九年级数学下册 28 锐角三角函数教案 (新版)新人教版

第二十八章 锐角三角函数

直角三角形是一种特殊的三角形，在应用中有较一般三角形优良的特点，例如面积比较好计算等，且其他三角形通过增补、分割等可以转化为直角三角形，从而简化计算，所以对直角三角形进行专门的研究很有必要．本章将学习直角三角形中边与角之间的关系，并运用这些关系解决一些测量等方面的问题．

本章第一节学习锐角的三角函数，教材中首先从学生熟悉的问题情境——“汽车爬坡”引出如何描述坡面的倾斜程度，引出了直角三角形中两直角边的比即坡比，还引出了正切、坡角等概念．教材中通过学生熟悉的一副三角板引出．对于这一部分，由于学生已经学习了在直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，因此可让学生计算得到这些特殊角的三角函数值，教材最后介绍了用计算器求三角函数值．第二节主要是应用直角三角形知识解决一些简单的实际问题．

带领学生探索直角三角形中锐角三角函数值与三边的关系，同时经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学认真的学习态度．让学生了解锐角三角函数的概念，能够正确应用三角函数．让学生掌握30°，45°，60°等特殊角的三角函数值，并学会用计算器求锐角的三角函数值，经历操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，养成科学、严谨的学习态度．

本章教学约需5课时，具体分配如下：

28．1 锐角三角函数3课时

28．2 解直角三角形及其应用2课时

28．1 锐角三角函数

第1课时 锐角三角函数

知识与技能

了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA，cosA，tanA表示直角三角形中两边的比．

过程与方法

通过锐角三角函数的学习进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，体会数学在解决实际问题中的应用．

情感、态度与价值观

1．通过学习培养学生的合作意识．

2．通过探究提高学生学习数学的兴趣．

重点

锐角三角函数的概念．

难点

锐角三角函数概念的理解．

一、问题引入

问题：操场上有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度．(演示学校操场上的国旗图片)

小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34°，并已知目高为1米，然后他很快就算出旗杆的高度了．

你想知道小明是怎样算出的吗？

师：通过前面的学习，我们知道利用相似三角形的方法可以测算出旗杆的大致高度，实际上我们还可以像小明那样通过测量一些角的度数和一些线段的长度，来测算出旗杆的高度．这就是我们本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法．下面我们一起来学习锐角三角函数．

二、新课教授

问题：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35 m，那么需要准备多长的水管？

分析：问题转化为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35 m，求AB.

根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，即

∠A的对边斜边＝BCAB＝12，

可得AB＝2BC＝70 m，即需要准备70 m长的水管．

思考1：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？

学生按与上面相似的过程，自主解决．

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于12.

思考2：如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比BCAB，能得到什么结论？

分析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得

AB 2＝AC 2＋BC 2＝2BC 2，

AB＝2BC，

BCAB＝BC2BC＝12＝22.

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于22.

从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值．当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

探究：任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，那么BCAB与B′C′A′B′有什么关系？你能解释一下吗？

分析：由于∠C＝∠C＝90°，∠A＝∠A′＝α，

所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，则

BCAB＝B′C′A′B′.

结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．

正弦的概念：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即

sinA＝∠A的对边斜边＝ac.

例如，当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝12；

当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝22.

注意：

1．sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体．

2．正弦的三种表示方式：sinA，sin56°，sin∠DEF.

3．sinA是线段之间的一个比值，sinA没有单位．

提问：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？

sinB＝∠B的对边斜边＝bc.

思考3：一般地，当∠A取一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

探究：如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，

那么ACAB与A′C′A′B′有什么关系？

教师用类比的方法引导学生思考、讨论．

结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何改变，∠A的邻边与斜边的比是一个固定值．

余弦的概念：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即

cosA＝∠A的邻边斜边＝bc.

思考4：当∠A取一定度数的锐角时，它的对边与邻边的比是否也是一个固定值？

学生自立探究，得出结论，教师给出新的概念．

正切的概念：

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b分别是∠A的对边和邻边．我们把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即

tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．

三、举例应用，巩固新知

例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．

解：如图(1)，在Rt△ABC中，由勾股定理得

AB＝AC 2＋BC2＝42＋32＝5.

因此sinA＝BCAB＝35，

sinB＝ACAB＝45.

如图(2)，在Rt△ABC中，由勾股定理得

AC＝AB2－BC 2＝132－52＝12.

因此sinA＝BCAB＝513，

sinB＝ACAB＝1213.

例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．

解：由勾股定理得

AC＝AB2－BC 2＝102－62＝8，

因此 sinA＝BCAB＝610＝35，

cosA＝ACAB＝810＝45，

tanA＝BCAC＝68＝34.

四、练习新知

为测量如图所示的上山坡道的倾斜度，小明测得数据如图所示，则该坡道倾斜角α的正切值是(

)

A.117 B．4 C.14 D.417

答案 C

五、课堂小结

锐角三角函数概念及表示方法：

sinA＝∠A的对边斜边，cosA＝∠A的邻边斜边，

tanA＝∠A的对边∠A的邻边.

本节课采用问题引入法，从探究性问题入手，让学生主动参与学习活动，用特殊值探究锐角的三角函数时，学生们表现得非常积极，从作图、找边角、计算各个方面进行探究，学生发现：特殊角的三角函数值可以用勾股定理求出，然后探究：三角函数与直角三角形的边、角有什么关系？三角函数与三角形的形状有关系吗？整节课都在紧张而愉快的气氛中进行．学生非常活跃，大部分人都能积极动脑、积极参与．

第2课时 30°，45°，60°角的三角函数值

知识与技能

熟记30°，45°，60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．

过程与方法

1．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．

2．培养学生观察、比较、分析、概括的能力．

情感、态度与价值观

经历观察、操作、归纳等学习数学的过程，感受数学思考过程的合理性，感受数学说理的必要性、说理过程的严谨性，养成科学、严谨的学习态度．

重点

30°，45°，60°角的三角函数值．

难点

与特殊角的三角函数值有关的计算．

一、复习巩固

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.

(1)a，b，c三者之间的关系是________；

(2)sinA＝________，cosA＝________，tanA＝________；

sinB＝________，cosB＝________，tanB＝________．

(3)若∠A＝30°，则ac＝________．

二、共同探究，获取新知

(1)探索30°，45°，60°角的三角函数值．

师：观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？

生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°，60°，45°，45°.

师：sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流．

生：sin30°＝12.sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关．我们不妨设30°角所对的边长为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边长等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边长为3a，所以sin30°＝a2a＝12.

师：cos30°等于多少？tan30°呢？

生：cos30°＝3a2a＝32.tan30°＝a3a＝13＝33.

师：我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°，60°，它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？

生：求60°角的三角函数值可以利用求30°角的三角函数值的三角形．因为30°角的