实数知识树

人教版七年级下册第六章实数知识点
实数是数学中最基本的概念之一，是指可以用数字表示的所有数。

实数由有理数和无理数两部分组成。

有理数是可以表示成两个整数之比的数，包括整数、分数、小数等，而无理数则不能表示成有理数的形式，如圆周率π、自然对数的底数e等。

在七年级数学下册第六章中，我们将学习实数的相关知识，包括实数的分类、实数的运算、实数的比较等。

一、实数的分类
1.有理数：有理数包括正整数、负整数、零、正分数、负分数和整数。

2.无理数：无理数是不能表示成有理数的形式的数，它们包括无限不循环小数和根号下无理数等。

二、实数的运算
1.加法：实数的加法满足交换律、结合律和分配律。

2.减法：实数的减法可以转化成加法，即a-b=a+(-b)。

3.乘法：实数的乘法满足交换律、结合律和分配律。

4.除法：实数的除法可以转化成乘法，即a÷b=a×(1/b)，其中b≠0。

5.乘方：实数的乘方表示数的自我乘积，即a的n次幂表示为an。

三、实数的比较
1.正数比较大小：正数比较大小时，数值越大的数越大。

2.负数比较大小：负数比较大小时，数值越小的数越大。

3.正数和负数比较大小：正数比负数大。

4.零和正数、负数比较大小：零比负数大，比正数小。

5.一般实数比较大小：需要将实数转化成同一种形式再比较大小。

以上就是七年级数学下册第六章实数知识点的简单介绍，希望对大家有所帮助。

在学习实数时，我们需要多做练习，多思考，才能真正掌握实数的相关知识。

七年级上册实数知识点汇总实数是数学中的一个基础概念，是指所有可以表示为有限小数或者无限循环小数的数。

在七年级上册数学学习中，实数是重要的知识点之一，本文将对七年级上册实数的相关知识进行汇总。

一、自然数、整数和有理数在学习实数之前，我们需要了解一些基础的数学概念。

在数学中，自然数是从1开始的一系列数，即1、2、3、4、5……而整数则包含自然数以及其相反数和0，即-3、-2、-1、0、1、2、3……而有理数则是可以用分数表示的数，包括整数和分数。

二、无理数的概念无理数是除有理数外的一类数，其实数表示形式为无限不循环小数。

例如根号2、π等，它们是无限不循环小数，因此无法用有限的小数或分数来表示。

三、实数的概念实数是自然数、整数、有理数和无理数的集合。

也就是说，实数包含了所有可以表示为小数或无限循环小数的数。

四、小数的概念小数是指表示一个数的数字序列中，整数部分之后，首位数字到末尾数字之间的数值。

例如，3.14可以表示为3+4/10+1/100，其中小数部分为4/10+1/100。

五、循环小数的概念循环小数是指有规律地重复某一数字序列的小数。

例如，1/3的十进制表示为0.3333……，其中数字3一直不断地循环重复。

六、小数与分数的相互转换小数与分数是可以相互转换的。

对于小数转分数，只需要将小数部分的数字分母化为10的幂，然后将整数部分和小数部分分别相加即可。

例如，0.25可以转化为1/4。

而对于分数转小数，只需要将分数化为可化为小数的形式，然后进行计算即可。

例如，1/4可以转化为0.25。

七、实数的比较在进行实数的比较时，需要注意小数点后相同位数的数字进行比较。

如果小数点后的数字完全相同，则比较整数部分的大小。

八、实数的四则运算实数的四则运算包括加减乘除四种运算。

在进行加减乘运算时，我们只需要将小数点对齐，然后将数字进行相加、相减、相乘即可。

而在进行除法运算时，需要注意除数不能为0。

九、实数的绝对值实数的绝对值是该实数到0点的距离，用符号表示为|a|，其中a是实数。

实数知识结构图实数的概念及分类1、实数的分类实数有理数正有理数零负有理数正无理数有限小数和无限循环小数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（ 1）开方开不尽的数，如7, 3 2 等；π（ 2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8 等；3（3）有特定结构的数，如 0.1010010001 等；（4）某些三角函数值，如 sin60o等。

实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有a+b=0， a=-b，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

可看成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若 |a|=-a，则 a≤0。

（ |a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也3、倒数如果 a 与 b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

1 和 -1 的倒数等于本身。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）实数与数轴的点是一一对应的。

平方根、算数平方根和立方根。

1、算术平方根：一般地，如果一个正数方根。

特别地，0 的算术平方根是0。

x 的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平表示方法：记作“ a ”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数 a 的平方根记做“ a ”，读作“正、负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

3、开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。

八年级数学上册《实数》知识点整理华东师大版八年级数学上册《实数》知识点整理华东师大版知识点1、实数的分类：有理数和无理数2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴.实数和数轴上点一一对应.3、相反数：符号不同的两个数，叫做互为相反数.a的相反数是-a，0的相反数是0. (若a与b护卫相反数，则a+b=0)4、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.5、倒数：乘积为1的两个数6、乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.(平方和立方)7、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a 那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0只有一个平方根，它是0本身;负数没有平方根.(算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0.)实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。

实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。

但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数)。

在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

1)相反数(只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数，叫做互为相反数) 实数a的相反数是-a，a和-a在数轴上到原点0的距离相等。

2)绝对值(在数轴上一个数a与原点0的距离) 实数a的绝对值是：|a|①a为正数时，|a|=a(不变)，a是它本身;②a为0时， |a|=0，a也是它本身;③a为负数时，|a|= -a(为a的绝对值)，-a是a的相反数。

第六章实数知识讲解+题型归纳知识讲解一、实数的组成1、实数又可分为正实数，零，负实数2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。

数轴上的点与实数一一对应二、相反数、绝对值、倒数1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。

数a的相反数是-a。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。

2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

非0实数a的倒数为 . 0没有倒数。

4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.三、平方根与立方根1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。

数a的平方根记作（a>=0）特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。

负数没有平方根。

正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。

开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根。

数a的立方根用表示。

任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。

开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。

四、实数的运算有理数的加法法则：a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；b)异号两数相加。

绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。

2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3.乘法法则：a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正c）几个数相乘，只要有一个因数为0，积就为04.有理数除法法则：a）两个有理数相除（除数不为0）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

七年级下册数学实数知识点归纳数学是一门重要的学科，它伴随着我们的成长与发展。

在学习数学的过程中，实数是我们必须掌握的基础知识，因为实数在日常生活中得到广泛的应用。

本文着重介绍了七年级下册数学中实数的相关知识点。

一、实数的概念实数是指所有的有理数和无理数的总和，它包括了正数、负数和零。

实数构成了数轴上的所有点，在数学上称为实数线，它是我们熟知的数学概念之一。

二、实数的分类实数可以分为有理数和无理数。

1. 有理数：有理数是能用两个整数的比表示的数，包括正整数、负整数、零和分数，如1/2，3，-4等。

2. 无理数：无理数是不能表示为整数比值的实数，如√2，π等。

三、实数的运算实数的运算包括加法、减法、乘法和除法四种基本运算。

1. 加法运算两个实数相加就是把它们相应位置上的数合在一起，得到一个新的数。

例如2+3=5。

2. 减法运算两个实数相减就是在数轴上将它们所处的位置之间的距离相减得到新数。

例如6-2=4。

3. 乘法运算两个实数相乘就是将它们对应位置上的数相乘，得到一个新的数。

例如2×3=6。

4. 除法运算两个实数相除就是将它们对应位置上的数相除，得到一个新的数。

例如8 ÷ 4=2。

四、实数的性质实数具有很多特殊的性质，包括：1. 交换律实数加法和乘法都满足交换律，即a + b = b + a，a × b = b × a。

2. 结合律实数加法和乘法都满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)，(a ×b) × c = a × (b × c)。

3. 分配律乘法对加法有分配律，即a × (b + c) = a × b + a × c。

4. 加法与乘法的逆元素对于实数a，存在它的相反数-b，使得a + (-b) = 0，也称-a为a 的相反数。

对于非零实数a，存在它的倒数1/a，使得a × 1/a = 1，也称1/a为a的倒数。

初三数学复习实数知识点梳理实数是数系中的一种数，包括整数、有理数和无理数。

在初三数学中，实数是一个重要的考点。

为了帮助同学们复习实数知识点，下面对实数相关的概念、性质和运算进行了梳理和总结。

一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两类。

有理数指的是可以表示为两个整数的比值（分数）的数，而无理数指的是无法表示为两个整数的比值的数。

二、实数的表示方法1. 小数表示法有限小数：有限位数的小数，例如0.5、0.25等。

无限循环小数：有一段数字循环出现的小数，例如0.3333...、0.6666...等。

无限不循环小数：没有一段数字循环出现的小数，例如π、√2等。

2. 分数表示法分数表示法是将一个数表示为两个整数的比值。

例如，3/4表示三除以四的结果。

3. 开方表示法开方表示法是用根号√来表示一个数的平方根。

例如，√9表示9的平方根，结果为3。

三、实数的性质1. 有理数的性质：（1）有理数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。

（2）有理数的乘积仍然是有理数。

（3）有理数的和、差、积和商都是有理数，除非被除数为零。

2. 无理数的性质：（1）无理数与有理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。

（2）无理数与无理数相加、相减、相乘、相除的结果通常是无理数。

3. 实数的比较：实数之间可以进行大小的比较，可以使用大小符号来表示。

例如，对于任意的两个实数a和b，如果a大于b，则记作a > b；如果a小于b，则记作a < b；如果a等于b，则记作a = b。

四、实数的运算1. 实数的加法：实数的加法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a + b = b + a（2）结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 实数的减法：实数的减法可以看作是加法的逆运算，即a - b = a + (-b)，其中- b表示b的相反数。

3. 实数的乘法：实数的乘法满足交换律和结合律，即对于任意的实数a、b、c，有：（1）交换律：a × b = b × a（2）结合律：(a × b) × c = a × (b × c)4. 实数的除法：实数的除法可以看作是乘法的逆运算，即a ÷ b = a × (1/b)，其中1/b 表示b的倒数。

初二数学实数思维导图汇总实数的完备有序域实数集合通常被描述为完备的有序域，这可以几种解释。

首先，有序域可以是完备格。

然而，很容易发现没有有序域会是完备格。

这是由于有序域没有最大元素(对任意元素，将更大)。

所以，这里的完备不是完备格的意思。

另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。

上述的唯一性也说明了这里的完备是指戴德金完备性的意思。

这个完备性的意思非常接近采用戴德金分割来构造实数的方法，即从(有理数)有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

这两个完备性的概念都忽略了域的结构。

然而，有序群(域是种特殊的群)可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。

上述完备性中所述的只是一个特例。

(这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。

)当然，并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。

实际上，完备的阿基米德域比完备的有序域更常见。

可以证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的(当然反之亦然)。

这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从(有理数)阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

完备的阿基米德域最早是由希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。

他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是的子域。

这样是完备的是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。

这个完备性的意思非常接近用超实数来构造实数的方法，即从某个包含所有(超实数)有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

实数的基本定理实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。

实数知识结构图实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等。

实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

1和-1的倒数等于本身。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

实数与数轴的点是一一对应的。

平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a ”，读作“正、负根号a ”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。