专题03 导数及其应用 (解析版)
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素材来源于网络，林老师编辑整理 专题03 导数及其应用
1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则
A．e1ab， B．a=e，b=1
C．1e1ab， D．1ea，1b
【答案】D
【解析】∵eln1,xyax
∴切线的斜率1|e12xkya，1ea，
将(1,1)代入2yxb，得21,1bb.
故选D．
【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a，b的等式，从而求解，属于常考题型.
2．【2019年高考天津理数】已知aR，设函数222,1,()ln,1.xaxaxfxxaxx若关于x的不等式()0fx在R上恒成立，则a的取值范围为
A．0,1 B．0,2
C．0,e D．1,e
【答案】C
【解析】当1x时，(1)12210faa恒成立；
当1x时，22()22021xfxxaxaax恒成立，
令2()1xgxx， 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 则222(11)(1)2(1)1()111xxxxgxxxx
11122(1)2011xxxx，
当111xx，即0x时取等号，
∴max2()0agx，则0a.
当1x时，()ln0fxxax，即lnxax恒成立，
令()lnxhxx，则2ln1()(ln)xhxx，
当ex时，()0hx，函数()hx单调递增，
当0ex时，()0hx，函数()hx单调递减，
则ex时，()hx取得最小值(e)eh，
∴min()eahx，
综上可知，a的取值范围是[0,e].
故选C.
【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.
3．（2019浙江）已知,abR，函数32,0()11(1),032xxfxxaxaxx．若函数()yfxaxb恰有3个零点，则
A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0
C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0
【答案】C
【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 x，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；
当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，
2(1)yxax，
当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，
则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；
当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增，
令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.
根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，
如图：
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素材来源于网络，林老师编辑整理 ∴
，
解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，
则a>–1，b<0.
故选C．
【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．
4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()exyxx在点(0)0，处的切线方程为____________．
【答案】30xy
【解析】223(21)e3()e3(31)e,xxxyxxxxx
所以切线的斜率0|3xky，
则曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为3yx，即30xy．
【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，P是曲线4(0)yxxx上的一个动点，则点P到直线0xy的距离的最小值是 ▲ .
【答案】4
【解析】由4(0)yxxx，得241yx，
设斜率为1的直线与曲线4(0)yxxx切于0004(,)xxx，
由20411x得02x（02x舍去），
∴曲线4(0)yxxx上，点(2,32)P到直线0xy的距离最小，最小值为22232411.
故答案为4．
【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.
6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是 ▲ .
【答案】(e, 1)
【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.
设点00,Axy，则00lnyx. 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 又1yx，
当0xx时，01yx，
则曲线lnyx在点A处的切线为0001()yyxxx，
即00ln1xyxx，
将点e,1代入，得00e1ln1xx，
即00lnexx，
考察函数lnHxxx，
当0,1x时，0Hx，当1,x时，0Hx，
且ln1Hxx，
当1x时，0,HxHx单调递增，
注意到eeH，
故00lnexx存在唯一的实数根0ex，
此时01y，
故点A的坐标为e,1.
【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 7．【2019年高考北京理数】设函数eexxfxa（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．
【答案】1,0
【解析】首先由奇函数的定义得到关于a的恒等式，据此可得a的值，然后利用()0fx可得a的取值范围.
若函数eexxfxa为奇函数，则,fxfx即eeeexxxxaa，
即1e e0xxa对任意的x恒成立，
则10a，得1a.
若函数eexxfxa是R上的增函数，则() ee0xxfxa在R上恒成立，
即2exa在R上恒成立，
又2e0x，则0a，
即实数a的取值范围是,0.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.
8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sinln(1)fxxx，()fx为()fx的导数．证明：
（1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；
（2）()fx有且仅有2个零点． 素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）设()()gxf'x，则1()cos1gxxx，21sin())(1x'xgx.
当1,2x时，()g'x单调递减，而(0)0,()02g'g'，可得()g'x在1,2有唯一零点，
设为.
则当(1,)x时，()0g'x；当,2x时，()0g'x.
所以()gx在(1,)单调递增，在,2单调递减，故()gx在1,2存在唯一极大值点，即()f'x在1,2存在唯一极大值点.
（2）()fx的定义域为(1,).
（i）当(1,0]x时，由（1）知，()f'x在(1,0)单调递增，而(0)0f'，所以当(1,0)x时，()0f'x，故()fx在(1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0x是()fx在(1,0]的唯一零点.
（ii）当0,2x时，由（1）知，()f'x在(0,)单调递增，在,2单调递减，而(0)=0f'，02f'，所以存在,2，使得()0f'，且当(0,)x时，()0f'x；当,2x时，()0f'x.故()fx在(0,)单调递增，在,2单调递减.
又(0)=0f，1ln1022f，所以当0,2x时，()0fx.从而，素材来源于网络，林老师编辑整理
素材来源于网络，林老师编辑整理 ()fx在0,2没有零点.
（iii）当,2x时，()0f'x，所以()fx在,2单调递减.而02f，()0f，所以()fx在,2有唯一零点.
（iv）当(,)x时，ln(1)1x，所以()fx<0，从而()fx在(,)没有零点.
综上，()fx有且仅有2个零点.
【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.
9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数11lnxfxxx.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线exy的切线.
【答案】（1）函数()fx在(0,1)和(1,)上是单调增函数，证明见解析；
（2）见解析.
【解析】（1）f（x）的定义域为（0，1）U（1，+∞）．
因为212()0(1)f'xxx，所以()fx在（0，1），（1，+∞）单调递增．
