信号的采样和恢复

8－2信号的采样和复现的数学描述一、采样过程所谓理想采样，就是把一个连续信号)(t e ，按一定的时间间隔逐点地取其瞬时值，从而得到一串脉冲序列信号)(t e *。

可见在采样瞬时，)(t e *的脉冲强度等于相应瞬时)(t e 的幅值，即)0(T e ,)1(T e ,)2(T e ,…)(nT e ，…如图8－8所示。

因此，理想采样过程可以看成是一个幅值调制过程，如图8－9所示。

采样器好比是一个幅值调制器，理想脉冲序列)(t T d 作为幅值调制器的载波信号，)(t T d 的数学表达式为奥==-n nT)-(t )(d d t T (8－1)其中=n 0,±1,±2,…)(t e 调幅后得到的信号，即采样信号)(t e *为å¥-¥=*-==n T nT t t e t t e t e )()()()()(d d (8－2)通常在控制系统中，假设当0<t 时，信号0)(=t e ，因此L+-+-+=*)2()2()()()()0()(T t T e T t T e t e t e d d d L+-+)()(nT t nT e d (8－3)或å¥=*-=0)()()(n nT t nT e t e d (8－4)式(8－4)为一无穷项和式，每一项中的)(nT t -d 表示脉冲出现的时刻；而)(nT e 代表这一时刻的脉冲强度。

式(8－2)或(8－4)表示了采样前的连续信号与采样后的离散信号之间的关系。

然而，一个值得提出的问题是：采样后的断续信号能否全面而真实地代表原来的连续信号呢?或者说它是否包含了原连续信号的全部信息呢?因为从采样(离散化)过程来看，“采样”是有可能会损失信息的。

下面我们将从频率域着手研究这个问题。

二、采样信号的频谱假设连续信号)(t e 的富氏变换式为)(w j E ，采样后信号*()e t 的富氏变换式用*()E j w 表示，下面我们来看)(w j E *的具体表达式。

信号的采样与恢复实验一、任务与目的1. 熟悉信号的采样与恢复的过程。

2. 学习和掌握采样定理。

3. 了解采样频率对信号恢复的影响。

二、原理（条件）PC机一台，TD－SAS系列教学实验系统一套。

1. 采样定理采样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值表示。

这些值包含了该连续信号全部信息，利用这些值可以恢复原信号。

采样定理是连续时间信号与离散时间信号之间的桥梁。

采样定理：对于一个具有有限频谱，且最高频率为ωmax的连续信号进行采样，当采样频率ωs满足ωs>=ωmax时，采样信号能够无失真地恢复出原信号。

三角波信号的采样如图4-1-1所示。

图4-1-1信号的采样2. 采样信号的频谱连续周期信号经过周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱为它包含了原信号频谱以及重复周期为的原信号频谱的搬移，且幅度按规律变化。

所以抽样信号的频谱便是原信号频谱的周期性拓延。

某频带有限信号被采样前后频谱如图4-1-2。

图4-1-2 限带信号采样前后频谱从图中可以看出，当ωs ≥2Bf 时拓延的频谱不会与原信号的频谱发生重叠。

这样只需要利用截止频率适当的滤波器便可以恢复出原信号。

3. 采样信号的恢复将采样信号恢复成原信号，可以用低通滤波器。

低通滤波器的截止频率f c 应当满足f max ≤f c ≤f x -f max 。

实验中采用的低通滤波器原理图如图4-1-3所示，其截止频率固定为1802f Hz RCπ=≈图4-1-3 滤波器电路4. 单元构成本实验电路由脉冲采样电路和滤波器两个部分构成，滤波器部分不再赘述。

其中的采样保持部分电路由一片CD4052完成。

此电路由两个输入端，其中IN1端输入被采样信号，Pu 端输入采样脉冲，经过采样后的信号如图4-1-1所示。

三、内容与步骤本实验在脉冲采样与恢复单元完成。

1. 信号的采样（1）使信号发生器第一路输出幅值3V、频率10Hz的三角波信号；第二路输出幅值5V，频率100Hz、占空比50％的脉冲信号。

信号的采样与恢复实验注意事项
1. 实验前应确认所需的信号源和采样设备正常工作，以确保实验结果的准确性。

2. 在采样过程中要注意采样频率的选择，采样频率应满足奈奎斯特采样定理，即采样频率应大于信号的最高频率的两倍。

3. 在采样时，应记录下采样间隔和采样点数，以便后续的数据分析和信号恢复处理。

4. 为了保证采样的准确性，需要尽量避免信号与噪声的干扰。

可以采取一些减小噪声的措施，如使用滤波器对信号进行预处理。

5. 实验中可以尝试不同的采样频率和采样点数，观察采样结果的差异，并对比恢复后的信号与原始信号的差异。

6. 在恢复信号时，可以利用插值等方法对采样数据进行处理，以恢复原始信号。

7. 实验结束后，应及时保存实验数据和实验结果，以备后续分析和报告使用。

8. 在实验过程中，应注意安全和操作规范，避免在实验室中发生意外或损坏设备。

深圳大学实验报告课程名称：信号与系统实验项目名称：信号的采样与恢复学院：信息工程专业：电子信息指导教师：报告人：学号：班级：实验时间：实验报告提交时间：教务部制一、实验目的和要求1、了解信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。

2、验证采样定理。

二、实验内容和原理实验原理1、离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号采样而得。

采样信号x s （t ）可以看成连续信号x （t ）和一组开关函数s （t ）的乘积。

s （t ）是一组周期性窄脉冲，如图2－5－1，T s 称为采样周期，其倒数f s ＝1/T s 称采样频率。

图2－5－1 矩形采样信号对采样信号进行傅里叶分析可知，采样信号的频率包括了原连续信号以及无限个经过平移的原信号频率。

平移的频率等于采样频率f s 及其谐波频率2f s 、3f s ……。

当采样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按sinx/x 规律衰减。

采样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。

2、采样信号在一定条件下可以恢复到原信号。

只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率f n 的低通滤波器，滤除高频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出端可以得到恢复后的原信号。

3、原信号得以恢复的条件是f s ≥2f max ，f s 为采样频率，f max 为原信号的最高频率。

当fs ＜2 f max 时，采样信号的频谱会发生混迭，从发生混迭后的频谱中无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。

在实际使用中，仅包含有限频率的信号是极少的，因此即使f s ＝2 f max ，恢复后的信号失真还是难免的。

实验中选用f s ＜2 f max 、f s ＝2 f max 、f s ＞2 f max 三种采样频率对连续信号进行采样，以验证采样定理：要使信号采样后能不失真地还原，采样频率f s 必须大于信号最高频率的两倍。

4、连续信号的采样和采样信号的复原原理框图如图2－5－2所示。

信号的抽样与恢复（抽样定理）信号的抽样和恢复是数字信号处理中的基本操作。

它是将连续时间信号（模拟信号）转化为离散时间信号（数字信号）的过程，也是将数字信号转化为连续时间信号的过程。

抽样定理是信号的抽样和恢复中一个十分重要的定理，它的证明也是数字信号处理中的一个重要课题。

一、信号的抽样在信号处理中，可以通过对连续时间信号进行离散化处理，使其转化为离散时间信号，便于数字处理。

抽样是指在每隔一定的时间间隔内对连续时间信号进行采样，得到一系列离散的采样值。

抽样操作可以用如下公式进行表示：x(nT) = x(t)|t=nT其中，x(t)是原始连续时间信号，x(nT)是在时刻nT处采样得到的值，T为采样周期。

具体来说，采样过程可以通过模拟信号经过一个采样和保持电路，将连续时间信号转换为离散信号的形式。

这里的采样周期越小，采样得到的离散信号的数量就越多，离散信号在时间轴的表示就越密集。

抽样后得到的信号形式如下：二、抽样定理抽样定理又称为奈奎斯特定理，是数字信号处理中的基础理论之一。

它指出，如果连续时间信号x(t)的带宽为B，则在抽样周期为T时，可以恰好通过抽样重建出原始信号x(t)，当且仅当：T ≤ 1/(2B)即抽样周期T应小于等于原始信号的最大频率的倒数的一半。

这个定理的物理意义是，需要对至少每个周期内的信号进行采样，才能够恢复出连续信号。

如果采样周期过大，将会丢失信号的高频成分，从而无法准确重建原始信号。

抽样定理说明了作为采样频率的一个下限值2B，因为将采样频率设置为低于此值会失去信号的唯一信息（高频成分）。

当采样频率等于2B时，可以从这些采样值恢复出信号的完整频率谱，即避免了信息损失。

三、信号的恢复当原始信号被采样后，需要对采样得到的离散信号进行恢复，以便生成一个趋近于原始信号的连续信号。

采样定理的证明告诉了我们如何确保在扫描连续信号的采样点时，可以正确地还原其原始形式。

例如，可以通过插值的方式将采样点之间的值计算出来，从而恢复出连续时间信号。

实验三 信号的采样与恢复一、实验目的1、了解电信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法。

2、验证抽样定理。

二、实验仪器1、信号与系统实验箱一台（主板）。

2、系统时域与频域分析模块一块。

3、20M 双踪示波器一台。

三、实验内容、过程及结果1)实验内容：观察低中高三种频率下不混叠时（即f ≥2B ）原信号与抽样信号以及抽样恢复信号的波形然后进行对比。

2)实验步骤：1、把系统时域与频域分析模块插在主板上，用导线接通此模块“电源接入”和主板上的电源（看清标识，防止接错，带保护电路），并打开此模块的电源开关。

2、将函数信号发生器产生一正弦波（幅度（峰值）为2V 左右，为便于观察，抽样信号频率一般选择50HZ ～400HZ 的范围，抽样脉冲的频段由开关SK1000进行选择，有“高”“中”“低”档，频率则是通过电位器“频率调节”来调节的，抽样脉冲的脉宽则是由电位器“脉宽调节”进行调节的（一般取30％）），将其送入抽样器，即用导线将函数信号发生器的输出端与本实验模块的输入端相连，用示波器测试“抽样信号”的波形，观察经抽样后的正弦波。

3、改变抽样脉冲的频率为B f s 2 ，用导线将“抽样信号”和“低通输入”相连，用示波器测试测试钩“抽样恢复”，观察复原后的信号，比较其失真程度。

3)实验结果：①低频下：原信号与抽样信号 原信号与抽样恢复信号②中频下：原信号与抽样信号原信号与抽样恢复信号③高频下：原信号与抽样信号原信号与抽样恢复信号四、实验结果分析1）由原信号、抽样信号以及复原信号的波形，能得出什么结论？答：抽样信号是从原信号中获得的离散周期性的信号，其包含了部分乃至绝大部分的原信号内容，通过对这些抽样信号内容进行还原，就可以得到近似原信号波形的结果，但是不能得到跟原信号完全一致的波形，因为失真无法完全避免，只能调试到最佳结果。

2）比较三种不同抽样频率下的fs(t)的波形，能得出什么结论？答：当fs<2B时，抽样信号的频谱会发生混叠，从发生混叠后的频谱中无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容，即使fs=2B，复原后的信号失真还是难免的。

摘要数字信号处理是一门理论与实践紧密结合的课程。

做大量的习题和上机实验，有助于进一步理解和巩固理论知识，还有助于提高分析和解决实际问题的能力。

过去用其他算法语言，实验程序复杂，在有限的实验课时内所做的实验内容少。

MATLAB强大的运算和图形显示功能，可使数字信号处理上机实验效率大大提高。

特别是它的频谱分析和滤波器分析与设计功能很强，使数字信号处理工作变得十分简单、直观。

本实验设计的题目是：信号的采样与恢复。

通过产生一个连续时间信号并生成其频谱，然后对该连续信号抽样，并对采样后的频谱进行分析，实验中，原连续信号的频谱由于无法实现真正的连续，所以通过扩大采样点的数目来代替，理论上当采样点数无穷多的时候即可实现连续，基于此尽可能增加采样点数并以此来产生连续信号的频谱。

信号采样过程中，通过采样点的不同控制采样频率实现大于或小于二倍最高连续信号的频率，从而可以很好的验证采样定理。

关键词：信号采样恢复MATLAB 傅里叶变换一、设计目的与要求1、设计目的通过本课程设计，主要训练和培养学生综合应用所学过的信号及信息处理等课程的相关知识，独立完成信号仿真及信号处理的能力。

包括：查阅资料、合理性的设计、分析和解决实际问题的能力，数学仿真软件Matlab和C语言程序设计的学习和应用，培养规范化书写说明书的能力。

2、设计要求设有一信号Xa(t)=EXP-1000|t|,计算傅立叶变换，分析其频谱，并在精度为1/1000的条件下，分别取采样频率为F=5000Hz,F=1000Hz,绘出对应的采样信号的时域信号波形频谱图。

（1）实现信号时域分析和频谱分析以及滤波器等有关Matlab函数。

（2）写好总结、程序、图表、原理、结果分析。

二、设计原理框图三、设计原理本次课程设计主要涉及采样定理、傅里叶变换、信号时域分析和频谱分析的相关内容的相关知识。

1.采样定理设连续信号)(t x a 属带限信号，最高截止频率为c Ω，如果采样角频率c s Ω≥Ω2，那么让采样性信号)(t x a ∧通过一个增益为T 、截止频率为2/s Ω的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号)(t x a 。

实验六 信号与系统实验1.信号的采样与恢复实验1.1实验目的(1)熟悉信号的采样与恢复的过程(2)学习和掌握采样定理(3)了解采样频率对信号恢复的影响1.2实验原理及内容(1)采样定理采样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号等时间间隔上瞬时值表示，这些值包含该信号全部信息，利用这些值可以恢复原信号。

采样定理是连续时间信号与离散时间信号的桥梁。

采样定理：对于一个具有有限频谱且最高频率为max w 的连续信号进行采样，当采样频率s w >=2max w 时，采样函数能够无失真地恢复出原信号。

(2)采样信号的频谱连续周期信号经过周期矩形脉冲抽样后，抽样信号的频谱为)]([)2()(s n s s nw w j F nw Sa T A jw F -=∑+∞-∞=ττ 它包含了原信号频谱以及重复周期为s w 的原信号频谱的搬移，且幅度按)2(ττs nw Sa T A 规律变化。

所以抽样信号的频谱便是原信号频谱的周期性拓延。

（3）采样信号的恢复将采样信号恢复成原信号，可以是用低通滤波器。

低通滤波器的截止频率c f 应当满足max max f f f f x c -≤≤。

实验中采用的低通滤波器的截止频率固定为Hz RCf 8021≈=π （4）单元构成本实验电路由脉冲采样电路和滤波器两部分构成，滤波器部分不再赘述，其中采样保持部分电路由一片CD4052完成。

此电路有两个输入端，其中IN1端输入被采样信号，Pu 端输入采样脉冲。

1.3实验步骤本实验在脉冲与恢复单元完成。

(1)信号的采样1)使波形发生器第一路输出幅值3V 、频率10Hz 的三角波信号；第二路输出幅值5V 、频率100Hz 、占空比50%的脉冲信号，将第一路信号接入IN1端；作为输入信号，第二路信号接入Pu 端，作为采样脉冲。

2)用示波器分别测量IN1端和OUT1端，观察采样前后波形的差异。

3)增加采样脉冲的频率为200、500、800等值。

实验四 信号的采样及恢复一、实验目的1、加深理解连续时间信号离散化过程中的数学概念和物理概念；2、掌握对连续时间信号进行抽样和恢复的基本方法；3、通过实验验证抽样定理。

二、实验内容1、为了观察连续信号时域抽样时，抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz 的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。

（1）)102cos()(1t t x ⨯=π（2）)502cos()(2t t x ⨯=π （3）)1002cos()(3t t x ⨯=π2、产生幅度调制信号)200cos()2cos()(t t t x ππ=，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘出波形。

3、对连续信号)4cos()(t t x π=进行抽样以得到离散序列，并进行重建。

（1）生成信号)(t x ，时间t=0:0.001:4，画出)(t x 的波形。

（2）以10=sam f Hz 对信号进行抽样，画出在10≤≤t 范围内的抽样序列)(k x ；利用抽样内插函数)/1()(sam r f T T t Sa t h =⎪⎭⎫⎝⎛=π恢复连续信号，画出重建信号)(t x r 的波形。

)(t x 与)(t x r 是否相同，为什么？ （3）将抽样频率改为3=sam f Hz ，重做（2）。

4、利用MATLAB 编程实现采样函数Sa 的采样与重构。

三、实验仪器及环境计算机1台，MATLAB7.0软件。

四、实验原理对连续时间信号进行抽样可获得离散时间信号，其原理如图8-1。

采样信号)()()(t s t f t f s ∙=，)(t s 是周期为s T 的冲激函数序列，即)()()(∑∞-∞=-==n sT nT t t t s sδδ则该过程为理想冲激抽样。

其中s T 称为采样周期，ss T f 1=称为抽样频率， ss s T f ππω22==称为抽样角频率。

实验六、连续信号得采样与恢复一、实验目得1.加深理解采样对信号得时域与频域特性得影响；2.加深对采样定理得理解与掌握,以及对信号恢复得必要性;3.掌握对连续信号在时域得采样与重构得方法。

二、实验原理(１)信号得采样ﻫ信号得采样原理图如下图所示,其数学模型表示为:＝ﻫ其中得f(ｔ）为原始信号,为理想得开关信号(冲激采样信号)δTs（t) ＝,fｓ（ｔ）为采样后得到得信号称为采样信号。

由此可见,采样信号在时域得表示为无穷多冲激函数得线性组合,其权值为原始信号在对应采样时刻得定义值。

ﻫ令原始信号f(t)得傅立叶变换为F(jw）＝FＴ(f(t）),则采样信号fs(t) 得傅立叶变换Fｓ(ｊw)=FＴ(ｆs（t）)=。

由此可见,采样信号fs（ｔ)得频谱就就是将原始信号f(t）得频谱在频率轴上以采样角频率ｗｓ为周期进行周期延拓后得结果(幅度为原频谱得1/Ｔs)。

如果原始信号为有限带宽得信号,即当|w｜>|wｍ｜时，有Ｆ(jw）=0，则有:如果取样频率wｓ≥2wm时,频谱不发生混叠;否则会出现频谱混叠。

(2）信号得重构ﻫ设信号f（t）被采样后形成得采样信号为fs（ｔ),信号得重构就是指由ｆs（t）经过内插处理后,恢复出原来得信号f(t）得过程。

因此又称为信号恢复。

ﻫ由前面得介绍可知,在采样频率w s≥２ｗｍ得条件下，采样信号得频谱Fｓ(jw)就是以w s为周期得谱线。

选择一个理想低通滤波器,使其频率特性H(ｊw)满足:Ｈ（j w)=式中得wｃ称为滤波器得截止频率，满足wｍ≤wc≤ｗs/2。

将采样信号通过该理想低通滤波器,输出信号得频谱将与原信号得频谱相同。

因此，经过理想滤波器还原得到得信号即为原信号本身。

信号重构得原理图见下图。

通过以上分析,得到如下得时域采样定理：一个带宽为w m得带限信号f(t),可唯一地由它得均匀取样信号fs(n Ｔs)确定,其中,取样间隔Ts＜π/ｗｍ,该取样间隔又称为奈奎斯特(Ｎｙｑuisｔ)间隔。

实验五信号的采样与恢复一、实验目的1．了解电信号的采样方法与过程及信号的恢复。

2．验证采样定理。

二、实验设备1．THBCC-1型信号与系统.控制理论及计算机控制技术实验平台2．PC机（含THBCC-1软件）三、实验内容1 研究正弦信号和三角波信号被采样的过程以及采样后的离散化信号恢复为连续信号的波形。

2．用采样定理分析实验结果。

四、实验原理1．离散时间信号可以从离散信号源获得，也可以从连续时间信号经采样而获得。

采样信号fs（t）可以看成连续信号f（t）和一组开关函数S（t）的乘积。

S（t）是一组周期性窄脉冲。

由对采样信号进行傅立叶级数分析可知，采样信号的频谱包括了原连续信号以及无限多个经过平移的原信号频谱。

平移的频率等于采样频率fs及其谐波频率2fs、3fs· · ·。

当采样后的信号是周期性窄脉冲时，平移后的信号频率的幅度按（sinx）/x规律衰减。

采样信号的频谱是原信号频谱的周期性延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。

2．采样信号在一定条件下可以恢复原来的信号，只要用一截止频率等于原信号频谱中最高频率fn 的低通滤波器，滤去信号中所有的高频分量，就得到只包含原信号频谱的全部内容，即低通滤波器的输出为恢复后的原信号。

3．原信号得以恢复的条件是fs≥2B，其中fs 为采样频率，B 为原信号占有的频带宽度。

Fmin=2B 为最低采样频率。

当fs<2B 时，采样信号的频谱会发生混迭，所以无法用低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。

在实际使用时，一般取fs=（5－10）B 倍。

实验中选用fs<2B、fs=2B、fs>2B 三种采样频率对连续信号进行采样，以验证采样定理⎯要是信号采样后能不失真的还原，采样频率fs 必须远大于信号频率中最高频率的两倍。

4．用下面的框图表示对连续信号的采样和对采样信号的恢复过程，实验时，除选用足够高的采样频率外，还常采用前置低通滤波器来防止信号频谱的过宽而造成采样后信号频谱的混迭。

信号的抽样与恢复实验报告信号的抽样与恢复实验报告引言：信号的抽样与恢复是数字信号处理中的重要概念，它涉及到模拟信号的数字化处理和数字信号的还原。

通过对信号进行抽样，可以将连续的模拟信号转化为离散的数字信号，方便存储、传输和处理。

而信号的恢复则是将离散的数字信号重新转化为连续的模拟信号，以便于人们感知和理解。

本实验旨在通过实际操作，探究信号的抽样与恢复原理，并验证其有效性。

一、实验目的本实验旨在：1. 了解信号的抽样与恢复原理；2. 掌握信号抽样的方法和过程；3. 掌握信号恢复的方法和过程；4. 验证信号抽样与恢复的有效性。

二、实验器材和方法1. 实验器材：- 信号发生器：用于产生模拟信号；- 示波器：用于观测信号波形；- 数字示波器：用于观测数字信号；- 信号恢复电路：用于将数字信号恢复为模拟信号。

2. 实验方法：- 将信号发生器与示波器连接，产生连续的模拟信号；- 将信号发生器与数字示波器连接，观测抽样后的数字信号；- 将数字示波器与信号恢复电路连接，将数字信号恢复为模拟信号；- 通过示波器观测恢复后的信号波形，与原始信号进行对比。

三、实验过程1. 连接实验器材：将信号发生器与示波器连接，设置合适的频率和振幅，产生连续的模拟信号。

将信号发生器与数字示波器连接，设置适当的抽样频率和采样率，观测抽样后的数字信号。

将数字示波器与信号恢复电路连接，将数字信号恢复为模拟信号。

2. 观测信号波形：通过示波器观测连续的模拟信号波形，并记录相关参数，如频率、振幅等。

然后，通过数字示波器观测抽样后的数字信号波形，并记录相关参数，如抽样频率、采样率等。

最后，通过示波器观测恢复后的信号波形，并与原始信号进行对比。

3. 分析实验结果：根据观测到的信号波形，分析信号的抽样与恢复过程。

比较抽样后的数字信号与原始信号的相似性，以及恢复后的信号与原始信号的差异。

根据实验结果，验证信号抽样与恢复的有效性。

四、实验结果与讨论通过实验观测，我们可以发现信号的抽样与恢复过程中存在一定的误差。

实验报告课程名称： 信号分析与处理指导老师： 欢老师 成绩：__________________ 实验名称： 信号的采集与恢复 实验类型： 基础实验 同组学生：第一次实验 信号的采集与恢复一、实验目的1.1了解信号的采样方法与过程以及信号恢复的方法； 1.2验证采样定理。

二、实验原理2.1信号采集与时域采样定理对一个连续时域信号的采集，理论上是用一系列冲激函数与信号做乘积，实际中常用占空比尽可能小的周期矩形脉冲作为开关函数来代替冲激函数。

采样信号的频谱，是由原来信号的频谱进行幅值尺度变换并在频率轴（横轴）上做平移延拓组成的，频率轴上平移延拓的“周期”为开关函数的频率值。

具体推导如下：∑∞-∞=-=n sns n F S F )()(ωωω其中，)(ωs F 是采样信号)(t f s的频谱。

n S 为开关函数s (t )的傅里叶级数的傅里叶系数，)(ωF 为连续信号的频谱。

若理想开关函数可表示为周期为T s 的冲激函数序列∑∞-∞=-=n snT t t s )()(δ于是)()()()()(sn ss nT t nT f t s t f t f -==∑∞-∞=δ∑∞-∞=-=n sss n F T F )(1)(ωωω一个典型的例子：矩形脉冲采样信号s(t)，作为理想冲激串的替代。

假设脉冲宽度τ，则s(t)的傅里叶变换)2(Sa τωτs s n n T S ⋅=，于是)()2(Sa )(s n s s s n F n T F ωωτωτω-⋅=∑∞-∞= 装订线平移后的频率幅度按Sa(x )规律衰减。

采样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要比原信号频谱宽得多。

显然，对于开关函数，若它的频率为f s ，信号的最大频率为f m ，那么为了采样后采样信号的频谱不发生混叠，存在时域采样定理：f s ≥f m （时域采样定理，即香农定理）。

而对于频谱不受限的信号，往往需要先用低通滤波器滤除高频分量，使它近似成为频谱受限的信号，在进行采样。

实验九、信号的采样与恢复实验九、信号的采样与恢复⼀. 实验⽬的1. 了解电信号的采样⽅法与过程以及信号恢复的⽅法2. 验证抽样定理⼆. 实验设备1. 信号与系统实验箱TKSS-B 型2. 双踪⽰波器三. 实验原理过平移的原信号频率。

平移的频率等于抽样频率s f 及其谐波频率s f 2、s f 3……。

当抽样信号是周期性窄脉冲时，平移后的频率幅度按()xx sin 规律衰减。

抽样信号的频谱是原信号频谱周期的延拓，它占有的频带要⽐原信号频谱宽得多。

2、正如测得了⾜够的实验数据以后，我们可以在坐标纸上把⼀系列数据点连起来，得到⼀条光滑的曲线⼀样，抽样信号在⼀定条件下也可以恢复到原信号。

只要⽤⼀截⽌频率等于原信号频谱中最⾼频率f n 的低通滤波器，滤除⾼频分量，经滤波后得到的信号包含了原信号频谱的全部内容，故在低通滤波器输出可以得到恢复后的原信号。

3、但原信号得以恢复的条件是B f s 2≥，其中s f 为抽样频率，B 为原信号占有的频带宽度。

⽽B f 2min =为最低抽样频率⼜称“奈奎斯特抽样率”。

当B f s 2<时，抽样信号的频谱会发⽣混迭，从发⽣混迭后的频谱中我们⽆法⽤低通滤波器获得原信号频谱的全部内容。

在实际使⽤中，仅包含有限频率的信号是极少的。

因此即使B f s 2=，恢复后的信号失真还是难免的。

图5-2画出了当抽样频率B f s 2≥（不混叠时）及当抽样频率B f s 2<（混叠时）两种情况下冲激抽样信号的频谱。

(a) 连续信号的频谱（b ）⾼抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠）（c ）低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）图5-2 抽样过程中出现的两种情况4、点频抽样还原实验采⽤分⽴⽅式，对2kHz 正弦波进⾏抽样和还原，⾸先2kHz 的⽅波经过截⽌频率为2.56kHz 低通滤波器得到2kHz 的正弦波，然后⽤可调窄脉冲对正弦波进⾏抽样得到抽样信号，抽样信号经低通滤波器后还原出正弦波。

实验一信号的抽样与恢复（ＰＡＭ）一、实验目的1、验证抽样定理2、观察了解PAM信号形成的过程；二、实验原理由于模拟通信的有效性和可靠性很低，不能满足实际通信的需要，现在普遍采用数字通信，可大大提高可靠性和有效性。

但是实际的信号一般都是模拟信号，所以模拟信号数字化是实现数字通信的基础，而模数转化的第一步就是信号的抽样。

我们的目的就是用离散值来代替模拟信号，以便于在新道中传输，而且由这些离散值能准确无误地恢复原来的模拟信号。

利用抽样脉冲把一个连续信号变为离散时间样值的过程称为抽样，抽样后的信号称为脉冲调幅（PAM）信号。

在满足抽样定理的条件下，抽样信号保留了原信号的全部信息，并且从抽样信号中可以无失真地恢复出原始信号。

抽样定理在通信系统、信息传输理论方面占有十分重要的地位。

数字通信系统是以此定理作为理论基础。

抽样过程是模拟信号数字化的第一步，抽样性能的优劣关系到通信设备整个系统的性能指标。

抽样定理指出，一个频带受限信号m(t)，如果它的最高频率为fh，则可以唯一地由频率等于或大于2fh的样值序列所决定。

抽样信号的时域与频域变化过程与原理框图如下。

抽样定理实验原理框图抽样：一个频带限制在（0—Fm)范围内的信号f(t),如果用频率为fs>=2fm 的脉冲序列对其进行等间隔抽样，则抽样信号能完全确定原信号f(t)，这也就是奈奎斯特定理。

此外实际中还有一类带通信号，频带限制在（f1—f2）范围内，此时抽样频率最小为fs=2B+2(f2-nB)/n,其中n为小于f2/B的最大整数。

上面的定理也可以从频谱的角度来说明。

抽样信号为s(t)=f(t) (t)f(t) 相乘s(t)冲激序列2 恢复由频谱图标显示的频谱图可知通过适当的滤波器既可恢复原信号。

三、实验步骤1 根据信号的抽样与恢复定理，用Systemview软件建立仿真电路如下：2 元件参数的配置Token 4，5，6，7 观察点—分析窗Token 1 乘法器Token 0 正弦信号（1，频率100Hz）Token 3低通滤波器（极点数=3，截止频率=100Hz）Token 2信号源（脉冲信号，1，频率？Hz，脉冲宽度？）500 10-63 运行时间设置运行时间= 2.047s 采样频率=1000Hz 102.3e-34 运行系统在Systemview系统窗内运行该系统后，转到分析窗观察Token 4，5，6,7三个点的波形。