一元二次方程、二次函数及一元二次不等式

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1 第01讲一元二次方程、二次函数的图像与性质及一元二次不等式的求解

课程要求：

1、掌握用十字相乘和公式法求一元二次方程；

2、掌握二次函数的图像及性质；

3、掌握利用一元二次方程和二次函数解一元二次不等式。

十字相乘法

一、复习相关知识：

1、计算：（1）23xx （2）23xx

（3）23xx （4）23xx

（5）xaxb

思考：1、在xa与xb相乘时，二次项、一次项、常数项分别是怎样产生的？是什么运算？

2、根据分解因式和乘法的互逆关系，能把多项式2xabxab分解因式吗？

二、例1．把下列各式分解因式：

（1）232xx （2）276xx

（3）2421xx （4）2215xx

三、方法总结：将二次三项式2xpxq分解因式，关键是选择a和b，使 q， p

（1）q为正数时，a、b ，且与 同号；

（2）q为负数时，a、b ，其中绝对值 （填“较大”或“较小”）因数与p同号；

（3）先把 分解成若干组两数之积，选择其中两数之和等于 的一组数 学 则 优 教 育 尊重个性 乐学求真

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2 练习：把下列各式分解因式：

（1）298xx （2）2712xx

（3）2421aa （4）2328bb

四、解下列方程——一元二次方程

（1）220xx （2）2560xx

变式2 若 , ),4)(3(2baxxbaxx则

十字相乘法分解因式:

212122112()aaxacacxcc 212122112()aaxacacxcc

1122()()axcaxc

例题： 23720xx

2(1)2320yy 2(2)31080xx 2(3)431450xx

2(4)322240xx学 则 优 教 育 尊重个性 乐学求真

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3 解一元二次方程十字相乘法专项练习题

(1) a2－7a+6=0； (2)8x2+6x－35=0；

(3)18x2－21x+5=0； (4) 20－9y－20y2=0；

(5)2x2+3x+1=0； (6)2y2+y－6=0；

(7)6x2－13x+6=0； (8)3a2－7a－6=0；

(9)6x2－11x+3=0； (10)4m2+8m+3=0；

(11)10x2－21x+2=0； (12)8m2－22m+15=0；

(13)4n2+4n－15=0； (14)6a2+a－35=0；

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4 一元二次方程

直接开方法：

例题一：（1）24x （2） 29x （3）2360x （4）2120x

例题二：2(2)4x 2(3)9x 2(4)5x

配方法：

24xx+ =（ ）2 24xx+ =（ ）2

26xx+ =（ ）2 26xx+ =（ ）2

29xx+ =（ ）2 29xx+ =（ ）2

例题一：223xx0 2890xx x2+6x-11=0

公式法 解下列方程：

因式分解法

例题 2320xx )3(2)3(xxx

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5 二次函数的图象及其性质

一、二次函数的表示形式

1．一般式：y＝ ；

2．顶点式：y＝ ，其中 为抛物线顶点坐标；

3．零点式：y＝ ，其中x1、x2是抛物线 与x轴交点的横坐标．

二、二次函数的图象及其性质

a>0 a <0

图象

定义域

值域

对称轴

顶点坐标

奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数

单调性 x∈ 是减函数； x∈ 是增函数；

x∈ 是增函数； x∈ 是减函数；

最值 当x＝ 时，ymin＝ 当x＝ 时ymax＝

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6 一元二次不等式及其解法

设方程002acbxax的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：

0 0 0

二次函数

cbxaxy2（0a）的图象

cbxaxy2

cbxaxy2

cbxaxy2

一元二次方程

的根002acbxax

的解集)0(02acbxax

的解集)0(02acbxax

3.一元二次不等式恒成立情况小结：

20axbxc（0a）恒成立

20axbxc（0a）恒成立

例１． 解下列不等式：

(1)27120xx； (2) 2280xx； (3) 22480xx．

（4）2230xx （5）22740xx （6）2890xx

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7 例题2

（1）解不等式205xx； （若改为205xx呢？） （2）解不等式2317xx；

1．不等式2x－3x＋2<0的解集为 ( )

A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1)

C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1,2)

2．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为x|－1

A．－3 B．－5 C．6 D．5

3．若关于x的方程2x＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ( )

A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

4．若a<0，则关于x的不等式2x－4ax－52a>0的解是____________．

5．不等式2x－2x＋a>0对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．

6、.不等式1213xx的解集是

7、不等式(5)(6)0xx的解集是

8、已知集合M＝｛x|x＜3}，N＝｛x|0862xx｝，则M∩N＝（ ）

A． B．｛x|0＜x＜3} C．｛x|1＜x＜3} D．｛x|2＜x＜3} 学 则 优 教 育 尊重个性 乐学求真

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8 不等式与集合真题训练