高中数学模型汇总

高中数学排列组合中几种常见的数学模型

排列组合问题是高考中必考的一个类型题，常常单独命题或与概率内容等相结合，一般以较容易题出现，但由于解这类问题时方法灵活，切人点多，且抽象性极强，在解题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以又成为高中学生学习的难点之一。故在解题过程中通过分类、分步把复杂问题分解，找出问题的切入点，建立合理的数学模型，将问题简单化、常规化。

一、特殊元素优先数学模型

对于存在特殊元素或特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些“特殊”入手，先满足特殊元素或特殊位置，再去满足其他元素或其他位置，这种模型称为“特殊元素优先数学模型”。

例1.用0，1，2，3，4，5这六个数字可组成无重复数字的四位偶数____个。（用数字作答）

解：先安排四位偶数的个位上的数字（优先考虑）。无重复数字的四位偶数中如果个位数是0共有C■A■个，同时如果个位数是2或4共有C■C■A■=96个，所以，重复数字的四位偶数共有60+96=156个。

点评：特殊元素优先法是比较容易入手的一种方法，在处理此类问题时一是要注意优先考虑有要求的特殊位置的元素，二是要注意与分步计数原理结合运用。

二、捆绑式数学模型 对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排， 这种模型称为“捆绑式数学模型”。这种模型分为两种，一种是相邻元素要全排列，一种是相邻元素是组合问题，不用排列。

例2.四个工人去住旅店，旅店只剩下三个房间，要求四人中必须有两个住在一个房间，另两个房间各住一人，问共有多少种不同的安排方法？

解：第一步：把四个工人中的二个捆绑在一起，共有C■=6种方法；第二步：把四个工人看成三个工人进行排列，共有A■=6种方法。所以共有36种不同的安排方法。

点评：由于两个工人在同一个房间没有排列问题，所以不能自排。还有一种典型的错误排法，先在四个人中选出三个工人入住三个房间，有24种方法，再把剩下一个人放下四个房间中的任意一个，共有4种方法，故共有96种方法。请学生思考，这种方法为什么是错误的？

第1页/共5页 高中数学模型解题法

高中数学模型解题理念

数学模型解题首先需要明确以下六大理念(原则)：

理念之一——理论化原则。解题必须有理论指导，才能由解题的必然王国走进解题的自由王国，因为思维永远高于方法，伟大的导师恩格斯在100多年前就指出：一个名族要屹立于世界名族之林，就一刻也不能没有理论思维!思维策略永远比解题方法重要，因为具体解题方法可以千变万化，而如何想即怎样分析思考这一问题才是我们最想也是最有价值的!优秀的解题方法的获得有赖于优化的思维策略的指导，没有好的想法，要想获得好的解法，是不可能的!

理论之二——个性化原则。倡导解题的个性张扬，即要学会具体问题具体分析，致力于追求解决问题的求优求简意识，但是繁复之中亦显基础与个性——通性通法不可丢，要练扎实基本功!具有扎实的双基恰恰是我们的优势，因为万变不离其宗，只有基础打得牢了才可以盖得起知识与思维的坚固大厦。因此要求同学们，在具体的解题过程中，要学会辩证地使用解题模型，突出其灵活性，并不断地体验反思解题模型的有效性，以便于形成自己独特的解题个性风格与特色。

理论之三——能力化原则。只有敢于发散(进行充分地联想和想象，即放得开)，才能有效地聚合，不会发散，则无力第2页/共5页 聚合!因此，充分训练我们的发散思维能力，尽情地展开我们联想与想象的翅膀，才能在创新的天空自由地翱翔!

理论之四——示范化原则。任何材料都是给我们学生自学方法的示范，因此面对任何有利于增长我们的知识与智慧的机会，我们要应不失时机地抓住，并从不同的角度、不同的层次、甚至通过不同的训练途径、用不同时间段来认识、理解，并不断深化，以达到由表知里、透过现象把握问题本质与规律的目的。关于学思维方法，我们应当经过两个层次：一是：学会如何解题；二是：学会如何想题。

理论之五——形式化原则。哲学上讲内容与形式的辩证形式，内容决定形式，形式反映内容，充实寓于完美的形式之中，简洁完美的形式是充实而有意义的内容的有效载体，一个好的解题设想或者灵感，必然要通过解题的过程来体现，将解题策略设计及优化的解题过程程序化，形成可供我们在解题时遵循的统一形式，就是解题模型。

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型

说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。

模型变换

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

几何最终模型

对称最值(两点间线段最短)

对称最值(点到直线垂线段最短)

高中阿氏圆数学模型

阿氏圆是一个很古老的数学模型，它最早由土耳其数学家阿尔帕拉格斯于1637年发现，被称作“希腊部分卷轴”中的一部分。在中文中，阿氏圆也有另外一个别名——“玄同圆”。

什么是阿氏圆？

阿氏圆是由一条直线和一个不动点构成的一组有趣的几何结构。在这组几何结构中，直线被不动点绕着旋转，同时与不动点连线上的任意点P距离的积始终相等。这个距离积的值就被称作阿氏圆的半径。

阿氏圆的几何结构

我们可以用数学公式来表示阿氏圆的一般式。

先设点F为阿氏圆的不动点，点P为直线与不动点之间的一个任意点，点O为不动点到直线的垂足，点H为垂足FO的中点，点N为直线与不动点的垂线与阿氏圆的交点，点M为点N到垂线FO的垂足。

OP × OM = OF^2

其中OP为点P到不动点的距离，OM为点M到不动点的距离，OF为不动点到直线的距离。

阿氏圆的性质

1.阿氏圆是一条曲线。

2.阿氏圆半径为它所在直线的垂线段的一半长度。

3.直线与它的阿氏圆始终相重叠。

4.阿氏圆由两部分组成，分别对应于点P在不动点与直线之间和不在它们之间两个条件下。

5.当点P在不动点与直线之间时，阿氏圆半径小于点P到直线距离的一半，当点P不在不动点与直线之间时，阿氏圆半径大于点P到直线距离的一半。

应用阿氏圆

阿氏圆在工程学和物理学等领域有广泛应用，它被用于描述旋转现象，还可以用于测量机械振动和分析液体的流动情况等。 例如，当我们考虑一个旋转物体的惯性时，阿氏圆可以帮助我们计算出旋转物体的转动惯量。此外，阿氏圆还可以被应用于衡量物体的辐射和冷却能力，以及对于热器的设计和改进。

总之，阿氏圆是一个重要的数学模型，它在不同领域都有着广泛的应用，对于理解旋转现象和液体流动等现象有着重要的贡献。