导数大题专项训练

导数大题专项训练

一．基本公式：

1.常见函数的导数：

（1）0)(C (C为常数) （2） )(nx'=)(1Nnnxn

（3）（ux）'=)0,0(1Quuxuxu且 （4）（xa）'=aaxln

（5）（xalog）'=axxealn1log1 （a>0,a≠1,x>0)

（6）(sinx)'=cosx (7)(cosx)'=-sinx

特别地 (xe)'=xe (lnx)'=x1

2.导数的四则运算：

（1）()()''()'()fxgxfxgx

（2）()()''()()()'()fxgxfxgxfxgx

（3）()'()'cfxcfx

（4）'2()'()()()'()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx

3.复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积．若()yfgx，则()()()yfgxfgxgx

xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

二．例题精讲：

1.已知函数baxxxf23）（的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x+y=0平行。（1）求常数a、b的值；（2）求函数f(x)在区间[0,4]上的最小值和最大值。

2.已知定义在R上的函数322fxxbxcx,bcR，函数23xxfxF是奇函数，函数xf在1x处取极值。求（I）b的值；（II）函数xf在区间3,3上的最大值.

3.设函数)(,1 .)0,,,(3)(23xfxacbaacxbxaxxf时当且R取得极大值2.（Ⅰ）用关于a的代数式分别表示b与c；（Ⅱ）当a=1时，求)(xf的极小值；（Ⅲ）求a的取值范围.

4.已知Ra，函数xaxaxxf)14(21121)(23．

（Ⅰ）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；

（Ⅱ）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围．

5. 已知函数axxaxf(3)(3R，0a）.（I）求)(xf的单调区间；

（II）曲线)(,()(33afaxfy在点）处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标；

（III）若3,01axa，曲线))(,()(11xfxxfy在点处的切线与x轴的交点为（0,2x），试比较21xx与的大小，并加以证明.

6.已知函数()|2|fxxx.（Ⅰ）写出()fx的单调区间；（Ⅱ）解不等式()3fx；

（Ⅲ）设0a，求()fx在[0]a，上的最大值.

7.已知函数edxcxbxaxxf234)(（其中a、b、c、d、Rx）为偶函数，它的图象过点)1,0(A，且在1x处的切线方程为022yx。

（1）求a、b、c、d、e的值，并写出函数)(xf的表达式；

（2）若对任意Rx，不等式)1()(2xtxf总成立，求实数t的取值范围。

8.已知函数5)(23bxaxxxf，在函数)(xf图像上一点))1(,1(fP处切线的斜率为3．

（Ⅰ）若函数)(xfy在2x时有极值，求)(xf的解析式；

（Ⅱ）若函数)(xfy在区间2[，]1上单调递增，求b的取值范围．

9.已知：函数32()4fxxax（aR）.

（I）若函数)(xfy的图象在点P（1，)1(f）处的切线的倾斜角为4，求a；

（II）设()fx的导函数是'()fx,在（I）的条件下.若,1,1mn，求()()fmfn的最小值；

（Ⅲ）若存在),0(0x，使0)(0xf，求a的取值范围.

10.已知函数321()2fxxxbxc，且()fx在1x处取得极值．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）若当x［－1,2］时，2()fxc恒成立，求c的取值范围；（Ⅲ）对任意的1x，2x［－1,2］，127()()2fxfx是否恒成立？如果成立，给出证明，如果不成立，请说明理由

11.设a∈R,f(x)=33x-4x+a+1.（1）求f(x)的单调区间（2）若对任意x∈【-2，0】，不等式

f(x)≤0恒成立，求a的最大值（3）若方程f(x)=0存在三个相异实根，求a的取值范围。

12. 设函数2()(1)2ln(1)fxxx.（Ⅰ）求f (x)的单调区间；

（Ⅱ）若当1[1,1]xee时，不等式f (x)

（Ⅲ）若关于x的方程2()fxxxa在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围.

13. 设函数2()lnfxxxax.（Ⅰ）若12x时，()fx取得极值，求a的值；

（Ⅱ）若()fx在其定义域内为增函数，求a的取值范围；

（Ⅲ）设2()()1gxfxx=-+，当a=－1时，证明()0gx£在其定义域内恒成立，并证明2222222ln2ln3ln21232(1)nnnnn--+++<+L(n∈N，n≥2）

14. 已知函数xfexx（e为自然对数的底数）（Ⅰ）求fx的最小值；

（Ⅱ）设不等式faxx的解集为P，且|02Pxx，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设nN，证明：11nnkeken。

答案：

1.b=2;（0,2）减，（2,4）增，当x=2时f(x)取最小值为f(2)=-2，当x=4时，f(x)取最大值为f(4)=18。

2.(I）∵函数23xxfxF是一个奇函数，∴xFxF化简计算得∴3b

（II）∵函数xf在1x处取极大值，∴01'f

cxxxxf2332，cxxxf66'2

∴0661cf，12c

∴xxxxf123223，261266'22xxxxxf

令0'xf，得11x，22x，

列表

x 3 1,3 1 2,1 2 3,2 3

xf' — 0 + 0 —

xf 45 ↘ 7 ↗ 44 ↘ 9

∴当3x时，45maxxf

3．（共14分）解：（Ⅰ）,23)(2cbxaxxf由已知可得：

即0)1(2)1(ff

acabcbaacba2102323

（Ⅱ）当a=1时，b=2，c=1 22)(23xxxxf

)31)(1(3143)(2xxxxxf

令31,1,0)(21xxxf

)31,1(x时，)(,0)(xfxf为减函数

),31(x，)1,(x时，)(,0)(xfxf为增函数

∴)(xf有极小值 275023192271)31(f

（Ⅲ）axaxaaxxf3)2()1()(23

axaaxxf2)1(23)(2

由0)32)(1(3,02)1(232aaxxaaxaax则 aaxx32,121 要使)(xf有极大值2)1(f，则：

13201320aaaaaa或

21a

4.解：)14()1(41)(2axaxxf.

（Ⅰ）∵ ()fx是偶函数，∴ 1a.

此时xxxf3121)(3，341)(2xxf， 令0)(xf，解得：32x.

列表如下：

x (－∞,－23) －23 (－23,23)

23

(23,+∞)

)(xf + 0 － 0

+

)(xf 递增 极大值 递减 极小值 递增

可知：()fx的极大值为34)32(f， ()fx的极小值为34)32(f.

（Ⅱ）∵ )14()1(41)(2axaxxf，令

221(1)4(41)204aaaa，

解得：02a.

这时()0fx恒成立，∴ 函数)(xfy在),(上为单调递增函数.

综上，a的取值范围是}20{aa.

5．解：（I）19)(2xaxf

当)(,019)(,02xfxaxfa所以时在R上是减函数；

当;33,019,02axaxxaa或得解时 ,33,0192axaxa得解

所以，区间)()3,3(xfaa为的减区间，区间)(),3()3,(xfaa为和的增区间.

（II）在点))(,(33afa处曲线切线的斜率为1932aa，

切线方程),)(19()3(3323axaaay

令x=0，可得y=－6， 所以切线恒守定点（0，－6）