新教材高中数学人教版精品 第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题3 一元二次不等式恒成立问题

新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准要求学生从函数的角度来看待一元二次方程。

学生需要结合一元二次函数的图像，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，并了解函数的零点与方程根的关系。

此外，学生还需要从函数的角度来看待一元二次不等式。

他们需要通过从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。

他们需要掌握利用一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。

同时，通过一元二次函数的图像，学生还需要了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

知识点：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系当Δ>0时，一元二次方程y=ax^2+bx+c(a>0)有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)；当Δ=0时，有两个相等的实数根x1=x2=-b/2a；当Δ<0时，没有实数根。

当a>0时，二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)的解集为{x|xx2}；当ax^2+bx+c0)时，解集为{x|x10时相同。

状元随笔一元二次不等式的解法：1.图像法：当a>0时，解形如ax^2+bx+c>0(≥0)或ax^2+bx+c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax^2+bx+c=0的解；②画出对应函数y=ax^2+bx+c 的图像简图；③由图像得出不等式的解集。

2.代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解。

当p0，则x>q或x<p；若(x-p)(x-q)<0，则p<x<q。

有口诀如下：“大于取两边，小于取中间”。

教材解难]教材P50思考：从函数的角度和方程的角度两个角度来看待一元二次不等式。

从函数的角度来看，一元二次不等式ax^2+bx+c>0表示二次函数y=ax^2+bx+c的函数值大于0，图像在x轴的上方；一元二次不等式ax^2+bx+c>0的解集即二次函数图像在x轴上方部分的自变量的取值范围。

必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1.比较大小的基本事实：比较两实数大小的方法——求差比较法0a b a b >⇔->；0a b a b =⇔-=；0a b a b <⇔-<。

2.恒成立的不等式：一般地，∀R b a ∈,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时等号成立。

说明：（1）指出定理适用范围：R b a ∈,；（2）强调取“=”的条件b a =。

3.等式的性质：性质1：若a =b ，则b =a ;性质2：若a=b,b=c,则a=c;性质3：若a=b ，则a±c=b±c;性质4：若a=b ，则ac=bc;性质5：若a=b ，c≠0，则cb c a = 4.不等式的性质：性质1：若a b >，则b a <；若b a <，则a b >．即a b >⇔b a <。

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。

性质2：若a b >，b c >，则a c >。

不等式的传递性。

性质3：若a b >，则a c b c +>+。

性质4：如果b a >且0>c ，那么bc ac >；如果b a >且0<c ，那么bc ac <。

性质5：若,,a b c d a c b d >>+>+且则。

性质6：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >。

性质7：如果0>>b a ， 那么n n b a > )1(>∈n N n 且。

2.2 基本不等式1. 如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 说明：（1）这个定理适用的范围：,a b R +∈；（2）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数。

2019年最新版高中数学教材目录必修（第一册）（共计72课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）第三章函数概念与性质（12课时）第四章指数函数与对数函数（16课时）第五章三角函数（23课时）?必修（第二册）（共计69课时）第六章平面向量及其应用（18课时）第七章复数（8课时）第八章立体几何初步（19课时）第九章统计（13课时）第十章概率（9课时）选择性必修（第一册）（共计43课时）}第一章空间向量与立体几何（15课时）第二章直线和圆的方程（16课时）第三章圆锥曲线的方程（12课时）选择性必修（第二册）（共计30课时）第四章数列（14课时）第五章一元函数的导数及其应用（16课时）…选择性必修（第三册）（共计35课时）第六章计数原理（11课时）第七章随机变量及其分布（10课时）第八章成对数据的统计分析（9课时）详细章节内容高中数学新教材目录高中第一册[第一章集合与常用逻辑用语 (4)集合的概念 (5)集合间的基本关系 (10)集合的基本运算 (13)阅读与思考集合中元素的个数 (18)充分条件与必要条件 (20)全称量词与存在量词 (27)阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件 (34)！第二章一员二次函数、方程和不等式 (39)等式性质与不等式性质 (40)二次函数与一元一次方程、不等式 (53)第三章函数的概念与性质 (62)函数的概及其表示 (63)阅读与思考函数概念的发展历程 (78)函数的基本性质 (79)~信息技术应用用计算机绘制函数图像 (90)幂函数 (92)探索与发现探索函数y=x+1/x的图象与性质 (95)函数的应用(一) (96)文献阅读与数学写作函数的形成与发展 (100)第四章指数函数与对数函数 (106)指数 (107)指数函数 (114)—阅读与思考放射性物质的衰减 (118)信息技术应用探究指数函数的性质 (123)对数 (125)阅读与思考对数的发明 (131)对数函数 (133)探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系 (138)函数的应用(二) (145)阅读与思考中外历史上的方程求解 (150))文献阅读与数学写作对数概念的形成与发展 (160)数学建模建立函数模型解决实际问题 (165)第五章三角函数 (170)任意角和弧度制 (171)三角函数的概念 (180)阅读与思考三角学与天文学 (189)诱导公式 (191)三角函数的图象与性质 (199)—探究与发现函数y=Asin(ωx+φ)及函数y=Acos(ωx+φ) (206)探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质 (211)三角恒等变换 (218)信息技术应用利用信息技术制作三角函数表 (227)函数y=Asin(ωx+φ) (234)三角函数的应用 (245)阅读与思考振幅、周期、频率、相位 (253)￥高中第二册第六章平面向量及其应用 (4)平面向量的概念 (5)平面向量的运算 (10)平面向量基本定理及坐标表示 (28)平面向量的应用 (41)复习参考题6 (62)*数学探究用向量法研究三角形的性质 (66)第七章复数 (70)复数的四则运算 (78)*复数的三角表示 (86)复习参考题7 (97)第八章立体几何初步 (99)基本立体图形 (100)~立体图形的直观图 (110)简单几何体的表面积与体积 (117)空间点、直线、平面之间的位置关系 (127)空间直线、平面的平行 (136)空间直线、平面的垂直 (149)复习参考题8 (172)第九章统计 (175)随机抽样 (176)#用样本估计总体 (195)阅读与思考大数据 (220)统计案例公司员工的肥胖情况调查分析 (221)复习参考题9 (225)第十章概率 (228)随机事件与概率 (229)事件的相互独立性 (249)频率与概率 (254)（复习参考题10 (266)新旧教材的异同普通高中数学课程标准2017年版在实验版的基础上作了修订，总体是继承，删减了一些内容，调整了内容的顺序，注重了数学知识内部的逻辑性，使得整体内容更趋合理。

新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[教材解难]教材P50思考能．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为(x ＋1)2≤0，解得x ＝－1. 答案：{－1}题型一 解不含参数的一元二次不等式[教材P 52例1、2、3] 例1 (1)求不等式x 2－5x ＋6>0的解集． (2)求不等式9x 2－6x ＋1>0的解集． (3)求不等式－x 2＋2x －3>0的解集．【解析】 (1)对于方程x 2－5x ＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x 1＝2，x 2＝3.画出二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x 2－5x ＋6>0的解集为{x |x <2，或x >3}．(2)对于方程9x 2－6x ＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x 1＝x 2＝13. 画出二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠13(3)不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图3)．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式：(1)x2－7x＋12>0；(2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔 化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图象结果题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】 方法一 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.方法二 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔 由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练 2 已知一元二次不等式x2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】 对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)． ①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)． ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16).②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4<a<4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R.状元随笔二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(2)当0<a<1时，有a>a2，即x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；(3)当a>1时，有a2>a，即x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a的范围→比较a与a 2的大小→写出不等式的解集题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题]例 4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题． 方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围． 解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划 降税后 价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( ) A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图象与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________．解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25 三、解答题 8．解下列不等式： (1)x 2＋2x －15>0； (2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)．即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}．[尖子生题库]10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }； (2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }； (3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为： 当a >0时，{x |－a <x <2a }； 当a <0时，{x |2a <x <－a }； 当a ＝0时，∅.。

(名师选题)2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式重点知识归纳单选题1、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为（ ） A ．12B ．14C ．√22D ．√32 答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 若要使ab+bca 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数， 则ab+bc a 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b+2b≤2√22b×2b=2√2(a 2+c 2)=12√a 2+2ac+c 22(a 2+c 2)=12√12+ac a 2+c 2≤12√12+2√a 2×c 2=12，当且仅当a 2+c 2b=2b ，且a =c 取等，即a =b =c 取等号，即则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为12， 故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.2、已知命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是假命题，则实数a的取值范围为（）A．(−∞,0]∪[4,+∞)B．[0,4]C．[4,+∞)D．(0,4)答案：A分析：先求出命题为真时实数a的取值范围，即可求出命题为假时实数a的取值范围.若“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是真命题，即判别式Δ=(a−2)2−4×4×14<0，解得：0<a<4，所以命题“∀x∈R，4x2+(a−2)x+14>0”是假命题，则实数a的取值范围为：(−∞,0]∪[4,+∞).故选：A.3、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.4、已知正实数a,b满足4a+b +1b+1=1，则a+2b的最小值为（）A．6B．8C．10D．12 答案：B分析：令a+2b=a+b+b+1−1，用a+b+b+1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可.因为4a+b +1b+1=1，且a,b为正实数所以a+b+b+1=(a+b+b+1)(4a+b +1b+1)=4+a+bb+1+4(b+1)a+b+1≥5+2√a+bb+1×4(b+1)a+b=9，当且仅当a+bb+1=4(b+1)a+b即a=b+2时等号成立.所以a+2b+1≥9,a+2b≥8.故选：B.5、下列不等式中成立的是（）A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a>b>0，则a2>b2C．若a<b<0，则a2<ab<b2D．若a<b<0，则1a <1b答案：B分析：A，如c=0时，ac2=bc2，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.A. 若a>b>0，则ac2>bc2错误，如c=0时，ac2=bc2，所以该选项错误；B. 若a>b>0，则a2−b2=(a+b)(a−b)>0,∴a2>b2，所以该选项正确；C. 若a<b<0，则a2−ab=a(a−b)>0,∴a2>ab，所以该选项错误；D. 若a<b<0，则1a −1b=b−aab>0,∴1a>1b，所以该选项错误.故选：B6、已知x>2，则x+4x−2的最小值为（）A．6B．4C．3D．2答案：A分析：利用基本不等式可得答案.∵x >2，∴x −2>0， ∴x +4x−2= x −2+4x−2+2≥2√(x −2)⋅4x−2+2＝6，当且仅当x −2=4x−2即x =4时， x +4x−2取最小值6， 故选：A ．7、若实数x >32，y >13，不等式4x 2t (3y−1)+9y 2t (2x−3)≥2恒成立，则正实数t 的最大值为（ ） A ．4B ．16C ．72D ．8答案：D分析：令3y −1=a,2x −3=b ，则(b+3)2a+(a+1)2b≥2t ，由权方和不等式和基本不等式得(b+3)2a+(a+1)2b≥16，即可求解t ≤8．由4x 2t (3y−1)+9y 2t (2x−3)≥2得4x 2(3y−1)+9y 2(2x−3)≥2t 因为x >32，y >13，则3y −1>0,2x −3>0 令3y −1=a,2x −3=b 则4x 2(3y−1)+9y 2(2x−3)≥2t 化为(b+3)2a+(a+1)2b≥2t 恒成立，由权方和不等式得(b+3)2a+(a+1)2b≥(a+b+4)2a+b=(a +b )+16a+b +8≥2√16+8=16当且仅当{b+3a=a+1ba +b =4，得a =53,b =73即x =73,y =109时等号成立．所以16≥2t ⇒t ≤8 故选：D8、若关于x 的不等式|x −1|<a 成立的充分条件是0<x <4，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－∞，1]B ．(－∞，1) C ．(3，＋∞)D ．[3，＋∞) 答案：D分析：根据充分条件列不等式，由此求得a的取值范围.|x−1|<a成立的充分条件是0<x<4，则a>0，|x−1|<a⇒1−a<x<1+a，所以{1−a≤01+a≥4⇒a≥3. 故选：D9、已知a,b为正实数，且a+b=6+1a +9b，则a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．12答案：B分析：根据题意，化简得到(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab，结合基本不等式，即可求解.由题意，可得(a+b)2=(6+1a +9b)(a+b)=6(a+b)+10+ba+9ab≥6(a+b)+16，则有(a+b)2−6(a+b)−16≥0，解得a+b≥8，当且仅当a=2，b=6取到最小值8.故选：B.10、设a>b>c>0，则2a2+1ab +1a(a−b)−10ac+25c2取得最小值时，a的值为（）A．√2B．2C．4D．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2，结合基本不等式即可得解.2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)−ab−a(a−b)+2a2−10ac+25c2 =1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+a2−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2≥2√1ab⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4，当且仅当{ab =1a(a −b)=1a =5c ，即a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 11、不等式1+5x −6x 2>0的解集为（ ）A ．{x|x >1或x <−16}B ．{x |−16<x <1 }C ．{x|x >1或x <−3}D ．{x |−3<x <2 } 答案：B分析：解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘−1，再利用十字相乘法，可得答案， 法一：原不等式即为6x 2−5x −1<0，即(6x +1)(x −1)<0，解得−16<x <1，故原不等式的解集为{x |−16<x <1 }．法二：当x =2时，不等式不成立，排除A ，C ；当x =1时，不等式不成立，排除D ． 故选：B ．12、已知关于x 的不等式(2a +3m )x 2−(b −3m )x −1>0(a >0,b >0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论错误的是（ ）A ．2a +b =1B ．ab 的最大值为18C ．1a +2b 的最小值为4D ．1a +1b 的最小值为3+2√2答案：C分析：根据不等式的解集与方程根的关系，结合韦达定理，求得2a+3m=2，b−3m=−1，可判定A正确；结合基本不等式和“1”的代换，可判断B正确，C错误，D正确.由题意，不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0的解集为(−∞,−1]∪[12,+∞)，可得2a+3m>0，且方程(2a+3m)x2−(b−3m)x−1=0的两根为−1和12，所以{−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，所以A正确；因为a>0，b>0，所以2a+b=1≥2√2ab，可得ab≤18，当且仅当2a=b=12时取等号，所以ab的最大值为18，所以B正确；由1a +2b=(1a+2b)(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2√ba⋅4ab=4+4=8，当且仅当ba =4ab时，即2a=b=12时取等号，所以1a+2b的最小值为8，所以C错误；由1a +1b=(1a+1b)(2a+b)=3+ba+2ab≥3+2√ba⋅2ab=3+√2，当且仅当ba =2ab时，即b=√2a时，等号成立，所以1a +1b的最小值为3+2√2，所以D正确．故选：C．双空题13、当x=______时，x2(4−x2)(−2<x<0)的最大值是______．答案：−√2 4分析：把x2作为一个整体，结合二次函数的性质可得最大值．−2<x<0，则0<x2<4，x2(4−x2)=−x4+4x2=−(x2−2)2+4，所以x2=2，即x=−√2时，x2(4−x2)取得最大值4．所以答案是：−√2；4．14、若x>0，函数f(x)=x−1+25x的最小值是______，此时x=______．答案： 9 5分析：根据给定的条件，利用均值不等式直接求解作答.x>0，则f(x)=x−1+25x ≥2√x⋅25x−1=9，当且仅当x=25x，即x=5时取等号，所以原函数的最小值为9，此时x=5.所以答案是：9；515、若a、b∈R，且|a|≤3，|b|≤4，则|a+b|的最大值是______，最小值是______．答案： 7 0分析：根据不等式的性质可得−7≤a+b≤7，即可求出.因为|a|≤3，所以−3≤a≤3，因为|b|≤4，所以−4≤b≤4，所以−7≤a+b≤7，则0≤|a+b|≤7，即|a+b|的最大值是7，最小值是0.所以答案是：7；0.16、为应对新冠肺炎疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为640m2的矩形隔离区，拟划分6个工作区域，布局示意图如图所示．根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）的宽度为2m，整个隔离病区内部四周还要预留宽度为3m的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离病区北边长x m．（1）在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积y（单位：m2）表示为北边长x（单位：m）的函数解析式为______；（2）若平均每个人隔离所需病区面积为2.5m 2，则同时隔离的最多人数为______．（√2≈1.4） 答案： y =720−8x −6400x(10<x <80) 108分析：第一空根据已知条件，结合长方形的面积公式，即可求解；第二空根据已知条件，结合基本不等式，即可求解.（1）由题可知y =(x −10)(640x−8)=720−8x −6400x(10<x <80)．（2）y =720−8x −6400x=720−(8x +6400x)≤720−320√2≈272，当且仅当x =20√2时等号成立，又272÷2.5=108.8，故同时隔离的最多人数为108． 所以答案是：①y =720−8x −6400x(10<x <80)；②10817、用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架（不计损耗），要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________m ；高为________m . 答案： 32 3分析：先表示出框架的面积函数关系式，再利用基本不等式求最值可得设窗户的宽为x ，则其高为6−2x ，要使阳光充足，只要面积最大，S =x(6−2x)=2x(3−x)≤2×[x+(3−x)2]2=92，当且仅当x =32时等号成立，这时高为3m .所以答案是：(1). 32 (2). 3小提示：本题考查利用基本不等式求最值成立条件. 用基本不等式求最值问题:已知x >0,y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x =y 时，x +y 有最小值是2√p .(简记：积定和最小) (2)如果和x +y 是定值p ，那么当且仅当x =y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 解答题18、已知a ，b 都是正数．(1)若a +b =1−2√ab ，证明：b √a +a √b ≥4ab ； (2)当a ≠b 时，证明：a √a +b √b >b √a +a √b ． 答案：(1)证明见解析 (2)证明见解析分析：（1）根据a +b =1−2√ab 可得√a +√b =1，再结合b √a+a √bab化简，利用基本不等式证明即可（2）根据证明的不等式逆推即可 （1）证明：由a +b =1−2√ab ，得(√a +√b)2=1，即√a +√b =1b √a+a √bab=√ab(√b+√a)ab=√a √b(√a √b)(√a +√b)=2+√b √a√a √b≥2+2√√b √a√a √b=4，当且仅当a =b =14时“=”成立．所以b √a +a √b ≥4ab ． （2）要证a √a +b √b >b √a +a √b ， 只需证√a(a −b)−√b(a −b)>0， 即证(√a −√b)(a −b)>0， 即证(√a −√b)2(√a +√b)>0，因为(√a −√b)2>0,√a +√b >0，所以上式成立， 所以a √a +b √b >b √a +a √b 成立． 19、设f (x )=ax 2+(1-a )x +a -2.(1)若命题“对任意实数x ，f (x )≥-2”为真命题，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式f (x )<a -1(a ∈R ). 答案：(1)a ≥13(2)答案见解析分析：（1）根据“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，知ax2+(1-a)x+a-2≥-2，即ax2+(1-a)x+a≥0，此时对a进行分类讨论，再结合判别式Δ即可求出a的范围.（2）由f(x)<a-1得ax2+(1-a)x+a-2<a-1，即ax2+(1-a)x-1<0，对a进行分类讨论，即可求出不等式f(x)<a-1的解集.（1）∵命题“对任意实数x，f(x)≥-2”为真命题，∴ax2+(1-a)x+a-2≥-2恒成立，即ax2+(1-a)x+a≥0恒成立.当a=0时，x≥0，不满足题意；当a≠0时，知{a>0，Δ≤0，即{a>0，(1-a)2-4a2≤0，解得a≥13.故实数a的取值范围为a≥13.（2）∵f(x)<a-1(a∈R)，∴ax2+(1-a)x+a-2<a-1，即ax2+(1-a)x-1<0.当a=0时，x<1，∴不等式的解集为{x|x<1}；当a>0时，ax2+(1-a)x-1<0⇒(ax+1)(x-1)<0，此时方程(ax+1)(x-1)=0的解分别为-1a，1，∵-1a <1，∴不等式的解集为{x|-1a<x<1}，当a<0时，不等式可化为(ax+1)(x-1)<0，①当a=-1时，-1a=1，∴不等式的解集为{x|x≠1}；②当-1<a<0时，-1a >1，此时不等式的解集为{x|x>−1a或x<1}；③当a<-1时，-1a <1，此时不等式的解集为{x|x>1或x<−1a}20、某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆客车每年收入约100万元，每辆客车第一年各种费用约为16万元，从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.（1）写出4辆客车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N∗)的函数关系式：（2）这4辆客车运营多少年，可使年平均运营利润最大？最大利润是多少？答案：（1）y=16(−2x2+23x−50)；（2）这4辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.分析：（1）由题知，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为200+16×(1+2+3+⋅⋅⋅+x)，进而得利润的表达式y=16(−2x2+23x−50)；（2）结合（1）得年平均运营利润为yx =16[23−2(x+25x)]，再根据基本不等式求解即可得答案.解：（1）依题意得，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为200+16×(1+2+3+⋅⋅⋅+x)=200+16×x(1+x)2=200+8x(x+1)，所以4辆客车运营的总利润y=4[100x−200−8x(x+1)]=16(−2x2+23x−50).（2）年平均运营利润为yx =16(−2x+23−50x)=16[23−2(x+25x)]，因为x∈N∗，所以x+25x ≥2√x⋅25x=10，当且仅当x=5时，等号成立，此时yx≤16×(23−2×10)=48，所以这4辆客车运营5年，可使年平均运营利润最大，最大利润为48万元.。

(名师选题)2023年人教版高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点汇总单选题1、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.2、设a>b>c>0，则2a2+1ab +1a(a−b)−10ac+25c2取得最小值时，a的值为（）A．√2B．2C．4D．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2，结合基本不等式即可得解.2a2+1ab+1a(a−b)−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)−ab−a(a−b)+2a2−10ac+25c2 =1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+a2−10ac+25c2=1ab+ab+1a(a−b)+a(a−b)+(a−5c)2≥2√1ab ⋅ab+2√1a(a−b)⋅a(a−b)+0=4，当且仅当{ab=1a(a−b)=1a=5c，即a=√2，b=√22，c=√25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.3、设a＞b＞1，y1=b+1a+1,y2=ba,y3=b−1a−1，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1答案：C分析：利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.解：由a＞b＞1，有y1﹣y2=b+1a+1−ba=ab+a−ab−b(a+1)a=a−b(a+1)a＞0，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y3=ba −b−1a−1=ab−b−ab+aa(a−1)=a−ba(a−1)＞0，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故选：C.4、实数a,b满足a>b，则下列不等式成立的是（）A ．a +b <abB ．a 2>b 2C ．a 3>b 3D ．√a 2+b 2<a +b 答案：C分析：利用不等式的性质逐一判断即可. A ，若a =1,b =0，则a +b >ab ，故A 错误； B ，若a =1,b =−2，则a 2<b 2，故B 错误； C ，若a >b ，则a 3−b 3=(a −b )(a 2+ab +b 2)=(a −b )[(a +b 2)2+3b 24]>0，所以a 3>b 3，故C 正确；D ，若a =1,b =−2，则√a 2+b 2>a +b ，故D 错误. 故选：C5、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（ ） A ．2B ．√2+1C ．94D ．52答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+ab +4b a)，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ， 所以1b+4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+a b +4b a)，≥14(5+2√ab⋅4b a)=94，当且仅当{1b +4a=4ab=4b a，即{a =32b =34时，等号成立， 故选：C6、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞)答案：D分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围 设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可， 即a >f(3)=2，得a >2， 所以实数a 的取值范围为(2,+∞)， 故选：D7、设m ，n 为正数，且m +n =2，则4m+1+1n+1的最小值为（ ） A ．134B ．94C ．74D ．95答案：B分析：将m +n =2拼凑为m+14+n+14=1，利用“1”的妙用及其基本不等式求解即可.∵m +n =2，∴(m +1)+(n +1)=4，即m+14+n+14=1，∴4m+1+1n+1=(4m+1+1n+1)(m+14+n+14) =n+1m+1+m+14(n+1)+54≥2√n+1m+1⋅m+14(n+1)+54 =94，当且仅当n+1m+1=m+14(n+1)，且m +n =2时，即 m =53，n =13时等号成立.故选：B .8、小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b(a >b >0)，他往返甲乙两地的平均速度为v ，则（ ） A ．v =a+b 2B ．v =√abC ．√ab <v <a+b 2D ．b <v <√ab答案：D分析：平均速度等于总路程除以总时间设从甲地到乙地的的路程为s ，从甲地到乙地的时间为t 1，从乙地到甲地的时间为t 2，则 t 1=sa，t 2=sb，v =2s t 1+t 2=2ss a +s b=21a +1b，∴v =21a +1b>21b +1b=b ，v =21a +1b=2ab a+b <2√ab=√ab ，故选:D.9、下列不等式恒成立的是（ ） A ．a 2+b 2≤2ab B ．a 2+b 2≥−2ab C ．a +b ≥−2√|ab |D ．a +b ≤2√|ab | 答案：B分析：由基本不等式，可判定A 不正确；由a 2+b 2+2ab =(a +b)2≥0，可判定B 正确；根据特例，可判定C 、D 不正确；由基本不等式可知a 2+b 2≥2ab ，故A 不正确；由a 2+b 2≥−2ab ，可得a 2+b 2+2ab ≥0，即(a +b )2≥0恒成立，故B 正确； 当a =−1,b =−1时，不等式不成立，故C 不正确； 当a =0,b =1时，不等式不成立，故D 不正确. 故选：B.10、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3 答案：C分析：利用基本不等式即可求解. 解：∵ x >53， ∴ 3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立， 故3x +43x−5的最小值为9， 故选：C ． 11、若不等式2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞) 答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围 因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m 4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立 ⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立 故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0 解之得：1<m <3 故选：A12、已知a >1，则a +4a−1的最小值是（ ） A ．5B ．6C ．3√2D ．2√2 答案：A分析：由于a >1，所以a −1>0，则a +4a−1=(a −1)+4a−1+1，然后利用基本不等式可求出其最小值 由于a >1，所以a −1>0所以a +4a−1=a −1+4a−1+1≥2√(a −1)⋅4(a−1)+1=5， 当且仅当a −1=4a−1，即a =3时取等号.故选：A. 双空题13、某高校在2008年9月初共有m 名在校学生，其中有n 名新生，在9月底，又补录了b 名学生，则新生占学生的比例_________（选填“变大”、“变小”或“不变”），其理论论据用数学形式表达为_______． 答案： 增大 若m >n >0,b >0，则nm <n+bm+b解析：补录新生后，新生人数增加，而原有学生人数没有变，即可得知新生占比增大；由不得式性质，结合不等式成立条件，即可得数学表达性.由题意补录了b 名学生，新生人数增多，而原有学生人数不变，由此知，新生所占的比例必增大. 由于补录后新生人数变为n +b ，在校生人数增加为m +b ， 故所对应的不等式模型是nm <n+bm+b ， 即若m >n >0,b >0，则nm <n+bm+b ． 故答案为:增大；m >n >0,b >0，则nm <n+b m+b．小提示：本题考查了不等式性质在实际问题中的综合应用，属于中档题. 14、若正数a ，b 满足a +b +2=ab ，则3a−1+1b−1的最小值是______，此时b =______.答案： 2 2分析：先由a +b +2=ab 求出a =b+2b−1，再根据基本不等式求解即可．解：∵a +b +2=ab ，∴b +2=ab −a ，∴ a =b+2b−1，因为a >0、b >0，所以b+2b−1>0，即b >1 ∴ 3a−1+1b−1=3b+2b−1−1+1b−1=3(b+2)−(b−1)b−1+1b−1=(b −1)+1b−1⩾2√(b −1)×1b−1，即3a−1+1b−1⩾2，当且仅当b −1=1b−1，即b =2时取等号，所以答案是：2；2．15、已知1<a<6，3<b<4，则a−2b的取值范围为_________，ba的取值范围为_________.答案：(−7,0)(12,4)分析：由不等式的性质可直接求得结果.∵3<b<4，∴−8<−2b<−6，又1<a<6，∴−7<a−2b<0，即a−2b的取值范围为(−7,0)；∵1<a<6，∴16<1a<1，又3<b<4，∴12<ba<4，即ba 的取值范围为(12,4).所以答案是：(−7,0)；(12,4).16、已知a,b均为正实数，且a+b=1，则8a2+1ab的最小值为__________，此时a的值为__________.答案： 8 14解析：由a+b=1，得(a+b)2=1，则8a2+1ab =8a2+(a+b)2ab，化简后利用基本不等式可求得其最小值解：因为a,b均为正实数，且a+b=1，所以(a+b)2=1，所以8a 2+1ab =8a2+(a+b)2ab=8a2+a2++2ab+b2ab=9a2+b2ab+2=9ab +ba+2≥2√9ab⋅ba+2=8，当且仅当9ab =ba，即a=14,b=34时取等号，所以8a 2+1ab的最小值为8，所以答案是：8；14小提示：关键点点睛：此题考查利用基本不等式求最值，解题的关键是对a+b=1两边平方，得(a+b)2=1，然后巧妙利用1的代换，考查计算能力，属于中档题17、如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90∘,AD∥BC,AD=2,BC=3,E为AB上一点，且DE⊥EC，则△DEC面积的最小值为__________，此时AB=__________.答案： 6 5分析：设出AE=x(x>0)，利用相似得到EB=6x，表达出△DEC的面积，用基本不等式求出最小值及此时AB 的值.设AE=x(x>0)，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90∘又∵∠ECB+∠BEC=90∘，∴∠AED=∠ECB，又∠A=∠B=90∘，∴△AED∼△BCE，∴AEBC =ADEB即x3=2EB，得EB=6x，∴△DEC的面积S=(2+3)(x+6x)2−2x2−32⋅6x=3x2+6x⩾2√3x2⋅6x=2×3=6，当且仅当3x2=6x，即x=2时等号成立，∴△DEC面积的最小值为6，此时AB=2+62=5.所以答案是：6，5解答题18、已知函数f(x)=−x2+mx−m．（1）若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值．（2）若函数f(x)在[−1,0]上单调递减，求实数m的取值范围．（3）是否存在实数m，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由．答案：（1）m=0或m=4；（2）m⩽−2；（3）存在，m=6分析：（1）配方后得最大值，由最大值为0可解得m的值；（2）由对称轴在区间的左侧可得；（3）分类讨论求函数f(x)在[2,3]上的最大值和最小值，由最大值为3最小值为2求解m的值．（1）f(x)=−(x −m 2)2−m +m 24，则最大值−m +m 24=0，即m 2−4m =0，解得m =0或m =4．（2）函数f(x)图象的对称轴是x =m 2，要使f(x)在[−1,0]上单调递减，应满足m 2⩽−1，解得m ⩽−2． （3）①当m2⩽2，即m ⩽4时，f(x)在[2,3]上递减，若存在实数m ，使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3]，则{f(2)=3，f(3)=2，即{−4+2m −m =3，−9+3m −m =2，，此时m 无解． ②当m2⩾3，即m ⩾6时，f(x)在[2,3]上递增，则{f(2)=2,f(3)=3, 即{−4+2m −m =2,−9+3m −m =3, 解得m =6．③当2<m 2<3，即4<m <6时，f(x)在[2,3]上先递增，再递减，所以f(x)在x =m 2处取得最大值，则f (m2)=−(m 2)2+m ⋅m 2−m =3，解得m =−2或6，舍去．综上可得，存在实数m =6，使得f(x)在[2,3]上的值域恰好是[2,3]．小提示：本题考查二次函数的性质，考查二次函数的最值，对称轴，单调性等性质，掌握二次函数的图象与性质是解题关键．19、（1）设0<x <2，求y =√x (4−2x )的最大值； （2）已知a >0，b >0，若a +b =2，求11+a +41+b 的最小值． 答案：（1）√2；（2）94．分析：（1）将y =√x(4−2x)转化为y =√22⋅√2x(4−2x)，用基本不等式求最大值即可；（2）将11+a +41+b 变形为11+a +41+b =14(11+a +11+b )[(a +1)+(b +1)]，整理后用基本不等式求最值. （1）因为0<x <2，所以4−2x >0，所以y =√x(4−2x)=√22⋅√2x(4−2x)≤√22⋅2x+4−2x2=√2，当且仅当2x =4−2x ，即x =1时等号成立， 所以y =√x(4−2x)的最大值为√2；（2）因为a >0，b >0，所以a +1>0，b +1>0．又a +b =2，所以a +1+b +1=4，∴11+a +41+b =14(11+a +41+b)[(a +1)+(b +1)] =14[5+b +1a +1+4(a +1)b +1] ≥14[5+2√b +1a +1⋅4(a +1)b +1]=94当且仅当{b+1a+1=4(a+1)b+1a +b =2，即{a =13b =53时取等号，所以11+a +41+b 的最小值为94． 20、已知函数f (x )=x 2+2ax +1(a ∈R )．（1）若函数f (x )在范围[−2,0]上存在零点，求a 的取值范围；（2）当x ∈[−1,1]时，求函数f (x )的最小值g (a )．答案：（1）[1,+∞) （2）g (a )={2−2a,a ≥11−a 2,−1<a <12+2a,a ≤−1分析：（1）参变分离转化为存在x ∈[−2,0]，使得−2a =x +1x 成立，求导分析p(x)=x +1x (−2≤x ≤0)的单调性和取值范围，即得解；（2）函数f (x )对称轴为x =−a ，分−a ≤−1，−1<−a <1，−a ≥1三种情况讨论，即得解（1）由题意，函数f (x )在范围[−2,0]上存在零点即存在x ∈[−2,0]，使得−2a =x +1x成立 令p(x)=x +1x (−2≤x ≤0)，则p ′(x)=1−1x 2=x 2−1x 2(−2≤x ≤0)令p ′(x)=0∴x 1=−1,x 2=1（舍） 所以当−2≤x <−1时，p ′(x)>0；当−1<x <0时，p ′(x)<0即p(x)在[−2,−1)单调递增，在(−1,0)单调递减，又p(−1)=−2∴−2a ≤−2∴a ≥1即a的取值范围是[1,+∞)（2）f(x)=x2+2ax+1=(x+a)2+1−a2，对称轴为x=−a 当−a≤−1时，即a≥1时，g(a)=f(−1)=2−2a；当−1<−a<1时，即−1<a<1时，g(a)=f(−a)=1−a2；当−a≥1时，即a≤−1时，g(a)=f(1)=2+2a；综上：g(a)={2−2a,a≥11−a2,−1<a<1 2+2a,a≤−1。

第2课时 一元二次不等式的应用课标解读课标要求核心素养1.能够准确求解分式不等式.2.借助一元二次不等式解决恒成立问题.3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.(难点)1.通过分式不等式的解法及不等式恒成立问题的学习,提升数学运算素养.2.借助一元二次不等式的实际应用问题培养数学建模素养.某小型服装厂生产一种风衣,日产量x(件)与单价P(元)之间的关系为P=160-2x,生产x 件风衣所需的成本为C=500+30x 元,按照以往的经验,平均每天支出的费用为1 300元,服装厂举步维艰,企业负责人要求员工提高产量,力求以量取胜.问题:该厂日产量为多少时,才可以保证不亏本?答案 由题意得(160-2x)x-(500+30x)≥1 300,化简得x 2-65x+900≤0,解得20≤x≤45. ∴该厂日产量在20件至45件之间时,才可以保证不亏本.1.分式不等式的解法主导思想:化分式不等式为整式不等式.ax +b cx +d>0(<0)(其中a,b,c,d 为常数)法一:{ax +b >0(<0),cx +d >0或{ax +b <0(>0)cx +d <0 法二:①(ax+b)(cx+d)>0(<0) ax +b cx +d≥0(≤0)法一:{ax +b ≥0(≤0),cx +d >0或{ax +b ≤0(≥0)cx +d <0 法二:②{(ax +b)(cx +d)≥0(≤0)cx +d ≠0ax +bcx +d>k (<k≥k ≤k)(其中k 为非零先移项,再通分转化为上述两种形式实数)思考1:k -3k +2>0与(x-3)(x+2)>0等价吗?假设等价,那么将k -3k +2>0变形为(x-3)(x+2)>0有什么好处?提示 等价.好处是将不熟悉的分式不等式转化为熟悉的一元二次不等式. 2.(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件不等式 ax 2+bx+c>0 ax 2+bx+c<0 a=0 b=0,c>0 b=0,c<0 a≠0{a >0Δ<0③{a <0Δ<0(2)不等式恒成立求参数的取值范围的方法设二次函数 y=ax 2+bx+cax 2+bx+c≤k 恒成立⇔y max ≤k ax 2+bx+c≥k 恒成立⇔④y min ≥k3.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解,认真审题,分析题目中有哪些量和未知量,找准不等关系. (2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系). (3)解不等式(或求函数的最值). (4)回扣实际问题.思考2:解一元二次不等式应用题的关键是什么?提示 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x 来表示其他未知量,根据题意,列出不等式再求解.探究一 分式不等式的解法例1 解以下不等式:(1)k +23-k ≥0;(2)2k -13-4k >1.解析 (1)原不等式等价于{(k +2)(3-k )≥0,3-k ≠0,即{(k +2)(k -3)≤0,k ≠3⇒-2≤x<3.∴原不等式的解集为{x|-2≤x<3}.(2)原不等式可化为2k -13-4k -1>0,即3k -24k -3<0,等价于(3x-2)(4x-3)<0,∴23<x<34. ∴原不等式的解集为{k |23<k <34}.思维突破(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零的不等式,再用上述方法求解.1.解以下不等式: (1)k +21-k <0;(2)k +1k -2≤2. 解析 (1)由k +21-k<0得k +2k -1>0,此不等式等价于(x+2)(x-1)>0,∴原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.(2)不等式移项得k +1k -2-2≤0,化简得-k +5k -2≤0,即k -5k -2≥0,∴{(k -2)(k -5)≥0,k -2≠0,∴x<2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}.探究二 一元二次不等式的实际应用例2 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件的售价为25元,年销售量为8万件.(1)据市场调查,价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件的售价最高为多少元?(2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高售价到x 元.公司拟投入16(x 2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入k5万元作为活动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a 至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?此时该商品每件的售价为多少元?解析 (1)设每件的售价为t 元,依题意得(8-k -251×0.2)t≥25×8,整理得t 2-65t+ 1000≤0,解得25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件的售价最高为40元.(2)依题意得,当x>25时,不等式ax≥25×8+50+16(x 2-600)+k 5有解,等价于当x>25时,a≥150k +k 6+15有解.因为150k+k6≥2√150k·k 6=10,当且仅当150k=k6,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.故当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品每件的售价为30元. 思维突破解不等式应用题的步骤2.某单位欲对一个长800 m 、宽600 m 的空地进行绿化,要求中间为矩形绿草坪,四周是等宽的花坛,如下图,假设要保证绿草坪的面积不小于空地总面积的二分之一,试确定花坛宽度的取值范围.解析 设花坛的宽度为x m,那么绿草坪的长为(800-2x)m,宽为(600-2x)m.根据题意,得(800-2x)(600-2x)≥12×800×600,整理得x 2-700x+60 000≥0,解得x≥600(舍去)或x≤100,由题意知x>0,所以0<x≤100.故当0<x≤100时,绿草坪的面积不小于空地总面积的二分之一.探究三 不等式恒成立问题例3 不等式x 2+ax+3-a≥0在-2≤x≤2上恒成立,求a 的取值范围.解析 设函数y=x 2+ax+3-a, 那么其图象的对称轴方程为x=-k2.不等式x 2+ax+3-a≥0在-2≤x≤2上恒成立,即y min ≥0在-2≤x≤2上恒成立.①假设-k2<-2,即a>4,那么当x=-2时,y 取得最小值,所以(-2)2+(-2)a+3-a=7-3a≥0,解得a≤73,与a>4矛盾,不符合题意.②假设-2≤-k 2≤2,即-4≤a≤4,那么当x=-k2时,y 取得最小值,所以3-a-k 24≥0,解得-6≤a≤2,此时-4≤a≤2.③假设-k2>2,即a<-4,那么当x=2时,y 取得最小值,所以22+2a+3-a=7+a≥0,解得a≥-7,此时-7≤a<-4.综上,a 的取值范围是-7≤a≤2. 思维突破在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外,还要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.3.(1)不等式x 2+2x+a 2-3>0的解集为R,求a 的取值范围;(2)假设不等式x 2+mx>4x+m-3对于满足1≤m≤4的所有实数m 恒成立,求实数x 的取值范围.解析 (1)∵不等式x 2+2x+a 2-3>0的解集为R,∴函数y=x 2+2x+a 2-3的图象应在x 轴上方,∴Δ=4-4(a 2-3)<0,解得a>2或a<-2.∴a 的取值范围是a>2或a<-2. (2)不等式x 2+mx>4x+m-3⇔(x-1)m+x 2-4x+3>0.设y=(x-1)m+x 2-4x+3,其中m 为自变量,x 为参数,即y 是关于m 的一次函数. (i)当x=1时,y 恒等于0,即y>0不成立, 即x 2+mx>4x+m-3不成立. (ii)当x≠1时,易得{(k -1)×1+k 2-4x +3>0,(k -1)×4+k 2-4x +3>0⇔{k 2-3x +2>0,k 2-1>0⇔{k <1或k >2,k <-1或k >1,解得x<-1或x>2.综上所述,x 的取值范围是x<-1或x>2.1.假设集合A={x|-1≤2x+1≤3},B={k |k -2k≤0},那么A∩B=( )A.{x|-1≤x<0}B.{x|0<x≤1}C.{x|0≤x≤2}D.{x|0≤x≤1}答案 B 易知A={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤2},∴A∩B={x|0<x≤1}. 2.不等式x 2+ax+4<0的解集为空集,那么a 的取值范围是( ) A.-4≤a≤4B.-4<a<4C.a≤-4或a≥4D.a<-4或a>4答案 A 依题意有Δ=a 2-16≤0,解得-4≤a≤4,应选A. 3.不等式k +1k≤3的解集为 .答案 {k |k <0或k ≥12} 解析k +1k ≤3⇔k +1k -3≤0⇔2k -1k≥0⇔x(2x-1)≥0且x≠0⇔x<0或x≥12.4.假设不等式x 2-2ax-a>0对任意x∈R 恒成立,那么a 的取值范围是 . 答案 -1<a<0解析 ∵不等式x 2-2ax-a>0对任意x∈R 恒成立, ∴Δ=(-2a)2+4a<0,解得-1<a<0.数学建模——实际应用问题的数学解读某小商品在2019年的价格为8元/件,年销量是a 件.现经销商计划在2020年将该商品的价格下调至5.5元/件到7.5元/件之间,经调查,顾客的期望价格是4元/件.经测算,该商品价格下调后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比,比例系数为k(k≠0).该商品的成本价为3元/件.(1)写出该商品价格下调后,经销商的年收益y(元)与实际价格x(元/件)的关系式;(2)设k=2a,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2020年的收益比2019年至少增长20%?素养探究:解答实际应用问题时,按照以下步骤进行:审题→建模→解模→验证(解答),务必做到思维严谨,步骤完整,过程中表达数学建模核心素养.解析 (1)由题意知,该商品价格下调后为x 元/件,那么年销量增加到(kk -4+a )件,故经销商的年收益y=(kk -4+a )(x-3)(k≠0),5.5≤x≤7.5.(2)当k=2a 时,依题意有(2kk -4+a )(x-3)≥(8-3)a×(1+20%),化简得k 2-11x +30k -4≥0,解得x≥6或4<x≤5.又5.5≤x≤7.5,故6≤x≤7.5,即当实际价格最低定为6元/件时,仍然可以保证经销商2020年的收益比2019年至少增长20%.某文具店购进一批新型台灯,假设按每盏台灯15元的价格销售,那么每天能卖出30盏.售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使该文具店每天能获得400元以上的销售收入,应怎样制订这批台灯的销售价格?解析 设每盏台灯的售价为x 元(x≥15),那么日销售收入为x[30-2(x-15)],令x[30-2(x-15)]>400,解得10<x<20.又x≥15,所以15≤x<20.所以为了使该文具店每天能获得400元以上的销售收入,这批台灯的销售价格x 应满足条件15≤x<20.1.不等式1+k 1-k≥0的解集为( )A.{x|-1<x≤1}B.{x|-1≤x<1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-1<x<1}1.答案 B 原不等式等价于{(k +1)(k -1)≤0,k -1≠0,∴-1≤x<1.2.不等式3k -12-k ≥1的解集是( )A.{k |34≤x ≤2}B.{k |34≤x <2}C.{k |k >2或k ≤34} D.{k |k ≥34}2.答案 B 不等式3k -12-k ≥1,移项得3k -12-k -1≥0, 即k -34k -2≤0,可化为{(k -34)(x -2)≤0,k -2≠0,解得34≤x<2,那么原不等式的解集为{k |34≤x <2},应选B.3.关于x 的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),那么关于x 的不等式kk -kk -2>0的解集是( )A.{x|x<-1或x>2}B.{x|-1<x<2}C.{x|1<x<2}D.{x|x>2} 3.答案 A 依题意,a>0且-kk=1. 所以kk -k k -2>0⇔(ax-b)(x-2)>0⇔(k -kk)(x-2)>0, 即(x+1)(x-2)>0⇒x>2或x<-1.4.设集合P={m|-1<m<0},Q={m∈R|mx 2+4mx-4<0对任意实数x 恒成立},那么以下关系式中成立的是( ) A.P ⫋Q B.Q ⫋P C.P=Q D.P∩Q=⌀4.答案 A 当m=0时,-4<0对任意实数x 恒成立;当m≠0时,由mx 2+4mx-4<0对任意实数x 恒成立可得{k <0,k =16k 2+16m <0,解得-1<m<0.综上所述,Q={m|-1<m≤0},∴P ⫋Q,应选A.5.假设产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x 2(0<x<240),假设每台产品的售价为25万元,那么生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( ) A.100台 B.120台C.150台D.180台5.答案 C 由条件知y-25x=(3 000+20x-0.1x 2)-25x=-0.1x 2-5x+3 000.假设生产者不亏本,那么需-0.1x 2-5x+3 000≤0,即x 2+50x-30 000≥0.∴(x+200)(x -150)≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).∴最低产量为150台. 6.不等式k +5(k -2)2>0的解集为 .6.答案 {x|x>-5且x≠2}解析 k +5(k -2)2>0⇒{k +5>0,k -2≠0⇒{k >-5,k ≠2⇒x>-5且x≠2.7.要使√2有意义,那么x 的取值范围是 .7.答案 {x|-7<x<1}解析 由7-6x-x 2>0,得x 2+6x-7<0,即(x+7)(x-1)<0,所以-7<x<1.8.现要用含盐7%的食盐水200克生产含盐5%以上、6%以下的食盐水,设需要加入含盐4%的食盐水x 克,那么x 的取值范围是 . 8.答案 {x|100<x<400} 解析 5%<k ·4%+200×7%k +200<6%,解得x 的取值范围是{x|100<x<400}.9.假设关于x 的不等式ax 2+2x+2>0在R 上恒成立,求实数a 的取值范围.9.解析 当a=0时,原不等式可化为2x+2>0,其解集不为R,故a=0不满足题意,舍去; 当a≠0时,要使原不等式的解集为R, 只需{k >0,k =22-4×2a <0,解得a>12. 综上,所求实数a 的取值范围是a>12.10.假设a>0,b>0,那么不等式-b<1k <a 的解集为( )A.{k |k <-1k 或x >1k } B.{k |-1k <k <1k }C.{k |k <-1k 或x >1k }D.{k |-1k <k <0或0<k <1k }10.答案 A 原不等式可化为{1k >-b,1k<k ,即{kk +1k>0,kk -1k>0,可得{k <-1k 或x >0,k <0或k >1k ,故不等式的解集为{k |k <-1k 或x >1k }.11.假设不等式x 2+ax+1≥0对任意0<x<12成立,那么a 的值可以为( ) A.0B.-2C.-52D.-311.答案 ABC ∵0<x<12,∴原不等式等价于a≥-(k +1k ), ∵x+1k ≥2,当且仅当x=1k ,即x=1时,等号成立. 又∵0<x<12,∴x+1k >52,∴-(k +1k )<-52,∴a≥-52. 12.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是 . 12.答案 {x|0<x<2}解析 不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即x(x-2)<0的解集,解得0<x<2,故不等式的解集为{x|0<x<2}. 13.不等式x 2+8y 2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R 恒成立,那么实数λ的取值范围是 . 13.答案 -8≤λ≤4解析 因为x 2+8y 2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R 恒成立,所以x 2+8y 2-λy(x+y)≥0对于任意的x,y∈R 恒成立,即x 2-λyx+(8-λ)y 2≥0恒成立,由二次不等式的性质可得,Δ=λ2y 2+4(λ-8)y 2=y 2(λ2+4λ-32)≤0,因为y 2≥0, 所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4. 14.解关于x 的不等式k -kk +1>0(a∈R). 14.解析 原不等式可化为k -kk +1<0,即(x+1)(x-a)<0, 当a=-1时,x∈⌀; 当a>-1时,{x|-1<x<a}; 当a<-1时,{x|a<x<-1}.综上,a=-1时,不等式的解集为⌀, a>-1时,不等式的解集为{x|-1<x<a}, a<-1时,不等式的解集为{x|a<x<-1}.15.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.假设每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),那么出厂价相应地提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式;..专心. (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,那么投入成本增加的比例x 应在什么范围内?15.解析 (1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10 000×(1+0.6x)(0<x<1), 整理得y=-6 000x 2+2 000x+20 000(0<x<1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加, 必须有{k -(12-10)×10000>0,0<k <1,即{-6000k 2+2000x >0,0<k <1,解得0<x<13, 所以投入成本增加的比例x 应在0<x<13范围内.。

2．3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式的解法[目标］1.知道一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；2。

会解一元二次不等式．［重点］解一元二次不等式．［难点] 对一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系的理解．1．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解集一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．[答一答]1．不等式ax2＋2x－3>0一定表示一个一元二次不等式吗?提示:不一定．当a≠0时表示一个一元二次不等式．当a＝0时表示一个一元一次不等式．2．一元二次不等式有哪些常见的形式？提示:任意一个一元二次不等式，总可以化为以下四种形式中的一种：(1)ax2＋bx＋c〉0(a>0）；(2)ax2＋bx＋c〈0（a〉0)；（3)ax2＋bx＋c≥0（a>0);(4）ax2＋bx＋c≤0（a>0）．知识点二二次函数的图象、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系［填一填］[答一答］3．当一个一元二次不等式的解集不是R或∅时,相应不等式的解集与一元二次方程的根有什么关系?提示:设一元二次不等式ax2＋bx＋c〉0和ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集分别为｛x｜x<x1或x〉x2}，｛x｜x1〈x〈x2}(x1<x2）,则有错误!即不等式解集的端点值是相应方程的根．4．函数y＝x2－x－6的判别式Δ>0，该图象与x轴有两个交点，其交点横坐标为－2,3，不等式x2－x－6〉0的解集是｛x｜x<－2或x〉3｝，不等式x2－x－6<0的解集是{x｜－2<x<3}．解析：相应的一元二次方程x2－x－6＝0的判别式Δ＝（－1）2＋4×6＝25>0，故函数图象与x轴有两个交点．由x2－x－6＝0，得x1＝－2，x2＝3，故交点横坐标分别为－2,3。

第2课时一元二次不等式的应用［目标] 1。

理解三个二次的关系，会解与一元二次不等式有关的恒成立问题；2.能从实际问题中建立一元二次不等式的模型，并会应用其解决实际问题．[重点] 利用一元二次不等式解决恒成立问题及实际问题．[难点] 从实际问题中建立一元二次不等式的模型．知识点一简单的分式不等式的解法［填一填]若f(x）与g(x)是关于x的多项式，则不等式错误!>0(或〈0,或≥0，或≤0）称为分式不等式．解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组）求解．（1）错误!〉0⇔f(x）g(x)〉0;（2)错误!〈0⇔f（x)g(x）<0；(3）f xg x≥0⇔错误!；（4)错误!≤0⇔错误!。

［答一答］1．不等式错误!〈0的解集为错误!.解析：原不等式可以化为（2x－1）(2x＋1)〈0，即错误!错误!<0，故原不等式的解集为错误!.2．不等式错误!≥0的解集是｛x|x>4或x≤－2}．解析:原不等式等价于错误!解得x>4或x≤－2，故不等式的解集是{x|x>4或x≤－2｝．知识点二不等式中的恒成立问题[填一填］1．不等式的解集为R的条件2。

有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法y≤a恒成立⇔y max≤ay≥a恒成立⇔y min≥a[答一答]3．不等式f(x）＝ax2＋bx＋c<0（a〉0）在{x|m≤x≤n｝上恒成立，你能写出成立的等价条件吗?提示:错误!知识点三一元二次不等式的实际应用[填一填］对于一元二次不等式的应用题，其解题关键在于如何把文字语言转换成数学语言,从而把实际问题转换成数学问题．同时注意问题答案的实际意义，还要增强解决问题的自信心,不要被问题的表面形式所迷惑．［答一答]4．解不等式应用题的解题步骤是什么？提示：(1）阅读理解、认真审题，把握问题中的关键量、找准不等关系；(2）引入数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；(3）解不等式(或求函数最值)；（4)回扣实际问题．类型一简单的分式不等式的解法［例1］解下列不等式．(1）2x－13x＋1≥0；（2)错误!〉1。