第八讲 一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一、 一元二次方程的定义：
1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最高次数是2的 方程
2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项
【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件
2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】
二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果ax 2 =b 则X 2 = X1= X2=
2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数,②、移项：把 项移到方程的 边
③、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式
④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程
3、公式法：如果方程ax 2 +bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式
为
4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根
【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是
法和 法】
三、一元二次方程根的判别式
关于X的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a≠0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示
①当 时，方程有两个不等的实数根
2025年山东济南中考数学一轮复习 教材考点复习
——一元二次方程及其应用 学生版
知识清单梳理
知识点一 一元二次方程的有关概念
1.一元二次方程：只含有 个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程.
2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）.其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.
知识点二 一元二次方程的解法
3.直接开平方法
适用情况：（1）当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0（a≠0，ac＜0）；
（2）形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程.
4.配方法
适用情况：（1）二次项系数化为1后，一次项系数是偶数的一元二次方程；
（2）各项的系数比较小且便于配方的情况.
步骤：以2x2－8x＋4＝0为例
①变形：将二次项系数化为1，即x2－4x＋2＝0；
②移项：将常数项移到方程的右边，即x2－4x＝－2；
③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即x2－4x＋4＝－2＋4，即（x－2）2＝2； ④求解：用直接开平方法求解，即x1＝2＋√2，x2＝2－√2.
5.公式法：适用于所有一元二次方程，求根公式为 （b2－4ac≥0）.
步骤：（1）使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0；
（2）判断b2－4ac的正负：若b2－4ac 0，则原方程无解；
若b2－4ac 0，将a，b，c代入公式时应注意其符号.
6.因式分解法
适用情况：（1）常数项为0，即方程ax2＋bx＝0（a≠0）；
（2）一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积.
【温馨提示】方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式.
中考数学一轮复习专题突破练习—一元二次方程及其应用
一、单选题
1．（2022·全国九年级课时练习）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．20axbxc
B．223232xxx
C．213xx
D．242xxx
【答案】D
【分析】
根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】
解：A、20axbxc，a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误；
B、223232xxx，整理得：-2x+6=0，是一元一次方程，故此选项错误；
C、213xx，是分式方程，故此选项错误；
D、242xxx，是一元二次方程，故此选项正确；
故选：D．
2．（2022·全国九年级课时练习）下列各数是方程212xx的根的是（ ）
A．3x B．4x C．5x D．10x
【答案】B
【分析】 分别将3x，4x，5x，10x代入方程中，如果方程左右两边相等，那么此时的值即为方程的解．
【详解】
解：将3x，4x，5x，10x代入方程中，
可得当4x时，左边=右边，
故4x是方程212xx的根，
故选B．
3．（2022·全国九年级课时练习）已知方程2(3)210kxx有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．4k B．4k C．4k且3k D．4k且3k
【答案】D
【分析】
若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【详解】
解：∵方程有两个实数根，
∴30k且22Δ4241(3)0back，
解得4k且3k，
故选D．
4．（2022·全国九年级课时练习）一元二次方程24410xx的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C
第二章 方程(组)与不等式(组)
第三节 一元二次方程及其应用
基础分点练(建议用时:40分钟)
考点1 解一元二次方程
1.[2020合肥包河区一模]一元二次方程x2+2x=0的解是 ( )
A.x=0 B.x=-2
C.x1=2,x2=0 D.x1=-2,x2=0
2.[2020山东聊城]用配方法解一元二次方程2x2-3x-1=0,配方正确的是 ( )
A.(x-34)2=1716 B.(x-34)2=12
C.(x-32)2=134 D.(x-32)2=114
3.[2020辽宁营口]一元二次方程x2-5x+6=0的解为 ( )
A.x1=2,x2=-3 B.x1=-2,x2=3
C.x1=-2,x2=-3 D.x1=2,x2=3
4.[2020江苏常州]若关于x的方程x2+ax-2=0有一个根是1,则a= .
5.[2019湖北十堰]对于实数a,b,定义运算“◎”如下:a◎b=(a+b)2-(a-b)2.若(m+2)◎(m-3)=24,则m= .
6.解一元二次方程:(x-3)2=2x(3-x).
7.[2019黑龙江齐齐哈尔]用配方法解方程:x2+6x=-7.
8.[2020江苏无锡]解方程:x2+x-1=0.
考点2 根的判别式
9.下列一元二次方程中,有两个不相等的实数根的是 ( )
A.x2-x+14=0 B.x2+2x+4=0
C.x2-x+2=0 D.x2-2x=0
10.[2020安庆模拟]已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2-c=0有两个相等的实数根,则1a+c的值等于 ( )
A.-2 B.2 C.4 D.-4
11.[2020合肥庐阳区模拟]若关于x的一元二次方程x2+2(k-1)x+k2-1=0有实数根,则k的取值范围是 ( )
A.k≥1 B.k>1 C.k<1 D.k≤1
12.[2020辽宁抚顺]若关于x的一元二次方程x2+2x-k=0无实数根,则k的取值范围是 .
