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材料科学基础第1 章1.3.1 十四种布拉维点阵十四种布拉维点阵一、单位平行六面体的选取二、十四种布拉维点阵三、晶胞空间点阵的划分 空间点阵是一个由无限多结点在三维空间作有规则排列的图形。
整个空间点阵就被这些平行线分割成多个紧紧地排列在一起的平行六面体有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）单位平行六面体的 选取原则 3.大小原则体积最小 1 对称性原则应能反映空间点阵对称性 2 角度原则 直角关系尽可能多4 对称性规定夹角不为直角 结点间距最小的行列做棱，夹角最接近直角的平行六面体二维平面点阵的划分(A)具有L44P的平面点阵；(B)具有L22P的平面点阵单位平行六面体在空间点阵中，选取出来的能够符合这几条原则的平行六面体称为单位平行六面体；可以用三条互不平行的棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ来描述，如下图所示。
点阵常数棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ的大小称为点阵常数。
晶体的点阵常数十四种布拉维点阵（格子）简单（原始）点阵（格子）(P) 结点分布在角顶，每个点阵包含一个结点体心点阵（格子）（I）结点分布在角顶和体心，每个点阵包含二个结点十四种布拉维点阵（格子）面心点阵（格子）(F) 结点分布在角顶和面心，每个点阵包含四个结点单面心点阵（格子）(A/B/C) 结点分布在角顶和一对面心，每个点阵包含2个结点根据布拉维推导，从一切晶体结构中抽象出来的空间点阵，按上述原则来选取平行六面体，只能有14种类型，称为14种布拉维点阵。
十四种空间点阵正交P(简单) C(底心) I(体心) F(面心) 点阵常数 a ≠ b ≠ cα= β= γ= 90°立方简单立方(P) 体心立方（I）面心立方（F）点阵常数 a =b =cα= β= γ= 90°如图立方为什么没有底心呢？假如有底心，将破坏立方的3L 4的对称性，只有1L 4。
立方三方（R ） 90120≠<====γβαc b a 点阵常数：六方（H ）12090===≠=γβαcb a 点阵常数： 四方（P ） 四方（I ）90===≠=γβαc b a 点阵常数：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
第2章晶体结构提纲：2.1 晶体学基础2.2 金属的晶体结构2.3 合金相结构2.4 离子晶体结构2.5 共价晶体结构2.6 聚合物的晶态结构2.7 非晶态结构学习要求：掌握晶体学基础及典型晶体的晶体结构，了解复杂晶体(包括合金相结构、离子晶体结构，共价晶体的结构，聚合物的晶态结构特点)、准晶态结构、液晶结构和非晶态结构。
1．晶体学基础（包括空间点阵概念、分类以及它与晶体结构的关系；晶胞的划分，晶向指数、晶面指数、六方晶系指数、晶带和晶带定律、晶面间距的确定、极射投影）；2．三种典型金属晶体结构（晶胞中的原子数、点阵常数与原子半径、配位数与致密度、堆垛方式、间隙类型与大小）；3．合金相结构（固溶体、中间相的概念、分类与特征）；4．离子晶体的结构规则及典型晶体结构（AB、AB2、硅酸盐）；5、共价晶的结构规则及典型晶体结构体（金刚石）6、聚合物的晶态结构、准晶态结构、液晶结构和非晶态结构。
重点内容1.选取晶胞的原则；Ⅰ) 选取的平行六面体应与宏观晶体具有同样的对称性；Ⅱ）平行六面体内的棱和角相等的数目应最多；Ⅲ）当平行六面体的棱角存在直角时，直角的数目应最多；Ⅳ）在满足上条件，晶胞应具有最小的体积。
2.7个晶系，14种布拉菲空间点阵的特征；（1）简单三斜（2）简单单斜底心单斜（3）简单正交底心正交体心正交面心正交（4）简单六方（5）简单四方体心四方（6）简单菱方（7）简单立方体心立方面心立方3.晶向指数与晶面指数的标注，包括六方体系，重要晶向和晶面需要记忆。
4.晶向指数，晶面指数，晶向族，晶面族，晶带轴，共带面，晶面间距5.8种,即1，2，3，4，6，i，m，。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，C i，C s，S4。
微观对称元素6.极射投影与Wulff网；标hkl直角坐系d4⎧⎨⎩微观11213215243滑动面 a，b，c，n，d螺旋轴 2；3，3；4，4，4；6，6，6，6，67.三种典型金属晶体结构的晶体学特点；在金属晶体结构中，最常见的是面心立方(fcc)、体心立方（bcc）和密排六方(hcp)三种典型结构，其中fcc和hcp系密排结构，具有最高的致密度和配位数。
考研必备之《材料科学基础》学霸笔记材料科学基础笔记第⼀章原⼦结构与键合概述：决定材料性能的最根本的因素是组成材料的各元素的原⼦结构，原⼦间的相互作⽤、相互结合，原⼦或分⼦在空间的排列分布和运动规律以及原⼦集合体的形貌特征等。
为此，我们需要了解材料的微观构造，即其内部结构和组织状态，以便从其内部的⽭盾性找出改善和发展材料的途径。
第⼀节原⼦结构1 物质的组成物质是由⽆数微粒按⼀定⽅式聚集⽽成的，这些微粒可能是原⼦、分⼦或离⼦；分⼦是能单独存在且保持物质化学特性的⼀种微粒；原⼦是化学变化中的最⼩微粒。
2 原⼦的结构（原⼦结构直接影响原⼦间的结合⽅式）3 原⼦的电⼦结构3.1电⼦既有粒⼦性⼜具有波动性，具有波粒⼆象性。
3.2电⼦的状态和在某处出现的机率可⽤薛定谔⽅程的解/波函数来描述，即原⼦中每个电⼦的空间位置和能量可⽤四个量⼦数来确定：a主量⼦数（n）：决定原⼦中电⼦的能量及与核的平均距离（⼀般能量低的趋向近轨道,r较⼩，反之则反），即表⽰电⼦所处的量⼦壳层。
如K、L、M…，n=1,2,3；b 轨道⾓动量量⼦数（l）：表⽰电⼦在同⼀壳层内所处的能级，与电⼦运动的⾓动量有关。
如s、p、d、f…（0，1，2，…n-1）；c 磁量⼦数（m）：给出每个轨道⾓动量量⼦数的能级数或轨道数，为2l+1,决定电⼦云的空间取向；d ⾃旋⾓动量量⼦数（s）：反映电⼦不同的⾃旋⽅向，其值可取*只有n,l决定能量和能级3.3能级和能级图把电⼦不同状态对应着相同能量的现象称为简并。
将所有元素的各种电⼦态（n，l）按能量⽔平排列成能级图。
3.4核外电⼦的排布规则a 能量最低原理：电⼦的排布总是尽可能使体系的能量最低；b Pauling不相容原理：在⼀个原⼦中，不可能有上述运动状态完全相同的两个电⼦，即不能有上述四个量⼦数都相同的两个电⼦；c 洪德Hund规则：在同⼀个亚层中的各个能级中，电⼦的排布尽可能分占不同的能级，⽽且⾃旋⽅向相同（尽可能保持⾃旋不成对）；3.5 元素周期表元素是具有相同核电荷数的同⼀类原⼦的总称；元素的外层电⼦结构随着原⼦序数的递增⽽呈周期性的变化规律称为元素周期律；元素周期表是元素周期律的表现形式；元素的性质、原⼦结构和该元素在周期表中的位置三者之间有着密切的关系。
第1章晶体学基础1.1复习笔记一、空间点阵1.晶体特征和空间点阵概述（1）晶体特征晶体的一个基本特征是具有周期性。
（2）空间点阵空间点阵是指用来描述晶体中原子或原子集团排列的周期性规律的在空间有规律分布的几何点的集合。
2.晶胞、晶系和点阵类型（1）晶胞①晶胞的定义空间点阵可以看成是由最小的单元——平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成。
这样的平行六面体称为晶胞。
②点阵常数a．描述晶胞的大小：三条棱的长度a，b和c；b．描述晶胞的形状：棱之间的夹角α，β和γ。
③选取晶胞的条件a.能反映点阵的周期性；b．能反映点阵的对称性；c．晶胞的体积最小。
（2）晶系按照晶胞的大小和形状的特点，或按照6个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种晶体归为7种晶系。
表1-1 7种晶系（3）点阵类型①简单三斜点阵（如图1-1（1）所示）；②简单单斜点阵（如图1-1（2）所示）；③底心单斜点阵（如图1-1（3）所示）；④简单斜方点阵（如图1-1（4）所示）；⑤底心斜方点阵（如图1-1（5）所示）；⑥体心斜方点阵（如图1-1（6）所示）；⑦面心斜方点阵（如图1-1（7）所示）；⑧六方点阵（如图1-1（8）所示）；⑨菱方点阵（三角点阵）（如图1-1（9）所示）；⑩简单正方（或四方）点阵（如图1-1（10）所示）；⑪体心正方（或四方）点阵（如图1-1（11）所示）；⑫简单立方点阵（如图1-1（12）所示）；⑬体心立方点阵（如图1-1（13）所示）；⑭面心立方点阵（如图1-1（14）所示）。
图1-1 14种空间点阵（4）布拉维点阵与复式点阵①布拉维点阵：由等同点构成的点阵；②复式点阵：由几个布拉维点阵穿插而成的复杂点阵。
二、晶面指数和晶向指数1.晶面指数和晶向指数（1）晶面指数将截距的倒数化成三个互质的整数h，k，l，则（hkl）称为待标晶面的晶面指数。
（2）晶向指数将晶向上除原点以外的任一点的坐标x，y，z化成互质整数u，v，w，得到晶向指数[uvw]。
第一篇 X射线衍射分析（15万字）1 晶体学基础1.1 晶体结构的周期性与点阵晶体是由原子、离子、分子或集团等物质点在三维空间内周期性规则排列构成的固体物质，这种周期性是三维空间的。
晶体中按周期重复的原子、分子或离子团称为结构基元，也就是重复单元。
为了描述晶体内部原子排列的周期性，总是把一个结构基元抽象地看成为一个几何点，而不考虑它的实际内容（指原子、离子或分子）。
这些几何点按结构周期排列，这种几何点的集合就称为点阵，将点阵中的每个点叫阵点。
要构成点阵，必须具备三个条件：（1）点阵点数无限多；（2）各点阵点所处的几何环境完全相同；（3）点阵在平移方向的周期必须相同。
凡是能够抽取出点阵的结构可称为点阵结构或晶体点阵。
点阵中每一阵点对应于点阵结构中的一个结构基元，在晶体中则是一些组成晶体的实物粒子，即原子、分子或离子等，或是这些微粒的集团。
这样，晶体结构与晶体点阵是两个不同的概念，其关系如图1-1所示，晶体结构可以表示为：晶体结构= 晶体点阵+ 结构基元图1-1晶体结构与点阵的关系根据点阵的性质，把分布在同一直线上的点阵称为直线点阵或一维点阵，分布在同一平面内的点阵称为平面点阵或二维点阵，分布在三维空间中的点阵称为空间点阵或三维点阵。
1.1.1 一维周期性结构与直线点阵图1-2（a）是聚乙烯分子链的结构示意图，具有一维周期结构，其结构基元（CH2CH2）周期性地排列在一个方向上。
每一个结构基元的等同位置抽象成一个几何点，可形成一条直线点阵，是等距离分布在一条直线上的无限点列，如图1-2（b）所示。
取任一阵点作为原点O ，A 为相邻的阵点，则矢量a=OA 表示重复的大小和方向，称为初基（单位）矢量或基矢，若以单位矢量a 进行平移，必指向另一阵点，而矢量的长度a a =ρ称为点阵参数。
图1-2晶体结构与点阵的关系（a ）聚乙烯分子链的结构示意图；（b ）等效的一维直线点阵直线点阵中任何两阵点的平移矢量称为矢径，可表示为T p = p a (0, ±1, ±2……)矢径T p 完整而概括地描述了一维结构基元排列的周期性。
1.3 晶体学基础（空间点阵）金属及非金属材料在固态通常都是晶体，它们的许多特性都与其结晶状态有关。
因此，作为材料科学工作者，首先要熟悉晶体的特征及其描述方法。
本节将扼要地介绍晶体学的基础知识，包括以下几方面内容：(1)空间点阵及其描述、晶系和点阵类型。
(2)晶体取向的解析描述：晶面和晶向指数。
(3)晶体中原子堆垛的几何学，堆垛次序，四面体和八面体间隙。
熟练地掌握以上内容，关键是要多练习、多应用。
以上内容不仅是学习材料课程的基础，也是学习其他许多专业课程（如X射线衍射、电子衍射、固体物理等）的基础。
因此，要求学生对这些内容，能掌握得非常透彻、非常熟练。
一、晶体与非晶体1 晶体的定义物质的质点(分子、原子或离子)在三维空间作有规律的周期性重复排列所形成的物质叫晶体。
图1 金属及其他许多材料的长程有序排列2 非晶体非晶体在整体上是无序的，但原子间也靠化学键结合在一起，所以在有限的小范围内观察还有一定规律，可将非晶体的这种结构称为近程有序。
图 2 水蒸气的短程有序玻璃的短程有序3 晶体的特征（1）周期性固态物质按其原子或分子的聚集状态可分为两大类，一类是晶体，另一类是非晶体。
晶体的一个基本特征就是其中的原子或原子集团都是有规律地排列的，这个规律就是周期性，即不论沿晶体的哪个方向看去，总是相隔一定的距离就出现相同的原子或原子集团。
这个距离也称为周期。
显然，沿不同的方向有不同的周期。
非晶体不具有上述特征。
在非晶体中原子（或分子、离子）无规则地堆积在一起。
液体和气体都是非晶体。
在液体中，原子也处于相对紧密聚集的状态，但不存在长程的周期性排列。
对于金属液体的结构，我们在学习后面的内容时将会有进一步的了解。
固态的非晶体实际上是一种过冷状态的液体，只是它的物理性质不同于通常的液体。
玻璃是一个典型的固态非晶体，所以，往往将非晶态的固体称为玻璃态。
（2）有固定的凝固点和熔点晶体还有一些其他的特点。
例如，从液体到固态晶体的转变是突变的，有一定的凝固点和熔点；而从液体到非晶态固体的转变是逐渐过渡的，没有明显的凝固点和熔点。
（3）各向异性另外，沿着晶体的不同方向所测得的性能通常是不同的，这称为各向异性或异向性。
这些性能可以是晶体的导电性、导热性、热膨胀性、弹性、强度、光学性质等等。
晶体的异向性是因其原子的规则排列而造成的。
通常，非晶体是各向同性的。
表1列出几种常见金属单晶体沿不同方向测得的力学性能。
表1 单晶体的各向异性4 晶体与非晶体的区别：a.根本区别：质点是否在三维空间作有规则的周期性重复排列。
b.晶体熔化时具有固定的熔点,而非晶体无明显熔点,只存在一个软化温度范围。
c. 晶体具有各向异性，非晶体呈各向同性。
5 晶体与非晶体的转化非晶体在一定条件下可以转化为晶体。
例如，玻璃经高温长时间加热后能形成晶态玻璃。
而通常呈晶体的物质如果将它从液态快速冷却下来也可能得到非晶态。
对金属来说，因其晶体结构比较简单，很难阻止其结晶过程，通常得不到非晶态固体，只有通过采用特殊的制备方法，才可以获得非晶态的金属和合金。
二、空间点阵1 空间点阵、阵点实际晶体中，质点在空间的排列方式是多种多样的，为了便于研究晶体中原子、分子或离子的排列情况，近似地将晶体看成是无错排的理想晶体，忽略其物质性，抽象为规则排列于空间的无数几何点。
这些点代表原子(分子或离子)的中心，也可是彼此等同的原子群或分子群的中心，各点的周围环境相同。
这种点的空间排列称为空间点阵，简称点阵，这些点叫阵点。
既然点阵只是表示原子或原子集团分布规律的一种几何抽象，那么，每个结点就不一定代表一个原子。
就是说，可能在每个结点处恰好有一个原子，也可能围绕每个结点有一群原子（原子集团）。
但是，每个结点周围的环境（包括原子的种类和分布）必须相同，亦即点阵的结点都是等同点。
将构成晶体的实际质点（原子、离子、分子）抽象成纯粹的几何点称为阵点。
阵点在空间呈周期性规则排列，并具有等同的周围环境的模型。
2 晶胞从点阵中取出一个仍能保持点阵特征的最基本单元叫晶胞，如图3所示。
在空间点阵中，能代表空间点阵结构特点的小平行六面体。
整个空间点阵可由晶胞作三维的重复堆砌而构成。
3 晶格将阵点用一系列平行直线连接起来，构成一空间格架叫晶格。
显然晶胞作三维堆砌就构成了空间点阵。
作许多平行的直线把阵点连接起来，构成一个三维的几何格架称为晶格。
图 3 空间点阵及晶胞图4是三维空间点阵，它是一个在三维空间内的阵列，由表示原子或原子集团排列规律的几何点（结点）所构成。
可以设想用直线将各结点连接起来，这样就形成了一个空间网络，这种空间网络称为晶格。
显然，在某一空间点阵中，各结点在空间的位置是一定的，而通过结点所作的空间网络则因直线的取向不同可有多种形式。
因此，必须强调指出，结点是构成空间点阵的基本要素。
图4 三维空间点阵示意图4 空间点阵和实际晶体结构之间的关系图5表示的是空间点阵和实际晶体结构之间的关系。
图中的图5(a)和图5(b)都是二维正方点阵，但二者的晶体结构是不同的，因为围绕每个结点的原子分布不同。
同样，图中的图5(c)和图5(d)都是长方点阵，但二者的结构也不同，图5(e)则是菱形点阵。
图5 二维点阵和晶体结构三、晶胞、晶系和点阵类型1 晶胞的选取原则：（1）晶胞几何形状能够充分反映空间点阵的对称性；（2）平行六面体内相等的棱和角的数目最多；（3）当棱间呈直角时，直角数目应最多；（4）满足上述条件，晶胞体积应最小。
空间点阵具有周期性和重复性，图4所示的空间点阵可以看成是由最小的单元——平行六面体沿三维方向重复堆积（或平移）而成，这样的平行六面体称为晶胞。
2 描述晶胞的六参数晶胞的尺寸和形状可用点阵参数来描述，它包括晶胞的各边长度和各边之间的夹角（图6）。
晶胞的三条棱AB、AD和AE的长度就是点阵沿这些方向的周期，这三条棱就称为晶轴。
图6 晶胞示意图事实上，采用三个点阵矢量a，b，c来描述晶胞是很方便的。
这三个矢量不仅确定了晶胞的形状和大小，而且完全确定了此空间点阵。
只要任选一个结点为原点，以这三个矢量作平移（即平移的方向和单位距离由点阵矢量所规定），就可以确定空间点阵中任何一个结点的位置：r uvw = u a + v b + w c式中r uvw为从原点到某一阵点的矢量，u，v，w分别表示沿三个点阵矢量的平移量，亦即该阵点的坐标值。
3 不同的晶体的差别既然任何晶体的晶胞都可以看成是平行六面体，那么不同的晶体的差别在哪里？差别有两点：(1)不同晶体的晶胞，其大小和形状可能不同。
(2)围绕每个结点的原子种类、数量及分布可能不同。
4 七种晶系晶胞的大小显然取决于AB，AD和AE这三条棱的长度a，b和c，而晶胞的形状则取决于这些棱之间的夹角α，β和γ。
我们把a，b，c，α，β和γ这6个参量称为点阵常数或晶格常数。
按照晶胞的大小和形状的特点，也就是按照6个点阵常数之间的关系和特点，可以将各种晶体归于如表2所示的7种晶系。
5 14种布拉菲点阵由7种晶系可以形成多少种空间点阵呢？这就取决于每种晶系可以包含多少点阵，或者说，有多少种可能的结点分布方式。
为了回答这个问题，我们的基本出发点是：点阵的结点必须是等同点。
由于晶胞的角隅、6个外表面的中心（面心）以及晶胞的中心（体心）都是等同点，故乍看起来，似乎每种晶系包括4种点阵，即简单点阵、底心点阵、面心点阵和体心点阵。
这样看来，7种晶系总共似乎可以形成4×7=28种点阵。
然而，如果将这28种点阵逐一画出，就会发现，从对称性的角度看，其中有些点阵是完全相同的。
真正不同的点阵只有14种布拉菲点阵，如图7所示。
按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，最先是布拉菲（A. Bravais）用数学方法证明了只能有14种空间点阵。
通常人们所说的点阵就是指布拉菲点阵。
表2 7种晶系°≠=====(a)简单三斜点阵(b)简单单斜点阵(c)底心单斜点阵(d)简单正交点阵(e)底心正交点阵(f)体心正交点阵(g)面心正交点阵(h)六方点阵(i)菱方(或三角)点阵(j) 简单正方(或四方)点阵(k) 体心正方(或四方)点阵(l) 简单立方点阵(m) 体心立方点阵(n) 面心立方点阵图7 7种晶系的14种空间点阵如果在某种晶胞的底心、面心或体心放置结点而形成一种“新”的点阵，那么这个“新”点阵必然包含在14种点阵中，或者可以连成14种点阵中的某一种，且不改变对称性。
下面举两个例子。
体心单斜点阵是不是一个新的点阵？从图8可知，体心单斜点阵晶胞为ABCD-EFHG。
通过重新连接结点，可以连成底心单斜点阵，其晶胞为JABD-KEFG。
因而体心单斜点阵不是新的点阵。
(a)(b)图8 体心单斜点阵可以连成底心单斜点阵在简单六方点阵晶胞上、下底面的中心分别添加结点后是否形成一个新的点阵——底心六方点阵？图9 在简单六方点阵上、下底面添加结点后形成简单单斜点阵（大圆是原有的结点，小圆是新加的结点）空间点阵虽然只可能有14种，但晶体结构则是无限多的。
这是因为空间点阵的每个阵点上，都可放上一个“结构单元”，这个结构单元可以由各种原子、离子、分子或原子集团，分子集团所组成，由于“结构单元”是任意的，故晶体结构为无限多。
Cu，NaCl，CaF2具有不同的晶体结构，但都是属于面心立方点阵，如图10所示。
NaCl结构中，每个阵点，包含一个Na+和一个Cl-。
而CaF2可看成每阵点包含两个F-和一个Ca2+。
图10 具有相同点阵的晶体结构四原胞1 原胞体积最小的晶胞通常称为原胞。
布拉菲点阵的原胞只含一个结点，故原胞的体积就是一个结点所占的体积。
2 原胞与晶胞的关系图11和图12分别画出了fcc和bcc点阵的原胞，以及它和晶胞的关系。
从图看出，fcc 和bcc的晶胞都是高度对称的立方体，但体积则不是最小。
fcc晶胞的体积（a3）是4个结点所占的体积，而bcc晶胞的体积（a3）是两个结点所占的体积。
它们的原胞都只包含一个结点，故fcc和bcc的原胞体积分别为a3/4和a3/2。
可见原胞的体积的确是最小，但却没有反映立方点阵的对称性。
图11 bcc的原胞与晶胞的关系图12 fcc的原胞与晶胞的关系密排六方晶体的晶胞和原胞见图13。
从图看出，为了反映点阵的6次旋转对称，需选取六棱晶胞（六角棱柱）。
它包含两个整原胞和两个“半原胞”，即相当于三个原胞的体积，每个原胞包含一个结点（两个原子），每个晶胞则包含三个结点。
如果在晶胞中同时给出原子位置，就得到“结构胞”，因为它是晶体结构的最小单元。
但习惯上人们往往把结构胞也称为晶胞，就是说，晶胞可以是点阵的最小单元，也可以是晶体结构的最小单元，应视上下文而定。
(a)(b)图13 密排六方晶体的晶胞和原胞关系图从图13看，每个原胞中包含两个原子，每个晶胞中包含6个原子。
