专题五 第3讲
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林老师网络编辑整理 第3讲 圆锥曲线中的热点问题
高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.
真
题 感 悟
1.(2015·全国Ⅰ卷)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1→·MF2→<0，则y0的取值范围是( )
A.－33，33 B.－36，36
C.－223，223 D.－233，233
解析 由题意M在双曲线C：x22－y2＝1上，
则x202－y20＝1，即x20＝2＋2y20.
由MF→1·MF→2<0，得(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x20－3＋y20＝3y20－1<0，即－33
答案 A
2.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3－1，32，P41，32中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程；
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点. 林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 (1)解 由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.又由1a2＋1b2>1a2＋34b2知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上.
因此1b2＝1，1a2＋34b2＝1，解得a2＝4，b2＝1.
故C的方程为x24＋y2＝1.
(2)证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果直线l的斜率不存在，l垂直于x轴.
设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，
k1＋k2＝yA－1m＋－yA－1m＝－2m＝－1，得m＝2，
此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1).
将y＝kx＋m代入x24＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.
则k1＋k2＝y1－1x1＋y2－1x2＝kx1＋m－1x1＋kx2＋m－1x2
＝2kx1x2＋（m－1）（x1＋x2）x1x2.
由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
∴(2k＋1)·4m2－44k2＋1＋(m－1)·－8km4k2＋1＝0.
解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)>0，方程有解，
∴当且仅当m>－1时，Δ>0，
∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2).
当x＝2时，y＝－1，所以l过定点(2，－1).
考 点 整 合 林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.
温馨提醒 圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.
2.定点、定值问题
(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题.
若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m).
(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.
3.存在性问题的解题步骤：
(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).
(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.
(3)得出结论.
热点一 圆锥曲线中的最值、范围
【例1】 (2016·浙江卷)如图所示，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1.
(1)求p的值；
(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.
解 (1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，
由抛物线的定义得p2＝1，即p＝2.
(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)， 林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.
∵AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，
由y2＝4x，x＝sy＋1消去x得y2－4sy－4＝0.
故yAyB＝－4，∴B1t2，－2t.
又直线AB的斜率为2tt2－1，
故直线FN的斜率为－t2－12t，
从而得直线FN：y＝－t2－12t(x－1)，直线BN：y＝－2t.
∴Nt2＋3t2－1，－2t.
设M(m，0)，由A，M，N三点共线得2tt2－m＝2t＋2tt2－t2＋3t2－1，
于是m＝2t2t2－1＝2＋2t2－1，∴m＜0或m＞2.
经检验知，m＜0或m＞2满足题意.
综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞).
探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.
【训练1】 已知点A(0，－2)，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 解 (1)设F(c，0)，由条件知，2c＝233，得c＝3.
又ca＝32，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故E的方程为x24＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，
故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
将y＝kx－2代入x24＋y2＝1，
得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.
当Δ＝16(4k2－3)>0，
即k2>34时，x1，2＝8k±24k2－34k2＋1.
从而|PQ|＝k2＋1|x1－x2|＝4k2＋1·4k2－34k2＋1.
又点O到直线PQ的距离d＝2k2＋1.
所以△OPQ的面积S△OPQ＝12d·|PQ|＝44k2－34k2＋1.
设4k2－3＝t，则t>0，S△OPQ＝4tt2＋4＝4t＋4t.
因为t＋4t≥4，当且仅当t＝2，即k＝±72时等号成立，且满足Δ>0.
所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝72x－2或y＝－72x－2.
热点二 定点、定值问题
命题角度1 圆锥曲线中的定值
【例2－1】 (2016·北京卷)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 证：|AN|·|BM|为定值.
(1)解 由题意得ca＝32，12ab＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3.
所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.
(2)证明 由(1)知A(2，0)，B(0，1).
设P(x0，y0)，则x20＋4y20＝4.
当x0≠0时，
直线PA的方程为y＝y0x0－2(x－2).
令x＝0，得yM＝－2y0x0－2，
从而|BM|＝|1－yM|＝1＋2y0x0－2.
直线PB的方程为y＝y0－1x0x＋1.
令y＝0，得xN＝－x0y0－1，
从而|AN|＝|2－xN|＝2＋x0y0－1.
所以|AN|·|BM|＝2＋x0y0－1·1＋2y0x0－2
＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4x0y0－x0－2y0＋2
＝4x0y0－4x0－8y0＋8x0y0－x0－2y0＋2＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.
综上，|AN|·|BM|为定值.
探究提高 1.求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. 林老师网络编辑整理
林老师网络编辑整理 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.
【训练2】 (2017·唐山一模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，点Qb，ab在椭圆上，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点P，M，N为椭圆C上的三点，若四边形OPMN为平行四边形，证明四边形OPMN的面积S为定值，并求该定值.
(1)解 ∵椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，
∴e2＝c2a2＝a2－b2a2＝12，得a2＝2b2，①
又点Qb，ab在椭圆C上，
∴b2a2＋a2b4＝1，②
联立①、②得a2＝8，且b2＝4.
∴椭圆C的方程为x28＋y24＝1.
(2)证明 当直线PN的斜率k不存在时，PN方程为x＝2或x＝－2，从而有|PN|＝23，
所以S＝12|PN|·|OM|＝12×23×22＝26；
当直线PN的斜率k存在时，
设直线PN方程为y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，N(x2，y2)，
将PN的方程代入椭圆C的方程，
整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0，
所以x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1·x2＝2m2－81＋2k2，
