二次函数与一元二次方程、不等式
- 格式：docx
- 大小：50.49 KB
- 文档页数：11
2
1
思维导團
-------------------------- 1 因式分解
匚真爲数）g配方追
1判独 二次函数与一元二次方程.不等式
关系 Δ bi 4ae
J-O d<0
ΛX ∖ bx∖
C
(^o) ⅛Ξ⅛ \$厶 、Lz ∖O X
AJf i Λx I JLo
Q>0)(⅛ 根 也两个不出签的实数农
-⅛->,^d …2： 沅有实数根
Λlp-+^+c>0
IΛ>0)拘第加 {Λ∣X
K
A^4∙ZAH-Λ<0
(40)沟第心 {x∖xl
（1） 若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论;
（2） 着求对应一元二茨方程的根壽用公式，则应对判别式△进行讨论；
（3） 若求出的根屮含有参数7则应对曲根的大小进行讨论•
运用一解一元二次不等式（无参数）
【例1】解下列不等式:
(1) 3Λ2 -X-4>0; (2) X2-Λ-12≤0:
(5)
(7) X2 +3x-4>0 ：
——x2÷3x-5>0
-2
(6) 16 — 8Λ, + X" ≤ 0
•
-2√÷3x-2<0: 2
【思路总结】
解不含参数的一元二次不等式有以下3种方法：
方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式， 则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.
方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大 于或等于零，不等式的解集易得.
方法三：则采用求一元二次不等式解集的通法——判别式法.
【触类旁通】
1. 解关于X的不等式
(I)X2-6X + 9≤0 (2) 一3∕+8X-4>0 (3)√-2r+l<0 (4)4x2-4x+l≤6:
运用二 解-元二次不等式(含参数)
【例2】(1)解关于X的不等式x2+(l—心一“V0. 3
(2)解关于X的不等式：X2—Q+1≤0(*R);
(3)解关于 X 的不等式：tu∙2-GZ-I)Λ- 1
【思路总结】
解含参数的一元二次不等式时
(1) 关于不等式类型的讨论：二次项的系数">o, "=o, “<0：
(2) 关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(J>0), 一根(J=O),无根(J<0);
(3) 关于不等式对应的方程根的大小的讨论：xι>x2, Λ∙I=X2, Λ∙I
【触类旁通】
1 解关于 X 的不等式：or2—(α+l)x+l<0("∈R).
2. 当"为何值时，不等式ω2-l)x2-(f∕-I)X-I<0的解集为R?4
运用三三个二次之间的联系
【例3】（1）已知关于兀的不等式XI-OX-b< °的解集是（—23）, "+b的值是（ ）
A. 7 B. 一7 C. 11 D. —11
（2） （2019.陕西髙二期末（文））不等式ax2+bx + c> 0的解集为（71）,则不等式
b(x'+l)-α(x + 3) + c>0的解集为( )
【思路总结】
1・一元二次不等式or2+加+c>0（"≠0）的解集的端点值是一元二次方程α√+加+c=0的根， 也是函数y=ax2+bx+c与X轴交点的横坐标.
2. 二次函数y=ax2~ihx+c的图象在X轴上方的部分，是由不等式"F + bx+c>0的X的值构 成的：图象在X轴下方的部分，是由不等式α√+bx+cV0的X的值构成的，三者之间相互依 存、相互转化.
【触类旁通】
1. （2019∙北京丰台二中高二期末）已知关于尤的不等式αχ-2-x+c
{xl-l
A. -1 B・ 1 C・ 一3 D・ 3
（ 1 ∖
2. （2019•藁城市第一中学高一月考）设t∕>l,则关于才的不等式（I-G）（X-M）兀一一 <0
的解集是( )
1
A. (Yo,α)U -,+s
1>
a.- D. I < 1) Y,_
< UC. U(α,+s) B. 5
运用四恒成立问题
【例4](1) (2019-江苏省天一中学髙一期末)已知关于X的不等式A√ -6b∙ + k + 820对 任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A. 0l D. k≤O^tk>∖
F+2Y+U
⑵已知•心)==一,对任意的x∈[l, ÷∞)> ∙∕U)≥0恒成立，求"的取值范围・
⑶当x∈(12)时，不等式X2+加Λ+4V0恒成立.则加的取值范帀是
【思路总结】
一、求不等式恒成立问题中参数范用的常见方法：
1 •利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题，
设f(x)=Cix1+∕λY÷c(<∕≠0),贝IJ
・心)>0恒成立 O">0且J<0： ∕U)≥0恒成立U>">0且J≤0;
Λχ)"V0 且 J"
注：当未说明不等式是否为一元二次不等式时，先讨论“=0的情况.
2,。将参数分离岀来，利用等价转化思想转化为求函数的最值问题(转化为•心)>“或.∕U)≥“ 或j{x)
(1)存在成立
若yu)在左义域内存在最大值叫
若7U)在左义域内存在最大值加,
若7U)在定义域内存在最小值m,
若yω在左义域内存在最小值加,
(2)恒成立
在定义域D上，不等式fM/(x)max,不等式fM<∖n能成立，则
加>/⑴聞，不等式f M > m t⅛成立，则m > /(x)Inin,不等式f(x) > In能成立，则
加> /S)・转化时要注意是求最大值还是求最小值・ 则 yu)<"恒成立 <=>“>〃?：
则 βΛ)≤c∖ ∙⅛i成立 O
a≥∕fi:
则J(X)>恒成立OaV加: 6
【触类旁通】
1 •若伽+1）工一伽一 l）x+3伽一 I）V O对任何实数X恒成立，求实数加的取值范鬧.
2. （2019.奎屯市第一高级中学髙一月考（文））当XG（1,2）时，不等式χ2+ιnx + 4 <0恒成 立，则加的取值范围是（）
A. （-≪>,-4］ B. （P,一5） C. （Y,一5］ D. （-5,-4）
3. （2019-浙江高一期末）设∏∈R,若关于X的不等式√-t∕x+l>0在区间［1,2］上有解，
则（ ）
A. a<2 B. a≥2 C. ^≥- D. a≤-
2 2
4. （2019-河北高二月考）已知不等式2αr+αv-3>0对任意的"已［1,3］恒成立的X的取 值集合为A，不等式rnx2 + {m -I）X- m > 0对任意的X ∈ ［1,3］恒成立的加取值集合为B , 则有（）
A. A ∖ CKB B・ A⊂B C. B ∖ CRA D・ B⊂ A7
融会贯通
,∙ E•天津市新华中学)已知命题時斗命题Z心，川+心∣>o,则。
成立是g成立的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2. (2019-江西高二期末(文))如果方程X2+(∕H-1)Λ + ∕√-2 = 0的两个实根一个小于1, 另一个大于1,那么实数加的取值范围是()
A. (-√2,√2) B. (-2,0) C. (-2,1) D. (0,1)
3. (2019-宁夏银川一中高一期末)若对任意xe(l,+oo),不等式(Λ-1)(OX+1) ≤0恒成立,
则“的取值范围为( )
A. -1≤∏≤1 B. a<∖ C. a≥-∖ D. a≤-∖
4. (2019-浙江高一期末)若不等式mx2+(m-∖)x+m> 0对实数χ∈R恒成立,则实数加
的取值范围( )
A. ιn<-∖或加 > 丄 B. m > 1
3
C. In > - D.
3 3
5. (2019.黑龙江牡丹江一中髙二期中(文))不等式ax2+bx + c> 0的解集为(41),则
不等式b(x2+∖)-a(x + 3) + c> 0的解集为( )
B. （P,-1）U（亍+oo）
4
D・（-oo, 一匸）u（l,+co）4
A-（七）
4
c∙ C-Iu） 8
6. （2019∙湖北髙一期中）已知不等式（a + h）x + 2a-3b<0的解集为∣X∣Λ∙）-∣ •,则关于
X 的不等式（"-2b）χ2 + 2（"-b-l）x + α-2>0的解集为（ ）
2 2
A. {xlxv-3 +二或x>-l} B. {xl-3 + 一Vxv-l}
b b
2 2
C. {xlXV-I或x>—3 —} D・{xl—1VXv—3 —}
b b
7. （2019∙北京大学附属中学新疆分校高二期中（文））不等式x2-2cιx+2≥a当"[7÷∞）
时恒成立，d的范围是 ___________________ 。
8. （2019-北京大学附属中学新疆分校高一期中）如果方程ax2+bx + c = 0的两根为-2和3
且“<0,那么不等式clχ2+bx + c>0的解集为 _________________________ .
9. （2019-内蒙古髙一期末（文））若存在实数xe[2y5],使不等式x2-2χ+5-m<0成立，
则加的取值范围是 ______________________ •
10. （2019-安徽毛坦厂中学高一期末（理））已知不等式x2-Λ-t∕>0的解集为{*T>3或
X<-2},则实数"= _____________________ •
11. （2019∙安徽髙一期末）对任意实数兀，不等式（a-3）x2-2（a-3）x-6< 0恒成立，则 实数α的取值范用是一.
12. （2019-浙江高二期末）若xe[-U],关于X的不等式x3-1 ≤t∕x2+2αv-√恒成立, 则实数α的取值范用是
13. （2019-浙江髙一期末）若关于X的不等式x2-aχ + b< 0的解集是（一 1,2）,贝IJ
Cl = ___________ , b = ____________ .
14. （2019-上海市北虹高级中学高二期末）关于X的不等式X2+ALV + 9> 0的解集是R，求
实数R的取值范围是 __________ .
15. （2019-江西南昌十中髙一月考（理））已知关于兀的不等式ax2+bx + c<0的解集是
