第四讲 数字信号处理-采样与恢复

1 X s ( j ) T
k
X

a
( j jk s )
1 ＋X a ( j j s ) X a ( j) X a ( j j s ) T
1.7.2 均匀采样信号的频谱
若xa ( t )为带限信号，且 X a ( j ) 0 , N
k s

s / 2
s / 2
e j t d
采样内 插公式
x (k T)h(n k )T
sin t kT xs ( k T ) T xs (k T) R ( t ) k k T t kT
X ( z ) a n z n
n 0

az 1
n 0

n
Rx
Re(Z )
ROC : az-1 1,
ROC : z a
i.e. z a 时，级数收敛
Rx
X ( z)
n
x ( n) z n

X ( z)
1 . 1 1 az
X (e ) X ( z)

j
n
x[n]e
n

j n
如果X ( z )可以表示为 X ( z) P( z ) Q( z )
n
x[n]z
P( z ) 0对应的值 X(z)的零点 Q( z ) 0对应的值 X(z)的极点 X ( z )在收敛域内不能出现极点，且 收敛域常以极点为边界
X a ( j ) c
s不能太小
频谱发 生了周 期延拓

- N
N

2π/T - s
) S ((jj)
0 s
频谱幅 度是原 来的fs倍
1 T - s - N
X s ( j ) N s
频谱混叠
( s 2 N ) s N 1 X s ( j ) T - s - N N s ( s 2 N )
1.7.4. 信 号 重 构 － 时域
• 例题：P50 (1-28)
解：a) 因为当

8
时， ( e j ) 0 , H
h(n)的截止频率c 为：

8
对应于模拟信号的角频率
c cT 2f cT
得 fc 1 625Hz 16T

8
最后一级低通滤波器的截止频率为： 1 f c1 5 K Hz 2T
序列转换
X
x[n]
s (t (Tt ) )
2 s T
1 T (t ) (t nT ) T n

k
e jk s t ,

k 0, 1， 2
k 0, 1， 2
1 jk s t xs (t) xa (t) T (t) xa (t) e , T k
h( n)

X ( z)
n
x ( n) z n

分析离散时间 信号和系统
令 z re jω , z r. z 变换 级数，收敛意味着: X ( z)
X(n)序列有界
n
n


x ( n) z
n

n


x ( n) z
xa ( nT ) xs ( nT )
恢复信号
保证了各取样点的 恢复值为信号原值， 而取样点之间信号的恢复值 是由各取样值内插函数 的波形延伸叠加而成的。
sin[ ( t kT ) / T ] R ( t ) ( t kT ) / T
内插公式的特点是：在取样点nT上 的函数值为1，其余取样点上的值为0
1.8.2
z 变换的 ROC
ROC : a 1 z 1, i.e. z a .
例2. 左边序列：[n] a nu[n 1] x
X ( z)
n
a
1
n
z n
令m n
X(z) a z
1 m 1


m
1 a 1 z
n 0
s

T
T
sin[ ( t kT ) / T ] ( t kT ) / T
R ( t )
1 T h( t ) H ( j )e jt d 2 2 sin s t sin t s 2 T T t 2 t
y( t ) x a ( t ) xs (t ) * h(t )

1 T 1 T
x (t) e - j k s t dt 1 - a T k

k
X

a
( j jk s )
k


X a ( j jk
2 ) T
总结：1-7 信号的采样
xa (t ) x s (t ) 脉 冲 到
xs (t ) xa (nT )
x[n]
不能完全表示 采样关系
xs (t ) xa (t )T (t )
1-7 信号的采样与恢复
xa (t )
X
x s (t )
T((t) s t)
脉冲到 序列转换
x[n]
T (t )
n
(t nT )
n

xs (t ) xa (t ) T (t ) xa (t ) (t nT )
n
x (nT ) (t nT )
a

1.7.2 均匀采样信号的频谱
周期性连续信号的傅里叶级数：
定义

x(t)
k
Ae
k

jk s t
,
k 0 , 1， 2
式中级数的系数是 1 Ak T
T (t )
n
(t nT )
奈奎斯特采样定理
临界采样 频率？
1.7.3 Nyquist 采样定理
有两种方法从 数字离散序列(DTS)重构 连续时间信号 (CTS): (a) 频域低通滤波; (b)时域插值. 从 DTS 恢复 CTS, 条件是采样满足采样定理 ——Nyquist criterion.
Nyquist 准则 : 设 xa (t ) 是带限信号，即 X a ( j ) 0， N . 那么， 若 2 2 N T 则，a (t ) 可从xa ( nT )完全恢复。 x s
xs (t)是无穷多个载波信号被xa (t)调制的结果， 其频谱中除原信号频谱外， 还应在k s处有无穷多个边带。
对xs (t)做傅里叶变换， X s (j ) xs (t)e
- - jt
1 dt T


-
xa (t)
k
e jk s t e - jt dt

T 2
T 2
x( t )e jk s t dt
T－周期
s 基波频率
周期单位取样序列的傅里叶级数为：
T (t)
k
Ae
k

jk s t
,
k 0, 1， 2
其中级数的系数是 1 T2 1 T2 jk s t Ak T T (t)e dt＝ T (t - nT) e jk st dt T 2 T 2 n - T 1 1 2 ＝ T (t - nT)e jk st dt ＝ T n - 2 T
第一章主要内容
1-2 时域离散信号—序列
1-3 DT 系统 和 LTI系统
1-4 时域离散系统的因果性和稳定性 1-5 DT 系统 和信号的频域表示
--时域表示—差分方程 （补充）
-- 频域表示—系统的频率响应 1-6 离散时间序列的Fourier变换（DTFT ） 1-7 信号的采样与恢复 1-8 Z变换 1-9 系统函数 1-10 系统的信号流图


n
1 1 X ( z) 1 . 1 1 1 a z 1 az
相同的Z变换，不同收敛域，对应不同的序列
一定要标注收敛域！
1.8.2
z 变换的 ROC --DTFT 和 Z 变换
DTFT : 在 z e j 的z 变换, i.e., z 1。 DTFT : 在单位圆上的 z 变换。
1-7 信号的采样与恢复
采样的时域表示: 怎样对信号进行采样？ 采样信号频谱与连续信号频谱有什么关系？怎样变化？
为使采样后信号不失真，采样频率要满足什么条件？
怎样从采样信号恢复出原始连续信号？
周期采样
xa (t)
T ( s(t)t )
时域关系： 信号的采样 是原信号在 采样点处的 离散采样值
xs(t)
1.8.3 序列的性质和其Z变换收敛域的关系
1. 有限长序列 x ( n) x ( n) 0 X ( z)
N2
N1 n N 2 其他
x(n)百度文库
n N1
x ( n ) Z n x ( N 1 ) Z N1 x ( N 2 ) Z N 2
在t=0处值为1， 在其他t=kT处 值为0
hr (t )
sin( t / T ) t /T
1.7.4. 信 号 重 构 － 时域
xa ( t ) xs ( 0 ) sin(t / T ) sin[ ( t T ) / T ] sin[ ( t nT ) / T ] xs ( T ) xs ( nT ) t / T ( t T ) / T ( t nT ) / T
T
s 2
T X s ( j )
前提：满足 采样定理

原连续信 号频谱？
1/T - s - N N ( s 2 N )
s 2
s

1.7.4 信 号 重 构 － 时域
T
H ( j )
y( t ) y(nT） xs (t ) * h(t )
k
x (kT)h(n k )T
称 s 2 N 为奈奎 斯特采样频率
1.7.4 信 号 重 构 － 频域
重构的频域表示 Y ( j ) H ( j ) X s ( j ) X a ( j ) T , / T , 式中， H ( j ) 其它. 0,
H ( j )
T
T
1-8

z 变换
引言
定义
收敛域（ROC） z反变换 z 变换的性质
1.8.1 z 变换 定义
离散Fourier 变换 : 仅用于绝对可和的序列 X (e
j )
n
x(n)e

j n
,
n
x ( n)

LTI系统稳定： 其DTFT 存在
n

收敛性取决于： r. z
1.8.2
Z变换收敛， 要限制z的取 Z变换的收敛域 值范围，一般 （ROC)： 形式为： R使级数X(z)收敛 x z Rx R的所有Z值的集合 x 和 R x 称为
收敛半径
j Im(Z )
z 变换的 ROC
例1. 指数序列（右边） x[n] a n u[n]
所以系统截止频率由低的截止频率决定，为625Hz
第一章主要内容
1-2 时域离散信号—序列
1-3 DT 系统 和 LTI系统
1-4 时域离散系统的因果性和稳定性 1-5 DT 系统 和信号的频域表示
--时域表示—差分方程 （补充）
-- 频域表示—系统的频率响应 1-6 离散时间序列的Fourier变换（DTFT ） 1-7 信号的采样与恢复 1-8 Z变换 1-9 系统函数 1-10 系统的信号流图
T T 在 , 内， 只有 2 2 t nT 0时积分 才有值，值为 1


1.7.2 均匀采样信号的频谱
1 T (t) T
k
e

jk s t
,
k 0, 1， 2 2 2f s s T
可见： 单位取样序列是由基波 s 和无穷多个倍频k s的正弦信号组成的。 1 jk s t xs (t) xa (t) T (t) xa (t) e , k 0, 1， 2 T k