矩阵理论(新)

§8 矩阵多项式与多项式矩阵设A 是n 阶阵，则A E f −=λλ)(为矩阵A 的特征多项式。

事实上，n n n n a a a A E f ++++=−=−−λλλλλ111)( 因此有一、Hamilton -Cayley Th （哈密顿—开莱定理）Th1.每个n 阶矩阵A ，都是其特征多项式的根，即0111=++++−−E a A a A a A n n n n （矩阵） 注意：该定理旨在用于：当一个n 阶矩阵的多项式次数高于n 次时，则可用该定理将它化为次数小于n 的多项式来计算。

eg 1.设，试计算：⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=010110201A E A A A A A 432)(2458−++−=ϕ解：A 的特征多项式为12)(23+−=−=λλλλA E f取多项式432)(2458−++−=λλλλλϕ )()()149542(235λλλλλλr f +⋅−+−+=利用多项式除法余项103724)(2+−=λλλr 由上定理0)(=A f ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=+−==∴346106195026483103724)()(2E A A A r A ϕ Df 2.一般地，设)(λϕ是多项式，A 为方阵，若0)(=A ϕ，则称)(λϕ是矩阵A 的零化多项式。

根据定义：每个矩阵都有其零化多项式，即A E f −=λλ)( Df 3.设A 是n 阶矩阵，则把首项系数为1的次数最小的零化多项式)(λm ，称为A 的最小多项式。

性质：.矩阵A 的零化多项式都被其最小多项式整除。

0102.矩阵A 的最小多项式是唯一的03.若B A ~，则)(λA m =)(λB m证明： 由多项式除法可得： 01)(λg =)()()(λλλr h m A + (1) 其中：)(λr 为余项，且)(λr 的次数小于)(λA m 的次数。

若)(λg 不能被)(λA m 整除，根据(1)知：0)(≠λr ，并有：)()()()(λλλλh m g r A −=将A 代入上式得：0)()()()(=−=A h A m A g A r A （阵），即)(λr 亦为A 的零化多项式，且次数小于)(λA m 的次数，这与)(λA m 是A 的最小多项式相矛盾。

§7 矩阵函数的性质及其应用一、矩阵函数的性质：设 n n C B A ×∈.1．A e Ae e dtd At At At⋅== proof : 由 ()∑∑⋅==∞=m m m m AtA t m At m e !1!1对任何收敛。

因而可以逐项求导。

t ()∑∞=−−=∴01!11m mm At A t m e dt d ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅=∑∞=−11!11m m At m A ()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∑k At k A !1At e A ⋅= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ⋅=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⋅−=∑∑∞=∞=−−−01111!11!11 可见，A 与使可以交换的，由此可得到如下几个性质 At e 2．设，则BA AB =①． At At Be B e =⋅②．B A A B B A e e e e e +=⋅=⋅③．()()AA A AA AB A B A B A BA B A B A BA cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=−=⇒+=+−=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =⇒=而∑∑∞=∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛=00!1!1m m m m m m AtB A t m B t A m B e()∑∑∞=∞=⋅==00!1!1m mm m m At m B BA t mAt e B ⋅=② 令 ()()A B t At B C t e e e +−−t =⋅⋅ 由于()0=t C dtd)(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =−⋅===000)0()1()(当时， …………………. （@） 1=t E e e e B A B A =⋅⋅−−+特别地 A B −= 有E e e e A A =⋅⋅−0∴ 有 ()A A e e −−=1∴同理有()B B e e −−=1代入（@）式 因而有 B A B A e e e ⋅=+3.利用绝对收敛级数的性质，可得①A i A e iA sin cos +=()()iA iAiA iAe e iA e e A −−−=+=⇒21sin 21cos ②()()A A A A sin sin cos cos −=−=−4.E A A =+22cos sin ()()A E A AE A cos 2cos sin 2sin ππ+=+A E i A e e =+π2二、矩阵函数在微分方程组中的应用—常用于线性监测系统中 1. 一阶线性常系数齐次方程组的通解AX dtdX= 其中()Tn n n x x x X C A ,,,21"=∈×则有 ()K e t X At ⋅=其中()T n k k k K ,,,21"=1eg解方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+−=+−=313212211234xx dtdx x x dtdxx x dt dx解：原方程变为矩阵形式AX dt dX =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=201034011A ()T x x x X 321,,=由()(212−−=−λλλA E ) 得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=→100110002J A 1200000−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴P e e e e P e t tt tAt⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=∴−321120000)(k k k P e e e e P t X t tt t2. 一阶线性常系数微分方程组的定解问题：1Th :一阶线性常数微分方程组的定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn x x x X AXdt dX)0(,),0(),0(210" 有唯一解)0(X e X At ⋅=proof :实际上，由AX dtdX=的通解为 K e t X At ⋅=)(将初值代入，得)0(X )0(X k =)0(X e X At =∴由可的定解问题1Th ()⎪⎩⎪⎨⎧==Tn t x t x t x t X AX dt dX)(,),(),()(002010" 的唯一解为()()00)(t X e t X t t A ⋅=−2eg 求定解问题：()()⎪⎩⎪⎨⎧==Tx Axdt dx1,00,的解⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=1221A 解：由 0=−A E λ 得i x 32,1±=对应的特征向量记为：Ti ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=231,1α ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=231,1i β 则，于是矩阵：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=23123111i i P 13300−−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅=∴P e e P eit itAt⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=t t t e t X At 3sin 313cos 3sin 3210)( 练习：求微分方程组1132123313383625dx x x dt dx x x x dt dx x x dt ⎧=+⎪⎪⎪=−+⎨⎪⎪=−−⎪⎩满足初始条件的解。

矩阵理论通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。

一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。

本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。

一 线性方程组对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。

由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。

对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n 级。

所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。

判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。

但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。

对于一些常用的()f n ，成立下列重要关系：23(1)(log )()(log )()()(2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<<LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。

LU 分解就是在可以的情况下，将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。

这样的话，对Ax b =求解，可以转化为对Ly b =求解，然后对Ux y =求解。

但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。

但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。

矩阵理论简介在数学中，矩阵是一个重要的概念。

它是一个由数值排列成的长方形的数组，被广泛应用于线性代数、组合数学、物理和工程学等领域。

矩阵可以用来表示一组线性方程的系数矩阵、旋转矩阵、变换矩阵、图像处理等。

矩阵的定义和表示矩阵是一个长方形的数组，可以用一个大写字母表示，如 A。

矩阵中的每个元素可以用 A(i,j) 表示，其中 i 表示行数，j 表示列数。

例如，一个二阶矩阵可以表示为：$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}$$其中，$a_{11}$ 表示矩阵的第一行第一列的元素，$a_{12}$ 表示矩阵的第一行第二列的元素，以此类推。

矩阵的运算矩阵可以进行加、减、乘等运算。

计算两个矩阵的和时，需要将它们对应位置的元素相加，例如：$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12\end{bmatrix}$$矩阵的乘法是比较重要的运算。

两个矩阵的乘积可以表示为：$$C = AB$$其中，矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数。

例如，一个 2x3 的矩阵 A 和一个 3x2 的矩阵 B 的乘积可以表示为：$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \times\begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{bmatrix}$$矩阵的转置一个矩阵的转置是将它的行和列互换得到的新矩阵。

§4 线性变换的矩阵表示引言：数域P 上线性空间V 上的所有线性变换组成的集合—L (V )是数域P 的线性空间。

若V 是n 维线性空间，那么L (V )的维数是多少呢？L (V )与n n P ⨯之间具有什么关系？为此，我们先研究一下线性变换的矩阵表示。

一、线性变换在一组基下的矩阵表示：设n εεε,,,21 是数域P 上的n 维线性空间V 的一组基，A 是V 上的一个线性变换，对V ∈∀α，则有n n k k k εεεα+++= 2211 )()()(11n n A k A k A εεα++=∴又),1()(n i VA i =∈ε则有：)()()()(22112222112212211111*⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n n nn nn a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε用矩阵形式表述（*）有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n n n a a a a a a a a a A A A 2122221112112121),,())(),(),((εεεεεε习惯上记上式左边为：),(21n A εεε，，则有：A A n n ),(),(2121εεεεεε，，，， =；这就有了下面的定义：1.Df 1.若A A n n ),(),(2121εεεεεε，，，， =则称A 为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵，且可逆若V ∈α在n εεε,,,21 下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n k k 1，那么)(αA 在基n εεε,,,21 下的坐标又如何呢？⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=n n n n k k A A A A k A k A 12111))(),(),(()()()(εεεεεα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n k k A k k A 121121),,,(),,(εεεεεε可见，)(αA 在基n εεε,,,21 下的坐标是由A 与α在n εεε,,,21 下的坐标来确定的。