2. 如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ；在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上任取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E ，…，按此做法继续下去，则第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是( )第2题图A. (12)n ·75°B. (12)n －1·65°C. (12)n －1·75°D. (12)n ·85° 【答案】C【解析】在△CBA 1中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ，∴∠BA 1C ＝180°－∠B 2＝75°，∵A 1A 2＝A 1D ，∠BA 1C 是△A 1A 2D 的外角，∴∠DA 2A 1＝12∠BA 1C ＝12×75°；同理可得，∠EA 3A 2＝(12)2×75°，∠FA 4A 3＝(12)3×75°，∴第n 个三角形中以A n 为顶点的内角度数是(12)n －1×7例 3. 下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为( )第3题图116 B. 144 C. 145 D. 150 【答案】 B【解析】将图中下半部分组成的梯形放到矩形上方，第n 个组合图形可看作是由下半部分为n 行n 列方阵和上半部分的梯形成，第n 个图中方阵中的为(n ＋1)2，梯形中为2＋n2·(n －1)＝n 2＋n －22，∴第n 个图中的的个数为(n ＋1)2＋n 2＋n －22＝3n 22＋5n 2，令n ＝9，解得第9个中个数为144个．例4.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线．点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2017秒时，点P的坐标是()第4题图A. (2014，0)B. (2015，－1)C. (2017，1)D. (2016，0)【答案】C【解析】由图象可知，半圆的周长为π，∴运动一秒后的坐标为(1，1)，两秒后的坐标为(2，0)，三秒后的坐标为(3，－1)，四秒后的坐标为(4，0)，…，其中纵坐标以1，0，－1，0循环变化，∵2017÷4＝504……1，∴第2017秒时，点P的坐标为(2017，1)．例5. 如图所示，将形状、大小完全相同的“”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“”的个数为a1，第2幅图形中“”的个数为a2，第3幅图形中“”的个数为a3，…，以此类推，则1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a 19的值为( )第5题图A.2021B. 6184C. 589840D. 431760 【答案】C【解析】由所给图形可知，a 1＝3＝22－1＝(1＋1)2－1，a 2＝8＝32－1＝(2＋1)2－1，a 3＝15＝42－1＝(3＋1)2－1，a 4＝24＝52－1＝(4＋1)2－1，由此猜想a n ＝(n ＋1)2－1＝n(n ＋2)，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 19＝13＋18＋115＋…＋119×21＝12×(1－13＋12－14＋13－15＋…＋118－120＋119－121)＝ 12×(1＋12－120－121)＝589840. 例6.如图，将矩形ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转2017次．若AB ＝4，AD ＝3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为( )第6题图A. 2017πB. 2034πC. 3024πD. 3026π 【答案】D【解析】∵AB ＝4，AD ＝3，∴AC ＝BD ＝5，转动一次A 的路线长是90·π·4180＝2π，转动第二次A 的路线长是90·π·5180＝52π，转动第三次A 的路线长是90·π·3180＝32π，转动第四次A 的路线长是0，以此类推，每四次一个循环，且顶点A 转动一个循环的路线长为：52π＋32π＋2π＝6π，∵2017÷4＝504……1，∴顶点A 转动2017次经过的路线长为：6π×504＋2π＝3026π. 例7. 如图，已知菱形OABC 的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为( )第7题图A.(1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，2) 【答案】B【解析】∵菱形OABC 的顶点O(0，0)，点B 的坐标是(2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D 是线段OB 的中点，∴点D 的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D 关于原点O 成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为(－1，－1)．例8. 某广场用同一种如下图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图①所示的图案，第二次拼成形如图②所示的图案，第三次拼成形如图③所示的图案，第四次拼成形如图④所示的图案…按照这样的规律进行下去，第n 次拼成的图案共用地砖________块．第8题图 地砖图案【答案】2n 2＋2n【解析】①4，②4＋2×4，③4＋2×4＋2×6，…，故第n 个图形共有4＋2×4＋2×6＋…＋2×2n ＝4＋4×2＋4×3＋…＋4n ＝4(1＋2＋3＋…＋n)＝4×n （n ＋1）2＝2n 2＋2n.例9.下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，…，按此规律排列，第5个图形的周长为________．第9题图【答案】40【解析】第一个图形周长1×2＋1×2；第二个图形周长(2＋1)×2＋2×2；第三个图形周长(3＋2＋1)×2＋2×3；第四个图形周长(4＋3＋2＋1)×2＋2×4；第五个图形周长(5＋4＋3＋2＋1)×2＋2×5＝40.例10. 如图，在△ABC中，BC＝1，点P1、M1分别是AB、AC边的中点，点P2、M2分别是AP1、AM1的中点，点P3、M3分别是AP2、AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为________(n为正整数)．第10题图【答案】12n【解析】在△ABC中，BC＝1，P1、M1分别是AB、ACnnnn的中点，∴P1M1＝12BC＝12，按照题设给定的规律，列表如下：图形序号P n M nP n M n的长度①P1M11 2②P2M214＝122③P3M318＝123………n P n M n 1 2n例11. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A n的坐标是________．第11题图【答案】(2n－1－1，2n－1)【解析】∵点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，∴A1的坐标是(0，1)，即OA1＝1，∵四边形A1B1C1O为正方形，∴OC1＝1，即点A2的横坐标为1，∴A2的坐标是(1，2)，A2C1＝2，∵四边形A2B2C2C1为正方形，∴C1C2＝2，∴OC2＝1＋2＝3，即点A3的横坐标为3，∴A3的坐标是(3，4)，…，观察可以发现：A1的横坐标是：0＝20－1，A1的纵坐标是：1＝20；A2的横坐标是：1＝21－1，A2的纵坐标是：2＝21；A3的横坐标是：3＝22－1，A3的纵坐标是：4＝22；…据此可以得到A n的横坐标是：2n－1－1，纵坐标是：2n－1.所以点A n的坐标是(2n－1－1，2n－1)．例12. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2017的坐标为________．第12题图第13题图【答案】(21008，21009)【解析】观察，发现规律：A1(1，2)，A2(－2，2)，A3(－2，－4)，A4(4，－4)，A5(4，8)，…，∴A2n＋1((－2)n，2(－2)n)，A2n＋2(－2)n＋1，2(－2)n，(n为自然数)，∵2017＝1008×2＋1，∴A2017的坐标为((－2)1008，2(－2)1008)＝(21008，21009)．例13. 如图，∠MON ＝60°，作边长为1的正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，边A 1B 1、F 1E 1分别在射线OM 、ON 上，边C 1D 1所在的直线分别交OM 、ON 于点A 2、F 2，以A 2F 2为边作正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，边C 2D 2所在的直线分别交OM 、ON 于点A 3、F 3，再以A 3F 3为边作正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3，…，依此规律，经第n 次作图后，点B n 到ON 的距离是________． 【答案】3n－13【解析】由题可知，∠MON ＝60°，不妨设B n 到ON 的距离为h n ，∵正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为1，则A 1B 1＝1，易知△A 1OF 1为等边三角形，∴A 1B 1＝OA 1＝1，∴OB 1＝2，则h 1＝2×32＝3，又OA 2＝A 2F 2＝A 2B 2＝3，∴OB 2＝6，则h 2＝6×32＝33，同理可求：OB 3＝18，则h 3＝18×32＝93，…，依此可求：OB n ＝2×3n －1，则h n ＝2×3n －1×32＝3n －13，∴B n到ON 的距离h n ＝3n－13.例14. 如图，Rt △OA 0A 1在平面直角坐标系内，∠OA 0A 1＝90°，∠A 0OA 1＝30°，以OA 1为直角边向外作Rt △OA 1A 2，使∠OA 1A 2＝90，∠A 1OA 2＝30°，以OA 2为直角边向外作Rt △OA 2A 3，使∠OA 2A 3＝90°，∠A 2OA 3＝30°，按此方法进行下去，得到Rt △OA 3A 4，Rt △OA 4A 5，…，Rt △OA 2016A 2017，若点A 0(1，0)，则点A 2017的横坐标为________．第14题图【答案】(43)1008【解析】由题意可知，经过12次变换后，点A 13落在射线OA 1上，∵2017÷12＝168……1，∴点A 2017落在射线OA 1上，其横坐标与点A 2016相同，∵OA 0＝1，经过12次变换后，OA 12＝(233)12，再经过12次变换后，OA 24＝(233)24，综上可猜想，OA 2016＝(233)2016＝(43)1008，∴点A 2017的横坐标为(43)1008.例15. 如图，直线y ＝33x 上有点A 1，A 2，A 3，…，A n ＋1，且OA 1＝1，A 1A 2＝2，A 2A 3＝4，…，A n A n ＋1＝2n ，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ＋1作直线y ＝33x 的垂线，交y 轴于点B 1，B 2，B 3，…，B n ＋1，依次连接A 1B 2，A 2B 3，A 3B 4，…，A n B n ＋1，得到△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3，△A 3B 3B 4，…，△A n B n B n ＋1，则△A n B n B n ＋1的面积为________(用含正整数n 的式子表示)．第15题图【答案】32×22n －32×2n【解析】如解图，作A 1C 1⊥x 轴于C 1，A 2C 2⊥x 轴于C 2，A n C n ⊥x 轴于C n ，∵点A n 在直线上y ＝33x ，∴A 1C 1OC 1＝A 2C 2OC 2＝A n C n OC n ＝33，∴∠A n OC n ＝30°，∴OC n ＝32OA n ＝32(1＋2＋22＋…＋2n －1)，∠A n OB n ＝60°，∵B n A n ⊥OA n ，∴OB n ＝2OA n ，∴ B n B n ＋1＝2OA n ＋1－2OA n ＝2A n A n ＋1＝2×2n ＝2n ＋1.第15题解图S△AnBnBn＋1＝12B n B n＋1×OC n＝12×2n＋1·32(1＋2＋22＋…＋2n－1)，设S＝1＋2＋4＋…＋2n－1，则2S＝2＋4＋…＋2n＋1＋2n，∴S＝2S－S＝(2＋4＋…＋2n－1＋2n)－(1＋2＋4＋…＋2n－1)＝2n－1 ，综上可知S△AnBnBn＋1＝12×2n＋1×32(2n－1)＝32×22n－32×2n.例16. 如图，∠AOB＝60°，点O1是∠AOB平分线上一点，OO1＝2，作O1A1⊥OA，O1B1⊥OB，垂足分别为A1，B1，以A1B1为边作等边三角形A1B1O2；作O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为A2，B2，以A2B2为边作等边三角形A2B2O3；作O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为A3，B3，以A3B3为边作等边三角形A3B3O4；…，按这样的方法继续下去，则△A n B n O n 的面积为________(用含正整数n的代数式表示)．【答案】32n －24n 3【解析】∵∠AOB ＝60°，OO n 平分∠AOB ，∴∠AOO n ＝30°，∵A 1O 1⊥AO ，OO 1＝2，∴A 1O 1＝1，OA 1＝3.∵O 1A 1⊥OA ，O 1B 1⊥OB ，∴O 1A 1＝O 1B 1，∵O 1O ＝O 1O ，∴Rt △O 1A 1O ≌Rt △O 1B 1O(HL)，∴OA 1＝OB 1，∵∠A 1OB 1＝60°，∴△A 1OB 1是等边三角形，∴A 1B 1＝OA 1＝3，∵△A 1O 2B 1是等边三角形，∴A 1O 2＝A 1B 1＝3，在Rt △A 1O 2A 2中，∠O 2A 1A 2＝60°，A 1O 2＝3，∴A 2O 2＝32A 1O 2＝32O 1A 1，同理A 3O 3＝32A 2O 3＝(32)2A 1O 1，∴A n O n ＝(32)n －1A 1O 1. 又 S △O 1A 1B 1＝2S △O 1A 1O －S △A 1B 1O ＝2×12×1×3－34·(3)2＝34 .易得∠A n O n B n ＝∠A 1O 1B 1＝120°，A n O n ＝B n O n ，∴A n O n A 1O 1＝B n O nB 1O 1，∴△A 1O 1B 1∽△A nO nB n，∴S△A n B nO nS △A 1B 1O1＝(A n O n A 1O 1)2＝(32)2n －2.∴S △A nB n O n ＝32n －24n 3.。

兴化市板桥初中毕业、升学统一考试模拟试题数学(考试时间：120分钟 满分：150分)第一部分 选择题一、选择题 (每题3分，共36分) 1．2的绝对值是A. 2B. －2C. 0.5D. －0.52．下列计算中，正确的是A ．2a 3－3a ＝－a ；B ．（－ab ）2＝－a 2b 2；C ．a 2·a -3＝a -1；D ．－2a 3÷（－2a ）＝－a 2．3．为迎接2008年北京奥运会修建的鸟巢，将用于国际、国内体育比赛和文化、娱乐活动，鸟巢的建筑面积约为258000 平方米，将258000用科学记数法表示应为A ．62.5810⨯B ．52.610⨯C ．42.5810⨯D ．52.5810⨯4．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是5．下图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的则每次旋转的度数可以是A. 900B. 600C. 450D. 3006．在直角坐标系中，⊙O 的圆心在原点，半径为3，⊙A 的圆心A 的坐标为(3-，1)，半径为1，那么⊙O 与⊙A 的位置关系是A．内含B．内切C．相交D．外切7. 如图,把一个边长为1的正方形经过三次对折后沿中位线(虚线)剪下,则下图展开得到的图形的面积是A．34B.12C．38D．3168．如图是一个电脑桌面背景图，左右两个“京”字图的面积比约是A．2∶1 B．4∶1 C．8∶1 D．16∶1 9．下列事件的概率是１的是A．任意两个偶数的和是４的倍数B．任意两个奇数的和是２的倍数C．任意两个质数的和是２的倍数D．任意两个整数的和是２的倍数10．如果不等式组212x mx m>+⎧⎨>+⎩，的解集是1x>-，那么m的值是A．3B．1Ｃ．1-D．3-11．匀速向一个容器注满水，容器水面的高度变化过程如图所示：则这个容器可能是12．从A点出发的一条光线在直线AD与CD之间反射了n次以后，垂直地射到B点（该点可能在AD 上，也可能在CD 上），然后按原路返回点A ，如图所示是n =3时的光路图，若∠CDA =8°，则n 的最大值是A. 10B. 11C. 12D. 14二．填空题 (每题3分，共24分)13．为支援南方雪灾地区，某校团委举行了“雪灾无情人有情”的捐资活动，其中6个班同学的人均捐款数分别为：6元、4.6元、4.1元、3.8元、4.8元、5.2元.则这组数据的中位数是 元．14．如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC 可将其固定，•这里所运用的几何原理是__________．15．已知一段公路在斜坡上,坡度i=1:3，若汽车在斜坡上行驶100米，则汽车升高 __________米.16．时钟的时针长6㎝，经过80分钟时针扫过的面积为 ㎝2 (结果保留π) ． 17．下表所描述的是1y 与2y 分别与x 的函数关系：若两个函数的图象只有一个交点，则交点坐标是_________．18. 一个均匀的立方体六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．如图是这个立方体表面的展开图．抛掷这个立方体,则朝上一面上的数恰好等于朝下一面上的数的21的概率是 _____________．x… 3- 2- 1- 0 1 … 1y … 1.5-1-0.5- 00.5… 2y…1.50.50.5-1.5-2.5-…19．晓莹按如图所示的程序输入一个负数x ，最后从输出端得到的数为16，则晓莹输入的最大的负数为 ．20．如图所示，已知反比例函数y =1x的图象上有一点P ，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂 线，垂足分别为A 、B ，使四边形OAPB 为正方形,又在反比例函数的图象上有一点P 1，过点P 1分别作BP 和y 轴的垂线。

☆◇☆中考数学中的方程型问题☆◇☆解方程或方程组是同学们最熟悉的，但利用方程（组）解应用题，就感到有点困难，特别是近年来中考题中应用题的取材大都来自现实生活，数据真实，同学们就更感困难。

传统的方程应用题语句简短，数字简单，类型明显，数量关系比较明确，列方程（组）比较容易。

但中考中的方程应用题往往涉及到日常生活、生产实践、经济活动、社会发展中的有关常识，因此解这类题时，首先要耐心地阅读题目，弄清楚题目中叙述的背景知识，一遍读不懂就再读一遍，将题目浓缩、读“短”。

同时要边阅读、边思考，找到关键词语、关键数量，再借用做传统应用题的方法（如列表法、图示法等）分析这些数量之间的关系，找到等量关系，建立方程（组）。

由于数据是来自实际情况，不是人为编造的，所以有时数据较复杂，这时可以利用科学计算器进行计算；当数据很大或很小时，可以利用科学记数法来表示数据，再进行计算，结果也可用科学记数法表示。

对于求出的求知数的值，应根据问题的实际意义，检查它们是否符合题意，才能确定问题的解．由于实际问题的复杂性，近年来的方程应用题开始与不等式联系起来，在一道题中既要列方程（组），又要列不等式（组），这就增加了试题的难度，需要细心分析数量间的关系，确定选用的数学模型。

例1、某灯具店采购了一批某种型号的节能灯，共用去400元．在搬运过程中不慎打碎了5盏，该店把余下的灯以每盏比进价多4元的价格全部售出，然后用所得的钱又采购了一批这种节能灯，且进价与上次相同，但购买的数量比上次多了9盏．求每盏灯的进价。

分析一：（1）简述题目所叙述的事件：先买灯，再卖灯，然后用卖灯的钱全部买灯．（2）用列表法将数据之间的关系表示出来（设每盏灯的进价为元）：即分析二：（1）简述事件：先买灯，再卖灯，结果用卖灯盈利的钱多买了9盏灯．（2）设每盏灯的进价为x 元．第一次卖了⎪⎭⎫ ⎝⎛-5400x 盏，每盏盈利4元，共盈利⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+94005400)4(x x x x⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯54004x 元，但要注意损耗了5盏，还要除去5x 元，实际只盈利了x x 554004-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯（元）．可用图示法分析数量之间关系，（3）分析等量关系：卖灯实际盈利的钱＝多卖9盏灯的钱．即 x x x 9554004=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 解：设每盏灯的进价为x 元．根据题意，得 x x x 9554004=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-．解之，得x 1＝10，x 2＝780-． 经检验，这两个根都是原方程的根，但进价不能为负数，所以x ＝10．答：每盏灯的进价为10元．说明：从上述两种分析方法中可以看出，读懂题意、简述事件是很重要的．以不同的角度观察同一事件，就产生不同的分析方法，列出的方程在形式上也就不同，但结果是一样的，这里显然第二种方法较简单． 因此同学们在解应用题时不要满足于自己做出来了，要反思，探讨有无其它解决问题的思路，并要注意与同伴多交流，培养自己多角度解决问题的能力。