导数及其应用专题训练

导数及其应用专题训练

导数及其应用专题训练

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.若函数 $y=e^x+mx$ 有极值，则实数 $m$ 的取值范围是

A。$m$。B。$m1$。D。$m<1$

2.函数 $f(x)=x^2+x-\ln x$ 的零点的个数是()

A。B。1.C。2.D。3

3.函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{e^x}$ 的图象大致为()

4.已知函数 $f(x)=a+x-x\ln a$，对任意的 $x_1,x_2\in[0,1]$，不等式 $|f(x_1)-f(x_2)|\leq a^{-2}$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为()

A。$[e^2,+\infty)$。B。$[e,+\infty)$。C。$[2,e]$。D。$[e,e^2]$

5.已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$，其导函数为 $f'(x)$，若 $f'(x)-f(x)e^x+3$ 的解集是()

A。$(-\infty,1)$。B。$(1,+\infty)$。C。$(0,+\infty)$。D。$(-\infty,0)$ 6.已知函数 $f(x)$ 在 $R$ 上满足 $f(x)=2f(2-x)-x+8x-8$，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程是()

A。$y=-2x+3$。B。$y=x$。C。$y=3x-2$。D。$y=2x-1$

7.若正项递增等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $1+(a_2-a_4)+\lambda(a_3-a_5)=0$（$\lambda\in R$），则

$a_6+\lambda a_7$ 的最小值为()

A。$-2$。B。$-4$。C。$2$。D。$4$

8.已知函数 $f(x)$ 为 $R$ 内的奇函数，且当 $x\geq 0$ 时，$f(x)=-e^{1-\cos x}$，记 $a=-2f(-2)$，$b=-f(-1)$，$c=3f(3)$，则 $a,b,c$ 之间的大小关系是()

A。$b

9.已知函数 $f(x)=\frac{3}{x^3-a^2x}$，若对于任意的

$x_1,x_2\in[0,1]$，都有 $|f(x_1)-f(x_2)|\leq 1$ 成立，则 $a$ 的取值范围是()

A。$[-\sqrt{3},-\frac{1}{\sqrt{3}}]\cup

[\frac{1}{\sqrt{3}},\sqrt{3}]$。B。$[-\sqrt{3},\frac{1}{\sqrt{3}}]\cup [\sqrt{3},+\infty)$。C。$[-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}]$。D。$(-\infty,-\sqrt{3}]\cup [\sqrt{3},+\infty)$ 10.设函数 $f(x)=\min\{\ln x,e^x\}$，则函数 $f(x)$ 的最大值为()

A。$2\ln 2$。B。$2\ln 2-\frac{1}{2}$。C。$e$。D。$\frac{1}{2}\sqrt{32+\sqrt{32+\sqrt{32+\cdots}}}$

注：第三题无法呈现函数图像，故省略。

1)由于曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2，所以f(1)=b+2，f'(1)=b。又因为切线方程为y=bx+2，所以f'(1)=b。将x=1代入函数f(x)=ex-ax2+1中，得到f(1)=e-a+1.联立上述两个等式，解得a=1，b=1.

2)当x>2时，f'(x)=e-x(2a-2)>0，所以f(x)单调递增。因此，f(x)≥f(2)=e-2+2=e-2x+2，即f(x)≥(e-2)x+2.证毕。

21.(14分)

1)令f(x)=lnx-mx+2，由于f(x)恰有一个零点，所以f(x)在零点处取得极值。求导得f'(x)=1/x-m，令其为0，解得x=m。又因为f(x)在x=m处取得极值，所以f''(m)0或m0或m<0.

2)设x1和x2为方程f(x)=2的两个不等实根，即lnx1-mx1+2=lnx2-mx2+2=2.对于任意的x>0，有f(x)=lnx-mx+2.由于f''(x)f(x2)，则有lnx1-mx1+2>f(x2)=lnx2-mx2+2，即ln(x1/x2)>m(x1-x2)。由于x1>x2>0，所以x1/x2>1，m(x1-x2)m(x1-x2)。对上式两边同时取e的指数，得到x1/x2>e^(m(x1-x2))。由于x1>x2>0，所以x1*x2>e^(m(x1-x2))，即sqrt(x1*x2)>e^((m(x1-x2))/2)。由于e>1，所以e^((m(x1-x2))/2)>1，即sqrt(x1*x2)>1，即x1*x2>1.又因为x1和x2是方程f(x)=2的实根，所以x1,x2>0，故有x1,x2>1.综上所述，有sqrt(x1*x2)>1>x1*x2/e，即sqrt(x1*x2)>e。证毕。

1.将f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x+8x-8，得到f(x)=4f(x)-2x-8x+8-x+8x-8，化简得f(x)=x^2.因此，f'(x)=2x，y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为y'=2.因此，函数y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=2x-1.因此，答案为D。

7.设正项递增等比数列{an}的公比为q，则q>1.由1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0得到1=(a4-a2)+λq(a4-a2)=(1+λq)(a4-a2)。因为a4>a2，所以1+λq>0.因此，a4-a2>0.因此，(a6+λa7)/a6=(1+λq)>1.因为a6和a7都是正数，所以a6+λa7>a6.因此，a6+λa7的最小值为4.因此，答案为D。

8.因为f(x)是奇函数，所以f(0)=-e+1-mcos0=0.因此，m=0.因此，当x≥0时，f(x)=-ex+1.构造函数g(x)=xf(x)。因为f(x)为R内的奇函数，所以g(x)是偶函数。因此，g'(x)=1-ex(x+1)。当x≥0时，ex≥1，x+1≥1.因此，g'(x)≤0.因此，偶函数g(x)在区间[0,+∞)上单调递减，且a=g(-2)=g(2)，b=g(-1)=g(1)，c=g(3)。因此，c

9.利用排除法。当a=0时，f(x)=x^3，f'(x)=3x^2≥0，函数在定义域上单调递增，|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(0)=3≤1，满足题意，排除C、D选项。当a=1时，f(x)=x，f'(x)=1≥0，函数在定义域上单调递增，|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(0)=1，满足题意，排除B选项。因此，答案为A。

10.y=xlnx⇒y'=lnx+1.因此，x=e。函数y=xlnx在(0,e)内递减，在(e,+∞)内递增。因此，答案为减。

1.由f'(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1,3.因此，只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内，函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调。由t<1

2.根据f(x)=xlnx，得到f'(x)=lnx+1.因此，f'(1)=1/2.点P(1,0)处的切线方程为y=x-1.切线l与x轴、y轴的交点分别为(1,0)和(0,-1)，所围成的三角形外接圆的圆心为(2,-2)，半径为√2.因此，所求方程为(x-2)^2+(y+2)^2=2.

3.实数p,q在区间(0,1)内，因此p+1,q+1在区间(1,2)内。不等式|f(p+1)-f(q+1)/(p-q)|>1恒成立，因此函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1.由f'(x)=(x+1)/(xlnx)的导数可得，f'(x)>2x+3在(1,2)内恒成立。由于函数y=2x^2+3x+1在[1,2]上单调递增，因此x=2时，y有最大值15.因此，a≥15.

4.由f(x)=xlnx-xln(x^2)=xln(x/2)，得到f'(x)=ln(x/2)+1，f''(x)=1/x>0.因此，f(x)在(0,+∞)上是凸函数。根据Jensen不等式，有f(x)+f(y)≥2f((x+y)/2)=2((x+y)/2)ln((x+y)/4)，即xlnx+ylny≥(x+y)ln((x+y)/4)。因此，k(x-2)

5.当x0时，g(x)=x-2lnx-4，g'(x)=1-2/x>0，因此g(x)在(0,+∞)上是单调递增的。又因为g(9)>0，g(8)0，因此F(x)在(0,+∞)上是凸函数。因此，F(x)在(2,x)上是单调递减的，在(x,+∞)上是单调递增的。因此，F(x)的最小值为0，即k≤2/(x-2)。因此，k的最大值是4.

6.(1) 当x0时，F(x)=xlnx-2x，F'(x)=lnx-x+1，F''(x)=1/x>0，因此F(x)在(0,+∞)上是凸函数。当x0，因此F(x)在(-∞,0)上是凸函数。因此，F(x)在整个实数轴上是凸函数。

令F''(x)>0，解得01.因此，F'(x)在区间(0,1)上递增，在区间(1,+∞)上递减，于是F'(x)≤F'(1)=0.因此，F(x)在区间(0,+∞)上递减。

3)由已知条件可转化为x1>x2≥1时，mg(x1)-x1f(x1)≥mg(x2)-x2f(x2)恒成立。令h(x)=mg(x)-xf(x)=2x^2-xlnx，则h(x)为单调递增函数。因此，h'(x)=mx-lnx-1≥0恒成立，即m≥x/(lnx-1)恒成立。令p(x)=x/(lnx-1)，则p'(x)=-x^2/(lnx-1)^2.因此，当x∈[1,+∞)时，p'(x)≤0，p(x)单调递减，p(x)≤p(1)=1，于是实数m的取值范围是[1,+∞)。

18.解(1)当a=1时，f(x)=lnx-x，则f'(x)=1/x-1.当00；当x>1时，f'(x)<0，因此f(x)在区间(0,1)上递增，在区间(1,+∞)上递减。

2)由f(x)≤b-a可得b>lnx-ax+a。设h(x)=lnx-ax+a，则h'(x)=1/x-a。当a0，h(x)在区间(0,+∞)上递增，因此b≥h(x)不可能XXX成立；当a>1时，h'(x)>0当且仅当xa。因此h(x)在x=a处取得最大值h(a)=lna-1+a-a*lna=-(a*lna+1-lna)。于是b≥a-lna-1等价于a≥1/e。令g(a)=1-lna/a，g'(a)=a/(a-1)^2，因此g'(a)>0当且仅当a>1，g'(a)<0当且仅当0

切线的斜率k=f'(1)=0，因此切线方程为y-1=0(x-1)，即y=1.

19.解(1)当a=2时，f(x)=2lnx-x^2+2x，f'(x)=2/x-2x+2.切点坐标为(1,1)。

2)令g(x)=2lnx-x^2+m，则g'(x)=2/x-2x=2-2x^2/(x-1)^2.因此当g'(x)=0时，x=1；当e0；当1

x+m-2，易知该函数在区间(0,+∞)上有唯一零点。

20.(1) 解：由题意得f(x)=ex-ax2+2x+b，f'(x)=ex-2ax+2。