下期中高一级数学试卷带答案
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高一数学下期中试卷带答案
一、填空题(本大题共17小题，每小题5分，满分70分)
1.sin135°= .
2.已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC= .
3.直线y=2x+1的斜率为 .
4.圆(x﹣1)2+y2=9的半径为 .
5.等差数列{an}，a1=1，a2=2，则a3= .
6.函数f(x)=sin2x+sinxcosx的周期为 .
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为 .
8.已知过点A(﹣2，m)和点B(m，4)的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n= .
9.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=120°，(O为坐标原点)，则r= .
10.(B)已知等比数列{an}，首项为3，公比为 ，前n项之积最大，则n= .
11.已知cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0
= .
12.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ，则sin(2B+ )= .
13.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是 .
14.设点M(x0，1)，已知圆心C(2，0)，半径为1的圆上存在点N，使得∠CMN=45°，则x0的最大值为 .
15.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：anSn+1﹣an+1Sn+an﹣an+1= anan+1，则 S12= . 16.在△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小为 .
17.在△ABC中，AC=3，∠A= ，点D满足 =2 ，且AD= ，则BC的长为 .
二、解答题
18.(1)已知sinα= ，α∈( ，π)，求sin2α;
(2)已知tanα= ，求tan2α的值.
19.在△ABC中，
(1)已知 a=2bsinA，求B;
(2)已知a2+b2+ ab=c2，求C.
20.(1)求过点A(2，3)，且垂直于直线3x+2y﹣1=0的直线方程;
(2)已知直线l过原点，且点M(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程.
21.过点P(﹣3，﹣4)作直线l，当l的斜率为何值时
(1)l将圆(x﹣1)2+(y+2)2=4平分?
(2)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相切?
(3)l与圆(x﹣1)2+(y+2)2=4相交且所截得弦长=2?
22.已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)求数列{ }的前n项和Tn.
23.在△ABC中，角A、B、C的 对边分别为a、b、c，且 .
(1)求 的值;
(2)若 ，求tanA及tanC的值. 24.如图，ABC为一直角三角形草坪，其中∠C=90°，BC=2米，AB=4米，为了重建草坪，设计师准备了两套方案：
方案一：扩大为一个直角三角形，其中斜边DE过点B，且与AC平行，DF过点A，EF过点C;
方案二：扩大为一个等边三角形，其中DE过点B，DF过点A，EF过点C.
(1)求方案一中三角形DEF面积S1的最小值;
(2)求方案二中三角形DEF面积S2的最大值.
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共17小题，每小题5分，满分70分)
1.sin135°= .
【考点】运用诱导公式化简求值.
【分析】运用特殊角的三角函数值，和诱导公式即可化简求值.
【解答】解：sin135°=sin=sin45 .
故答案为： .
2.已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，则AC= 1 .
【考点】正弦定理.
【分析】根据含有30°的直角三角形的性质得出.
【解答】解：∵∠C=90°，∠B=30°，AB=2，
∴AC= .
故选1.
3.直线y=2x+1的斜率为 2 .
【考点】直线的斜率.
【分析】根据斜截式直线方程y=kx+b的斜率为k，写出斜率即可.
【解答】解：直线y=2x+1的斜率为2. 故答案为：2.
4.圆(x﹣1)2+y2=9的半径为 3 .
【考点】圆的标准方程.
【分析】直接由圆的标准方程求得圆的半径.
【解答】解：由圆(x﹣1)2+y2=9，得r2=9，
∴r=3.
即圆(x﹣1)2+y2=9的半径为3.
故答案为：3.
5.等差数列{an}，a1=1，a2=2，则a3= 3 .
【考点】等差数列的通项公式.
【分析】由等差数列{an}的性质可得：2a2=a1+a3.即可得出.
【解答】解：由等差数列{an}的性质可得：2a2=a1+a3.
∴2×2=1+a3，
解得a3=3.
故答案为：3.
6.函数f(x)=sin2x+sinxcosx的周期为 π .
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】利用三角函数的降幂公式与辅助角公式可将f(x)=sin2x+sinxcosx+2化为：f(x)= sin(2x﹣ )+ ，利用周期公式即可求得其周期.
【解答】解：∵f(x)=sin2x+sinxcosx
= + sin2x
= (sin2x﹣cos2x)+
= sin(2x﹣ )+ ， ∴其最小正周期T= =π.
故答案为：π.
7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c= a，2sinB=3sinC，则cosA的值为 ﹣ .
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b= ，再由余弦定理求得cosA=
的值.
【解答】解：在△ABC中，
∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，
∴2b=3c ②，
∴由①②可得a=2c，b= .
再由余弦定理可得 cosA= = =﹣ ，
故答案为：﹣ .
8.已知过点A(﹣2，m)和点B(m，4)的直线l1，直线2x+y﹣1=0为l2，直线x+ny+1=0为l3，若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n= ﹣10 .
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】由条件根据两直线平行，斜率相等;两直线垂直，斜率之积等于﹣1，分别求得m、n的值，可得m+n的值.
【解答】解：由题意可得，直线为l1的斜率为 ，直线l2的斜率为﹣2，且l1∥l2，
∴ =﹣2，求得m=﹣8.
由于直线l3的斜率为﹣ ，l2⊥l3，∴﹣2×(﹣ )=﹣1，求得n=﹣2，
∴m+n=﹣10，
故答案为：﹣10. 9.若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB=120°，(O为坐标原点)，则r= 2 .
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB为顶角为120°的等腰三角形，顶点(圆心)到直线3x﹣4y+5=0的距离d= r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案.
【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)交于A、B两点，O为坐标原点，
且∠AOB=120°，
则圆心(0，0)到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos = r，
即 = r，
解得r=2，
故答案为：2.
10.(B)已知等比数列{an}，首项为3，公比为 ，前n项之积最大，则n=
3 .
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】an=3× ，可得前n项之积Tn= ，对n分类讨论，底数 与1比较大小关系即可得出.
【解答】解：an=3× ，
∴前n项之积Tn=3n× = = ，
由于n≤3时， ≥1;由于n≥4时， <1.
∴n=3时，前n项之积最大，
故答案为：3.
11.已知cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0
= .
【考点】三角函数的化简求值. 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin(α﹣ )和cos( ﹣β)的值，再利用两角差的正弦公式求得sin 的值.
【解答】解：∵cos(α﹣ )=﹣ ，sin( ﹣β)= ，且0
∴α﹣ ∈( ，π)，sin(α﹣ )= = ; ﹣β∈(0， )，cos( ﹣β)= = .
则sin =sin[(α﹣ )﹣( ﹣β)]=sin(α﹣ )cos( ﹣β)﹣cos(α﹣ )sin( ﹣β)
= • + • = .
12.在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ，则sin(2B+ )= .
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】由条件利用同角三角的基本关系求得sinA的值，利用正弦定理求得sinB的值，可得cosB的值，利用二倍角公式求得sin2B、cos2B的值，再利用两角和的正弦公式，求得要求式子的值.
【解答】解：△ABC中，∵已知AC=2，BC=3，cosA=﹣ ∈( ，π)，∴B∈(0， )，
∴sinA= = ，则由正弦定理可得 = = ，
∴sinB= ，cosB= = ，∴sin2B=2sinBcosB= ，∴cos2B=1﹣2sin2B= ，
sin(2B+ )=sin2Bcos +cos2Bsin = • + • = ，
故答案为： .
13.设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤ ，则这两条直线之间的距离的取值范围是
[ ， ] .
【考点】两条平行直线间的距离.
【分析】由题意和韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，可得两平行线间的距离d满足d2= = = ，由0≤c≤ 和不等式的性质可得.
【解答】解：∵a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，
∴由韦达定理可得a+b=﹣1，ab=c，
∴两平行线间的距离d= ，
