命题及其关系充分条件与必要条件练习题

命题及其关系、充分条件与必要条件1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )2. 设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠14. 能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.5. 已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.6. 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.考点一命题及其关系【例1】 (1)下列说法正确的是( )A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B.“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题C.存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立D.“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题(2) 能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.【训练1】 (1) 下列说法中正确的是( )A.若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0B.若数列{a n}为常数列，则{a n}既是等差数列也是等比数列C.在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件D.命题“若an＋a n＋12<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”的逆命题为假命题(2) 命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是________.考点二充分条件与必要条件的判定【例2】 (1) 若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【训练2】 (1) 设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－1x＋a为奇函数”的________条件.考点三充分、必要条件的应用【例3】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P 是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.【迁移2】设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【训练3】若关于x的不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是( )A.(－∞，1]B.(－∞，1)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)一、选择题1.命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”2.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定3. 设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )A.ac2>bc2B.ab>1 C.a－c>b－c D.a2>b25.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]7. 已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.下列结论错误的是( )A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”二、填空题9. 设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________条件.10.有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________.11.若不等式m－1<x<m＋1成立的充分不必要条件是13<x<12，则实数m的取值范围是________.12.“a＝1”是“函数f(x)＝e xa－ae x是奇函数”的__________条件.13.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14. 已知a，b∈R，那么“2a>2b”是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件15.已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程x2m－1＋y22－m＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________.16. 设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________.17. 能说明“若a>b，则1a<1b”为假命题的一组a，b的值依次为________.答案命题及其关系、充分条件与必要条件1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )(3)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )(4)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( )解析(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.答案(1)×(2)√(3)√(4)√2.(新教材必修第一册P34复习参考题T5改编)设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>1b的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>1b ”，若“a>1b”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，故“ab>1”是“a>1b”的既不充分也不必要条件.答案 D3. 命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α＝π4解析命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”.答案 C4. 能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.解析a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，则a＋b＝－6<c.答案－2，－4，－5(答案不唯一)5. 已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.解析由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，∴a≤2.答案 (－∞，2]6. 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.解析直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k|2<2，解得－1<k<3.答案－1<k<3考点一命题及其关系【例1】 (1)下列说法正确的是( )A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B.“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题C.存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立D.“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题(2) 能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.解析 (1)对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；对于B 项，若“am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，因为当m ＝0时am 2＝bm 2，所以其逆命题为假命题，B 错；对于C 项，由指数函数的图象知，∀x ∈(0，＋∞)，都有4x >3x ，C 错； 对于D 项，原命题的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”是真命题，故原命题是真命题.(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f (x )min ＝f (0).答案 (1)D (2)f (x )＝sin x ，x ∈[0，2](答案不唯一 ，再如f (x )＝⎩⎨⎧0，x ＝0，1x，0<x ≤2) 规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意： (1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断. 【训练1】 (1) 下列说法中正确的是( ) A.若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0B.若数列{a n }为常数列，则{a n }既是等差数列也是等比数列C.在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的充要条件D.命题“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”的逆命题为假命题(2) 命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是________.解析 (1)A 错，f (x )＝1x为奇函数，但f (0)无意义；B 错，a n ＝0为常数列，但{a n }不是等比数列；C正确，由于A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.D错，若{a n}递减，则a n＋1<a n⇒an＋a n＋12<a n，n∈N*，所以逆命题为真命题，D不正确.(2)逆否命题的条件和结论分别是原命题结论的否定和条件的否定.故逆否命题在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.答案(1)C (2)在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面考点二充分条件与必要条件的判定【例2】 (1) 若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析(1)当a>0，b>0时，得4≥a＋b≥2ab，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5>4，不满足a＋b≤4，必要性不成立，故“a ＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.(2)由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以q⇒p，p q，所以綈p⇒綈q，綈q綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.答案(1)A (2)A规律方法充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.【训练2】 (1) 设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的________条件.解析 (1)由|x －1|<1可得0<x <2，由“0<x <5”不能推出“0<x <2”，但由“0<x <2”可以推出“0<x <5”，故“0<x <5”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件.(2)显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1x为奇函数；当f (x )为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x＋a ＝0. 因此2a ＝0，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的充要条件.答案 (1)B (2)充要考点三 充分、必要条件的应用【例3】 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求实数m 的取值范围. 解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}.∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P . ∴⎩⎨⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得m ≤3. 又∵S 为非空集合，∴1－m ≤1＋m ，解得m ≥0. 综上，m 的取值范围是[0，3].【迁移1】 本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由.解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ， ∴⎩⎨⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎨⎧m ＝3，m ＝9， 这样的m 不存在.【迁移2】 设p ：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，q ：非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，p 是q 的充分不必要条件. ∴p ⇒q 且qp ，即P S .∴⎩⎨⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎨⎧1－m <－2，1＋m ≥10， ∴m ≥9，又因为S 为非空集合， 所以1－m ≤1＋m ，解得m ≥0， 综上，实数m 的取值范围是[9，＋∞).规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.【训练3】 若关于x 的不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，1]B.(－∞，1)C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)解析 |x －1|<a ⇒1－a <x <1＋a ，因为不等式|x －1|<a 成立的充分条件是0<x <4，所以(0，4)⊆(1－a ，1＋a )，所以⎩⎨⎧1－a ≤0，1＋a ≥4，解得a ≥3.答案 D一、选择题1.命题“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2＝ac ”的逆否命题是( ) A.“若a ，b ，c 成等比数列，则b 2≠ac ” B.“若a ，b ，c 不成等比数列，则b 2≠ac ”C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”解析命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”.答案 D2.已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定解析命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.答案 B3. 设函数f(x)＝cos x＋b sin x(b为常数)，则“b＝0”是“f(x)为偶函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析∵f(x)＝cos x＋b sin x为偶函数，∴对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即cos(－x)＋b sin(－x)＝cos x＋b sin x，∴2b sin x＝0.由x的任意性，得b＝0.故f(x)为偶函数⇒b＝0.必要性成立.反过来，若b＝0，则f(x)＝cos x是偶函数.充分性成立.∴“b＝0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件.故选C.答案 C4.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )A.ac2>bc2B.ab>1 C.a－c>b－c D.a2>b2解析对于选项A，a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a>b，若a>0，b<0，则ab<1，故B错；对于选项C，a>b，则a－c>b－c，故C正确；对于选项D，a>b，若a，b均小于0，则a2<b2，故D错.答案 C5.原命题：设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )A.0个B.1个C.2个D.4个解析原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.答案 C6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是( )A.[1，＋∞)B.(－∞，1]C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.答案 A7. 已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.答案 A8.下列结论错误的是( )A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件C.命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题.答案 C 二、填空题9. 设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________条件.解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0；反之m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇒cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线.故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件.答案 充分不必要 10.有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________.解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确. 答案 ②③11.若不等式m －1<x <m ＋1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是________.解析 由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12(m －1，m ＋1)，借助数轴得⎩⎪⎨⎪⎧13≥m －1，12≤m ＋1，解得－12≤m ≤43，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4312.“a ＝1”是“函数f (x )＝e xa －aex 是奇函数”的__________条件.解析 当a ＝1时，f (－x )＝－f (x )(x ∈R)，则f (x )是奇函数，充分性成立. 若f (x )为奇函数，恒有f (－x )＝－f (x )，得(1－a 2)(e 2x ＋1)＝0，则a ＝±1，必要性不成立.故“a ＝1”是“函数f (x )＝e xa －ae x 是奇函数”的充分不必要条件.答案 充分不必要13.已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析 由S 4＋S 6－2S 5＝S 6－S 5－(S 5－S 4)＝a 6－a 5＝d ，所以S 4＋S 6>2S 5⇔d >0，所以“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件. 答案 C14. 已知a ，b ∈R，那么“2a >2b ”是“a 2>b 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 2a >2b ⇔a >ba 2>b 2； a 2>b 2a >b ，即a 2>b 22a >2b ，∴“2a>2b”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件. 答案 D15.已知p ：实数m 满足3a <m <4a (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，若p 是q 的充分条件，则a 的取值范围是________________. 解析 由2－m >m －1>0，得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q 的充分条件，所以⎩⎨⎧3a ≥1，4a ≤32，解得13≤a ≤38. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3816. 设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 解析 p 对应的集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)≤0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |12<x ≤1，q 对应的集合B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋1)]≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}.由q 是p 的必要而不充分条件，知A B .所以a ≤12且a ＋1≥1，因此0≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 17. 能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为________.解析 若a >b ，则1a <1b 为真命题，则1a －1b ＝b －aab<0，∵a >b ，∴b －a <0，则ab >0.故当a >0，b <0时，均能说明“若a >b ，则1a <1b”为假命题.答案 a ＝1，b ＝－1(答案不唯一，只需a >0，b <0)。

课时规范练A组基础对点练1．(2016·高考天津卷)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由x＞y推不出x＞|y|，由x＞|y|能推出x＞y，所以“x＞y”是“x＞|y|”的必要而不充分条件．答案：C2．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x ＋y＞2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若x＞1且y＞1，则有x＋y＞2成立，所以p⇒q；反之由x＋y＞2不能得到x＞1且y＞1.所以p是q的充分不必要条件．答案：A3．函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但f(x)是单调递增函数，在x＝0处不存在极值，故若p则q是一个假命题，由极值的定义可得若q则p是一个真命题．故选C. 答案：C4．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．答案：D5．原命题为“若a n＋a n＋12＜a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：从原命题的真假入手，由于a n＋a n＋12＜a n⇔a n＋1＜a n⇔{a n}为递减数列，原命题和逆命题均为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，故选A.答案：A6．(2017·河南质量检测)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.答案：B7．“x≥1”是“x＋1x≥2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由题意得x＋1x≥2⇔x＞0，所以“x≥1”是“x＋1x≥2”的充分不必要条件，故选A.答案：A8．(2017·天津模拟)已知a，b都是实数，那么“a＞b”是“ln a＞ln b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由ln a＞ln b⇒a＞b＞0⇒a＞b，故必要性成立；当a＝1，b＝0时，满足a＞b，但ln b无意义，所以ln a＞ln b不成立，故充分性不成立，故选B.答案：B9．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.答案：B10．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：不等式|x－2|＜1的解集为{x|1＜x＜3},1＜x＜2可以推出1＜x＜3，反之不成立，所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分而不必要条件．故选A.答案：A11．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－2x＋1＝0，解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件，故选A.答案：A12．“x＞1”是“log 12(x＋2)＜0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由log 12(x＋2)＜0，得x＋2＞1，解得x＞－1，所以“x＞1”是“log12(x＋2)＜0”的充分而不必要条件，故选B.答案：B13．“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的() A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x －3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．答案：B14．(2017·河南洛阳统考)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±3，而当m＝3时，m2＋1＝4，∴“m＝3”是“A∩B＝{4}”的充分不必要条件．答案：A15．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P ∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．答案：A16．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件解析：由正弦定理，得asin A＝bsin B，故a≤b⇔sin A≤sin B，选A.答案：AB组能力提升练1．设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a＞b＞1⇔log2a＞log2b＞log21＝0，所以“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的充要条件．答案：A2．l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则()A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.答案：A3．给定两个命题p，q.若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由q⇒¬p且¬p q可得p⇒¬q且¬q p，所以p是¬q的充分而不必要条件．答案：A4．(2017·辽宁大连双基检测)已知函数f(x)的定义域为R，则命题p：“函数f(x)为偶函数”是命题q：“∃x0∈R，f(x0)＝f(－x0)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)，所以p⇒q；若f(x)＝x，当x＝0时，f(0)＝f(－0)，而f(x)＝x为奇函数，所以q p，故选A.答案：A5．“x≠y”是“|x|≠|y|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当x≠y时，不可以推出|x|≠|y|，例如：当x＝1，y＝－1时，有|x|＝|y|；但当|x|≠|y|时，可以推出x≠y，故“x≠y”是“|x|≠|y|”的必要不充分条件．答案：B6．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若函数y ＝2x ＋m －1有零点，则m ＜1；若函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m ＜1.故选B.答案：B7．“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，当a ＝0时，f (x )＝sin x －1x ，f (－x )＝sin(－x )－1－x＝－sin x ＋1x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －1x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数．当f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0，又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x＋a ＋sin x －1x ＋a ＝2a ，所以2a ＝0，故a ＝0. 所以“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x ＋a 为奇函数”的充要条件，故选C.答案：C8．(2017·武汉武昌区调研)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝0时，f (x )＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，f (x )＝(－ax ＋1)x ＝－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x ，结合二次函数的图象可知f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，函数f (x )＝|(ax －1)x |的图象大致如图：函数f(x)在区间(0，＋∞)上有增有减．所以“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)上单调递增”的充要条件，故选C.答案：C9．设a、b是实数，则“a＞b＞0”是“a2＞b2”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：若a＞b＞0，则a2＞b2成立，若a＝－2，b＝1，满足a2＞b2，但a＞b＞0不成立，故“a＞b＞0”是“a2＞b2”的充分不必要条件，故选C.答案：C10．(2017·江西九校联考)下列判断错误的是()A．若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题B．命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x30－x20－1＞0”C．“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题D．“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题解析：选项A、B中的命题显然正确；选项D中命题的否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，显然当m＝0时，命题是假命题，所以选项D正确；对于选项C中的命题，当c＝0时，命题是假命题，故选C.答案：C11．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足⎩⎨⎧ y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，选A. 答案：A12．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a ＞4C ．a ≥1D ．a ＞1解析：要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4， ∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．答案：B13．下列四个结论中正确的个数是( )①“x 2＋x －2＞0”是“x ＞1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于①，由x 2＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞1，故“x 2＋x －2＞0”是“x ＞1”的必要不充分条件，故①错误；对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”，故②正确；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误；对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32， ∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误．故选A.答案：A14．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12” “k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A。

高二命题及其关系､充分条件与必要条件练习题一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.“红豆生南国,春来发几枝.愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》诗,在这4句诗中,哪句可作为命题( )A.红豆生南国B.春来发几枝C.愿君多采撷D.此物最相思[来源:Z|xx|][ ]解析:因为命题是能判断真假的语句,它必须是陈述句,所以首先我们要凭借语文知识判断这4句诗哪句是陈述句,然后再看能否判定其真假.“红豆生南国”是陈述,意思是“红豆生长在中国南方”,这在唐代是事实,故本语句是命题;“春来发几枝”中的“几”是概数,无法判断其真假,故不是命题;“愿君多采撷”是祈使句,所以不是命题;“此物最相思”是感叹句,故不是命题.答案:A2.“|x-1|<2成立”是“x(x-3)<0成立”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:由|x-1|<2得-1<x<3.由x(x-3)<0得0<x<3.因为“-1<x<3成立”⇒“0<x<3成立”,但“0<x<3成立”⇒“-1<x<3成立”.故选B.答案:B评析:如果p⇒q,q⇒p,则p是q的必要不充分条件.3.“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a=1时,直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直;当直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直时,有a=1.故选C.答案:C评析:如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.4.x2<4的必要不充分条件是( )A.-2≤x≤2B.-2<x<0C.0<x≤2D.1<x<3解析:x2<4即为-2<x<2,因为-2<x<2⇒-2≤x≤2,而-2≤x≤2不能推出-2<x<2,所以x2<4的必要不充分条件是-2≤x≤2.选A.答案:A5.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是( )A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数解析:否命题是既否定题设又否定结论.因此否命题应为“若函数f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数.”答案:B6.设p:x<-2011或x>2011;q:x<-2011或x>2011,则¬p是¬q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件[ ZXXK]C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:∵p:x<-2011或x>2011;q:x<-2011或x>2011,∴¬p:-2011≤x≤2011,¬q:-2011≤x≤2011.∵∀x∈[-2011,2011],都有x∈[-2011,2011],∴¬p ⇒¬q,而∃x 0∈[-2011,2011],且x 0 ∉ [-2011,2011],[ ]如x 0=-2011.5,∴¬p 是¬q 的充分不必要条件.故选A.答案:A二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)7.(2011·江苏金陵中学三模)若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x 的取值范围是____________________________.解析:x ∉[2,5]且x ∉{x|x<1或x>4}是真命题.由x 5,1x 42,x >⎧⎨⎩<或≤≤得1≤x<2,故x∈[1,2). 答案:[1,2)8.设p ､r 都是q 的充分条件,s 是q 的充要条件,t 是s 的必要条件,t 是r 的充分条件,那么p 是t 的________条件,r 是t 的________条件.(用充分､必要､充要填空)解析:由题意可画出图形:由图形可看出p 是t 的充分条件,r 是t 的充要条件.答案:充分 充要9.令P(x):ax 2+3x+2>0,若对任意x∈R,P(x)是真命题,则实数a 的取值范围是__________.解析:对任意x∈R,P(x)是真命题,就是不等式ax 2+3x+2>0对一切x∈R 恒成立.(1)若a=0,不等式仅为3x+2>0不能恒成立.[ ZXXK](2)若0980a a >-∆⎧⎨=<⎩,解得a>98. (3)若a<0,不等式显然不能恒成立. 综上所述,实数a>98. 答案:a>9810.已知p:log (|x|-3)>0,q:x 2- x+16>0,则p 是q 的________条件.[来源:Z*xx*]解析:由log (|x|-3)>0可得0<|x|-3<1,解得3<x<4或-4<x<-3.所以p:3<x<4或-4<x<-3.由x 2- x+16>0可得x<13或x> , 所以q:x<13或x> . 故p 是q 的充分不必要条件.答案:充分不必要三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.主人邀请张三､李四､王五三个人吃饭聊天,时间到了,只有张三､李四准时赴约,王五打电话说:“临时有急事,不能来了.”主人听了随口说了句:“你看看,该来的没有来.”张三听了,脸色一沉,起来一声不吭地走了,主人愣了片刻,又道了句:“哎哟,不该走的又走了.”李四听了大怒,拂袖而去.请你用逻辑学原理解释二人的离去原因.解:张三走的原因是:“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”,张三觉得自己是不该来的.李四走的原因:“不该走的又走了”的逆否命题是“该走的没有走”,李四觉得自己是应该走的.评析:利用原命题与逆否命题同真同假解题非常方便,要注意用心体会!12.已知p:113x --≤2,q:x 2-2x+1-m 2≤0(m>0).若¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.解:由113x--≤2,得-2≤x≤10.“¬p”:A={x|x>10或x<-2}.由x 2-2x+1-m 2≤0,得1-m≤x≤1+m(m>0).∴“¬q”:B={x|x>1+m 或x<1-m,m>0}.∵¬p 是¬q 的充分而不必要条件,∴A B.结合数轴有0,110,12,m m m >⎧⎪+⎨⎪--⎩≤≥解得0<m≤3.评析:将充要条件问题用集合的关系来进行转化是解此类题目的关键.13.(2011·潍坊质检)设p:实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a>0,命题q:实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--⎪⎨+->⎪⎩≤(1)若a=1,且p∧q 为真,求实数x 的取值范围;(2)若¬p 是¬q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.解:先解不等式,把命题p,q 具体化,第(1)问利用真值表求x;第(2)问由互为逆否命题等价确定p 、q 之间的关系,确定关于a 的不等式,问题可解.(1)由x 2-4ax+3a 2<0得(x-3a)(x-a)<0,又a>0,所以a<x<3a.当a=1时,1<x<3,即p 为真时,实数x 的取值范围是1<x<3.由2260280x x x x --+->⎧⎪⎨⎪⎩≤.得2<x≤3,当q 为真时,实数x 的取值范围是2<x≤3.若p∧q 为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是2<x<3.(2)¬p 是¬q 的充分不必要条件,即¬p ⇒¬q,且¬q⇒¬p, 设A={x|¬p},B={x|¬q},则A B,又A={x|¬p}={x|x≤a 或x≥3a},B={x|¬q}={x|x≤2或x>3},则0<a≤2,且3a>3,所以实数a 的取值范围是1<a≤2.评析:本题中,¬p 是¬q 的充分不必要条件,从而推出集合A 与B 的关系,确定关于a 的不等式组,使问题获得解决.2222214.p:x 10:4x 4(2)10p p x 10m 40 2.m 2.044(2)1016m-2)160.03:13p q m 2p .1mx q m x q q mx m p m x m x m q m p q p q p q q m ++=+-+=∨∧++=⎧->∴∴>>⎨-<⎩+-+=∴-<∴<<∴<<∨∧∴>∴∧⌝⌝∧≤2有两个不等的负根。

课时作业A组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件1、解析：由|x－1|≤1，得0≤x≤2，∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤20≤x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件，故选B.2．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是()A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数2、解析：由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.答案：C3．已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题3、解析：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：D4．“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4、解析：当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；若l1∥l2，则－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是() A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤05、解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．答案：D6．(2018·惠州市调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件6、解析：设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.答案：C7．(2018·南昌十校模拟)命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．0 B．1C．2 D．37、解析：原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.答案：D8．(2018·石家庄模拟)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，则“m＝1”是“a∥b”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8、解析：向量a＝(1，m)，b＝(m,1)，若a∥b，则m2＝1，即m＝±1，故“m＝1”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.答案：A9．(2018·武汉市模拟)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是＋a2n＜0”的()“对任意的正整数n，a2n－1A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9、解析：a1＞0，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2(1＋q)＜0⇒1＋q＜0⇒q＜－1⇒q＜0，而a1＞0，q＜0，取q＝－1，此时a2n－1＋a2n＝a1q2n－2(1＋q)＞0.故“q＜0”是“对任2意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要不充分条件．答案：B10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“a⊥b”是“α⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10、解析：因为α⊥β，b⊥m，所以b⊥α，又直线a在平面α内，所以a⊥b；但直线a，m不一定相交，所以“a⊥b”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案：B11．(2018·南昌市模拟)a2＋b2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11、解析：因为a sin θ＋b cos θ＝a2＋b2sin(θ＋φ)≤a2＋b2，所以由a2＋b2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a＝2，b＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a2＋b2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a2＋b2＝1，故a2＋b2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.答案：A12．(2018·洛阳统考)已知集合A＝{1，m2＋1}，B＝{2,4}，则“m＝3”是“A∩B ＝{4}”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12、解析：若A∩B＝{4}，则m2＋1＝4，∴m＝±3，而当m＝3时，m2＋1＝4，∴“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件． 答案：A13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．13、解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B . 答案：充要 14．“x ＞1”是“”的__________条件．14、解析：由，得x ＋2＞1，解得x ＞－1，所以“x ＞1”是“”的充分不必要条件．答案：充分不必要15．命题“若x >1，则x >0”的否命题是__________． 15、答案：若x ≤1，则x ≤016．如果“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__________． 16、解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1. 答案：－1B 组——能力提升练1．(2018·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n ＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1、解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2，由a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .故选B. 答案：B2．已知函数f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)＋a (7x ＋7－x )，x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、解析：由题意知f (x )的定义域为R ，易知y ＝ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，y ＝7x＋7－x 为偶函数．当a ＝0时，f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，充分性成立；当f (x )为奇函数时，则a ＝0，必要性成立．因此“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．故选C. 答案：C3．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( )A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件3、解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A. 答案：A4．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、、解析：x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.故选A.答案：A5．若a，b为正实数，且a≠1，b≠1，则“a＞b＞1”是“log a 2＜log b 2”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5、解析：当a＞b＞1时，log a 2－log b 2＝ln 2ln a－ln 2ln b＝ln 2(ln b－ln a)ln a·ln b＜0，所以log a2＜log b 2.反之，取a＝12，b＝2，log a 2＜log b 2成立，但是a＞b＞1不成立．故“a＞b＞1”是“log a 2＜log b 2”的充分不必要条件，选A.答案：A6．已知数列{a n}的前n项和为S n，则“a3>0”是“数列{S n}为递增数列”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6、解析：当a1＝1，a2＝－1，a3＝1，a4＝－1，…时，{S n}不是递增数列，反之，若{S n}是递增数列，则S n＋1>S n，即a n＋1>0，所以a3>0，所以“a3>0”是“{S n}是递增数列”的必要不充分条件，故选B.答案：B7．“a≤－2”是“函数f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7、解析：结合图象可知函数f(x)＝|x－a|在[a，＋∞)上单调递增，易知当a≤－2时，函数f(x)＝|x－a|在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.答案：A8．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8、解析：结合平面向量的几何意义进行判断．若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 答案：D9．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9、解析：取x ＝y ＝0满足条件p ，但不满足条件q ，反之，对于任意的x ，y 满足条件q ，显然必满足条件p ，所以p 是q 的必要不充分条件，选A. 答案：A10．(2018·广州测试)已知命题p ：∃x ＞0，e x －ax ＜1成立，q ：函数f (x )＝－(a －1)x 在R 上是减函数，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10、解析：作出y＝e x与y＝ax＋1的图象，如图．当a＝1时，e x≥x＋1恒成立，故当a≤1时，e x－ax＜1不恒成立；当a＞1时，可知存在x∈(0，x0)，使得e x －ax＜1成立，故p成立，即p：a＞1，由函数f(x)＝－(a－1)x是减函数，可得a －1＞1，得a＞2，即q：a＞2，故p推不出q，q可以推出p，p是q的必要不充分条件，选B.答案：B11．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为12”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件11、解析：若k＝1，则直线l：y＝x＋1与圆相交于(0,1)，(－1,0)两点，所以△OAB的面积S△OAB＝12×1×1＝12，所以“k＝1”⇒“△OAB的面积为12”；若△OAB的面积为12，则k＝±1，所以“△OAB的面积为12”⇒/ “k＝1”，所以“k＝1”是“△OAB的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A12．对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件．其中真命题的序号是__________．12、解析：①中“a＝b”可得ac＝bc，但c＝0时逆命题不成立，所以不是充要条件，②正确，③中a>b时a2>b2不一定成立，所以③错误，④中“a<5”得不到“a<3”，但“a<3”可得出“a<5”，“a<5”是“a<3”的必要条件，正确．答案：②④13．已知m∈R，“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数”的__________条件．13、解析：若函数y＝2x＋m－1有零点，则m＜1；若函数y＝log m x在(0，＋∞)上为减函数，则0＜m＜1.答案：必要不充分14．(2018·江西九校联考)下列判断错误的是__________．①若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题②命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x0∈R，x30－x20－1＞0”③“若a∥c且b∥c，则a∥b”是真命题④“若am2＜bm2，则a＜b”的否命题是假命题14、解析：选项①、②中的命题显然正确；选项④中命题的否命题为：若am2≥bm2，则a≥b，显然当m＝0时，命题是假命题，所以选项④正确；对于选项③中的命题，当c＝0时，命题是假命题，故填③.答案：③15．下列四个结论中正确的个数是__________．①“x2＋x－2＞0”是“x＞1”的充分不必要条件；②命题：“∀x∈R，sin x≤1”的否定是“∃x0∈R，sin x0＞1”；③“若x＝π4，则tan x＝1”的逆命题为真命题；④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.15、解析：对于①，由x 2＋x －2＞0，解得x ＜－2或x ＞1，故“x 2＋x －2＞0”是“x ＞1”的必要不充分条件，故①错误；对于②，命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0＞1”，故②正确；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误；对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32， ∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误．答案：1。

高考数学复习 课时作业2 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的逆否命题是( D ) A ．若xy ＝0，则x ≠0 B．若xy ≠0，则x ≠0 C ．若xy ≠0，则y ≠0 D．若x ≠0，则xy ≠0解析：“若xy ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则xy ≠0”．2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( D )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC 有一内角为π3”，它是真命题．3．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( D )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.4．已知p ：－1<x <2，q ：log 2x <1，则p 是q 成立的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由log 2x <1，解得0<x <2，所以－1<x <2是log 2x <1的必要不充分条件，故选B. 5．(2019·郑州质量预测)下列说法正确的是( D ) A ．“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a >1，则a 2≤1” B ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题 C ．存在x 0∈(0，＋∞)，使3x 0>4 x 0成立 D ．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题解析：对于选项A ，“若a >1，则a 2>1”的否命题是“若a ≤1，则a 2≤1”，故选项A 错误；对于选项B ，“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，因为当m ＝0时，am 2＝bm 2，所以其逆命题为假命题，故选项B 错误；对于选项C ，由指数函数的图象知，对任意的x ∈(0，＋∞)，都有4x >3x，故选项C 错误；对于选项D ，“若sin α≠12，则α≠π6”的逆否命题为“若α＝π6，则sin α＝12”，且其逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D.6．一次函数y ＝－m nx ＋1n的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( B )A ．m >1，且n <1B ．mn <0C ．m >0，且n <0D ．m <0，且n <0解析：因为y ＝－m nx ＋1n的图象经过第一、三、四象限，故－m n>0，1n<0，即m >0，n <0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn <0.7．“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( C ) A ．m >14B ．0<m <1C ．m >0D ．m >1解析：不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立⇔Δ<0，即1－4m <0，∴m >14，同时要满足“必要不充分”，在选项中只有“m >0”符合．故选C.8．(2019·洛阳市高三统考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，设p ：0<r ≤3，q ：圆上至多有两个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：对于q ，圆(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)上至多有两个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，又圆心(1,0)到直线的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2，则r <2＋1＝3，所以0<r <3，又p ：0<r ≤3，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.二、填空题9．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角．解析：原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°，结论：∠A ，∠B 都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”．10．(2019·山西太原联考)已知a ，b 都是实数，那么“2a >2b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．解析：充分性：若2a >2b ，则2a －b >1，∴a －b >0，∴a >b .当a ＝－1，b ＝－2时，满足2a >2b，但a 2<b 2，故由2a >2b 不能得出a 2>b 2，因此充分性不成立．必要性：若a 2>b 2，则|a |>|b |.当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2>b 2，但2－2<21，即2a <2b ，故必要性不成立．综上，“2a >2b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．11．已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是(0,3)．解析：令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3.12．下列命题中为真命题的序号是②④. ①若x ≠0，则x ＋1x≥2；②命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1； ③“a ＝1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件；④命题“若x <－1，则x 2－2x －3>0”的否命题为“若x ≥－1，则x 2－2x －3≤0”． 解析：当x <0时，x ＋1x≤－2，故①是假命题；根据逆否命题的定义可知，②是真命题；“a ＝±1”是“直线x －ay ＝0与直线x ＋ay ＝0互相垂直”的充要条件，故③是假命题；根据否命题的定义知④是真命题．13．已知m ，n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“m ·n ＝|m ·n |”的( D ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m 与n 反向时，m ·n <0，而|m ·n |>0，故充分性不成立．若m ·n ＝|m ·n |，则m ·n ＝|m |·|n |cos 〈m ，n 〉＝|m |·|n |·|cos〈m ，n 〉|，则cos 〈m ，n 〉＝|cos 〈m ，n 〉|，故cos 〈m ，n 〉≥0，即0°≤〈m ，n 〉≤90°，此时m 与n 不一定共线，即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m ·n ＝|m ·n |”的既不充分也不必要条件，故选D.14．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 解析：由|4x －3|≤1，得12≤x ≤1；由x 2－(2a ＋1)·x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1.∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件．∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1[a ，a ＋1]．∴a ≤12，且a ＋1≥1，两个等号不能同时成立，解得0≤a ≤12.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．定义在R 上的可导函数f (x )，其导函数为f ′(x )，则“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴[f (－x )]′＝[－f (x )]′，∴f ′(－x )·(－x )′＝－f ′(x )，∴f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数；反之，若f ′(x )为偶函数，如f ′(x )＝3x 2，f (x )＝x 3＋1满足条件，但f (x )不是奇函数，所以“f ′(x )为偶函数”是“f (x )为奇函数”的必要不充分条件．故选B.16．已知p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38. 解析：由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即p ：3a <m <4a ，a >0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即q ：1<m <32.因为p 是q的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38.。

《命题及其关系、充分条件与必要条件》同步分层能力测试题A组基础题一．选择题1．下列语句中，是命题的个数为()①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数．A．1B．2 C．3 D．42．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数4．设集合，，那么“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5. “”是“直线相互垂直”的（）A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件6.“a＞0”是“＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．充分必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件二．填空题7．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．8 用充分、必要条件填空：是的.三．解答题9．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0<x<4，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．10．若a，b，c∈R，写出命题“若ac<0，则ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根”的逆命题、否命题和逆否命题．11．若，求证：不可能都是奇数12．求证：关于的一元二次不等式对于一切实数都成立的充要条件是．B组能力提高题一．选择题1. 设l、m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列结论正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m2．已知下列四个命题，其中是真命题的有()①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．A．①②③B．②③C．①③D．②④3．若命题p的逆命题是q，命题p的逆否命题是r，则q是r的()A．逆命题 B．否命题C．逆否命题D．以上都不正确4．下列语句中假命题的个数是()①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数．A．2 B．3 C．4 D．55．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么p是q成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件6．为非零向量，“函数为偶函数”是“”的）（）A .充分但不必要条件B .必要但不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件二．填空题7. 给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．8. 用充分但不必要、必要但不充分条件填空：已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的_______．三．解答题9.已知p：；q：（）．若p是q的充分而不必要条件，求实数的取值范围．10.求证：方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.《命题及其关系、充分条件与必要条件》同步分层能力测试题答案及解析A组基础题一．选择题1．D．解析：①②③④都是命题，根据命题的概念，它们都是可以判断真假的陈述句．2．D．解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.3．B．解析：根据否命题的概念，不难判断答案为B．4．B.解析：设集合，，，所以若“”推不出“”；若“”，则“”，所以“”是“”的必要而不充分条件，5．B.解析：当时两直线斜率乘积为从而可得两直线垂直,当时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件．6.A．解析：，∴a＞0”是“＞0”的充分不必要条件．二．填空题7．[－3,0] ．解析：命题“ax2－2ax－3>0不成立”亦即“ax2－2ax－3≤0恒成立”．当a＝0时，－3<0，不等式ax2－2ax－3≤0恒成立．当a 0时，Δ＝(－2a)2－4a×(－3) 0，即－3≤a 0.综上，－3≤a≤0.8 既不充分也不必要．解析：若， .三．解答题9．解析：命题p是真命题，则x2－2x－2≥1，∴x≥3或x≤－1，命题q是假命题，则x ≤0或x≥4.∴x≥4或x≤－1.10．解析：逆命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)有两个相异实根，则ac<0；否命题：若ac≥0，则ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)至多有一个实根；逆否命题：若ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R)至多有一个实数，则ac≥0．11．证明：假设都是奇数，则都是奇数得为偶数，而为奇数，即，与矛盾所以假设不成立，原命题成立．12 证明：恒成立．B组能力提高题一．选择题1. B．解析：由线面平行、垂直的判定定理及性质定理知B正确．2．C．解析：①命题：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，是真命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题是：“若两个三角形不相似，则它们的周长不相等”是假命题；③命题：“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题是：“若x2－2x＋m＝0无实根，则m＞1”，是真命题．④若A∪B＝B，则A⊆B，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．故选C.3．B．解析：可以举例说明B正确．4．A．解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．5．A.解析：用双箭头符号表示p、q、r、s的关系：pÞr，s r，q s，即pÞr，rÞs，sÞq，∴pÞrÞsÞq，即pÞq，又r /p，则q /p，故p是q的充分非必要条件.故选A.6．C . 解析：∵，又函数为偶函数∴；反之也成立，∴选C .二．填空题7. ①②③.解析：①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；③因为命题“若a>b>0，则3a>3b>0”是真命题，故其逆否命题为真命题；④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1，假命题．所以应填①②③.8. 充分但不必要条件．解析：∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1，x2的值分别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．∴,但时，满足x1＋x2＝－5，却推导不出p．三．解答题9.解析：p是q的充分而不必要条件．设p：；q：；所以，，它等价于所以的取值范围是．10.证明：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x= ,方程只有一个负根；当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,方程只有一个负根．当a<0时，Δ=4（1-a）>0,方程有两个不相等的根，且<0,方程有一正一负根．必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根．当a=0时，适合条件．当a≠0时，方程ax2+2x+1=0有实根，则Δ=4（1-a）≥0，∴a≤1,当a=1时，方程有一个负根x=-1.若方程有且仅有一负根，则∴a<0．综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要。

A 组 考点能力演练1．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( )A ．若a 2＋b 2≠0，虽a ≠0且b ≠0B ．若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0C ．若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0解析：先确定逆命题为“若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2＝0”，再将逆命题否定为“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”，故选D.答案：D2．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20.故选A. 答案：A3．(2016·沈阳一模)“x <0”是“ln(x ＋1)<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设命题p ：x <0，命题q ：ln(x ＋1)<0，由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1<1，所以－1<x <0，即命题q 为－1<x <0.可知命题q ⇒p ，而p ⇒/ q ．所以p 是q 的必要不充分条件，所以选B.答案：B4．设a ，b 为两个非零向量，则“a·b ＝|a·b |”是“a 与b 共线”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设a ，b 的夹角为θ.由a·b ＝|a·b |得：|a ||b |·cos θ＝|a ||b |·|cos θ|，|a||b |(cos θ－|cos θ|)＝0，即|a||b |＝0(舍)因为a ，b 非零，或cos θ≥0，所以由a·b ＝|a·b |⇒/ a 与b 共线，反过来，当a ＝－b 时，虽然“a 与b 共线”，但是“a·b ＝|a·b |”不成立，所以“a·b ＝|a·b |”是“a 与b 共线”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D5．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：法一：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1，故选A.法二：令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B ，C ，D ，选A.答案：A6．(2016·成都一诊)设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是________． 解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p ，则q ”的逆命题是“若q ，则p ”，故命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”．答案：若|a |＝|b |，则a ＝－b7．(2015·盐城一模)给出以下四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤－1，则x 2＋x ＋q ＝0有实根”的逆否命题；④若ab 是正整数，则a ，b 都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab 是正整数，则a ，b 不一定都是正整数，例如a ＝－1，b ＝－3，故④为假命题．答案：①③8．设条件p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；条件q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，且q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法．由x 2－4ax ＋3a 2<0得3a <x <a ，由x 2＋2x －8>0得x <－4或x >2，因为q 是p 的必要不充分条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a ≤－4，所以a ≤－4.答案：(－∞，－4]9．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．10．已知(x ＋1)(2－x )≥0的解为条件p ，关于x 的不等式x 2＋mx －2m 2－3m －1<0⎝⎛⎭⎫m >－23的解为条件q .(1)若p 是q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围．(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围．解：(1)设条件p 的解集为集合A ，则A ＝{x |－1≤x ≤2}，设条件q 的解集为集合B ，则B ＝{x |－2m －1<x <m ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1>2，－2m －1<－1m >－23.，解得m >1，(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则B 是A 的真子集⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2，－2m －1≥－1m >－23.解得－23<m ≤0.B 组 高考题型专练 1．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：由于q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；而p ⇒/ q ，如f (x )＝x 3在x ＝0处f ′(0)＝0，而x ＝0不是极值点，故选C.2．(2015·高考重庆卷)“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 12(x ＋2)<0，得x ＋2>1，解得x >－1，所以“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分而不必要条件，故选B.答案：B3．(2015·高考安徽卷)设p ：1<x <2，q ：2x >1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：q ：2x >1⇔x >0，且(1,2)⊆(0，＋∞)，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A4．(2015·高考福建卷)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin 2x >0.任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x <x ，等价于任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k <2x sin 2x.当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，0<2x <π，设t ＝2x ，则0<t <π.设f (t )＝t －sin t ，则f ′(t )＝1－cos t >0，所以f (t )＝t －sin t 在(0，π)上单调递增，所以f (t )>0，所以t >sin t >0，即t sin t>1，所以k ≤1.所以任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k <2x sin 2x，等价于k ≤1.因为k ≤1⇒/ k <1，但k ≤1⇐k <1，所以“对任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的必要而不充分条件，故选B. 答案：B5．(2015·高考北京卷)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m ∥β”是“α∥β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ⊂α且m ∥β，则平面α与平面β不一定平行，有可能相交；而m ⊂α且α∥β一定可以推出m ∥β，所以“m ∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．。

命题及其关系、充分条件与必要条件1．若a ∈R ，则“a ＝1”是“|a |＝1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a ＝1，则有|a |＝1是真命题，即a ＝1⇒|a |＝1，由|a |＝1可得a ＝±1，所以若|a |＝1，则有a ＝1是假命题，即|a |＝1⇒a ＝1不成立，所以a ＝1是|a |＝1的充分而不必要条件． 答案：A2．已知命题p ：∃n ∈N,2n＞1 000，则綈p 为( )． A ．∀n ∈N,2n≤1 000 B ．∀n ∈N,2n＞1 000 C ．∃n ∈N,2n ≤1 000D ．∃n ∈N,2n＜1 000解析 特称命题的否定是全称命题．即p ：∃x ∈M ，p (x )，则綈p ：∀x ∈M ，綈p (x )．故选A. 答案 A3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数． 答案：B4．已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sin α＞sin β”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 (特例法)当α＞β时，令α＝390°，β＝60°，则sin 390°＝sin 30°＝12＜sin60°＝32，故sin α＞sin β不成立；当sin α＞sin β时，令α＝60°，β＝390°满足上式，此时α＜β，故“α＞β”是“sin α＞sin β”的既不充分也不必要条件． 答案 D【点评】 本题采用了特例法，所谓特例法，就是用特殊值特殊图形、特殊位置代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.特例法的理论依据是：命题的一般性结论为真的先决条件是它的特殊情况为真，即普通性寓于特殊性之中.常用的特例有取特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.这种方法实际是一种“小题小做”的解题策略，对解答某些选择题有时往往十分奏效. 5．与命题“若a ∈M ，则b ∉M ”等价的命题是( ) A ．若a ∉M ，则b ∉M B ．若b ∉M ，则a ∈M C ．若a ∉M ，则b ∈MD ．若b ∈M ，则a ∉M解析：因为原命题只与逆否命题是等价命题，所以只需写出原命题的逆否命题即可．故选D. 答案：D6 若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )．A ．必要而不充分的条件B ．充分而不必要的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析 若φ (a ，b )＝0，即a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方得ab ＝0，故具备充分性．若a ≥0，b ≥0，ab ＝0，则不妨设a ＝0.φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ＝b 2－b ＝0.故具备必要性．故选C. 答案 C7．已知集合A ＝{x ∈R|12<2x<8}，B ＝{x ∈R|－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥2 B ．m ≤2 C ．m >2D ．－2<m <2解析：A ＝{x ∈R|12<2x<8}＝{x |－1<x <3}∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ∴AB∴m ＋1>3，即m >2. 答案：C 二、填空题8．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 解析：x ∉[2,5]且x ∉{x |x <1或x >4}是真命题．由⎩⎪⎨⎪⎧x <2或x >5，1≤x ≤4得1≤x <2.答案：[1,2)9.已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的________条件．解析：由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切得，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离等于圆的半径，即有|a |2＝1，a ＝± 2.因此，p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要10．设p ：|4x －3|≤1；q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________． 解析 p ：|4x －3|≤1⇔12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0⇔a ≤x ≤a ＋1由pq ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得：0≤a ≤12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 11．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3 p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝⎛⎦⎥⎤2π3，πp 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π其中真命题的个数是____________．解析 由|a ＋b |＞1可得a 2＋2a²b ＋b 2＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a²b ＞－12，故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3时，a²b ＞－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a²b ＋b 2＞1，即|a ＋b |＞1，故p 1正确．由|a －b |＞1可得a 2－2a²b ＋b 2＞1，因为|a |＝1，|b |＝1，所以a²b ＜12，故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π，反之也成立，p 4正确． 答案 212．给出下列命题：①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真； ③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真；⑤“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R”的逆命题． 其中真命题是________．(把你认为正确命题的序号都填在横线上)解析：原命题为真，而它的逆命题、否命题不一定为真，互为逆否命题同真同假，故①④错误，②③正确．又因为不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，由⎩⎪⎨⎪⎧ m >0Δ＝m ＋2－4m m ＋⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >0m >1⇒m >1.故⑤正确． 答案：②③⑤ 三、解答题13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解析：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．14．求方程ax 2＋2x ＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件． 解析：方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负根． 当a ＝0时，x ＝－12适合条件．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根， 则Δ＝4－4a ≥0，∴a ≤1， 当a ＝1时，方程有一负根x ＝－1.当a <1时，若方程有且仅有一负根，则x 1x 2＝1a<0，∴a <0.综上，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一负实数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.15．已知命题p ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －10≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m ，m >0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解析：p ：x ∈[－2,10]，q ：x ∈[1－m,1＋m ]，m >0， ∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，∴p ⇒q 且q ⇒/ p . ∴[－－m,1＋m ]．∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴m ≥9.16．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －a ＋<0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a<0}．(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2<x <52}，B ＝{x |12<x <94}，∁U B ＝{x |x ≤12或x ≥94}，(∁U B )∩A ＝{x |94≤x <52}．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B ， 由a 2＋2>a ，得B ＝{x |a <x <a 2＋2}， 当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a 2＋2≥3a ＋1，解得13<a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝Ø，符合题意；当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}．⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，解得－12≤a <13；综上，a ∈[－12，3－52]．。

课时达标 第2讲一、选择题1．已知命题p ：正数a 的平方不等于0,命题q ：若a 不是正数,则它的平方等于0,则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定B 解析 命题“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数,则它的平方不等于0”,从而q 是p 的否命题．2．(2018·天津卷)设x ∈R ,则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12得0＜x ＜1,由x 3＜1得x ＜1,而0＜x ＜1⇒x ＜1,x ＜1⇒/ 0＜x ＜1.故选A. 3．原命题为“△ABC 中,若cos A <0,则△ABC 为钝角三角形”,关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．真、假、假B 解析 因为cos A <0,0<A <π,则A 必为钝角,△ABC 为钝角三角形,所以原命题为真,从而逆否命题也为真；△ABC 为钝角三角形,可能是B 或C 为钝角,A 为锐角,则cos A >0,所以逆命题为假,从而否命题也为假．故选B.4．(2018·浙江卷)已知平面α,直线m ,n 满足m ⊄α,n ⊂α,则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析 由立体几何知识知m ⊄α,n ⊂α,m ∥n ⇒m ∥α.但m ∥α时,m 与α内的直线n 可能异面．故选A.5．命题“∀x ∈[1,2],x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≤4B ．a ≥4C ．a ≤5D ．a ≥5D 解析 命题“∀x ∈[1,2],x 2－a ≤0”为真命题的一个充要条件是∀x ∈[1,2],a ≥x 2恒成立,即a ≥4.故命题“∀x ∈[1,2],x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是D 项．6．(2019·北京东城期末)下列四个选项中错误的是( )A ．命题“若x ≠1,则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0,则x ＝1”B ．存在x 0∈R ,使x 20＋2x 0＋3＝0C ．“若α＝β,则sin α＝sin β”的逆否命题为真命题D ．“x ＞2”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件B解析对于A项,显然正确；对于B项,因为Δ＝4－12＜0,所以方程无实根,故B项错误；对于C项,“若α＝β,则sin α＝sin β”为真命题,所以其逆否命题也为真命题,故C项正确；对于D项,x2－3x＋2＞0的解集是{x|x＞2或x＜1},故D项正确．二、填空题7．已知命题p：若a>b>0,则log12a<log12b＋1,命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．解析因为a>b>0,所以log12a<log12b,所以命题p为真命题,其逆命题为：若log12a<log12b＋1,则a>b>0,因为a＝2,b＝2时,log12a<log12b＋1,而a＝b,所以逆命题为假命题．根据命题与其逆否命题的真假相同,逆命题与否命题的真假相同,知命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中只有2个是真命题．答案28．能够说明“设a,b,c是任意实数,若a＞b＞c,则a＋b＞c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________．解析取a＝－1,b＝－2,c＝－3,满足a>b>c,但a＋b＝－3＝c,不满足a＋b>c,故“设a,b,c是任意实数,若a>b>c,则a＋b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为－1,－2,－3.答案－1,－2,－3(答案不唯一)9．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A,函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值范围为________．解析由x2＋x－6<0得A＝(－3,2),由x－a>0得B＝(a,＋∞),若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则A⊆B,则a≤－3.答案(－∞,－3]三、解答题10．写出“若x＝2,则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断其真假．解析逆命题：若x2－5x＋6＝0,则x＝2,是假命题；否命题：若x≠2,则x2－5x＋6≠0,是假命题；逆否命题：若x2－5x＋6≠0,则x≠2,是真命题．11．已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的定义域为集合A,函数g(x)＝2x－a(x≤2)的值域为集合B.(1)求集合A,B；(2)已知p：m∈A,q：m∈B,若綈p是綈q的充分不必要条件,求实数a的取值范围．解析(1)A＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|(x－3)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞3},B＝{y|y＝2x－a,x≤2}＝{y|－a ＜y≤4－a}．(2)因为綈p是綈q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,所以B A,所以4－a<－1或－a≥3,所以a≤－3或a>5,即实数a的取值范围是(－∞,－3]∪(5,＋∞)．12．已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0,x∈R},q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0,x∈R,m∈R}．(1)若A ∩B ＝[1,3],求实数m 的值；(2)若p 是綈q 的充分条件,求实数m 的取值范围．解析 (1)由题意得A ＝{x |－1≤x ≤3,x ∈R },B ＝{x |m －3≤x ≤m ＋3,x ∈R ,m ∈R },因为A ∩B ＝[1,3],所以m －3＝1,解得m ＝4.(2)因为p 是綈q 的充分条件,所以A ⊆(∁R B ),因为∁R B ＝{x |x ＜m －3或x ＞m ＋3,x ∈R ,m ∈R },所以m －3＞3或m ＋3＜－1,解得m ＞6或m ＜－4,即实数m 的取值范围是(－∞,－4)∪(6,＋∞)．13．[选做题](2019·商南高中模拟)在△ABC 中,设p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A,q ：△ABC 是等边三角形,那么p 是q 的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件A 解析 a sinB ＝b sinC ＝c sin A ,即2R sin A sin B ＝2R sin B sin C,R 为△ABC 外接圆半径,所以sin A sin C ＝sin 2B ①；2R sin B sin C ＝2R sin C sin A,sin A sin B ＝sin 2 C ②. ①－②,得(sin C －sin B )(sin A ＋sin B ＋sin C )＝0,则sin C ＝sin B ,所以C ＝B .代入①得C ＝A ,所以A ＝B＝C ,则△ABC 是等边三角形．当△ABC 为等边三角形时,即A ＝B ＝C ,a ＝b ＝c 时,a sin B ＝b sin C ＝c sin A＝2R 成立,所以p 是q 的充要条件．故选A.。

专题训练(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件基础过关一、选择题1．命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( )A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c >b ＋c ，则a >bD ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c2．设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( )A ．ac 2>bc 2B ．a b >1C ．a －c >b －cD ．a 2>b 24．若命题p 的否命题是命题q 的逆否命题，则命题p 是命题q 的( ) A ．逆命题 B ．否命题C ．逆否命题D ．p 与q 是同一命题 5．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos2α＝12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．(2020·皖南八校联考)“1x >1”是“e x －1<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥4B ．a >4C ．a ≥1D ．a >18．在等比数列{a n }中，“a 1，a 3是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根”是“a 2＝±1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]10．(2020·南昌市第一次模拟)已知r >0，x ，y ∈R ，p ：|x |＋|y |2≤1，q ：x 2＋y 2≤r 2，若p 是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 B ．(0,1] C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫255，＋∞ D ．[2，＋∞)二、填空题11．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为________。