平行性测试卷(理科)(基本初等函数(I)——南平市数学组供稿)(附答案)

南平市2024届高三第三次质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足()i 2i i z z +=-，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则化简复数，再根据复数模的计算公式计算即可.【详解】由题意可知，复数z 满足i 2i(i)z z +=-，则可转化为2i (2i)(12i)43i 12i (12i)(12i)55z --+===+--+，所以||1z ==.故选：A.2.已知,a b ∈R ，那么22log log a b >是1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得.【详解】因为0,0a b >>，且2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log log 0a b a b >⇒>>，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减,所以11,,22aba b a b ⎛⎫⎛⎫⇔∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭R ,所以2211log log 33aba b a b ⎛⎫⎛⎫>⇒>>< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，0b a <<时，不能得出22log log a b >成立.故选：A .3.已知向量a ，b 满足4a = ，2b = ，,150a b =︒ ，则a 在b上的投影向量为（）A.bB.C.b-D.【答案】D 【解析】【分析】利用||cos ,||b a a b b，计算可得a 在b上的投影向量.【详解】a 在b上的投影向量为：1||cos ,4cos1502||b a a b b b =︒=.故选：D.4.对任意非零实数α，当x 充分小时，()11x x αα+≈+⋅.如：1121 2.2524⎛⎫==≈⨯+⨯= ⎪⎝⎭的近似值为（）A.1.906B.1.908C.1.917D.1.919【答案】C 【解析】化为131218⎡⎤⎛⎫⋅+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，根据新定义，直接计算取近似值即可．【详解】1312218⎛⎫==⋅⋅- ⎝⎭131112121 1.917838⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅+-≈+⨯-≈ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选：C .5.已知π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.35-B.34C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】由同角三角函数的基本关系求出2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即可得出答案.【详解】因为π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以22πsin 16π2cos 6ππsin cos 166αααα⎧⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎛⎫⎪+ ⎪⎨⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：2π1sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，22ππππcos 2cos 2πcos 212sin 3666αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦131255⎡⎤=--⨯=-⎢⎥⎣⎦.故选：A .6.关于t 的实系数二次不等式()210t b t a +-+<的解集为()2,1--，若1x y a b -=，(),x y ∈R ，则2x y-的最小值为（）A.12B.C.2D.【答案】C 【解析】【分析】由已知可得21--，是一元二次方程()210t b t a +-+=的根，进而可得24a b =⎧⎨=⎩，可得1412222y x yyy y-+==+，可求2x y -的最小值.【详解】因为关于t 的实系数二次不等式()210t b t a +-+<的解集为()2,1--，所以21--，是一元二次方程()210t b t a +-+=的根，所以21(1)2(1)b a --=--⎧⎨-⨯-=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩，所以241x y -=，所以241x y =+，所以141222,22y x yy y y -+==+≥=当且仅当0,1y x ==时取等号.所以2x y -的最小值为2.故选：C.7.在正四面体ABCD 中，P 为棱AD 的中点，过点A 的平面α与平面PBC 平行，平面α 平面ABD m =，平面α 平面ACD n =，则m ，n 所成角的余弦值为（）A.3B.13C.23D.33【答案】B 【解析】【分析】由面面平行的性质定理可得//m BP ，//n PC ，所以m ，n 所成角即为BPC ∠，在BPC △中，由余弦定理求解即可.【详解】因为平面//α平面PBC ，α 平面ABD m =，平面PBC ⋂面ABD BP =，所以//m BP ，因为平面//α平面PBC ，α 平面ACD n =，平面PBC ⋂面ACD PC =，所以//n PC ，所以m ，n 所成角即为,BP PC 所成角，而,BP PC 所成角为BPC ∠，设正四面体ABCD 的棱长为2，所以2AB AC AD BD BC =====，所以BP CP ===所以1cos 3BPC ∠==.故选：B .8.已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =-，则C 的方程为（）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y += D.22154x y +=【答案】D 【解析】【分析】由题意设椭圆C 的方程为：222211x y a a +=-，由，11F A F B ⊥ ，2223F A F B =- 可求出54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭或54,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程化简即可得求出25a =，即可得出答案.【详解】因为椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，所以设椭圆C 的方程为：222211x y a a +=-,设()00,B y ，(),A m n ，()21,0F ，则()()2201,,1,F A m n F B y =-=- ，因为2223F A F B =-，所以()0211323m n y⎧-=-⨯-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以052,33m n y ==-，所以052,33A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为11F A F B ⊥ ，所以()101082,,1,33F A y F B y ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2082033y -=，所以02y =±，所以54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭或54,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为A 在C 上，所以2225169911a a +=-，即42950250a a -+=，解得：25a =或259a =，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以25a =.故C 的方程为22154x y +=.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（）A.极差B.众数C.平均数D.第25百分位数【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】从6个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到4个新数据为：18，20，20，22，极差为：22184-=，众数为：20，平均数为：18202022204+++=，因为0.2541⨯=，所以第25百分位数为1820192+=，而原数据：16，18，20，20，22，24，极差为：24168-=，众数为：20，平均数为：161820202224206+++++=，因为0.256 1.5⨯=，所以第25百分位数为18，所以所得新数据与原数据相比不变的是：众数和平均数.故选：BC.10.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()()211740m x m y m m +++--=∈R ，则（）A.直线l 过定点()3,1B.圆C 被x轴截得的弦长为C.当2m =-时，圆C 上恰有2个点到直线l 距离等于4D.直线l 被圆C 截得的弦长最短时，l 的方程为250x y --=【答案】ACD 【解析】【分析】直线l 的方程变形为：()2740x y m x y +-++-=，令m 的系数等于零，即可判断A ；()1,2C 到x 轴的距离为2，求出圆C 被x 轴截得的弦长可判断B ；计算出当2m =-时，圆心到直线的距离即可判断C ；当PC l ⊥时，弦长最短，即可判断D.【详解】对于A ，直线l 的方程变形为：()2740x y m x y +-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，所以直线l 恒过定点()3,1P ，故A 正确；对于B ，圆C 的圆心()1,2C ，半径=5r ，()1,2C到x 轴的距离为2，所以圆C 被x 轴截得的弦长为=，故B 错误；对于C ，当2m =-时，直线l ：3100x y +-=，此时圆心()1,2C 到直线l 的距离102d ==，而542r d -=-<，所以当2m =-时，圆C 上恰有2个点到直线l 的距离等于4，故C 正确.对于D ，当PC l ⊥时，弦长最短，此时1121231l CPk k =-=-=--，因为直线l 过定点()3,1P ，所以l 的方程为：()123y x -=-，化简为：250x y --=，故D 正确.故选：ACD.11.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.()f x 满足()()213244f x f x x ---=-，()1g x -的图象关于直线1x =对称，则（）A.()()202f f -=B.()11g =C.()1y f x x =+-为奇函数D.()1001100k g k ==∑【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，将恒等式代换变形得到()()112f x f x x +--=，再代入特殊值即可验证A ；对于B ，在()()112f x f x x +--=两边求导得到()()112g x g x ++-=，再代入特殊值即可验证B ；对于C ，举出()πsin2x f x x =+，()ππ1cos 22xg x =+作为反例即可说明C 错误；对于D ，证明()()112g x g x -++=，再对求和式变形即可验证D.【详解】对于A ，由()()213244f x f x x ---=-可知222213244222x x x f f +++⎛⎫⎛⎫⋅---⋅=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()112f x f x x +--=.从而()()111121f f +--=⋅，即()()202f f -=，故A 正确；对于B ，在()()112f x f x x +--=两边同时求导，可得()()112f x f x ''++-=，即()()112g x g x ++-=.代入0x =即得()11g =，故B 正确；对于C ，考虑()πsin2x f x x =+，()ππ1cos 22x g x =+，则()()g x f x ='，且()()()()()()π21π32213221sin32sin44cos πcos π4422x x f x f x x x x x x x -----=-+---=--+=-，()()()()()ππππ11111cos 1cos 02222x x g x g x g x g x ⎛⎫-⎛⎫+----=--=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故此时()(),f x g x 满足全部条件，但()()π1π11sin 1cos22x xf x x x x ++-=++-=+并不是奇函数（因为显然不过原点），故C 错误；之前已证()()112g x g x ++-=，再由()1g x -的图象关于直线1x =对称，知()()1111g x g x +-=--，即()()g x g x =-.故()()()()()()()()11111211212g x g x g x g x g x g x g x g x -++=-++=-+--=-+--=.所以()()()()100505011143412502100k k k g k g k g k ====-+-==⨯=∑∑∑，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对恒等式的换元及变形，需要选取恰当的换元方式方可简化等式.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合(){}2,4A x y yx ==，(){},B x y y x ==，则A B ⋂的子集个数为______.【答案】4【解析】【分析】先求交集中的元素，根据元素个数可得子集个数.【详解】由24y x y x ⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或1414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以11(0,0),(,)44A B ⎧⎫⋂=⎨⎬⎩⎭，有两个元素，所以A B ⋂的子集个数为224=.故答案为：4.13.函数()()sin 0f x x ωω=>在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且在区间()0,2π上恰有两个极值点，则ω的取值范围是______.【答案】3544ω<≤【解析】【分析】利用正弦型函数的单调性可得302ω<≤，利用正弦型函数的极值点可得3544ω<≤.【详解】由()()sin 0f x x ωω=>在区间3π,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，可得ππ2π62k ω-≥-+，ππ2π32k ω≤+，k ∈Z ，即312k ω≤-，362k ω≤+，k ∈Z ，即302ω<≤，又()()sin 0f x x ωω=>在区间()0,2π上恰有两个极值点，可得3π5π2π22ω<≤，即3544ω<≤.综上，3544ω<≤.故答案为：3544ω<≤.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为8π的球O 上，则平面11BCC B 截球O 所得截面的面积为______.【答案】8π7##8π7【解析】【分析】先求出外接球的半径与球心位置；再做辅助线证明出2O F ⊥平面11B BCC ，在21EO E 中，设2,EF x O F d ==，结合图象列出关于,x d 的方程组，最后解出截面圆的半径即可.【详解】由球O 的表面积为8π，所以24π8πS R ==，可知球O ，设上下底面的中心分别为12,O O ，因为2AB =，从而可知球O 的球心与下底面ABCD 的中心2O 重合；分别取11B C 和BC 的中点1E E 、，连接112111212,,,,,C O EO E E E O EO O O ，则在直角梯形112C O O C 中得1262O O =，则在直角梯形112E O O E 中得12E E =，过点2O 作1E E 的垂线，垂足为F ，由于BC ⊥平面112E O O E ，2O F ⊂平面112E O O E ，所以2BC O F ⊥，由21OF EE ⊥，1EE BC E = ，1,EE BC ⊂平面11B BCC ，从而2O F ⊥平面11B BCC ，在21EO E 中，设2,EF x O F d ==，则172E F x =-，则221x d +=，和22222x d ⎛⎫⎛-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立解得：276,77x d ==，又因为平面11B BCC 截球所得平面图形为圆面，所以圆面的半径287r =，所以圆面面积为28ππ7r =.【点睛】方法点睛：构建方程组利用勾股定理解截面圆半径是解决立体几何的一种重要方法.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()31ln 222f x ax x x x=--+，且()f x 图象在1x =处的切线斜率为0.（1）求a 的值；（2）令()()g x f x '=，求()g x 的最小值.【答案】（1）1（2）0【解析】【分析】（1）对()f x 求导，可得()10f '=，解方程即可得出答案；（2）由（1）知函数()31ln 222f x x x x x =--+，对()f x 求导，令()211ln (0)22g x x x x =+->，对()g x 求导，判断()g x '与0的大小得出()g x 的单调性，即可求出()g x 的最小值.【小问1详解】因为()31ln 222f x ax x x x =--+，所以()()2311ln 22f x a x x -+'=+，因为()f x 图象在1x =处的切线斜率为0,所以()10f '=，即31022a -+=，所以1a =.【小问2详解】由（1）知函数()31ln 222f x x x x x=--+，()f x 的定义域为()0,∞+，()211ln 22f x x x =+-'，则()211ln (0)22g x x x x =+->，求导得()233111x g x x x x='-=-，当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在()0,1上递减，在()1,∞+上递增，()()min 10g x g ==.16.建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙三人烧制建盏的成品率依次为0.2，0.1，0.3.（1）从这10个建盏中任取1个，求取出的建盏是成品的概率；（2）每件建盏成品的收入为1000元，每件废品的收入为0元.乙烧制的这3件建盏的总收入为X 元，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）0.19（2）分布列见解析，数学期望为300元【解析】【分析】（1）设事件B 为“取得的建盏是成品”，事件1A ，2A ，3A 分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”，求得每个事件的概率，进而利用()()()()()()()112233P B P A P BA P A PB A P A P B A =++∣∣∣可求取出的建盏是成品的概率；（2）这3件中成品的件数为Y .由题可知13,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布的概率公式可求X 分布列及数学期望.【小问1详解】设事件B 为“取得的建盏是成品”，事件1A ，2A ，3A 分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”.则()151102P A ==，()230.310P A ==，()321105P A ==.又()10.2P BA =∣，()20.2PB A =∣，()30.3P B A =∣，所以()()()()()()()112233P B P A P BA P A PB A P A P B A =++∣∣∣0.50.20.30.10.20.30.19=⨯+⨯+⨯=【小问2详解】设这3件中成品的件数为Y .由题可知13,10Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.因为1000X Y =，X 的可能取值为0，1000，2000，3000所以()()03031972900C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()12131924310001C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2123192720002C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()33319130003C 10101000P X P Y ⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为X100020003000P7291000243100027100011000所以()72924327101000200030003001000100010001000E X =⨯+⨯+⨯+⨯=元.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AB BC AD CD ==<，2π3ABC ∠=.M ，N 分别为棱CD ，PD 上的动点（与端点不重合），且CM DN CD DP=.（1）求证：AD ⊥平面APC ；（2）若3AP =，设平面AMN 与平面APC 所成的角为α，求cos α的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）解法一：由AB BC AD ==，AB CD ∥，2π3ABC ∠=，推出AD AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面PAC ；解法二：同解法一：（2）解法一：设1AD =，建立空间直角坐标系A xyz -，令CM DNCD DPλ==，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z ，设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由cos n AD n ADα⋅=⋅ ，利用基本不等式求解最值;解法二：不妨设1AD =，由AC ，AD ，AP 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，求解平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由cos n AD n ADα⋅=⋅ ，利用基本不等式求解最值.【小问1详解】解法一：因为AB BC AD ==，AB CD ∥，2π3ABC ∠=，所以π6CAB ∠=，2πππ362CAD ∠=-=，即AD AC ⊥又PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥因为AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC ，所以AD ⊥平面PAC ；解法二：同解法一.【小问2详解】解法一：设1AD =，如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -.令CM DNCD DPλ==，()0,1λ∈，设()111,,M x y z ，()222,,N x y z 则有CM CD λ=，DN DPλ=即()()111,x y z λ-=，解得))1,,0M λλ-同理可得()0,1N λ-设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =，由)()10,10,n AM x y n AN y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 令1x =，则)1y λλ-=，()221z λλ-=.得平面AMN的一个法向量为)()22111,,n λλλλ⎛⎫-- = ⎪⎝⎭又由（1）可知()0,1,0AD =是平面APC 的一个法向量，则有cos n ADn ADα⋅==⋅5==当且仅当211λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭，即12λ=时取“=”又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cosα的最大值15cos5α=解法二：不妨设1AD=，由AC，AD，AP两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-，则根据题意可得：())1,1,0AM AC ADλλλ=+-=-()()10,,AN AD APλλλ=+-=，()0,1λ∈，设平面AMN的一个法向量为(),,n x y z=，())1010n AM x yn AN y zλλλ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩取1x=，1yλ=-，()221zλλ=-于是()2231,,11nλλλ⎛⎫⎪=⎪--⎝⎭，cos5α=当且仅当211λλ-⎛⎫=⎪⎝⎭，即12λ=时取“=”又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos α的最大值15cos 5α=.18.已知()11,0A -，()21,0A ，直线1A P ，2A P 相交于点P ，且它们的斜率之积是4，记点P 的轨迹为曲线C（1）求C 的方程；（2）不过1A ，2A 的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线1MA 与2NA 交于点S ，点S 在直线12x =上，证明：直线l 过定点.【答案】（1）()22114y x x -=≠±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由斜率公式结合题意即可列式，化简即可得解.（2）设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，将其与椭圆方程联立，从而122841mny y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，思路一：由斜率公式、（1）中结论以及点S 在直线12x =上，可得1143A N A Mk k =-，从而结合韦达定理可得n 为定值2，由此即可得证；思路二：联立直线1MA 与直线2NA 的方程，可得()()12121111y yx x x x +=-+-，在里面代入12x =，结合韦达定理即可得出n 为定值，由此即可得证.【小问1详解】设(),P x y ，则()111PA y k x x =≠-+，()211PA y k x x =≠-，由已知，有()4111y yx x x ⋅=≠±+-，故C 的方程为()22114y x x -=≠±.【小问2详解】解法一：设()11,M x y ，()22,N x y ，若直线l 的斜率为0，则直线1MA 与2NA 的交点在y 轴上，与已知矛盾，故设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，由2244x my n x y =+⎧⎨-=⎩，得()222418440m y mny n -++-=，()22Δ16410m n =+->，则122841mn y y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，由点S 在直线12x =上，设1,2S t ⎛⎫⎪⎝⎭，则121312A M t k t ==+，22112N A tk t==--，所以213A M NA k k =-，又124A N A N k k ⋅=，则()1134A N A M k k ⋅-=，即1143A N A M k k =-，21214113y y x x ⋅=-++，()()12213411y y my n my n -=++++，()()()()221212434410my y mn m y y n ++++++=，()()()222224484344104141n mn m mn m n m m --+++++=--，220n n --=，所以1n =-（舍去），或2n =，所以l 的方程为2x my =+，过定点()2,0解法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，若直线l 的斜率为0，则直线1MA 与2NA 的交点在y 轴上，与已知矛盾，故设直线l 的方程为：()1x my n n =+≠±，由2244x my n x y =+⎧⎨-=⎩得，()222418440m y mny n -++-=，()22Δ16410m n =+->，则122841mn y y m -+=-，21224441n y y m -⋅=-，所以()()2121212n y y mny y-+=-⋅，即()()2121212n y y my y n-+=-，又直线1MA 的方程为()1111y y x x =++，直线2NA 的方程为()2211y y x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程，可得()()12121111y y x x x x +=-+-，又点S 在直线12x =上，故()()2112131y x y x +=--，所以()()()()()()21211121212121111111y x y my n my y n y y x y my n my y n y +++++==-+-+-()()()()()()()()()()21212222121211111122111122n y y n y y n y y n nnn y y n n y y y n y nn-+-+-++-+==⋅++--+--+-()()()()2121111131111n y n y n n n n y n y n +--++=⋅==---++--，故2n =，直线l 的方程为2x my =+，过定点()2,0.19.若数列{}n c 共有()*,3m m m ∈≥N 项，对任意()*,i i i m ∈≤N 都有1i m i c c S +-=（S 为常数，且0S >），则称数列{}n c 是S 关于m 的一个积对称数列.已知数列{}n a 是S 关于m 的一个积对称数列.（1）若3m =，11a =，22a =，求3a 的值；（2）已知数列{}n b 是公差为()0d d ≠的等差数列，111b =-，若10m =，2n n nb a b +=，求d 和S 的值；（3）若数列{}n a 是各项均为正整数的单调递增数列，求证：12112153m m m m a a a a Sa a a a --++⋅⋅⋅++<.【答案】（1）4（2）1,2S d ==（3）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得22S a a =，从而求出3a ；（2）依题意11i ia a S -=，即可得到21311i ii ib b S b b +--⨯=，再结合等差数列通项公式得到()2222222222111111121311109d i d i d b b d S d i d i d b b d -++++=-+-++，再根据对应系数相等得到方程组，解得即可；（3）依题意可得()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，再利用裂项相消法计算可得.【小问1详解】依题意224S a a ==，又13a a S =，所以314Sa a ==.【小问2详解】法一：由10m =知对任意i ()*,10i i ∈≤N 都有11i i a a S -=，即()()()()112131*********i i i i b i d b i db b S b b b i d b i d+--+++-⨯=⨯=+-+-，所以()()222112221112111310119b i i d b d S bi i db d++-+=+-+-+，所以()2222222222111111121311109d i d i d b b d S d i d i d b b d -++++=-+-++，所以()22222222111111111213109d d S d d S d b b d S d b b d ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=-++⎪⎩，因为0d ≠，111b =-，所以2112240S d b d =⎧⎨+=⎩，即12S d =⎧⎨=⎩.法二：当1,2i =时由11029S a a a a ==得31241111029b b b b S b b b b =⨯=⨯，所以1111111121131098b d b d b d b d b b d b d b d++++⨯=⨯+++，即()()()()22222221111111110161211122710b b d db b d d b b d d b b d ++⨯++=++⨯+，令21110p b b d =+，22111211q b b d d =++，则()()221616p d q q d p +=+，因为0d ≠，111b =-，所以p q =，2221111101211b b d b b d d +=++，即2d =，1S =，当110i ≤≤时都有()()()()2131111112111212112111210i i i i i i i i b b a a b b i i +----++-+-=⨯=⨯-+--+-92132113292i i S i i-+-=⨯==-+-，所以2d =，1S =成立.【小问3详解】由已知1m a a S =，21m a a S -=，…，1i m i a a S +-=，所以()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，所以112222*********m m m a a a S a a a m -⎛⎫++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭1111111111114224354611S m m ⎡⎤⎛⎫<++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦1111111111115142231142233S S S m m ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫<+++--<+++= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即12112153m m m m a a a a S a a a a --++⋅⋅⋅++<.【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，关键是理解定义，第三问关键是利用放缩法得到()1222111,31211m i i i a S S S S i m m a a i i i i -+⎛⎫=≤<=-<≤≥ ⎪--+⎝⎭，再由裂项相消法求和.。

第二章《基本初等函数Ⅰ》测试卷考试时间：120分钟 满分：150分一.选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.给出下列说法：①0的有理次幂等于0；②01()a a R =∈；③若0,x a R >∈，则0a x >；④11221()33-=.其中正确的是（ ）A.①③④B.③④C.②③④D. ③ 2.552log 10log 0.25+的值为（ ）A.0B.1C.2D.4 3.函数2()3x f x =的值域为（ ）[A.[)0,+∞B.(],0-∞C.[)1,+∞D.(),-∞+∞4.幂函数2()(1),(0,)m f x m m x x =--∈+∞当时为减函数，则m 的值为（ ） A.1 B.1- C.12-或 D.25.若函数2013()2012(0,1)x f x a a a -=->≠且，则()f x 的反函数图象恒过定点（ ） A.(2013,2011)B.(2011,2013)C.(2011,2012)D.(2012,2013)6.函数22()log (1)()f x x x x R =++∈的奇偶性为（ ） A.奇函数而非偶函数 B.偶函数而非奇函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数-7. 若函数()log (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的2倍，则a 的值为（ ）A. 24B. 22C. 14D. 128.如果60.7a =，0.76b =，0.7log 6c =，则（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.b c a <<9.函数2()log (1)2f x x =++的单调递增区间为（ ） A.()1,-+∞ B.[)0,+∞ C.[]1,2 D.(]0,110.当1a >时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log xa y =的图象是下图中的（ ）}11.对于0,1a a >≠,下列说法中，正确的是（ ）①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a a M N =?A.①②③④B.①③C.②④D.②12.已知R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2(0,1)x x f x g x a a a a -+=-+>≠且，若(2),(2)g a f =则的值为（ ）A.2B.154 C.174D.2a 二.填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设12322()((2))log (1)2x e x f x f f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，,则的值为， . 14.函数215()log (1)f x x =+的单调递减区间为 .15.已知23234(0),log 9a a a =>则的值为 .16.关于函数()2x f x -=，对任意的1212,,x x R x x ∈≠且，有下列四个结论：&()(0)0()0,F x F x F x ∴=⎧⎪=⎨又是a0∴<①当max 1241()()/xf t -⎡∴∈⎢⎣=5.0lg1.5L =+(0)1(2)f ∴=对任意的。

福建省南平市2019年普通高中毕业班质量检查数学（理）试题本试卷分第1卷（选择题）和第n卷（非选择题），第n卷第21题为选考题，其他题为必考题•本试卷共6页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3 .选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0. 5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4 .做选考题时，考生按照题目要求作答，并用213铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样JEp心…* *•的标准耋韋体瞬必或a £[侶一可h E -别十・f （斗f J）2 ]其申丘为样本乎均It柱怵体积金式球的晨面税.律职公或"Sh其中用为张首首駅，*为高其申盘为尿的旱径第I卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 兀1 .函数f（x） =tanx 在区间（0,）内的零点个数是x 2A . 0 B. 1 C. 2 D . 32 2 22 .在△ ABC中，若角A、B、C的对边分别是a、b、c,则“ a+b =b+ac”，是“ A、B、C依次成等差数列”的A .既不充分也不必要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .充要条件1 a+ a3.已知等比数列｛a n｝中，各项都是正数，且a1, a3,2a2成等差数列，则—―9等于2 a6 + a?v rA. 1 + J2B. 1-V5 U 3 + 2^ 3-272的壘久某中隶毁学flUfliJlT **自主招生选拔IT ・从參加考 试的学生中抽出闖名学生・辎其城站分成六粗 他，50)* [瑚60). +• [90.】00卜其部分頻那分 布直方圈如图朋示*观疇斟刑，从成敘崔[40.刚和 [90- IGOjm 学生中鬭机选两人”则他们在同一分数 段的極率是A. iB- i24 c. Ad10 96.皓出却个It L It4・7t l|f 46.碁規挣是’第一牛数是k 集二6故比錦一牛数真1, i站三个豪比鼻二牛■大直—・以此卖推.要N-ffiS 10^»的和・现已酷出了谏问魁的程序 框图如右图所示，那么權图屮捌斷程①处和执 打挺②赴应分别填入A. K107 > p * p + f —IB. i^9? + p - p + i C ・ /<10T ・ P~P + i D* f 11T ・ p^t p + i2 a 67.设a (cosx-sin x)dx,则二项式(x )展开式中的x 项的系数为xA .一 20B . 20C .一 160D . 1608. PMH G (JC -IF+O-u 1 上的i 个动査.越J5, l)t ^OP OA 的Jft 小值为 b 2>/3-2 B” 2-2方C. 2^2-2 D t 2-2^29设直HU 与曲枚y«=P+2育三吓不同的交点£ B 、G A\AB\^ j?CkV2.则貫域f 的 斜事为A. !B. V3G 2D. 310.集舍M = {(t y)|x» >eZ F ln2 + h )(4-xX4 + ^)^2liitH-x4-6)},則報合M 的 沅*牛敷为4.巳知苗敷+8弄0), =.划下列命理为亮命题A . 13B . 12C . 11D . 10氐 WeR ・ /(x) > g(x)C.斗eR*便轉/dr (斗)0-比兔禮得/K)第H 卷(非选择题共100分)、填空题：本大题共 5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置. 11 •已知f(x)二x 1,i 是虚数单位，复数f(1 ai)为纯虚数，1 -i则实数a 的值为 ____________ •12 •已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图 如右图所示，若图中圆的半径为1,等腰三角形的腰长为,则该几何体的体积是 _____________ •213. 已知函数f(x) - -x ■ mx -n,m,n 是区间［0, 4］内任意 两个实数，则事件“ f(1)<0 ”发生的概率为 ____________ . 14. 倾斜角为锐角的直线l ，与抛物线y 2 =2x 相交于A 、B 两点,△OAB 的面积为2罷，则直线l 的方程为 _____________________ .. 11 |cosx| |sinx| 15. ---------------------------- 函数 f （X ）= -------- + ----------- + ________________ +的最小值为| si nx| |cosx| |sinx| | cosx|三、解答题：本大题共 6小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. (本题满分13分)为减少“舌尖上的浪费”，某学校对在该校食堂用餐的学生能否做到“光盘”，进行随机调查, 从中随机抽取男、女生各 15名进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性r 合计做不到1210合计30C I )请将上面的列联表补充完療，并据此费料分折：有爹大的把握可以认为■在学校會 堂用辔的学生施杏做到'光ar 与性别有关” ?(II )若从这出窖女学生中曲机抽取2人詹加菜…项活动’记其中做不到的人 数为求％的分布列和數学期望.. _________ 賊站_如£ _____________+ AXc++ d)0.050+025 0.0103.8415.024]6.«57.879,OA_ OB ,且O 为坐标原点，若17. (本小题满分13分)已知函数 f(x) =；；3sin(x —^) cos(x -—). (I) 当x € A 时，函数f(x)取得最大值或最小值，求集合 A ;(n )将集合A 中x € (0, +：：)的所有x 的值，从小到大排成一数列，记为｛a n ｝，求数列｛ a n ｝的通项公式；_ 2(川)令 b n，求数列｛b n ｝的前n 项和T na n 3n -118. (本小题满分13分)如09.祖正方^ABCD-AiBiCiD^. XJ=2( O 为底血正方» 的申心.£, F分别为祐启“斷G 的中点，点M 为EF 上一点.且満足 £A?= J £F T P 为正方体上的直.(])求旧平丄平而朋心4(II)若OP 与DM 枸交，试判斷O 刖与DP 的便覽黄羸I(01) (113的絆下.若平面CDP 峥平面DPO 所成盅二面甫的大小为化求8S 仇19. （本小题满分13分）2 2x y已知椭圆 T : —22=1（a b 0）.a b(I) 若椭圆T 的离心率为 —5，过焦点且垂直于 z 轴的直线被椭圆截得弦长为-.33(i) 求椭圆方程；(ii) 过点P(2, 1)的两条直线分别与椭圆 F 交于点A , C 和B , D ，若AB // CD ，求直线AB 的斜率；(II) 设P(X 0, y °)为椭圆T 内一定点(不在坐标轴上)，过点P 的两条直线分别与椭圆厂交于点 A ,C 和B ,D ，且彻// CD ，类比(I)(ii)直接写出直线彻的斜率.(不必证明)令 E5i（第 1M ）20. (本题满分14分)设-2x + l +wrlnx^ (meR)+(I >当瞅攣过点現0・7｝且^^y = g(x^(x^Y^的切蟻方風(U)求嗨散尸壬琴0)的单调増区恻I(皿〉若歯載ywg(jr)有两牛极值点m b t且a<b.记[刘我禾不大于JC的量大箍It 试比较sin怦%与cos([g何血⑹】)的大机@0)]21. 本题有(1)、(2)、(3)三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分. 作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4--2 :矩阵与变换在矩阵關的变撫下得到向餐・若向童b)(I)求矩阵胚+ y + l = 0在蹩阵川肱的舄应变揍件用下得到的曲找方整(2)(本小题满分7分)选修4--4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系•已知曲线P・------- :—-X =2C0S& +的参数方程为(v参数)，直线三的极坐标方程为y = s inT(i)写出曲线C的普通方程与直线三的直角坐标方程。

南平市2023-2024学年初中毕业班教学质量第一次抽测数学试题（考试时间：120分钟；满分：150分；考试形式：闭卷）友情提示：①所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在试卷上一律无效；②试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂）1．下面几何图形中，一定是中心对称图形的是A ．三角形B ．四边形C ．正五边形D ．圆2．下列事件是必然事件的是A ．抛掷一枚硬币四次，有两次正面朝上B ．打开电视频道，正在播放新闻C ．射击运动员射击一次，命中十环D ．明天太阳从东边升起3．下列各点中，在函数xy 2=图象上的是A ．），－（12B ．2（，0）C ．21（，）D ．22（，）4．如图，ADE △是由ABC △绕点A 顺时针旋转锐角α得到，下列各角中，是旋转角的是A ．BAD ∠B ．BAE ∠C ．DAE∠D ．CAD∠5．如图，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点C ，OC ＝3，则弦AB 的长为A ．8B ．6C ．5D ．4ED CBA第4题图6．水平地面上一个小球被推开后向前滑行，滑行的距离s 与时间t 的函数关系如图所示（图为抛物线的一部分，其中P 是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是A ．小球滑行6秒停止B ．小球滑行12秒停止C ．小球向前滑行的速度不变D ．小球向前滑行的速度越来越大7．关于x 的一元二次方程22310x x a ++-=有一个根是0，则a 的值为A ．0B ．1或－1C ．－1D ．18．某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm 的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A 绕点O 逆时针旋转︒108，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了A ．6πcm B ．9πcm C ．12πcmD ．15πcm9．如图，线段AB 上的点C 满足关系式：2AC BC AB = ，且AB ＝2，则AC 的长为A ．15-或53-B ．215-C ．15-D ．53-P6Os (米)t (秒)第6题图OA第8题图C BA第9题图10．已知抛物线c bx ax y ++=2上某些点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…﹣3p1pm…有以下几个结论：①抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点坐标是03（，-）；②抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为直线2-=x ；③关于x 的方程02=++c bx ax 的根为3-和1-；④当0<y 时，x 的取值范围是13-<<-x ．其中正确的个数有A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡．．．的相应位置）11．抛物线2y x =的顶点坐标是．12．点()4A m ，关于原点的对称点是()42B --，，则m 的值是．三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡．．．的相应位置作答）17．（本小题满分8分）解方程：2210x x +-=.18．（本小题满分8分）在平面直角坐标系中，ABC △的三个顶点坐标分别为A （1，1），B（4，4），C （5，1），111A B C △是由ABC △绕点O 顺时针旋转︒180得到的（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）画出111A B C △；（2）直接写出点1B ，1C 的坐标．19．（本小题满分8分）在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字1，3，4，5的小球．它们的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x ，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y ．（1）列出表示点(x ，y)的所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点(x ，y )落在一次函数5y x =的图象上的概率．MFDE CB A第16题图20.（本小题满分8分）反比例函数ky x=图象经过点()1A ，6，()3B a ，.（1）求a 的值；（2）若点()C m n ，在反比例函数ky x=图象上，其中3n <，求m 的取值范围.21.（本小题满分8分）某商家将每件进价为15元的纪念品，按每件19元出售，每日可售出28件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件．（1）当每件纪念品涨价多少元时，单日的利润为154元？（2）商家为了单日获得的利润最大，每件纪念品应涨价多少元？最大利润是多少元？22.（本小题满分10分）已知关于x 的一元二次方程()2330x k x k -++=．（1）求证：无论k 为何值，此方程总有实数根；（2）若直角三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两根，求k的值．23.（本小题满分10分）如图，直线AB 与⊙O 相切于点B ，AO 交⊙O 于点C ，AO 的延长线交⊙O 于点D ，︒=∠30A ，点E 在 BCD上，且不与B ，D 重合．（1）求BED ∠的大小；（2）若 BEDE =，EO 的延长线交直线AB 于点F ，求证：DF 与⊙O 相切．CEDFB AO第23题图24．（本小题满分12分）已知点(0,1-)在二次函数()n m x y +-=21的图象上.（1）求n 关于m 的函数关系式；（2）求n m +的最大值；（3）设直线t y =（t 为常数且n t >）与抛物线()n m x y +-=21交于点A ，B ，与抛物线()224y x h n =-+（h 为常数）交于点C ，D .求证：2AB CD =.25．（本小题满分14分）如图1，点D 是ABC △的边AB 上一点．AC AD ＝，CAB α∠=，⊙O 是BCD △的外接圆，点E 在 DBC 上（不与点C ，点D 重合），且90CED α∠︒-＝．（1）求证：ABC △是直角三角形；（2）如图2，若CE 是⊙O 的直径，且2=CE ，折线ADF 是由折线ACE绕点A 顺时针旋转α得到．①当30α=︒时，求CDE △的面积；②求证：点C ，D ，F 三点共线．图1南平市2023-2024学年初中毕业班教学质量第一次抽测数学试题参考答案及评分说明说明：（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分．（2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．（3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分．（4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．D ；2．D ；3．C ；4．A ；5．A ；6．A ；7．B ；8．B ；9．C ；10．C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（0,0）；12．2；13．43π；14．4π；15．6；16．10．第16题解答提示：解法1，取AD 中点N ，可证MN ∥AE ，当F ，E 重合时，BM 取最大值.解法2，以点B 为原点建立平面直角坐标系，可表示出点F ,点M 坐标.三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）解：a=1，b =2，c =－1·····················································································1分08)1(142422>=-⨯⨯-=-=∆ac b ·······························································2分方程有两个不相等的实数根a acb b x 242-±-=·······················································································3分（说明：判别式不写不扣分，公式或代值正确得3分）282±-=···································································································6分21±-=····································································································8分即11x =-+21x =--(说明：本题只提供一种解法，其它解法酌情给分）18．（8分）解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；···············································································4分（说明：画出正确图形3分，标出字母并说明1分）（2）点1B ，1C 的坐标分别是1B （－4，－4）·····················································································6分1C （－5，－1）·····················································································8分19．（8分）解：(1)列表如下：y x13451(1，1)(1，3)(1，4)(1，5)3(3，1)(3，3)(3，4)(3，5)4(4，1)(4，3)(4，4)(4，5)5(5，1)(5，3)(5，4)(5，5)(本题只提供一种解法，其它解法酌情给分）·······················································5分(2)共有16种情况，满足y =5x 只有一种情况，所以点(x ，y )落在一次函数y =5x 的图象上的概率是116······························································································································8分20.（8分）解：(1)因为反比例函数ky x=图象经过点A （1，6），B （a ，3）·····························1分所以166k =⨯＝····················································································2分所以3a =6······························································································3分所以a =2·······························································································4分(2)因为点C （m ，n ）是反比例函数6y x=图象上一点，且3n <当y =3时，x =2.······················································································5分因为k =6>0，在每一个象限内y 随x 的增大而减小.········································6分所以当3n <时，有m >2或m <0.································································8分（说明：写出一个答案给1分）21.（8分）解：（1）设当涨价x 元时，单日利润为154元.····························································1分()()4282154x x +-=···············································································2分解得：13x =，27x =·················································································4分答：当涨价3元或7元时，单日利润为154元.（2）设当涨价a 元时，单日利润为W 元W =()()4282a a +-···················································································5分()225162W a =--+因为20-<，抛物线开口向下·······································································6分所以当a =5时，W 最大=162·············································································8分答:当涨价5元时获得最大利润，为162元.22.（10分）（1）证明：1=a ，()3+-=k b ，k c 3=··························································1分24b ac ∆=-····················································································2分[]2(3)413k k =-+-⨯⨯269k k =-+()23k =-≥0··················································································4分所以无论k 为何值，此方程总有实数根···················································5分（2）解方程()0232=++-k x k x 由（1）得()230k ∆=-≥·······································································6分所以()()123323⨯-±+∆±-=k k a b x ＝解得31=x ，k x =2···············································································7分因为直角三角形的另两边长恰好是这个方程的两根，所以这个直角三角形的三边长分别是3、3、k所以该三角形斜边只能为k·······························································································8分（说明：只要做出判断即可得分）所以22233k＝+解得k ±＝···················································································9分因为0k >，所以k ＝········································································10分答：k 的值是2323.（10分）（1）连接OB ·······································································································1分∵AB 切⊙O 于点B∴OB ⊥AB····································································································································2分∴∠OBA =90°,在Rt △OAB 中，∠A =30°∴∠AOB =90°-∠A =60°···················································································3分∴∠BOD =180°-∠AOB =120°··········································································4分∵ =BDBD ∴∠BED =12∠BOD =60°·················································································5分（2）在⊙O 中，OB =OD∵ =BEDE ∴∠EOB =∠EOD···············································································6分∵∠EOB +∠BOF =∠EOD+∠DOF =180°∴∠BOF =∠DOF···············································································7分∵OF=OF∴△OBF ≌△ODF (SAS)················································8分∴∠ODF =∠OBF,∠OBF ==180°-∠OBA =90°∴∠ODF =90°∴OD ⊥DF··························································································9分∵点D 在⊙O 上∴DF 与⊙O 相切····························································10分24.（12分）（1）解：因为点(0,1-)在二次函数()n m x y +-=21的图象上所以()n m +-=-201··············································································2分12--=m n 所以····················································································4分（2）解：12--=m n 因为2213124m n m m m ⎛⎫+=-+-=--- ⎪⎝⎭所以················································6分432101-+=<-的最大值等于时，，所以当因为n m m ····························8分（3）证明：因为直线t y =与抛物线()n m x y +-=21交于点A ，B ，与抛物线()224y x h n =-+交于点C ，D 故设()t x A ,1、()t x B ,2、()t x C ,3、()t x D ,4······································9分把y =t 代入1y 得：()tn m x =+-20222=-++-t n m mx x 整理得：0122=---t mx x ()()2122122124x x x x x x AB -+=-=＝n t t m 444442-=++，····································································10分把y =t 代入2y 得：()24x h n t -+=224840x hx h n t -++-=()()4324324324x x x x x x CD -+=-=＝224444h n t h t n +--⨯=-································································11分所以2AB CD ==，即2AB CD =·····················································12分25．（14分）（1）证明：在⊙O 中∵ =CDCD ∴∠E =∠B···································································································································1分∵∠E =90°-∠A∴∠B =90°-∠A··························································································································2分即∠A +∠B =90°∴∠ACB =180°-（∠A +∠B ）=90°·····································································3分∴△ABC 是直角三角形··················································································4分（2）解：①∵CE 是⊙O 直径∴∠CDE =90°·······························································································5分∴∠CED =90°-∠DCE∵∠CED =90°-α∴∠DCE =α=30°···························································································6分在Rt △CDE 中，CE =2DE =12CE =1CD 7分∴1==22CDE S DE CD ·················································································8分②∵AC =AD∴∠ACD =∠ADC························································································································9分在△ACD 中α+∠ACD +∠ADC =180°··················································································10分由①得∠DCE =α∴∠ACE =∠ACD +∠DCE =∠ACD +α·································································11分。

南平市2022—2023学年第一学期高一期末质量检测数学试题（答案在最后）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、班级和座号．考生要认真核对答题卡上粘贴条形码的“准考证号、姓名”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试题卷上无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{}27120,{2,3,5}M x x x N =-+==∣，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{1,3,4}B ．{2,3,5}C ．{2,6}D ．{1,6}2．若幂函数a y x =图象过点，则log 2a =（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．“01x <<”是“0sin 1x <<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．为了得到函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移4π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移8π个单位长度 D ．向右平移8π个单位长度 5．函数2()log 5f x x x =-+的零点所在的区间是（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)6．函数()22sin x x y x -=-在区间[,]ππ-上的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7．若等腰三角形顶角的余弦值等于35，则这个三角形底角的正弦值为（ ）A B C D8．若4lg 3,log 3,2a b c ===，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b a c <<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的是（ ）A ．若a b >，则22a b >B ．若,a b c d >>，则a c b d +>+C ．若0a b c >>>，则c c a b> D ．若1a >，则131a a +≥- 10．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．3πϕ= B ．1124f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 关于,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称D ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 11．若定义在R 上的奇函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且当(0,1]x ∈时，()f x x =，则（ ）A ．(1)y f x =+为偶函数B ．()f x 在(3,5)上单调递增C ．()f x 在(3,1)--上单调递增D ．()f x 的最小正周期4T =12．己知函数()(sin cos )(sin |cos |)f x x x x x =+-，说法正确的是（ ）A ．()f x 在区间32,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递暗 B ．方程3()02f x -=在[2,2]x ππ∈-的解为12,,,n x x x ，且12n x x x π+++=C ．()f x 的对称轴是()4x k k ππ=+∈ZD ．若()()123f x f x -=，则122()x x k k π-=∈Z三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算：0.5334log 12log 49⎛⎫+-= ⎪⎝⎭____________． 14．若α是第二象限角，1sin 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos α=___________． 15．中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C 取决于信道带宽W ，经科学研究表明：C 与W 满足2log (1)C W T =+，其中T 为信噪比．若不改变带宽W ，而将信噪比T 从499提升到1999，则C 大约增加___________%．（结果保留一位小数）参考数据：lg 20.3010≈．16．某市以市民需求为导向，对某公园进行升级改造，以提升市民的游园体验．己知公园的形状为如图所示的扇形AOB 区域，其半径为2千米，圆心角为120︒，道路的一个顶点C 在弧AB 上．现在规划三条商业街道,,DE CD CE ，要求街道DC 与OA 平行，交OB 于点D ，街道CE 与OA 垂直（垂足E 在OA 上），则街道DE 长度最大值为_____________千米．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，求下列各式的值．（1）cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）sin cos()2sin()cos()παπααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭-+-． 18．（12分）己知集合{}220,2303x A xB x x x x -⎧⎫=>=--<⎨⎬+⎩⎭． （1）求集合,,A B A B ；（2）若集合{1}C x a x a =<<+，且()C AB ⊆，求实数a 的取值范围． 19．（12分）已知函数2()cos 2cos 22sin 33f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值和最小值，并求出取得最值时x 的值． 20．（12分）某企业拟购买一批智能机器人生产A 型电子元件，以提高生产效率，降低生产成本．已知购买x 合机器人的总成本21C()60240x x x =++（万元）． （1）要使所购买的机器人的平均成本最低，应购买多少台机器人？（2）现将按（1）所求得的数量购买的机器人全部投入生产，并安排m 名工人操作这些机器人（每名工人可以同时操作多台机器人）．己知每名工人操作水平无差异，但每台机器人每日生产A 型电子元件的个数Q 与操作工人人数有关，且满足关系式：2(40),120()5160,20m m m Q m m ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩．问在引进机器人后，需要操作工人的人数m 为何值时，机器人日平均生产量达最大值，并求这个最大值．21．（12分）函数2()21x x m f x +=+定义在R 上的奇函数． （1）求m 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用定义证明；（3）解关于x 的不等式()2()0f x x f a ax -+-<．22．（12分）已知函数()()log 1(01)x a f x a a a =+>≠且．（1）若函数()()h x f x x a =--有零点，求a 的取值范围；（2）设函数()(01)xg x a a a =>≠且，在（1）的条件下，若12[0,),x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()()1122220g x mg x f x x +-+>，求实数m 的取值范围．南平市2022—2023学年第一学期高一数学期末质量检测命题意图1．答案：D【考查意图】考查集合基本关系、基本运算、一元二次不等式等基础知识；考查学生的运算求解能力；数形结合思想；数学运算核心素养．2．答案：C【考查意图】考查幂函数概念、对数运算等基础知识；考查学生的运算求解能力；考查函数与方程思想；考查数学运算核心素养．3．答案：A【考查意图】考查三角函数定义、性质，常用逻辑用语等基本知识，考查数学运算、逻辑推理核心素养．4．答案：D【考查意图】考查三角函数定义、性质，三角函数图象等基本知识，考查数学运算、逻辑推理核心素养．5．答案：C【考查意图】考查函数零点存在定理、对数运算等基本知识：考查数形结合思想；考查数学运算、逻辑推理核心素养．6．答案：A【考查意图】本题以函数图像为载体，考查函数的基本性质及函数求值；考查运算求解能力；考查化归转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想；考查数学运算、逻辑推理核心素养．7．答案：B【考查意图】考查三角函数定义、性质，三角形等基本知识；考查数形结合思想、化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理核心素养．8．答案：B【详解】334244441 1.53lg 3log 4log 2log log 2224a cb =<=<=<====<=，所以ac b <<．故选：B【考查意图】考查对数、指数相关不等式、函数性质等基础知识；考查学生的运算求解能力、化归与转化思想；数学运算、逻辑推理核心素养．9．答案：BD【考查意图】本题考查不等式性质、函数最值求解及基本不等式应用等基础知识；考查运算求解能力；考查化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理核心素养．10．答案：BC【解析】因为在同一周期内，函数在512x π=时取得最大值，1112x π=时取得最小值， 所以函数的最小正周期T 满足115212122T πππ=-=，由此可得T π=，解得2ω=； 得函数表达式为()2sin(2)f x x ϕ=+，又因为当512x π=时取得最大值2，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，可得52()62k k Z ππϕπ+=+∈，因为22ππϕ-<<，所以取0k =，得3πϕ=-， 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故A 错误； 11111152sin 22sin 2sin 242431234f ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦B 正确； 令k 2,x ,326x k k ππππ-==+∈Z ，所以函数()f x 关于,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故C 正确； 对D 选项，令22,2,322x k k k πππππ⎛⎫-∈-+∈ ⎪⎝⎭Z ，解得5,,1212x k k k ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭Z ，令1k =，则其中一个单调增区间为1117,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭．故D 错误． 【考查意图】通过三角函数图象，考查三角函数图象、单调性、对称性等基础性质；考查学生函数与方程的思想、数形结合思想；考查学生的逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养．11．答案：ABD【详解】由()(2)f x f x =-得函数()f x 的图象关于1x =对称，函数(1)f x +的图象是由函数()f x 的图象向左平移一个单位长度得到的，所以函数(1)f x +的图像关于y 轴对称，所以函数(1)f x +是偶函数，故A 正确；由()(2)f x f x =-得()(2)()f x f x f x -=+=-，所以(4)(),()f x f x f x +=的最小正周期为4，故D 正确；当(0,1]x ∈时，()f x x =，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以当[1,0]x ∈-时，()f x x =，所以()f x 在(1,1)-上单调递增，在(1,3)上单调递减，因为()f x 的最小正周期4T =，所以()f x 在(3,5)）上单调递增，在(3,1)--上单调递减，故B 正确，C 错误．【考查意图】本题考查一次函数、复合函数；函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等基础知识；考查数形结合、化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理、直观想象核心素养．12．答案：ABD【解析】222sin cos cos 22222()3(sin cos )1sin 22222x x x k x k f x x x x k x k ππππππππ⎧⎛⎫-=--≤≤+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+=++<≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩如图：故A 正确C 错误 因为3()02f x -=，所以32y =与()y f x =的交点即为所求，如图知有四个交点，且1234123433552,2,4242x x x x x x x x πππππ⎛⎫+=-=-+=⋅=+++= ⎪⎝⎭，故B 正确． 由图象可知()()123f x f x -=，所以()()122,1f x f x ==-，故D 错误．【考查意图】通过含绝对值的函数，考查分段函数；考查三角函数图象、单调性、对称性等基础性质；考查学生分类讨论的思想、数形结合思想；考查学生的逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养．13．答案：53【考查意图】考查对数、指数运算等基础知识；考查学生的运算求解能力；数学运算核心素养． 14．答案：6- 【解】因为α是第二象限角，1sin 033πα⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，所以3πα+为第三象限角，所以cos 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．所以1cos cos cos 33233ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1123⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭【考查意图】本题考查三角函数定义、三角函数基本公式、恒等变形等基础知识；考查运算求解能力；考查化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理核心素养．15．答案22.3【解】当499T =时，12log 500C W =，当1999T =时，22log 2000C W =则21222log 2000log 500log 42C C W W W W -=-==，所以C 大约增加了22222lg 22lg 22lg 220.30122.3%log 500log 500lg 500lg1000lg 23lg 230.301W W ⋅======---， 即C 大约增加了22.3%．【考查意图】通过弘扬中国的5G 技术，考查对数、对数函数以及运算；考查学生增长率知识；考查学生的逻辑推理、数学运算核心素养．16【解】设203COA πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则2sin ,2cos ,2cos CE OE CF OE θθθ====，又tan 63DF OF sis πθ==，所以2cos sin 3CD CF DF θθ=+=+．在直角三角形CDE 中，22222142142cos (2sin )2cos 2))333DE CD CE θθθθθθϕ⎛⎫=+=++=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭，其中tan 02πϕϕ⎫=<<⎪⎝⎭．因为203πθ<<，所以423πϕθϕϕ-<-<-，又02πϕ<<，所以当22πθϕ->，所以当22πθϕ-=时，2DE，即max 3DE ===． 综上，街道DE长度的最大值为3【考查意图】本题依托公园建设，通过数据分析，主要考查了三角函数应用模型的建立、三角在平面几何中的应用；考查学生理论与实际相结合的能力，解决实际问题的能力；考查化归转化、数形结合思想；考查数学运算、数据分析、直观想象、逻辑推理、数学建模核心素养．17．【解】因为角α的终边与单位圆交于点34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以34cos ,sin 55αα=-=． （1）3424cos 2sin 22sin cos 225525παααα⎛⎫⎛⎫+=-=-=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）3sin cos()2cos cos 62543sin()cos()sin cos 755παπααααααα⎛⎫⎛⎫--+⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===-+--+--． 【考查意图】本题考查三角函数定义、三角函数基本公式、诱导公式、恒等变形等基础知识；考查运算求解能力；考查化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理核心素养．18．【解】（1）203x x->+等价于(2)(3)0x x -+>，解得32x -<<，故集合{32}A x x =-<<． 2230x x --<等价于(1)(3)0x x +-<，解得13x -<<，故集合{13}B x x =-<<．于是，{33}A B x x =-<<．（2）由（1）可得集合{32}A x x =-<<，集合{13}B x x =-<<，所以{12}A B x x =-<<． 于是，由{1}C x a x a =<<+，且()C AB ⊆得112a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得11a -≤≤， 即实数a 的取值范围是[]1,1-． 【考查意图】本题考查一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式、分式不等式间的关系、集合基本关系、集合基本运算基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理核心素养． 19．【解】（1）2()cos 2cos 22sin 33f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11cos 22cos 22(1cos 2)2cos 212222x x x x x x x ⎛⎫=+----=+- ⎪ ⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 所以()f x 的最小正周期22T ππ==． 令222,262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z 得,36k x k k ππππ-+≤≤+∈Z 所以()f x 的单调递增区间是,,36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()[2,1]f x ∈-，所以当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值2-； 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 取得最大值1．【考查意图】本题考查三角基本公式、诱导公式、恒等变形、三角函数性质等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思、化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理核心素养．20．【解】（1）由总成本21C()60240x x x =++， 可得每台机器人的平均成本2160C()160240y 1240x x x x x x x ++===++．因为160y 112240x x =++≥=． 当且仅当160240x x=，即120x =时，等号成立． 所以要使所购机器人的平均成本最低，应购买120台机器人． （2）当120m ≤≤时，120台机器人的日平均生产量为248(40)481920m m m m -=-+，所以当20m =时，120台机器人日平均生产量最大值为19200．当20m >时，120台机器人日平均生产量为12016019200⨯=．所以120台机器人的日平均产量的最大值为19200个．所以当20m =时，机器人日平均生产量达最大值，且最大值为19200．【考查意图】本题通过数据分析，主要考查了一元二次函数、基本不等式、分段函数的应用；考查学生理论与实际相结合的能力，解决实际问题的能力；考查化归转化；考查数学运算、数据分析、逻辑推理、数学建模核心素养．21．【解】（1）解法1：因为2()21x x m f x +=+为定义在R 上的奇函数， 所以()()f x f x -=-，所以2122()211221x x x x x x m m m f x --+++-===-+++， 得122x x m m +⋅=--，即()(1)210x m ++=． 因为210x +>，所以10m +=，即1m =-．解法2：因为2()21x x m f x +=+为定义在R 上的奇函数，所以002(0)0,121m f m +===-+． 当1m =-时，211221()()211221x x x x x x f x f x ------===-=-+++， 所以1m =-．（解法2只要有写经检验1m =-符合题意可不扣分）（2）()f x 在R 上单调递增．由（1）得2()121x f x =-+． 任取()()()()12211212122222,221212121x x x x x x x x f x f x -<-=-=⨯++++， 由于1222x x<，所以()()()()12120,f x f x f x f x -<<， 所以()f x 在R 上单调递增．（3）由（2）得函数()f x 在R 上单调递增，且为奇函数，所以不等式()2()0f x x f a ax -+-<等价于 ()2()f x x f a ax -<--等价于()2()f x x f ax a -<-，等价于2x x ax a -<-，等价于2(1)0,(1)()0x a x a x x a -++<--<所以，当1a >时，原不等式的解集为(1,)a ；当1a <时，原不等式的解集为(,1)a ；当1a =时，原不等式的解集为空集．【考查意图】本题考查奇函数的定义，单调性定义，一元二次不等式基础知识：考查运算求解能力；考查分类讨论思想、化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理核心素养．22．【解】：（1）若函数()()h x f x x a =--有零点，即()log 1x a a x a +-=，即方程1log 1a x a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有解． 令1()log 1a x p x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()y p x =的图象与直线y a =有交点．当01a <<时，1111,()log 10a x x p x a a ⎛⎫+>=+< ⎪⎝⎭，故方程1log 1a x a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭无解． 当1a >时，1111,()log 10a x x p x a a ⎛⎫+>=+> ⎪⎝⎭，由方程1log 1a x a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有解可知0a >，所以1a >． 综上，a 的取值范围是(1,)+∞．（2）当2x R ∈时，()()2222222222112log 1log log x x x a a a x x a f x x a x a a a ⎛⎫+⎛⎫-=+-==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由（1）知2211,2x x a a a>+≥，当且仅当20x =20x =时取等号，所以()222f x x -的最小值是log 2a ． 由题意，12[0,),x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()()1122220g x mg x f x x +-+>成立，即1121[0,),log 2x x a x ama ∀∈+∞+>成立，所以11log 2x a x m a a >-对1[0,)x ∀∈+∞恒成立， 设1x n a =则log 2a m n n>-对1n ≥恒成立， 设函数log 2()(1)a p n n n n =-≥，易知函数log 2a y n=和函数y n =-在[1,)+∞上都是减函数， 则log 2()log 21a a p n n n=-≤-，所以log 21a m >-． 即m 的取值范围是()log 21,a -+∞．【考查意图】本题考查对数、对数函数、零点、全称命题、存在题词命等基础知识，函数基本性质的综合应用；考查运算求解能力；考查整体思想、化归转化思想；考查数学运算、逻辑推理核心素养．。

2016高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷（文科）基本初等函数（I ）南平市数学组一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)函数121)(x-=x f 的定义域为（ ）（A ）),0(+∞（B ）),0[+∞ （C ）),1[+∞ （D ）)0,(-∞（2）下列既是偶函数又在区间)0,(-∞上单调递增的函数是（ ）（A ）3x y = （B ）12+=x y （C ）||)31(x y =（D ）xy 1-= （3）己知函数a x x f x ++=2)(在区间（1，2）内有零点，则实数a 的取值范围为( )（A ）),3()6,(+∞---∞ （B ）)3,6(-- （C ）),3(+∞-（D ）)6,(--∞（4）已知函数,1)(--=-x x e e x f 则=+)31(lg )3(lg f f （ ）（A ）0 （B ）2-（C ）1（D ）2（5）己知函数⎩⎨⎧<<+-≥-=10 , log 1x , 2)(2x a x a x f x 且3)2(=f ，则使得3)(>x f 成立的x 的取值范围是（ ）（A ）),2()41,0(+∞ （B ）)2,0(（C ）),2(+∞（D ）),2()1,41(+∞（6）己知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且函数)(x f y =图象关于直线1=x 对称，已知当]0,1[-∈x 时，1)1()(2++-=x x f ，函数)(x f y =的图象和函数||lg x y =的图象的交点个数为 ( )（A ）8（B ）9 （C ）16 （D ）18二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。

（7）己知1.02=a ，3log 4=b ，5.0log 3=c ，则c b a 、、三数的大小关系为 ．（8）幂函数)(x f y =的图象过点P )2ln ,(log 2e ，则幂函数)(x f 的值域为 ． （9）函数)(x f y =的图象和函数x y a log =)10(≠>a a 且的图象关于直线x y =对称，且函数3)1()(--=x f x g ，则函数)(x g y =图象必过定点 ．（10）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间)0,(-∞上单调递减，且0)1(=f . 若实数a 满足)(log )(log 515a f a f ≥, 则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2016高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷（理科）基本初等函数（I）南平市数学组一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列函数中，满足“对任意的时，均有”的是( )A. B.C. D.【答案】CEF【解析】当在是增函数，选项A、D为减函数，选项B 先减后增，故选C.2. 若已知函数 , 则的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】D.........3. 已知函数满足：，且在上为增函数，则( )A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数满足：，所以函数的图象关于对称，所以，，又因为在上为增函数，所以，即，故选C.4. 若关于的不等式在区间(1,4)内有解，则实数的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：不等式在区间内有解等价于，令，，所以，所以.考点：1.二次函数求最值；2.含参一元二次不等式的解法.5. 定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为( )A. B.C. D. 0【答案】A【解析】设，则，则，又，∴，∴当时，取到最小值为.6. 已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则的值分别为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】根据及的单调性，知且.又在区间上的最大值为，由图象知，．故，易得.二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。

7. 函数的图象的对称中心是________．【答案】【解析】的图象的对称中心是，将的图象向上平移个单位，再向右平移个单位，即得的图象，所以对称中心为．8. 设函数满足，则 ________.【答案】.【解析】由已知得，则，则，故【解析】由已知得，则，则，故9. 设函数,，则函数的递减区间是________．【答案】【解析】10. 若函数满足，且时，，函数,则函数在区间[－5,10]内零点的个数为________．【答案】14如图，当时，结合图象知与的图象共有5个交点，故在区间上共有5个交点；当时，结合图象知共有9个交点．故函数在区间上共有14个零点．【解析】三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

福建省南平市普通高中毕业班理科数学质量检查试卷及答案中学试卷福建省南平市
普通高中毕业班质量检查
数学（理）试题
本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用213铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
第I卷(选择题共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数在区间(0，)内的零点个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
2．在△ABC中，若角A、B、C的对边分别是a、b、c，则“a2+b2=b2+ac”，是“A、B、C依次成等差数列”的
A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．充要条件
3．已知等比数列{}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于
福建省南平市普通高中毕业班理科数学质量检查试卷及答案阅读版(可调整文字大小)。

2018 年南平市高中毕业班适应性考试 理科数学试卷参照答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不一样，可依据试卷的主要考察内容对比评分标准拟订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超出该部分正确解答应给分数的一半；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考察基础知识和基本运算．每题5 分，满分 50 分．1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．B ； 5．A ； 6．C ； 7．C ； 8．A ； 9．A ； 10．D ．二、填空题：此题考察基础知识和基本运算，每题4 分，满分 20 分．11． 2； 12．4；13．23； 14． x y 20；15． 2 2 2332三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．此题满分 13 分．解：（Ⅰ）男性女性 共计做不到“光盘”517能做到“光盘”3 133共计1515分由已知数据得 K 230(12 10 3 5) 26.635 ，因此，有 99%以上的掌握15 15 17 13以为“在学校食堂用餐的学生可否做到‘光盘’与性别相关” 6 分（Ⅱ） X 的可能取值为0，1，27 分C 1023P( X1) C 101 C 51 10， P(XC 52 2 P(X 0), C 152212)21C 1527C 15210 分因此 X 的散布列为：X 012P31027 21 21X 的数学希望为 E( X ) 03 102221212113 分7317 13f ( x)2[ 3sin( x)1cos(x6)]12622sin[( x) ] 2 sin x 366f ( x)A{ x xk2, k Z}4x(0, )x3 5,(2n 1)2,,,, .2226(2n1)8{ a n }a n2241 1b na nan 1(2n 1)2(1 )101)(2n 2n2n1T n 2[(11) (11 )(111 )3 3 5 2n 2n 1 1 ) 4n2(12n 12n111131813ABCD A 1B 1C 1D 1AC 11B 1 D 1 BB 1AC 111E F A 1B 1 B 1C 11 12EF //ACEF B 1D 1 EFBB 1 B 1 D 1 BB 1 B 1EF面 BB 1D 1 DEF 面DEF 3面DEF面BB 1D 1D 4OP DMOP DMPABCD 5面 ABCD DP面A 1B 1C 1D 1 OM 6ABCD A 11 11面ABCD / /面A B C DB C D1111DP //OM7D 1D 1 A 1 , D 1C 1 , D 1D xyzA （12，0，0），（2，2，0）， （0，2，0）， O （1，1，0）， D （0，0，2），B 1C 1E (2,1,0) ,F (1,2,0)8M (m, n,0) ,EM2EF(m2, n 1,0) = 2 ( A1,1,0)33 m4 5 4 5nM (, ,0)10333 3CPDABCDDOPDOMA 1ABCDn 1 （0，0，1）xDOMn 2 （x ，y ，z ） 12OM( ，，0）zDC PBD 1O MC 1 yFEB 1OD( 1， 1，2）n 2 ODx y 2z1 x2 y 0n 2 OM3 3 z 1x4 y2n 2 （4， 2，1）12 cos n 1，n 21 21 cos21 21131212119132b 28 a 3a3a 2b 225 b2Гx 2y 2 a 291.394(,),(, ),(,),(,),.A x yB x yC x yD x y AP PC则 2 x 1 (x 3 2), 1 y 1( y 3 1) ，故 x 32(1) x 1 , y 3 (1 ) y 1 .5 分由于点 C 在椭圆上，因此x 32 y 32 1，则 [2(1) x 1 ]2 [(1) y 1] 219 49242整理得 (1)2( 41 ) 2(1 )( 2x 1y1 )x 12 y 12 = 26 分949 49 4由点 A 在椭圆上知x 12y 121，41942x 1y1 )故(1)2 ( ) 2(1 )( 2 1. ① 7 分9 4 9 4又 AB ∥CD ，则 BP PD.同理可得 (1 ) 2( 41 ) 2(1)( 2x 2 y2 )21. ② 8 分9494①- ②得 2(x 2x 1)1( y 2 y 1) 0.94由题意可知 x 1x 2 , 则直线 AB 的斜率为 ky 2 y 18 .10分x 2x 19（Ⅱ）直线 AB 的斜率为b 2 x.13 分a 2 y 020．此题满分 14 分．解：（Ⅰ）曲线方程为 yln x ，设切点为 ( x 0 ,ln x 0 )由 y1得切线的斜率 k1，则切线方程为 yln x 01( x x 0 )2 分xx 0x 0由于切线过点P(0, 1) ，因此1 ln x 01 ，即 x 01故所求切线方程为 x y 10.3分（Ⅱ）函数 yg( x) 的定义域为 (0,) ，g ( x) 2x2m2x 22x mxx.令 g ( x) 0并联合定义域得 2x 2 2 x m0,对应一元二次方程的鉴别式4(12m) .5 分①当0，即 m1 0 ，则函数 g(x) 的增区间为 ( 0,) ；时， g ( x)2②当 0m 1 时，函数 g (x) 的增区间为 (0, 11 2m ), (1 12m ,) ；2 2 2③当 m0 时，函数 g(x) 的增区间为 (11 2m ,).7分2g ( x)2x2 m 2x 22x mg ( x)0 2 x 2 2xm 0,xxa,b(ab)4(12m)0,m2m1b11 2m 12b 1.9222 0222b mm2b 2bbg(b) = b22b 1 mln b b22b 1 ( 2b22b) ln b , b ( 1,1).1 2g (b)2b 2 ( 4b 2) ln b 22b4(b) ln b2b ( 1,1)g (b)0g (b) ( 1,1)2212ln 2 g(b) 0g(b)(12ln 2 ,0) .44[ g(b)] 1.11a 1 g (a) = a 22a 1( 2a22a) ln a a(0, 1).22g (a)4(a 11 )) ln a 0g (a) (0,2 21 2ln 2( a ) 1g (a) 1 2ln 24g(,1)4[ g(a)] = 1 [ g( a)] =012[ g(a)] =1sin[ g( a)]cos([ g (a)][ g(b)])[ g (b)][ g(a)] = 0sin[ g( a)]cos([ g (a)][ g(b)]) .14[ g(b)]21141a 121 11 b122a 1 10 b42b a2 2 0 1 3M41NM1001014211416P( x, y) x y 1 0NM P (x ， y )01x x'516y y'y x x y10 y5x106x 6 y y5x y 1 07x2cosx 2y22C11y sin4=32(cos2sin )322 cos2sinL x 2 y3203C P(2cos , sin)2cos2sin3222sin() 32d4512225sin()1d min 10745L C x 2 y m0x 2 y m028 y24my m2405x y21416m232(m24)8m20 m226m22CL d min ( 32)(2 2)107 122253f (x) 1 x 2x ≤ 1 x 2 x 32 x ≤-2 f max ( x)33f max (x)332t1 f ( x)2t 1 f max ( x)4 2t 132t1 3 2t135 t2t16t( , 12,)7。

南平市2019-2019学年第二学期高二年级期末质量检测理科数学试题答案及评分参考说明:1、本解答给出了一种或几种解法供参考， 如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难 度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部 分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分•一、 选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5分，满分60分.(1) C (2) D ( 3) A ( 4) A ( 5) D(6) C (7) D( 8) A( 9) B(10) B(11) A (12) D二、 填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分.1n(13)( 14) x =k n —,k z (15) -4(16) 0 2 5三、 解答题：本大题共 6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (满分10分)解：(I)令 x1=t . x=t-1. f(t) = t-2函数y=| f (x) |的单调递增区间是 函数y =| f(x)|的单调递减区间是(18) (满分12分)(n)由(I )知即函数解析式为.f(x)=：x -2 (5)!x -2,x _2 y=| f(x)|=|x-2|二 2 - x, x v 22 , (」：，2]10分(19) (满分12分)解：(I) f (x) =sin 2x - .；3 cos2x1 .3= 2(-s in2xcos2x) 22n n令 2k2x 2k ,k Z2 325- 11 ■ kx 空 k 二 12 12函数f(x)的单调递减区间为兀 =2s in (2x ) 3 ,k Z| 来源:ZXXK]5兀 .. [k ,k ],k Z (6)12 _ 12 兀J311分| 来源:ZXXK]八1… 3 一cos2)- cos|(2 )] cos(2 ) sin(2 ) 33 2 323二 二 4 (；,兀)cos(^-) = -2， 3 5 _ 4 3.310 ......................... Ji JI(-,-)，则 2八12 3 3 a 1 4 73 3 cos 2 ( )- 2 5 2 52 JI..8分.12分J,、 (2x _a)e x _(x 2「ax a)e x_(x _2)(x _a)f(x)=- 则f (x)在(亠,2)和(a +旳)上单调递减，在(2,a)上单调递增。