三维无单元法模拟裂纹扩展
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第３ 卷 第 １ ２ 期
Ｖ０１ ２ ＮＯ．１ ．３
宁 夏 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮｉ ｇ ｌ ｉ ｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｎ ｘ ａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ Ｎａ ｕ ａ ｉ ｎ ｅ Ｅ ｉｉ ） ｏ ｙ Ｓ ｏ
ｍ
由此可 得全 区域 内 的近似位 移
“（）＝∑ （） ＝ ：
式 中
（） ９
（） ｘ一∑ Ｐ（） 一（）（） ， ［ Ｂ ］ Ａ
一
Ｕ（ ） ＞：， ）， ） Ｐ （） （） （） 一 Ｐ （ 口（ 一 Ｔ 口 ， １
Ｊ＝ １
１
Ａ 一∑ Ｗ（）（ ） （ ， （） ｚ ｐ ）
Ｂ（ 一［ （ ｐ（ １ ， （ ） （ ２ ， ） 训１ ） ｚ ） ２ ｐ ｘ ） ， （ ｐ ｘ ）． Ｗ ） （ ］
…
（ ７ ）
（） ８
息 的数 据点 ， 不需 要 节 点之 间 的联 系 信息 就 可 以构 造近 似 函数 ． 设场 函数 为 ｌ ） 其 中 ， （ Ｙ， ） ｌ ， （ 一 ， ｚ 为场点 ， 给定 （ 在 个结点 上 的值 为 （ 一“ ， ） ｚ） ｉ ， ， ， ， 使 用 滑 动 最小 二乘 法 可 确 定 “ ） 一１ ２ … ｎ 则 （ 的一个 近似 函数为
ｌ “ ，２ … ， ， ｌ 一［ １ “ ， “ ］ （ 为ｉ ） 节点 的形 函数在 点 ． 的取值 ． ２ ７
（ ０ １）
式 中 ： 数 口 ） ｍ 维 系 数 向 量 ； （ ） ｍ 维 基 向 系 （ 为 Ｐｘ为
Ｅ Ｇ方法用于动态裂 纹扩展 的数 值模拟 ， Ｆ 克服 了有 限 元方法在模拟裂纹扩展时需 不断进 行 网格重新划 分 的
缺 点 ， 计 算 中 可 以连 续 进 行 模 拟 ．ｕｕ等 根 据 函数 积 在
ａ （ 一［ １ ，２ ） … ， （ ］ Ｔ ） ｎ （ ａ （ ， ａ ） ， ） （） ２ Ｐ （ 一［ （ ， ） … ， ｍ ） 。 Ｔ ） １ ） Ｐ （ ， Ｐ （ ］ （） ３ 在三 维 问题 中 ， 多项 式基 表示 为 ｐ （ ） １ ｚ， ２ ｚ ， ｙ ，ｚ ｚ ，．， 。 …］ Ｔ 一［ ， Ｙ， ， 。 ｘ ， ｙ ， Ｚ ｚ ， ． Ｓ Ｃ
无 单 元 法 引 起 了 很 多 人 的 关 注 ，Ｂ ｌｔ ｈ ｏ ｅ ｓ ｋ ｙｃ 等［ 基 于 ＭＬ １ Ｓ近似和 Ｇ ｌ ｋ ａ ｒｉ ｅ ｎ原理 ， 用背景 网格 利
量， 为保证 收敛 性 ， （ 应取 自完 全多项 式． ｐ ） 则
进行积分计算 ， 形成 了 Ｔ ｅ ｌ ｎ－ ｅ ｅｋｎＭｅ — ｈ ｅ ｔ ｅ ｒｉ Ｅ ｍｅ ｆ Ｇｌ ｔ ｌ ｈ ｏ（ ｄ无单 元的 Ｇ ｌ ｋｎ法 ， ａ ｒｉ ｅ 简称 Ｅ Ｇ ［ ］ Ｌ Ｆ ）１ ， ｕ等＿ 将 ５
权 平方 和最 小 ， 即
Ｊ 一∑ Ｗ（） 一ｕ 。 ［ （ ） （） 一 ｘ “ｚ ｘ］
＝１
∑ 叫 ［ 口 一５
式 中 ： 函数在 节点 ｚ 处 的值 ； 是节 点 ｚ 对 应 “是 Ｗ 的权 函数 ， 并且 它是 以 为 中心 的紧 支 函数 ． ， 由 取 极小 值可 求 得 系数 ａ（ ， 而 可 得 到 函数 ｌ ）的 ） 从 ｌ （ 近似 式． 体计 算表 达式 如下 ： 具
摘 要 ： 绍 了 三 维 无 单 元 法 的 基 本 思 想 和程 序设 计 思路 ， 算 了 梁和 薄 板 的 裂 纹 扩 展 ． 算 结 果 表 明 ， 单 元 法 介 计 计 无
的计 算精 度 是 比较 高的 ， 以很 好 地描 述 裂 纹 的 扩展 ． 可
关 键 词 ： 单 元 法 ； ； 壳 ； 纹 扩 展 无 粱 板 裂 分 类 号 ： 中 图） ４ ； ４ （ ０２ ２ ０３ ３ 文献 标 志码 ： Ａ
Ａ（ Ｄ（ ｘ） ）一 Ｂ（ ｌ， ）ｌ （） ６
１ 理 论 公 式
１ １ 移动 最小 二乘 法近似 ．
（ ） 为 ＭＬ ６式 Ｓ的正 规方 程 ， 中 ： 式
移动 最 小 二乘 法 （ Ｓ 近 似 被 认 为 是 精 度 较 ＭＬ ） 高 的插 值方 法 之 一． ＭＬ Ｓ方 法 用 在 Ｅ Ｇ 和 其 他 无 Ｆ 网格 方法 中的主要 思 想 是 ： 定 一 系列 描 述 节 点 信 给
（ ４）
根据 ＭＬ Ｓ近 似 ， 求 函 数 Ｕ ） 各 点 的 误 差 的 加 要 （ 在
分变换 的思想 ， 出再 生核 粒子 （ Ｋ Ｍ） －３ 目前 比 提 Ｒ Ｐ ［７ ６ ． 较常用 的无单元方 法是无单元 迦辽金 方法 ， 这种方 法 可 以用来解决 三维弹性断裂力 学问题Ｌ ， 且 Ｅ Ｇ方 ８而 ］ Ｆ 法特别适合解决 内部边界几 何变化 等问题 ， 应用 Ｅ Ｇ Ｆ 根据裂纹 变化情况 ， 可调 整节点 的疏密 以达到计算精 确的 目的． 为了验证无单元法 的计算 能力和计算精 度 ， 本文在无单元 法理论 的基 础上利 用 Ｆ ｒ ａ 言编写 ｏｔ ｎ语 ｒ 了无 单元法 三维裂纹扩展 程序 ， 并通 过 自由悬挂 体 的 位移 、 和薄板的裂 纹扩展情况等进行 了验证． 梁
２１年３ ０１ 月
Ｍ ａ ． Ｏ１１ ２ ｒ
文章 编 号 ： ２ ３２ ２ （ ０ １ ０ － ０ ５０ ０ ５—３ ８ ２ １ ）１０ ３—４
三维 无单 元 法 模 拟 裂 纹 扩 展
马 泽玲 ， 虎 旭 林
（ 方民族大学 信息与计算科 学学院， 夏 银川 ７０２） 北 宁 ５０ １
Ｖ０１ ２ ＮＯ．１ ．３
宁 夏 大 学 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＮｉ ｇ ｌ ｉ ｅ ｓｔ （ ｔ ｒ ｌ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｎ ｘ ａ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ Ｎａ ｕ ａ ｉ ｎ ｅ Ｅ ｉｉ ） ｏ ｙ Ｓ ｏ
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由此可 得全 区域 内 的近似位 移
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式 中
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（） ｘ一∑ Ｐ（） 一（）（） ， ［ Ｂ ］ Ａ
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Ａ 一∑ Ｗ（）（ ） （ ， （） ｚ ｐ ）
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…
（ ７ ）
（） ８
息 的数 据点 ， 不需 要 节 点之 间 的联 系 信息 就 可 以构 造近 似 函数 ． 设场 函数 为 ｌ ） 其 中 ， （ Ｙ， ） ｌ ， （ 一 ， ｚ 为场点 ， 给定 （ 在 个结点 上 的值 为 （ 一“ ， ） ｚ） ｉ ， ， ， ， 使 用 滑 动 最小 二乘 法 可 确 定 “ ） 一１ ２ … ｎ 则 （ 的一个 近似 函数为
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式 中 ： 数 口 ） ｍ 维 系 数 向 量 ； （ ） ｍ 维 基 向 系 （ 为 Ｐｘ为
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无 单 元 法 引 起 了 很 多 人 的 关 注 ，Ｂ ｌｔ ｈ ｏ ｅ ｓ ｋ ｙｃ 等［ 基 于 ＭＬ １ Ｓ近似和 Ｇ ｌ ｋ ａ ｒｉ ｅ ｎ原理 ， 用背景 网格 利
量， 为保证 收敛 性 ， （ 应取 自完 全多项 式． ｐ ） 则
进行积分计算 ， 形成 了 Ｔ ｅ ｌ ｎ－ ｅ ｅｋｎＭｅ — ｈ ｅ ｔ ｅ ｒｉ Ｅ ｍｅ ｆ Ｇｌ ｔ ｌ ｈ ｏ（ ｄ无单 元的 Ｇ ｌ ｋｎ法 ， ａ ｒｉ ｅ 简称 Ｅ Ｇ ［ ］ Ｌ Ｆ ）１ ， ｕ等＿ 将 ５
权 平方 和最 小 ， 即
Ｊ 一∑ Ｗ（） 一ｕ 。 ［ （ ） （） 一 ｘ “ｚ ｘ］
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式 中 ： 函数在 节点 ｚ 处 的值 ； 是节 点 ｚ 对 应 “是 Ｗ 的权 函数 ， 并且 它是 以 为 中心 的紧 支 函数 ． ， 由 取 极小 值可 求 得 系数 ａ（ ， 而 可 得 到 函数 ｌ ）的 ） 从 ｌ （ 近似 式． 体计 算表 达式 如下 ： 具
摘 要 ： 绍 了 三 维 无 单 元 法 的 基 本 思 想 和程 序设 计 思路 ， 算 了 梁和 薄 板 的 裂 纹 扩 展 ． 算 结 果 表 明 ， 单 元 法 介 计 计 无
的计 算精 度 是 比较 高的 ， 以很 好 地描 述 裂 纹 的 扩展 ． 可
关 键 词 ： 单 元 法 ； ； 壳 ； 纹 扩 展 无 粱 板 裂 分 类 号 ： 中 图） ４ ； ４ （ ０２ ２ ０３ ３ 文献 标 志码 ： Ａ
Ａ（ Ｄ（ ｘ） ）一 Ｂ（ ｌ， ）ｌ （） ６
１ 理 论 公 式
１ １ 移动 最小 二乘 法近似 ．
（ ） 为 ＭＬ ６式 Ｓ的正 规方 程 ， 中 ： 式
移动 最 小 二乘 法 （ Ｓ 近 似 被 认 为 是 精 度 较 ＭＬ ） 高 的插 值方 法 之 一． ＭＬ Ｓ方 法 用 在 Ｅ Ｇ 和 其 他 无 Ｆ 网格 方法 中的主要 思 想 是 ： 定 一 系列 描 述 节 点 信 给
（ ４）
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２１年３ ０１ 月
Ｍ ａ ． Ｏ１１ ２ ｒ
文章 编 号 ： ２ ３２ ２ （ ０ １ ０ － ０ ５０ ０ ５—３ ８ ２ １ ）１０ ３—４
三维 无单 元 法 模 拟 裂 纹 扩 展
马 泽玲 ， 虎 旭 林
（ 方民族大学 信息与计算科 学学院， 夏 银川 ７０２） 北 宁 ５０ １
