2.3 二次函数与一元二次方程、不等式6种常见考法归类
1、一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
2、二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} x x≠－b2a R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1
注：一元二次不等式与一元二次函数关系： 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．
4、简单的分式不等式的解法
(1)ax＋bcx＋d＞0(＜0)∅(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0).
(2)ax＋bcx＋d≥0(≤0)∅(ax＋b)(cx＋d)≥0(≤0)，cx＋d≠0.
总之，简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解．
图示如下：
思考 x－3x＋2>0与(x－3)(x＋2)>0等价吗？x－3x＋2≥0与(x－3)(x＋2)≥0等价吗？
答案 x－3x＋2>0与(x－3)(x＋2)>0等价；x－3x＋2≥0与(x－3)(x＋2)≥0不等价，前者的解集中没有－2，后者的解集中有－2.
1 一元二次方程练习题
1. 解下列方程：（1）2(1)9x； （2）2(21)3x；
（3）2(61)250x． （4）281(2)16x．
2. 用直接开平方法解下列方程：
（1）25(21)180y； （2）21(31)644x；
（3）26(2)1x； （4）2()(00)axcbba，≥
3. 填空
（1）28xx（ ）（x ）2．（2）223xx（ ）＝（x ）2．
（3）2byya（ ）＝（y ）2．
4. 用适当的数（式）填空：
23xx (x 2)；2xpx ＝(x 2)
23223(xxx 2) ．
5. 用配方法解方程．
23610xx 22540xx
6. 关于x的方程22291240xaabb的根1x ，2x ．
7. 用适当的方法解方程（1）23(1)12x； （2）2410yy；
（3）2884xx； （4）2310yy．
（5）9322x； （6）162xx；
一元二次不等式
2．一元二次不等式20(0)axbxca与相应的函数2(0)yaxbxca、相应的方程20(0)axbxca之间的关系：
判别式acb42 0 0 0
二次函数cbxaxy2
二次函数与一元二次方程和一元二次不等式
二次函数2 (0)yaxbxca是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当0a时，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．
方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。
本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．
【例1】已知二次函数22yxxm的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220xxm的解为 ．
分析：因为二次方程220xxm的根为二次函数22yxxm的图象与x轴交点横坐标。根据已知条件22yxxm ，可知抛物线的对称轴为直线1x；根据图象可知抛物线与x轴的一个交点的横坐标为3x，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220xxm的解为3和－1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。
【例2】 二次函数2(0yaxbxcaabc，，，是常数)中，自变量x与函数y的对应值如下表：
x 1 12 0 12 1 32 2 52 3 y
2
14
1
74 2 74 1 14 2
（1）判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
（2）一元二次方程20(0axbxcaabc，，，是常数)的两个根12xx，的取值范围是下列选项中的哪一个 ．
二次函数与一元二次方程和一元二次不等式
安徽省望江中学 朱绍勋
复习，是教学的重要环节，逐章逐节，不失时机地搞好复习，不仅可起到克服遗忘的作用，而且有利于新的知识的接受，理解和消化，起到“温故而知新”的作用．尤其是毕业复习，将所学的各知识点，经过重温、分析、比较，综合归纳，使之串点成线，理线成“系”，让学生系统地、完整地掌握知识结构，形成能力．数学，由于它是一门具有完整的知识结构和严密的知识体系的学科，复习的作用尤为重要．例如：二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三个“二次式”不仅是初中代数的重要内容，而且三者有着密切的联系，形成一个完整的知识体系，涉及知识面广，通过复习，可带动初中数与式，方程与函数的知识，运用灵活性大，可强化解题方法、技巧的训练，形成能力．
1．知识系统
二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数函数值为零(零点)和不为零的两种情况，一般讨论二次函数主要是将其通过一元二次方程和一元二次不等式来讨论，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联，通过二次函数图象揭示解(集)的几何特征．即
1．1 二次函数的几何特征：
△＝b2－4ac，则
(1)二次函数的图象．
(2)抛物线张口方向与极值．
对称轴在原点左侧 a、b同号；对称轴在原点右侧 a、b异号；对称轴与y轴重合 b=0．
M在x轴上方 a、△异号；M在x轴下方 a、△同号；M在x
(5)图象过点(m，n)
图象过点(m，n)am2＋bm＋c＝n．
特别地：m＝0 c＝n(c为截距)；m＝n＝0 c＝0； m＝±1，n＝0 a±b＋c＝0．
1．2 二次函数与一元二次方程：
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，即为一元二次方程ax2＋bx＋c=0，故，一元二次方程的解又叫二次函数的零点，令方程“y=0”，根为x1、x2，则有：二次函数的零点 抛物线与x轴的交点 方程y=0的根．
