【步步高】2014届高考数学一轮复习 2.3.1 双曲线的标准方程备考练习 苏教版

3.2.1对数 ( 二)一、根底过关1．计算： log 916·log 881 的值为 ________．1 2．假设 log 5·log 36·log 6x ＝ 2，那么x ＝ ________.3ab1 13．3 ＝ 5＝ A ，假设a ＋b ＝2，那么 A ＝________.4． log 9＝a ， log25＝b ，那么 lg 3 ＝________( 用a 、b 表示 ) ．8aa3m ＋ n5．假设 log 2＝m ， log 5＝n ，那么a ＝ ________.6． (lg 5) 2＋lg 2 ·lg 50 ＝ ________. 7． (1) 计算： lg1－ lg 5＋ lg 12.5－ log 89·log 34；28ab2 1(2) 3＝ 4 ＝36，求a ＋b 的值． 8．计算以下各式的值：1 324(1) 2lg 49－3lg 8＋ lg 245；222 (2)lg 5 ＋3lg 8 ＋lg 5 ·lg 20 ＋(lg 2) .二、能力提升2a29．假设 lg a ，lg b 是方程2x － 4x ＋ 1＝ 0 的两个根，那么 (lgb )的值为 ________．10． log 3 27＋ lg 25 ＋ lg 4 ＋ 7log 72＋(－9.8)0＝________.11． 2log 10＋ log 0.25 ＋ ( 3 125) ÷ 4 25＝ ________.525－512．假设a 、b 是方程 2(lgx ) 2－ lgx 4＋1＝ 0 的两个实根，求 lg( ) ·(log a＋log b ) 的值．ab b a三、探究与拓展13．20 世纪 30 年代，里克特制订了一种说明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级 M ，其计算公式为 M ＝lg A －lg A 0.其中 A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震〞的振幅 ( 使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差) ．的多少倍 ( 准确到 1) ．- 1 -答案1. 8 32. 1 253.154.3a 2＋ 1b5． 40 6． 11 57．解(1) 方法一 lg 2－lg 8＋ lg 12.5 － log 89·log 341 8 2lg 3 2lg 2＝ lg(× ×12.5) － ·2 5 3lg 2 lg 341＝ 1－3＝－3.方法二154lg 2－ lg 8＋ lg 12.5 － log 9·log381 525 lg 9 lg 4＝ lg 2－ lg 8＋lg 2 － lg 8 ·lg 32lg 32lg 2＝－ lg 2 － lg 5 ＋ 3lg 2 ＋ 2lg 5 － lg 2 －3lg 2·lg 3＝ (lg 2 ＋ lg 5) 4 4 1－＝1－＝－.3 3 3 (2) 方法一由 3a ＝ 4b ＝ 36 得：a ＝log 336， ＝log 436，b2 1363＋ log 36362所以a ＋b ＝ 2log 4＝log (3×4) ＝ 1.方法二ab因为 3 ＝4 ＝36，11所以 36a ＝ 3,36 b ＝ 4，1 2 12所以 (36 a ) ·36b ＝ 3 ×4，2 1 2 1即 36a ＋b ＝ 36，故a ＋b ＝ 1.15 24 321 58．解(1) 方法一 原式＝2(lg 2 － lg 7 ) －3lg 22＋ lg(7×5) 2＝2lg 2 － lg 7 － 2lg 2 ＋ lg1 117＋2lg 5 ＝2lg 2 ＋2lg 51. 8 32. 1 253.154.3a 2＋ 1b5． 40 6． 11 57．解(1) 方法一 lg 2－lg 8＋ lg 12.5 － log 89·log 341 8 2lg 3 2lg 2＝ lg(× ×12.5) － ·2 5 3lg 2 lg 341＝ 1－3＝－3.方法二154lg 2－ lg 8＋ lg 12.5 － log 9·log381 525 lg 9 lg 4＝ lg 2－ lg 8＋lg 2 － lg 8 ·lg 32lg 32lg 2＝－ lg 2 － lg 5 ＋ 3lg 2 ＋ 2lg 5 － lg 2 －3lg 2·lg 3＝ (lg 2 ＋ lg 5) 4 4 1－＝1－＝－.3 3 3 (2) 方法一由 3a ＝ 4b ＝ 36 得：a ＝log 336， ＝log 436，b2 1363＋ log 36362所以a ＋b ＝ 2log 4＝log (3×4) ＝ 1.方法二ab因为 3 ＝4 ＝36，11所以 36a ＝ 3,36 b ＝ 4，1 2 12所以 (36 a ) ·36b ＝ 3 ×4，2 1 2 1即 36a ＋b ＝ 36，故a ＋b ＝ 1.15 24 321 58．解(1) 方法一 原式＝2(lg 2 － lg 7 ) －3lg 22＋ lg(7×5) 2＝2lg 2 － lg 7 － 2lg 2 ＋ lg1 117＋2lg 5 ＝2lg 2 ＋2lg 51. 8 32. 1 253.154.3a 2＋ 1b5． 40 6． 11 57．解(1) 方法一 lg 2－lg 8＋ lg 12.5 － log 89·log 341 8 2lg 3 2lg 2＝ lg(× ×12.5) － ·2 5 3lg 2 lg 341＝ 1－3＝－3.方法二154lg 2－ lg 8＋ lg 12.5 － log 9·log381 525 lg 9 lg 4＝ lg 2－ lg 8＋lg 2 － lg 8 ·lg 32lg 32lg 2＝－ lg 2 － lg 5 ＋ 3lg 2 ＋ 2lg 5 － lg 2 －3lg 2·lg 3＝ (lg 2 ＋ lg 5) 4 4 1－＝1－＝－.3 3 3 (2) 方法一由 3a ＝ 4b ＝ 36 得：a ＝log 336， ＝log 436，b2 1363＋ log 36362所以a ＋b ＝ 2log 4＝log (3×4) ＝ 1.方法二ab因为 3 ＝4 ＝36，11所以 36a ＝ 3,36 b ＝ 4，1 2 12所以 (36 a ) ·36b ＝ 3 ×4，2 1 2 1即 36a ＋b ＝ 36，故a ＋b ＝ 1.15 24 321 58．解(1) 方法一 原式＝2(lg 2 － lg 7 ) －3lg 22＋ lg(7×5) 2＝2lg 2 － lg 7 － 2lg 2 ＋ lg1 117＋2lg 5 ＝2lg 2 ＋2lg 5。

2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1．椭圆x24＋y2a2＝1与双曲线x2a－y22＝1有相同的焦点，则a的值为()A．12B．1或－2C．1或12D．1解析：由双曲线方程x2a－y22＝1知，焦点在x轴上，∴4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，∴a＝－2或a＝1.当a＝－2时，不合题意，应舍去．∴a＝1.答案：D2．若θ为三角形的一个内角，且sin θ＋cos θ＝13，则曲线x2sin θ＋y2cos θ＝1是()A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆解析：由sin θ＋cos θ＝13知，θ为钝角，∴sin θ>0，cos θ<0，∴曲线x2sin θ＋y2cos θ＝1表示焦点在x轴上的双曲线．答案：A3．(2019·晋中市高二期末调研)已知F1，F2是双曲线x216－y29＝1的左，右焦点，P是双曲线右支上一点，M是PF1的中点，若|OM|＝1，则|PF1|是() A．10B．8C．6D．4解析：因为M是PF1的中点，O是F1F2的中点，所以|OM|＝12|PF2|，因为|OM|＝1，所以|PF2|＝2，因为P 在右支上，故|PF 1|－|PF 2|＝2×4＝8，故|PF 1|＝8＋2＝10，故选A ． 答案：A4．已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin P的值等于( )A ．7B ．74C ．54D ．45解析：在△ABP 中，由正弦定理，知|sin A －sin B |sin P ＝||PB |－|P A |||AB |＝2a 2c ＝45.答案：D5．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A ．14B ．35C ．34D ．45解析：由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝4 2.又∵|F 1F 2|＝2c ＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.答案：C 二、填空题6．双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点A (－5,6)，则双曲线的标准方程为________．解析：由双曲线的一个焦点为(0，－6)知，另一个焦点为(0,6)，又过点(－5,6)，∴2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝|13－5|＝8，∴a ＝4，c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝36－16＝20.又焦点在y 轴上，∴双曲线方程为y 216－x 220＝1.16207．(2019·乐山高二期末)已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C .给出以下四个判断：①当1<t <4时，曲线C 表示椭圆；②当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t >4.其中判断正确的是________(只填判断正确的序号)．解析：①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)<0，∴t <1或t >4；③正确，若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t >t －1>0，∴1<t <52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t <0，t －1>0，∴t >4.答案：②③④8．(2019·辽阳高二期中测试)已知双曲线的两个焦点分别是F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为____________．解析：双曲线的焦点在x 轴上，|F 1F 2|＝2c ＝2 5.由双曲线的定义||PF 1|－|PF 2||＝2a ，得|PF 1|2－2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2.① ∵PF 1→⊥PF 2→，|PF 1|·|PF 2|＝2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝20.代入①式， 解得a 2＝4.又∵c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.4三、解答题9．已知定点A (3,0)和定圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，动圆P 和圆C 外切，并且过点A ，求动圆圆心P 的轨迹方程．解：设P 的坐标为(x ，y )， ∵圆P 与圆C 外切且过点A (3,0)， ∴|PC |－|P A |＝4.又∵|AC |＝|3－(－3)|＝6＞4，∴点P 的轨迹是以C ，A 为焦点，实轴长2a ＝4的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝5.∴动圆圆心P 的轨迹方程为x 24－y 25＝1(x ≥2)．10．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右两个焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解：(1)化椭圆方程为标准形式：x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c 2＝9－4＝5.依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，9a 2－4b2＝1.解得a 2＝3，b 2＝2.故双曲线方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 在双曲线的右支上，则有 |MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63， ∴|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又∵|F 1F 2|＝25， ∴在△MF 1F 2中，|MF 1|是最长边．由余弦定理得cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22|MF 2|·|F 1F 2|＝12＋20－482×23×25＝－215<0，∴∠MF 2F 1是钝角，故△MF 1F 2是钝角三角形．。

第2章圆锥曲线与方程§2.1圆锥曲线一、基础过关1．已知定点M(1,1)，定直线l：x＝3，有一动点N，点N到M点的距离MN始终等于N点到直线l的距离，则N点的轨迹是一条__________．2．动点P到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10，则动点P的轨迹为________．3．已知A(－3,0)，B(3,0)，且MA－MB＝0，则M点的轨迹是________________．4．设定点F1(－7,0)，F2(7,0)，动点P(x，y)满足条件|PF1－PF2|＝14，则动点P的轨迹是________．5．平面内有两个定点F1，F2及动点P，设命题甲是“|PF1－PF2|是非零常数”，命题乙是“动点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线”，那么，甲是乙的______________条件．6．若A是定直线l外的一定点，则过点A且与l相切的圆的圆心轨迹是________．二、能力提升7．方程5x＋22＋y－12＝|3x＋4y－12|所表示的曲线是________．8．F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从焦点F2向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为__________．9．设动点P(x，y)满足条件x＋12＋y2＋x－12＋y2＝a(a≥2)，则动点P的轨迹是什么曲线？10．已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形：(1)|x＋52＋y2－x－52＋y2|＝6；(2)x＋42＋y2－x－42＋y2＝6.11．已知动圆M与圆C：(x＋2)2＋y2＝2相内切，且过点A(2,0)，求动圆圆心M的轨迹．三、探究与拓展12.如图，在△ABC中，已知AB＝42，且三内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，求顶点C的轨迹．答案1．抛物线 2.线段F 1F 23．线段AB 的垂直平分线 4.两条射线5．必要不充分6．抛物线7．抛物线8．圆9．解 x ＋12＋y 2，x －12＋y 2分别表示(x ，y )到C (－1，0)，D (1,0)的距离，∵CD ＝2，又a ≥2，∴当a >2时，点P 的轨迹表示椭圆；当a ＝2时，点P 的轨迹表示线段CD .10．解 (1)∵|x ＋52＋y 2－x －52＋y 2|表示点P (x ，y )到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之差的绝对值，F 1F 2＝10，∴|PF 1－PF 2|＝6<F 1F 2，故点P 的轨迹是双曲线． (2)∵x ＋42＋y 2－x －42＋y 2表示点P (x ，y )到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之差，F 1F 2＝8，∴PF 1－PF 2＝6<F 1F 2，故点P 的轨迹是双曲线的右支．11．解 设动圆M 的半径为r ，∵圆C 与圆M 内切，点A 在圆C 外，∴MC ＝r －2，MA ＝r ，∴MA －MC ＝2，又∵AC ＝4>2，∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支．12．解 由正弦定理，得sin A ＝a 2R， sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R(R 为△ABC 的外接圆半径)． ∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c 2， 从而有CA －CB ＝12AB ＝22<AB . 由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)．。

章末检测一、填空题1．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________. 2．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，则a 4＝________. 3．若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q ＝________.4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为5.“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．6．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝12，则S 15S 5＝________.7．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n＝________.8．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是________． 9．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n a n －1a n －1－a n ＝a n a n ＋1a n －a n ＋1，则此数列的第10项a 10＝________.10．已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1n ，则S 17＋S 33＋S 50＝________.11．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.12．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.13．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的第________项．14．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0.给出下列结论：①0<q <1；②a 99a 101－1<0；③T 100的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号) 二、解答题15．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．16．已知数列{log 2(a n －1)} (n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1.17．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．18．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n.(1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .19．已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式．20．甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1万元． (1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？ 答案1．88 2.8 3.－1或2 4.1 5．15 6.34 7.2n8.20 9.15 10.1 11．－7 12.313．50 14．①②④15．(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明 数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2. 因此⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是以52为首项，2为公比的等比数列．16．(1)解 设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ， 则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ， 即a n ＝2n＋1. (2)证明 因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－12n <1.17．解 (1)设数列{a n }的公比为q .由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1，得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋12.故1b n ＝－2n n ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝－2[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝－2n n ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.18．(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n＝a n2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1.∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解 由(1)知，b n ＝n ，a n2n －1＝b n ＝n .∴a n ＝n ·2n －1.∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1两边乘以2得：2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n， 两式相减得：－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n－1， ∴S n ＝(n －1)·2n＋1. 19．解 当n ＝1时，B 1＝b 1，∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1.当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1 ＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2 ＝14(b 2n －b 2n －1＋2b n －2b n －1)， 整理得b 2n －b 2n －1－2b n －2b n －1＝0， ∴(b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0. ∵b n ＋b n －1>0，∴b n －b n －1－2＝0.∴{b n }为首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1，即{b n }的通项b n ＝2n －1. 20．解 (1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，n －1a ， n ≥2.b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋…＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n <3a ，所以乙将被甲超市收购，由b n <12a n 得：⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1a <12(n －1)a . ∴n ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1>7，∴n ≥7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。

【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习：第二章 2.1.2直线的方程（三）一、基础过关1．若直线(2t－3)x＋y＋6＝0不经过第一象限，则t的取值范围为__________．2．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为________．3．若a＋b＝1，则直线ax＋by＋1＝0过定点_________________________________．4．直线l1：2x＋y＋5＝0的倾斜角为α1，直线l2：3x＋y＋5＝0的倾斜角为α2；直线l3：2x－y＋5＝0的倾斜角为α3，直线l4：3x－y＋5＝0的倾斜角为α4，则将α1、α2、α3、α4从小到大排序为____________．5．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是________．(填序号)6．已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过直角坐标系中的第________象限．7．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A(5,3)；(2)过点B(－3,0)，且垂直于x轴；(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点；(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.8．利用直线方程的一般式，求过点(0,3)并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．二、能力提升9．已知直线kx＋y＋2＝0和以M(－2,1)，N(3,2)为端点的线段相交，则实数k的取值范围为________．10．已知两直线：a1x＋b1y＋7＝0，a2x＋b2y＋7＝0，都经过点(3,5)，则经过点(a1，b1)，(a2，b2)的直线方程是______________．11．把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．12．对直线l上任一点(x，y)，点(4x＋2y，x＋3y)仍在此直线上，求直线方程．三、探究与拓展13．已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．答案1.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 2．33．(－1，－1) 4.α3<α4<α2<α15．③6．一、三、四7．解 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0.(2)x ＝－3，即x ＋3＝0.(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－12－－1， 即2x ＋y －3＝0.(6)由截距式方程得x －3＋y －1＝1，即x ＋3y ＋3＝0. 8．解 设直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，∵直线过点(0,3)，代入直线方程得3B ＝－C ，B ＝－C 3. 由三角形面积为6，得|C 2AB |＝12，∴A ＝±C 4，∴方程为±C 4x －C 3y ＋C ＝0， 所求直线方程为3x －4y ＋12＝0或3x ＋4y －12＝0.9．k ≤－43或k ≥3210．3x ＋5y ＋7＝011．解 将原方程移项，得2y ＝x ＋6，两边除以2，得斜截式y ＝12x ＋3.因此，直线l 的斜率k ＝12，它在y 轴上的截距是3.在直线l 的方程x －2y ＋6＝0中，令y ＝0，得x ＝－6，即直线l 在x 轴上的截距是－6.由上面可得直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为A (－6,0)，B (0,3)，过点A ，B 作直线，就得直线l 的图形．如下图．12．解 设直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，∴A (4x ＋2y )＋B (x ＋3y )＋C ＝0，整理得(4A ＋B )x ＋(2A ＋3B )y ＋C ＝0，∴上式也是l 的方程，当C ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧ A ＝4A ＋B ，B ＝2A ＋3B ，∴A ＝B ＝0，此时直线不存在；当C ＝0时，两方程表示的直线均过原点，应有斜率相等，故－A B＝－4A ＋B2A ＋3B ，∴A ＝B 或B ＝－2A ，所以所求直线方程为x ＋y ＝0或x －2y ＝0.13．(1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限．∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.。

3.2.2 对数函数(二)一、基础过关1.已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ， y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是________．2．在同一坐标系中，函数y ＝2－x 与函数y ＝log 2x 的图象可能是 ________．(填图象编号)3．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________．4．已知函数y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，则k 的取值范围是________．5．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．6．不等式 (4x ＋2x ＋1)>0的解集为__________． 7．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)．若0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围．8．解下列不等式：(1)⎝⎛⎭⎫123x ＋1≤⎝⎛⎭⎫12x －2；(2)log 73x <log 7(x 2－4)．二、能力提升9．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为________．10．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填图象编号)11．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是________________．12．已知函数f (x )＝1－ax x －1的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋ (x －1)<m 恒成立．求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值以及y 取最大值时x 的值．答案1．c <d <a <b2．③3．b <a <c4．k ≤0或k ≥15．b ≤16．(－∞，log 2(2－1))7．解 由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0得－1<x <1. 由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2x x ＋1<1 得1<2－2x x ＋1<10. 因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13. 由⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <1，－23<x <13得－23<x <13. 8．解 (1)∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，∴3x ＋1≥x －2，x ≥－32. (2)∵函数y ＝log 7x 为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x >0x 2－4>03x <x 2－4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x >2或x <－2x >4或x <－1即x >4.9.1210．①11．[12，1)∪(1,2] 12．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即1＋ax －x －1＝－1－ax x －1 ＝x －11－ax， 解得a ＝－1或a ＝1(舍)．(2)f (x )＋ (x －1)＝1＋x x －1＋ (x －1) ＝ (1＋x )，当x >1时， (1＋x )<－1，∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋ (x －1)<m 恒成立， ∴m ≥－1.13．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(2＋log 3x )2＋2＋2log 3x＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3， ∴0≤log 3x ≤1.∴6≤y ＝(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取得最大值13.。

山东省2014届理科数学一轮复习试题选编32：双曲线 一、选择题 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）双曲线与抛物线相交于A,B两点,公共弦AB恰好过它们的公共焦点F,则双曲线C的离心率为B．C．D．【答案】B抛物线的焦点为,且,所以.根据对称性可知公共弦轴,且AB的方程为,当时,,所以.所以,即,所以,即,所以,选B． ．（山东省2013届高三高考模拟卷（一）理科数学）若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于其焦距的,则该双曲线的渐近线方程是（ ） A．B．C．D． 【答案】C【解析】由双曲线的对称性可取其一个焦点和一条渐近线,则该点到该渐近线的距离为,而,因此,,所以,因此双曲线的渐近线方程为. ．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）若点P是以、为焦点,实轴长为的双曲线与圆x2+y2=10的一个交点,则|PA|+ |PB|的值为（ ） A．B． C．D． 【答案】D由题意知,所以,所以双曲线方程为.不妨设点P在第一象限,则由题意知,所以,解得,所以,所以,选D． ．（山东省莱钢高中2013届高三4月模拟检测数学理试题 ）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为B．C．D． 【答案】C ．（山东省德州市2013届高三3月模拟检测理科数学）双曲线与椭圆有相同的焦点,双曲线C1的离心率是e1,椭圆C2的离心率是e2,则（ ） A．B．1C．D．2 【答案】D双曲线的,椭圆的,所以,即,所以,选D． ．（山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）已知O为坐标原点,双曲线的右焦点F,以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点（ ） A．B,若,则双曲线的离心率为2B．3C．D． 【答案】C ．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知三个数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为B．C．或D．或【答案】C 因为三个数构成一个等比数列,所以,即.若,则圆锥曲线方程为,此时为椭圆,其中,所以,离心率为.若,则圆锥曲线方程为,此时为双曲线,其中,所以,离心率为.所以选C． ．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为E, 延长FE交抛物线于点为坐标原点,若,则双曲线的离心率为B．C．D． 【答案】D 【 解析】抛物线的焦点坐标为,准线方程为.圆的半径为,因为,所以是的中点,又是切点,所以,连结,则,且,所以,则,过P做准线的垂线,则,所以,在直角三角形中,,即,所以,即,整理得,即,解得,所以,即,所以,选D． ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）点P在双曲线上,是这条双曲线的两个焦点,,且的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是（ ） A．2B．3C．4D．5 【答案】D【解析】因为的三条边长成等差数列,所以设成等差数列,且设,则,,即,.又,所以,解得,即,所以双曲线的离心率为,选D 填空题 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线线相切的圆的方程是B．C．D． 【答案】D【解析】双曲线的右焦点为,双曲线的渐近线为,不妨取渐近线,即,所以圆心到直线的距离等于圆的半径,即,所以圆的标准方程为,选D． ．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（ ） A．）已知双曲线的一条渐近线的斜率为,且右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的离心率等于B．C．2D．2 【答案】B【解析】抛物线的焦点为,即.双曲线的渐近线方程为,由,即,所以,所以,即,即离心率为,选B． ．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）圆锥曲线的两个焦点分别为,若曲线上存在点满足∶∶=4∶3∶2,则曲线的离心率为B．C．D． 【答案】D因为∶∶=4∶3∶2,所以设,.若曲线为椭圆,则有,所以椭圆的离心率为.若曲线为双曲线,则有,所以椭圆的离心率为.所以选D． ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使,O为坐标原点,且,则该双曲线的离心率为B．C．D． 【答案】A由得,即,所以,所以△PF1F2中,边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半,可得,所以,又,解得,又,所以,所以双曲线的离心率为为,选（ ） A． ．（山东省莱芜五中2013届高三4月模拟数学（理）试题）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,则此双曲线的离心率为（ ） A．B．C．D． 【答案】C ．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知双曲线的两条渐近线均与相切,则该双曲线离心率等于（ ） A．B．C．D． 【答案】A【解析】圆的标准方程为,所以圆心坐标为,半径,双曲线的渐近线为,不妨取,即,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离,即,所以,,即,所以,选（ ） A． ．（山东省德州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线(a>0,b>0)的离心率为2,该双曲线与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,若|AB|=6,则双曲线的方程为（ ） A．B．C．y2=1D． 【答案】A ．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,渐近线分别为,点P在第一象限内且在上,若⊥PF1,//PF2,则双曲线的离心率是（ ） A．B．2C．D． 【答案】B【解析】双曲线的左焦点,右焦点,渐近线,,因为点P在第一象限内且在上,所以设,因为⊥PF1,//PF2,所以,即,即,又,代入得,解得,即.所以,的斜率为,因为⊥PF1,所以,即,所以,所以,解得,所以双曲线的离心率,所以选B． ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）已知双曲线的实轴长为2,焦距为4,则该双曲线的渐近线方程是B．C．D． 【答案】C由题意知,所以,所以.又双曲线的渐近线方程是,即,选C． ．（山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）过双曲线(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)作圆的切线,切点为E,延长FE交抛物线于点P,O为原点,若,则双曲线的离心率为（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【解析】因为,所以是的中点.设右焦点为,则也是抛物线的焦点.连接,则,且,所以,设,则,则过点F作轴的垂线,点P到该垂线的距离为,由勾股定理得,即,解得,选（ ） A． ．（山东省枣庄市2013届高三4月（二模）模拟考试数学(理)试题）为双曲线的左右焦点,过点作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为,满足B．C．D． 【答案】A ．（山东省文登市2013届高三3月二轮模拟考试数学（理））方程表示双曲线,则的取值范围是B． 或或C．或D．或 【答案】D ．（山东威海市2013年5月高三模拟考试数学（理科））已知双曲线()的左、右焦点为,设是双曲线右支上一点,,且,则双曲线的离心率（ ） A．B．C．D． 【答案】（ ） A． ．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知椭圆方程,双曲线的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为（ ） A．B．C．2D．3 【答案】C【 解析】椭圆的焦点为,顶点为,即双曲线中,所以双曲线的离心率为,选C． ．（山东省菏泽市2013届高三5月份模拟考试数学（理）试题）已知三个数2,m,8构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为（ ） A．B．C．或 D．或 【答案】C ．（2011年高考（山东理））已知双曲线的两条渐近线均和圆 相切,且双曲线的右焦点为圆的圆心,则该双曲线的方程为（ ） A．B．C．D．【答案】解析:圆,而,则,答案应选（ ） A． ．（山东省菏泽市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,左、右焦点分别为F1、F2,且两条曲线在第一象限的交点为P,△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形,若|PF1|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为,,则+1的取值范围是（ ） A．(1,)B．(,)C．(,)D．(,+) 【答案】B ．（2012年山东理）(10)已知椭圆C:的离心率为,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆c的方程为 【答案】双曲线x2-y2=1的渐近线方程为,代入可得,则,又由可得,则,于是.椭圆方程为,答案应选D．．（山东省泰安市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）斜率为的直线与双曲线恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是B．C．D． 【答案】B 二、填空题 ．（山东省烟台市莱州一中2013届高三第三次质量检测数学(理)试题）以抛物线的焦点为圆心,且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的方程为_________. 【答案】 【解析】抛物线的焦点坐标为,所以圆心坐标为.双曲线的渐近线为,即,不妨取直线,则圆心到直线的距离,即圆的半径,所以圆的方程为. ．（山东省潍坊市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,则 双曲线的离心率等于______________. 【答案】 双曲线的渐近线为.直线的斜率为.因为与直线垂直,所以,即.所以,即. ．（山东省济南市2012届高三3月高考模拟题理科数学（2012济南二模））过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F,作圆的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为__________. 【答案】【解析】设双曲线的右焦点为,连接PM,因为E为PF的中点,所以OE为三角形FPM的中位线,所以PM=2OE=,所以PF=3,EF=,又FE为切线,所以有,所以. ．（山东省莱芜市第一中学2013届高三12月阶段性测试数学（理）试题）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线上的一点,若,且的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是________. 【答案】【解析】设,,则,又为等差数列,所以,整理得,代入整理得,,解得,所以双曲线的离心率为. ．（山东省淄博市2013届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）若双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线的焦点分成5:3两段,则此双曲线的离心率为______. 【答案】 抛物线的焦点坐标为,由题意知,,所以,即,所以,所以. ．（山东省济南市2013届高三4月巩固性训练数学（理）试题）如图,F1,F2是双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |=3 : 4 : 5,则双曲线的离心率为____________. 【答案】 ．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设双曲线的离心率为2,且一个焦点与抛物线的焦点相同,则此双曲线的方程为______. 【答案】抛物线的焦点坐标为,所以双曲线的焦点在轴上且,所以双曲线的方程为,即,所以,又,解得,所以,即,所以双曲线的方程为. ．（山东省临沂市2013届高三第三次模拟考试 理科数学）过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线,若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上,则双曲线的离心率为___________. 【答案】 三、解答题 ．（2010年高考（山东理））如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设为该双曲线上异于顶点的任一点,直线和与椭圆的交点分别为和. (Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程;(Ⅱ)设直线、的斜率分别为、,证明;(Ⅲ)是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. 【答案】【解析】(Ⅰ)由题意知,椭圆离心率为,得,又,所以可解得,,所以,所以椭圆的标准方程为;所以椭圆的焦点坐标为(,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为. 16题图。

§2.3 双曲线2．3.1 双曲线的标准方程一、基础过关1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为________． 2．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为__________________．3．若点M 在双曲线x 216－y 24＝1上，双曲线的焦点为F 1，F 2，且MF 1＝3MF 2，则MF 2＝________. 4．已知双曲线的一个焦点坐标为(6，0)，且经过点(－5,2)，则双曲线的标准方程为____________．5．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________． 6．双曲线5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(6，0)，那么实数k 的值为________． 7．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________． 8．若双曲线x 2－4y 2＝4的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2的直线交右支于A 、B 两点，若AB ＝5，则△AF 1B 的周长为________．二、能力提升9．在平面直角坐标系xOy 中，方程x 2k －1＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________．10．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，PF 1·PF 2＝2，则双曲线的标准方程为____________．11.如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．12．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1、F 2为左、右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判别△MF 1F 2的形状．三、探究与拓展13．A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6千米，C在B北偏西30°，相距4千米，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，求A应沿什么方向炮击P地．答案1．4 32.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝13．44.x 25－y 2＝15．m >－16．－17．±38．189．(1,3)10.x 24－y 2＝111．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4，∴MF 2－MF 1＝3.∴M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5.∴b 2＝914.∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1 (x ≤－32)．12．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23，又MF 1＋MF 2＝63， 故解得MF 1＝43，MF 2＝23，又F 1F 2＝25，因此在△MF 1F 2中，MF 1边最长，而cos∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212·MF 2·F 1F 2<0， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．13．解 如图所示，以直线BA 为x 轴，线段BA 的垂直平分线为y 轴建立坐标系，则B (－3,0)、A (3,0)、C (－5,23)，∵PB ＝PC ，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上．∵k BC ＝－3，BC 的中点D (－4，3)，∴直线PD ：y －3＝13(x ＋4) ① 又PB －PA ＝4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上．设P (x ，y )，则双曲线方程为x 24－y 25＝1 (x ≥2)②联立①、②式，得x ＝8，y ＝53，所以P (8,53)．因此k PA ＝538－3＝3， 故A 应沿北偏东30°方向炮击P 地．。

§2.5 圆锥曲线的共同性质一、基础过关1．双曲线x 2－y 2＝1的准线方程为__________．2.x 225＋y 29＝1上的点到左准线的距离是4.5，则该点到右准线的距离是________． 3．中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是________________． 4．抛物线y 2－2x ＝0的准线方程为__________．5．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．6．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．7．点M (x ，y )与定点F (4,0)的距离和它到直线l ：x ＝254的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．二、能力提升8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点．设F A >FB ，则F A FB＝________. 9．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 F D →，则C 的离心率为________．10．在双曲线x 216－y 29＝1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍． 11．在抛物线y 2＝2x 和定点A ⎝⎛⎭⎫3，103，抛物线上有动点P ，P 到定点A 的距离为d 1，P 到抛物线准线的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值及此时P 点的坐标．12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P .求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．三、探究与拓展13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4,0)，过点F2作垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F1B＋F2B＝10，椭圆上不同的两点A(x1，y1)，C(x2，y2)满足条件：F2A、F2B、F2C成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标．答案1．x ＝±222．83.y 24＋x 23＝1 4．x ＝－125．66．y 2＝4x7．解 设d 是点M 到直线l ：x ＝254的距离，根据题意，点M 的 轨迹就是集合P ＝{M |MF d ＝45}， 由此得(x －4)2＋y 2|254－x |＝45. 将上式两边平方，并化简，得9x 2＋25y 2＝225，即x 225＋y 29＝1. 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．8．39.3310．解 设P 点的坐标为(x ，y )，F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点．∵双曲线的准线方程为x ＝±165， ∴PF 1⎪⎪⎪⎪x ＋165＝PF 2⎪⎪⎪⎪x －165. ∵PF 1＝2PF 2，∴P 在双曲线的右支上． ∴2PF 2x ＋165＝PF 2x －165，∴x ＝485. 把x ＝485代入方程x 216－y 29＝1，得y ＝±35119. ∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫485，±35119.11．解 如图所示，点A ⎝⎛⎭⎫3，103在抛物线y 2＝2x 的外部由抛物线的 定义可知，d 1＋d 2＝P A ＋PF ≥AF ＝256(其中F 为抛物线的焦点) 显然A 、P 、F 三点共线时，d 1＋d 2最小，最小值为256. 直线F A 的方程为4x －3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －3y －2＝0，y 2＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2， 此时P 点的坐标为(2,2)．12．解 (1)由e ＝c a＝ 1－b 2a 2＝33， 得b a ＝63. 又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于圆的半径， 得b ＝2，a ＝ 3. (2)方法一 由c ＝a 2－b 2＝1，得F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设M (x ，y )，则P (1，y )．由MF 1＝MP ，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，y 2＝－4x .此轨迹是抛物线．方法二 因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以MF 1＝MP ，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点，l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x .13．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1. (2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45， 根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2 ＝2×95， 由此得出x 1＋x 2＝8. 设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。

WORD 格式专业资料整理答案1．①2. ②3．－b 234．－25．②6．x ＋2y － 9＝ 0 或 2x － 5y ＝ 07．解方法一设所求直线l 的方程为 y ＝ kx ＋ b .∵ k ＝6，∴方程为 y ＝6x ＋ b .令 x ＝0，∴ y ＝ b ，与 y 轴的交点为(0， b )；令 ＝ 0，∴ ＝－b ，与x 轴的交点为 －b ， 0 . yx6 6 b 2 2根据勾股定理得 － 6 ＋ b ＝37，∴ b ＝±6.因此直线 l 的方程为 y ＝6x ±6.方法二设所求直线为 x ＋y ＝ 1，那么与x 轴、y 轴的交点分别为 ( a, 0) 、(0 ，b ) ．a b 2 2 b由勾股定理知 a ＋ b ＝37.又 k ＝－a ＝6，a 2＋b 2＝37，∴ b－ a ＝ 6.a ＝1， a ＝－1， 解此方程组可得 或b ＝6.b ＝－6 因此所求直线y y l 的方程为 x － ＝ 1 或－x ＋ ＝ 1.6 6 28．解方法一 (1) 当直线 l 在坐标轴上的截距均为 0 时，方程为y ＝5x ，即 2x － 5y ＝ 0；xy(2) 当直线 l 在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为a ＋－a ＝1，即 x － y ＝ a ，又∵ l 过点 A (5,2)，∴ 5－ 2＝ a ，a ＝ 3，∴ l 的方程为 x － y －3＝0，综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0，或 x － y －3＝0.方法二由题意知直线的斜率一定存在．设直线的点斜式方程为y －2＝ k ( x －5)，2x ＝0时， y ＝2－5k ， y ＝0时， x ＝5－k .- 3 -WORD格式答案1．①2. ②3．－b234．－25．②6．x＋2y－ 9＝ 0 或 2x－ 5y＝ 07．解方法一设所求直线l 的方程为 y＝ kx＋ b.∵ k＝6，∴方程为y＝6x＋ b.令 x＝0，∴ y＝ b，与 y 轴的交点为(0， b)；令＝ 0，∴ ＝－b，与x轴的交点为－b， 0 .y x66b 22根据勾股定理得－6＋ b ＝37，∴ b＝±6.因此直线 l的方程为 y＝6x±6.方法二设所求直线为x＋y＝ 1，那么与x轴、y轴的交点分别为 ( a, 0) 、(0 ，b) ．a b22b由勾股定理知 a＋ b ＝37.又 k＝－a＝6，a2＋ b2＝37，∴b－a＝ 6.a＝1，a＝－1，解此方程组可得或b＝6.b＝－6因此所求直线y yl 的方程为 x－＝ 1 或－x＋＝ 1.6628．解方法一(1)当直线 l 在坐标轴上的截距均为0 时，方程为y＝5x，即 2x－ 5y＝ 0；xy(2)当直线 l 在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为a＋－a＝1，即 x－ y＝ a，又∵ l 过点 A(5,2)，∴ 5－2＝a，a＝3，∴ l 的方程为 x－ y－3＝0，综上所述，直线l 的方程是2x－5y＝0，或 x－ y－3＝0.方法二由题意知直线的斜率一定存在．设直线的点斜式方程为y－2＝ k( x－5)，2x＝0时， y＝2－5k， y＝0时， x＝5－k.- 3 -。

习题课 双曲线的标准方程双基达标 (限时15分钟)1．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为______． 解析 由双曲线的标准方程可知，a 2＝10，b 2＝2.于是有c 2＝a 2＋b 2＝12，则2c ＝4 3. 答案 4 32．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为________． 解析 由双曲线方程知a 2＝16，b 2＝9，则a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2＋b 2＝5，又双曲线的焦点在x 轴上，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)．答案 (±5，0)3．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，双曲线上的点P 到F 1的距离为12，则P 到F 2的距离为________．解析 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点在双曲线左支上，PF 2－PF 1＝10，PF 2＝22， 当点P 在双曲线右支上，PF 1－PF 2＝10，PF 2＝2.答案 22或24．方程（x －4）2＋y 2－（x ＋4）2＋y 2＝6可化简为________．解析 方程可表示点(x ，y )到两定点(4，0)，(－4，0)的距离之差等于6，从而点(x ，y )的 轨迹为双曲线的左支，从而2a ＝6，a ＝3，2c ＝8，c ＝4，b 2＝c 2－a 2＝7.答案 x 29－y 27＝1(x ≤－3) 5．过点M (3，4)及双曲线x 26－y 23＝1的两个焦点的圆的标准方程是________． 解析 由题设知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，又过M (3，4)，∴圆心为MF 1中点，直径为MF 1，故有x 2＋(y －2)2＝13.答案 x 2＋(y －2)2＝136．已知F 1、F 2是双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ∈N *)的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足PF 1·PF 2＝F 1F 22，PF 2<4，求双曲线的方程．解 因为⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1－PF 2|＝4，PF 1·PF 2＝F 1F 22＝4（4＋b 2），PF 2<4，①②③ 由①③得PF 1－PF 2＝4.④④代入②，得PF 22＋4PF 2＝4(4＋b 2)．b 2＝(PF 2＋2)2－8<28，又b ∈N *，∴b ＝1，2，3，4，5，∴所求的双曲线方程为x 24－y 21＝1，x 24－y 24＝1， x 24－y 29＝1，x 24－y 216＝1，x 24－y 225＝1. 综合提高 (限时30分钟)7．满足条件：a ＝2，一个焦点为(4，0)的双曲线的标准方程为________．解析 由一个焦点为(4，0)知双曲线焦点在x 轴上，且c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，a ＝2可得b 2＝12，故双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1. 答案 x 24－y 212＝1 8．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k >－1，k <1，即－1<k <1. 答案 －1<k <19．已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)、(94，5)，则双曲线的标准方程为____________．解析 利用待定系数法，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，将两点坐标代入，视1a 2、1b 2为 未知数，解方程组．答案 y 216－x 29＝110.θ是第三象限角，方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是________．解析 方程可化为x 2cos θ＋y 21tan θ＝1， ∵θ是第三象限角，∴cos θ<0，1tan θ>0. 答案 焦点在y 轴上的双曲线11．双曲线16x 2－9y 2＝144, P 为双曲线上一点，F 1、F 2为其左、右焦点，且|PF 2|·|PF 2|＝64，求S △F 1PF 2.解 双曲线方程为x 29－y 216＝1，a ＝3，b ＝4，则c ＝5，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，|r 1－r 2|＝6， |F 1F 2|＝10，所以在△F 1PF 2中由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝r 12＋r 22－（2c ）22r 1r 2＝（r 1－r 2）2－100＋2r 1r 22r 1r 2＝36－1002r 1r 2＋1＝12， ∴sin ∠F 1PF 2＝32. ∴S △F 1PF 2＝12r 1r 2sin ∠F 1PF 2＝16 3. 12．设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．解 法一 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝ 3.又点A 的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有⎩⎪⎨⎪⎧42a 2－（±15）2b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 法二 将点A 的纵坐标代入椭圆方程得A (±15，4)，又两焦点分别为F 1(0，3)，F 2(0，－3)． 所以2a ＝|（±15－0）2＋（4＋3）2－（±15－0）2＋（4－3）2|＝4，即a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线的标准方程为y 24－x 25＝1. 13．(创新拓展)一炮弹在某处爆炸，在F 1(－5 000，0)处听到爆炸声的时间比在F 2(5 000，0)处晚30017s ，已知坐标轴的单位长度为1 m ，声速为340 m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程．解 由声速为340 m/s 可知F 1、F 2两处与爆炸点的距离差为340×30017＝6 000 (m)，因此 爆炸点在以F 1、F 2为焦点的双曲线上．因为爆炸点离F 1处比F 2处更远，所以爆炸点应 在靠近F 2处的一支上．设爆炸点P 的坐标为(x ，y )，则PF 1－PF 2＝6 000 m ，即2a ＝6 000，a ＝3 000.而c ＝5 000，∴b 2＝5 0002－3 0002＝4 0002.∵PF 1－PF 2＝6 000＞0，∴点P 的轨迹是双曲线的右支，∴所求双曲线方程为x 23 0002－y 24 0002＝1(x ≥3 000)．。

§2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点一双曲线的定义1．平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．2．关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在．3．若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支．4．若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线．知识点二双曲线的标准方程1．两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形焦点坐标F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系式a2＋b2＝c22.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．3．当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．4．标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里的b2＝c2－a2要与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．1．在双曲线标准方程中，a ，b ，c 之间的关系同椭圆中a ，b ，c 之间的关系相同．( × ) 2．点A (1,0)，B (－1,0)，若|AC |－|BC |＝2，则点C 的轨迹是双曲线．( × ) 3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦点在x 轴上，且a >b .( × )4．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( × )一、求双曲线的标准方程例1 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)．解 (1)设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则⎩⎨⎧32a 2－9b 2＝1，25a 2－8116b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，b 2＝9，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)， ∴M (0,12)为双曲线的一个顶点， 故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.反思感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m ，n ，避免了讨论，实为一种好方法． 跟踪训练1 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解 (1)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P ⎝⎛⎭⎫3，154和Q ⎝⎛⎭⎫－163，5在双曲线上， 所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为 y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P ，Q 两点坐标分别代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.(2)依题意可设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1.二、双曲线定义的应用命题角度1 双曲线中的焦点三角形问题 例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用与双曲线的焦点三角形 解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6， 又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16， 假设点M 到另一个焦点的距离等于x ， 则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36， 则|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2| ＝36＋2×32＝100.在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002×32＝0，且∠F 1PF 2∈(0°，180°)，所以∠F 1PF 2＝90°，故12F PF S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.延伸探究将本例(2)中的条件“|PF 1|·|PF 2|＝32”改为“∠F 1PF 2＝60°”，求△F 1PF 2的面积． 解 由x 29－y 216＝1得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得|PF 2|－|PF 1|＝6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，所以12F PF S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3. 反思感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一：①根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；②利用余弦定理表示出|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值； ④利用公式12PF F S ∆＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．(2)方法二：利用公式12PF F S ＝12×|F 1F 2|×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．跟踪训练2 已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 因为PF 1⊥PF 2，所以|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝(22)2， 又|PF 1|－|PF 2|＝2，所以(|PF 1|－|PF 2|)2＝4，可得2|PF 1|·|PF 2|＝4，则(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝12， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2 3.命题角度2 利用定义确定与双曲线有关的轨迹方程例3 在△ABC 中，已知A (－22，0)，B (22，0)，且内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝ 12sin C ，求顶点C 的轨迹方程． 考点 求与双曲线有关的轨迹方程 题点 双曲线的一支解 由sin B －sin A ＝12sin C 及正弦定理，可得|CA |－|CB |＝|AB |2， 从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<|AB |，由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去右顶点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6， ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．反思感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪训练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．考点 求与双曲线有关的轨迹方程 题点 双曲线的一支解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3<10＝|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支， 且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1⎝⎛⎭⎫x ≤－32. 三、由双曲线方程求参数例4 若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，那么m 的取值范围是________________．答案 {m |－3<m <2或m >3}解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0，|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.所以m 的取值范围是{m |－3<m <2或m >3}． 反思感悟 方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于方程x 2m ＋y 2n ＝1，当mn <0时表示双曲线，进一步，当m >0，n <0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n >0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)对于方程x 2m －y 2n ＝1，当mn >0时表示双曲线．且当m >0，n >0时表示焦点在x 轴上的双曲线；当m <0，n <0时表示焦点在y 轴上的双曲线．(3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组)求解参数的取值范围． 跟踪训练4 (1)已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．(2)若双曲线2x 2－y 2＝k 的焦距为6，则k 的值为________．答案 (1)(－1,1) (2)±6解析 (1)方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则(1＋k )(1－k )>0， 所以(k ＋1)(k －1)<0， 所以－1<k <1.(2)当k >0时，方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，则c 2＝k 2＋k ＝3k 2，即2×6k2＝6，故k ＝6.当k <0时，方程可化为y 2－k －x 2－k 2＝1，则c 2＝－3k2，故2×－6k 2＝6，解得k ＝－6.综上所述，k ＝－6或6.双曲线在生活中的应用典例 “神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记A ，B ，C )，A 在B 的正东方向，相距6千米，C 在B 的北偏西30°方向，相距4千米，P 为航天员着陆点．某一时刻，A 接收到P 的求救信号，由于B ，C 两地比A 距P 远，在此4秒后，B ，C 两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A 处发现P 的方位角． 解 因为|PC |＝|PB |，所以P 在线段BC 的垂直平分线上． 又因为|PB |－|P A |＝4<6＝|AB |，所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上．以线段AB 的中点为坐标原点，AB 的垂直平分线所在直线为y 轴，正东方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示． 则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)． 所以双曲线方程为x 24－y 25＝1(x >2)，BC 的垂直平分线方程为x －3y ＋7＝0.联立两方程解得x ＝8(舍负)，y ＝53，所以P (8,53)， k P A ＝tan ∠P Ax ＝3，所以∠P Ax ＝60°， 所以P 点在A 点的北偏东30°方向．[素养提升] 利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下： (1)建立适当的坐标系； (2)求出双曲线的标准方程；(3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题．注意：①解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．②实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围．1．若椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A ．±5B ．±3C ．5D ．9 答案 B解析 由题意知，34－n 2＝n 2＋16， ∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.2．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3 答案 B解析 由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 即|3－|PF 2||＝6，解得|PF 2|＝9(负值舍去)，故选B. 3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48 答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则12PF F S ∆＝12|PF 1||PF 2|＝24.4．已知双曲线中a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为______________________． 答案 x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1解析 当焦点在x 轴上时，方程为x 225－y 224＝1，当焦点在y 轴上时，方程为y 225－x 224＝1.5．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点． 令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4， 则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4， ∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.1．双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F 1，F 2表示双曲线的左、右焦点，若|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则点M 在右支上； 若|MF 2|－|MF 1|＝2a ，则点M 在左支上． (2)双曲线定义的双向运用①若||MF 1|－|MF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)，则动点M 的轨迹为双曲线． ②若动点M 在双曲线上，则||MF 1|－|MF 2||＝2a . 2．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn <0.。