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从算式到方程—教学设计及点评一、教学设计1.教学目标：(1)知识目标：了解算式和方程的概念，认识算式和方程之间的关系。
(2)能力目标：能够通过给定的算式写出相应的方程，并能够根据方程解决问题。
(3)情感目标：培养学生的数学思维能力和问题解决能力，增强他们对数学的兴趣和信心。
2.教学重点：(1)理解算式和方程的定义。
(2)掌握从算式到方程的转换方法。
(3)理解方程的意义和用途。
3.教学难点：(1)理解方程的意义和用途。
(2)掌握根据给定的算式写出方程的方法。
4.教学过程：步骤一：导入新课(1)引入问题：有一些运算式，例如："5+2=7"，你能发现其中的规律吗？(2)学生回答并解释规律：等号左边的算式和等号右边的值相等。
(3)教师引导学生总结：这种形式的式子叫做算式，其中有一个等号，左右两边相等。
步骤二：引入方程的概念(1)引导学生思考问题：如果我们把算式中的一些数用一个字母表示，如"5+x=7"，这种式子叫什么？(2)学生回答并解释：这种式子叫做方程，字母代表的是一个未知数。
(3)教师解释：方程和算式的结构非常相似，只不过其中有一个未知数，我们可以通过解方程来求出未知数的值。
步骤三：从算式到方程(1)教师出示一些算式，并要求学生根据算式写出相应的方程。
(2)学生通过思考和分析，用未知数表示算式中的一些数，并写出方程。
(3)学生互相交流并对答案进行讨论。
步骤四：解决问题(1)教师给出一些实际问题，并要求学生用方程去解决问题。
(2)学生根据问题提供的信息写出方程，然后解方程求出未知数的值。
(3)学生互相交流并对答案进行讨论。
步骤五：巩固练习(1)教师出示一些练习题，让学生自己用方程来解决。
(2)学生独立完成练习，并互相交换答案进行对比。
(3)教师进行讲评，梳理学生解题思路和方法。
步骤六：总结和拓展(1)教师引导学生总结今天学习的内容：什么是方程？怎样从算式到方程？(2)教师拓展讲解方程的更复杂形式，如多项式方程、二元一次方程等。
引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学吴剑锋（华中师范大学附属惠州大亚湾小学广东·惠州516083）摘要小学数学是义务教育阶段的基础学科，它因来源于生活而作用于生活而备受师生的共同关注。
新课改要求小学数学教师应该充分利用学生熟悉的生活场景来进行情景教学，让学生在“做中学”，在“学中做”，最终实现学以致用的基本教学目标。
本文以小学数学教学实践为基础，对引导学生在生活中进行体验感悟，进行自主发现生成数学的教学策略进行了探究，并提出引导学生体验感悟，进行自主学习的建议，培养小学生能够在数学学习的过程中既收获知识也锻炼其综合能力。
关键词小学数学教学引导感悟自主发现中图分类号：G623.5文献标识码：A在新课改的背景之下，小学数学核心素养的培养成为了师生共同关注的问题。
那么，在小学数学教学活动中，教师应该通过什么样的方法来引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学便成为了小学数学界的重要议题。
实际上，学习需要与实际生活相互结合，这样才能够让孩子们在数学学习中感受到学习的乐趣，也才能够在数学学习中感受到收获的快乐。
为此，目前在小学数学教学中让其自主发现生成数学教学主张从生活情景、生活实践、生活问题等方面进行体验，帮助孩子们在生活中去自主学习数学知识，在实际运用中去自主锻炼数学意识，在解决问题中去自主提升数学能力。
1感悟生活情景，自主夯实基础知识掌握数学基础知识是小学数学学习的重要内容之一，但是对于小学生来说，因为其年龄尚小，所以在身心方面均还处于发展阶段，最为明显的表现就是自控能力不强，学习主动性不够，理解能力较差。
面对这些基本情况，小学数学教师要让小学生进行自主发现生成数学教学，就应该感悟生活情景，让处于的小学生在熟悉的场景中，激发学习的兴趣点，在充分理解的前提下来自主夯实数学的基础知识。
例如：在学习《十几减8、7》这一节内容时，教师就可以设置一次“搬家”的场景，让学生感受一下数学基础知识在生活场景中的运用。
引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学数学教学是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要途径。
传统的数学教学往往过于注重填鸭式的知识传输，忽略了学生对数学概念和方法的理解和掌握。
为了激发学生的学习兴趣和独立思考能力，教师们可以通过引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学。
教师可以利用具体的教学实例引起学生的兴趣。
以数学应用问题为例，教师可以给学生提供一个实际生活中的问题，如购物时的打折问题或购买食材的比价问题等，让学生通过观察和分析问题，尝试找到解决问题的方法。
通过实际问题的引导，学生能够更好地理解数学概念和方法，并将其应用于实际生活中。
教师可以采用探究式学习的方式，让学生自主发现数学规律和定理。
在几何学中，教师可以给学生一些简单的几何图形，让他们通过观察和实践，自主发现点、线、面等几何概念的特点和性质。
通过自主发现，学生可以更好地理解几何学的基本概念和相应的定理，并能够独立应用于其他几何问题中。
教师还可以利用情境教学的方式，将数学知识融入到实际情境中。
在概率与统计学中，教师可以设计一个统计调查的情境，让学生自主选择调查的对象和方法，并通过收集数据、整理数据等步骤，发现并应用概率与统计的知识解决问题。
通过情境教学，学生能够更加深入地理解数学知识，并将其应用于实际情境中，增强学习的实用性和可操作性。
教师还可以鼓励学生自主思考和解决问题的能力。
在数学课堂上，教师可以给学生提出一个开放性的问题，如：在一个正方形花坛中，如何排列花卉才能使得花卉的面积最大？教师引导学生自己思考，通过观察和尝试，试图找到一种最优解决方法。
通过自主思考和解决问题的过程，学生不仅能够主动参与到学习过程中，还能够培养其独立思考和解决问题的能力。
第1篇一、活动背景数学是一门逻辑严谨、抽象思维的学科，从算式到方程的学习过程是学生数学思维从具体到抽象、从数量关系到关系式的转变。
为了提高学生对方程的理解和应用能力，本教研活动旨在探讨如何引导学生从算式到方程的过渡，提升学生的数学思维能力。
二、活动目标1. 使教师了解从算式到方程的教学策略，提高教学效果。
2. 培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养。
3. 促进教师之间的交流与合作，共同探讨数学教学中的问题。
三、活动内容1. 算式与方程的关系（1）算式与方程的区别与联系算式是数学表达式的基本形式，用于表示数量关系。
方程则是含有未知数的等式，它表示未知数与已知数之间的数量关系。
算式是方程的基础，方程是算式的升华。
（2）算式到方程的过渡策略教师在教学过程中，应注重引导学生从算式到方程的过渡，具体策略如下：a. 从具体的实例出发，让学生感受未知数的存在。
b. 通过实际问题引入方程，让学生体会方程的应用价值。
c. 利用图形、表格等直观工具，帮助学生理解方程的意义。
2. 方程的教学方法（1）概念教学教师在讲解方程的概念时，要注重引导学生从算式到方程的思维转变，让学生理解方程的本质。
（2）解题教学教师在解题教学中，要注重培养学生的逻辑思维能力和运算能力，让学生掌握方程的解法。
（3）应用教学教师在应用教学中，要注重引导学生将方程应用于实际问题，提高学生的数学素养。
3. 案例分析（1）案例一：一元一次方程的应用问题：小明有10个苹果，给了小红5个，还剩几个？分析：这是一个一元一次方程的应用问题。
设小明原来有x个苹果，根据题意可列出方程x - 5 = 10。
解方程得到x = 15，即小明原来有15个苹果。
（2）案例二：二元一次方程组的应用问题：小明和小红一共有15元，如果小明买2元一支的铅笔，小红买3元一支的铅笔，他们各买几支？分析：这是一个二元一次方程组的应用问题。
设小明买了x支铅笔，小红买了y支铅笔，根据题意可列出方程组：2x + 3y = 15x + y = 15解方程组得到x = 6，y = 9，即小明买了6支铅笔，小红买了9支铅笔。
课题：从算式到方程数学组：刘龙赞一、教材分析：方程有悠久的历史，它随着实践需要而产生，并且具有极其广泛的应用，从数学本身看，方程是数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展，从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是简单的代数方程，也是所有代数方程的基础。
从算式到方程，学生主要掌握方程的概念，一元一次方程的解，一元一次方程的概念。
使学生初步了解列方程的一般步骤，体会用方程解决问题的优越性。
经历具体问题的数量关系，形成方程的模型，初步形成学生利用方程的观察认识现实世界的意识和能力，进一步培养学生观察，分析，概括和转化的能力。
二、学情分析：学生在小学学过列算式解决实际问题，会解简单的方程有一定的知识基础和基本技能。
三、教学目标：1、理解方程的概念；了解方程的解、一元一次方程的概念，会检验一个数是否为某一个方程的解。
2、能根据题意设未知数，然后找等量关系,再根据等量关系列出方程。
3、感受方程意义，体会由算式到方程是数学的一大进步，从而体会方程思想。
四、教学重难点：教学重点：1．了解什么是方程、一元一次方程；2．分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程。
教学难点：分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程。
五、教学过程：一、情境导入问题：一辆客车和一辆卡车同时从A 地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70km/h ，卡车的行驶速度是60km/h ，客车比卡车早1h 经过B 地，A ，B 两地间的路程是多少？分析：如果设A,B 两地相距x km, 你能分别列式表示客车和卡车从A 地到B 地的行驶时间吗？ 根据问题的条件，客车和卡车从A 地到B 地的行驶时间，可以分别表示为70x h 和60x h.因为客车比卡车早1h 经过B 地，所以70x 比60x小1 ，即70x -60x =1. （思考：还可以列出其他方程吗？）你认为用算术方法和列方程(代数方法)解决问题有什么不同？你哪喜欢种方法？算术方法:只能用已知数。
引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学
数学教学是一门注重逻辑思维和抽象思维的学科。
为了让学生更好地理解和应用数学知识，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，我们可以通过引导学生体验感悟和进行自主发现，来生成数学教学。
我们可以通过情境引导学生体验数学知识。
在教授分数的概念时，可以通过给学生分发一些水果，让学生将水果分成几等份，让学生亲身体验到分数的概念。
通过这种实际操作，学生可以更好地理解分数的意义和运算规律。
我们可以通过问题引导学生自主发现数学规律。
在教授乘法的过程中，可以给学生出一道练习题：同时乘以2和3的结果是多少？通过这个问题，学生可以思考为什么两个数相乘的结果是这个数的几倍，从而自主发现乘法的运算规律。
我们也可以引导学生进行探究性学习。
在教授几何的概念时，可以给学生一些形状的图纸和剪刀，请学生根据图纸剪出相应的形状，并进一步发现不同形状之间的关系。
通过这种探究性学习，学生可以更加深入地理解几何的概念和性质。
在引导学生体验感悟和进行自主发现的过程中，教师应该扮演好引导者和辅助者的角色。
教师可以提供一些启发性的问题，给学生提供一些思考的方向，但不直接告诉学生答案。
教师还可以鼓励学生积极思考和尝试，给予学生充分的发言机会。
通过这样的引导和辅助，学生可以更好地进行自主发现和生成数学知识。
引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学数学教学一直以来都是教师们面临的一个难题，因为数学不仅仅是知识的累积，更是思维的培养和智慧的启发。
在数学课堂中，教师们不仅需要传授知识，更需要激发学生的学习兴趣，培养学生的数学思维，引导学生进行自主发现和生成。
本文将从引导学生体验感悟、促使学生进行自主发现生成、加强实际操作体验中展开，探讨如何进行自主发现生成数学教学。
第一、引导学生体验感悟学生对于数学知识的学习，往往是从感性认识到理性认识的转化过程。
在数学教学中，要引导学生进行感性体验和感悟，培养他们对于数学问题的直观认识。
在讲解平方根的概念时，可以利用场景模型或者实物模型，让学生自己去测量一些长方形的边长，并算出它们的面积，引导他们发现边长和面积之间的规律，最终引导他们发现平方根的概念。
除了利用场景模型和实物模型，还可以通过游戏的方式来引导学生进行感性体验和感悟。
在教学实数的概念时，可以设计一个实数大小的排序游戏，让学生通过比较数值大小的方式来感受实数的大小关系，进而引发他们对实数概念的感悟和认识。
在数学教学中，要注重引导学生进行感性体验和感悟，培养他们对于数学问题的直观认识，为后续的理性认识打下基础。
第二、促使学生进行自主发现生成自主发现生成是指在教学中，教师不是直接传授知识，而是通过引导和激发学生的主动思考和探索，让学生自主发现和生成知识。
在数学教学中，教师可以通过提出问题、引导思考、激发探索等方式，促使学生进行自主发现生成。
教师可以通过提出简单的实际问题，激发学生的思考和探索欲望。
在教学平面几何的时候，可以提出一个简单的实际问题：如何通过一个已知的三角形，来画出其内切圆？然后引导学生进行思考和探索，通过自己的努力和思考，让他们自主发现和生成出内切圆的画法。
教师可以通过引导思考和讨论的方式，促使学生进行自主发现生成。
在讲解统计学的时候，可以提出一个实际情境，让学生通过讨论和研究，自己找出适合解决问题的方法和模型，从而进行自主发现生成。
引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学数学是一门抽象而又逻辑严密的学科，对于大多数学生来说，学习数学常常是一项枯燥乏味的任务。
如果教师能够引导学生体验感悟，并进行自主发现生成数学教学，将会使学生对数学产生更深刻的理解和兴趣。
教师可以通过启发性问题引导学生思考探索。
在学习平方根的概念时，可以提出以下问题：“你认为一个数的平方根一定是一个整数吗？为什么？”通过这个问题，学生可以自主探索平方根的性质，并逐渐产生对数学规律的认识。
接着，教师可以组织学生进行实践活动，让学生在实际操作中发现数学规律。
以几何中的对称性为例，教师可以要求学生用纸折叠成各种不同的形状，然后观察形状的对称性质。
通过实践活动，学生可以亲自体验对称性，并自主发现不同形状的对称性规律。
教师还可以通过数学游戏和竞赛激发学生的学习兴趣。
在学习代数中的因式分解时，可以组织学生进行因式分解的竞赛，通过比赛的方式培养学生的数学思维和解题能力。
通过游戏和竞赛，学生可以积极参与充分发挥自己的创造力和智慧。
教师还可以鼓励学生进行数学探究和发散思维。
在学习平方根的近似值时，教师可以要求学生使用不同的方法和思路，探讨如何快速计算平方根的近似值。
通过这样的探究，学生可以发现数学问题的多种解决方法，培养他们的发散思维和创新能力。
教师可以通过实际生活中的问题引导学生运用数学知识进行分析和解决。
在学习比例时，教师可以提出以下问题：“如果你去市场购买水果，你如何判断哪个水果的价格比较划算？”通过这个问题，学生可以将所学的比例知识应用到实际生活中，培养他们的应用能力和数学思维。
引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学，可以使学生在学习数学过程中产生更深刻的理解和兴趣。
教师应该灵活运用启发性问题、实践活动、数学游戏和竞赛、数学探究和实际问题等教学方法，激发学生的学习热情，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
只有通过这样的教学方式，才能让学生真正体验到数学之美，并在学习中不断进步。
一、问题的提出义务教育阶段数学课程标准（2011年版）明确要求，数学课程要面向全体学生，使得人人都能获得良好的数学教育，同时，课程内容的选择要贴近学生的实际，要使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、解决问题的过程。
[1]然而，教学实践中仍存在一些问题。
比如，在“从算式到方程”教学中，教师没有剖析定义，[2]学生难以深入理解，这可能影响二元一次方程的学习。
也有教师在设计教学时，让学生观察一元一次方程的特点后，直接给出定义，[3]没有留给学生表达的机会，很难体现学生的主体地位；且缺少对易混淆概念的辨析，易使学生对联系紧密又形式相似的概念认识不清。
还有学者在整个教学过程中，未能以实际问题为载体，[4]学生很难经历从实际背景中抽象出数学问题的过程。
也有教师缺少对“方程的解”和“解方程”的讲解，虽然它们并非本节课的重点概念，却是组成这节课不可或缺的一部分，[5]这就容易导致学生失去学习方程相关知识的联系的机会。
张露馨，张桂芳南宁师范大学数学与统计学院，广西南宁530022摘要数学概念课的教学设计需要遵循课标、教材要求，把握学情，选择教学结构和方式，合理设计教学过程步骤。
通过剖析教学内容，综合运用概念形成和同化两种模式，建构教学结构的四个环节，并且把发现和合作讨论的教学方式也要融入到教学全过程之中。
关键词初中数学；数学概念教学；教学结构浅谈初中数学概念课的教学结构及方式——《从算式到方程》一课的教学设计作者简介：张露馨（1989-），女，河南南阳人，硕士研究生；张桂芳（1974-），女，广西大新人，副教授，教育学博士，研究方向：课程与教学。
基金项目：本文系广西教育科学“十三五”规划2016年度广西普通高中数学课堂教学改革试验研究专项课题（项目编号：2016ZJY002）。
对“从算式到方程”一课的设计中存在的问题，皇甫华和汪晓勤教授提出了从HPM视角对一元一次方程概念设计教学，[6]以期促进学生对概念的理解，但文章未给出这一课的教学方案。
摘 要学习进阶强调学习是逐渐深入和发展的。
该理论提出至今，已在西方科学教育领域成为一个热点话题，但我国仍处于起步阶段。
由于国内外课程体系的差别，国外核心概念的学习进阶研究成果对实际教学的指导意义太过宏观。
笔者则从微观角度对学习进阶进行界定，认为学习进阶就是学生在学习某主题内容时，教师依据学生的认知发展规律提出进阶目标，通过实施教学活动使学生的思考与认识逐渐深入的一种过程。
为使学习进阶理念更符合我国课程体系、更有利地指导一线教师教学，因此本论文以学习进阶理论为基础，对初中数学“从算式到方程”这一过渡性内容进行教学实践研究。
首先对实验班和对照班的学生进行前测，了解他们的认知困难和已有知识基础，根据我国课程标准的要求，结合相关文献研究建构初中生“从算式到方程”的学习进阶。
其次，根据建构的学习进阶，提出本节课的进阶目标，设计出符合学生认知的教学方案进行教学实践，并与传统教学进行对比。
最后，分别对两个班的测评试卷、课堂观察以及访谈的结果进行分析，提出有关学习进阶理论指导教学的建议。
研究结果表明：与传统初中数学课堂教学相比，教师在实施基于学习进阶设计的教学方案时，学生对本节课的知识点的理解程度更深入，说明学习进阶指导教学对学生的学习是十分有利的。
此外还分析了两个班课堂上师生互动的情况，发现实验班上的学生较活跃，能配合老师进阶性思考。
最后在与学生进行访谈同时也进行反思，进而提出相关的教学建议。
关键词：学习进阶；初中数学；从算式到方程；教学实践IAbstractLearning progression emphasizes the gradual deepening and development of learning. The theory has been a hot topic in the field of western science education since it was proposed, but it is still in its infancy in China. Due to the domestic and overseas differences in the curriculum system, the research achievement on the learning progression of foreign core concepts have too macroscopic significance for the practical teaching. The author defines the learning progression from the micro perspective, and thinks that the learning progression is a process in which the teacher puts forward the goal of learning progression according to the cognitive development law of the students, and makes the students' thinking and understanding gradually deepen through the implementation of teaching activities.In order to make the concept of learning progression more consistent with the curriculum system in our country and more able to guide the front-line teachers in teaching. So this paper, based on the theory of learning progression, makes a research on the teaching practice of the transitional content of junior middle school mathematics "from formula to equation". Firstly, students in the experimental class and the control class were pretested to understand their cognitive difficulties and existing knowledge base. According to the requirements of our curriculum standards, combined with literature research, the learning progression of "from formula to equation" was constructed for junior middle school students. Secondly, according to the learning progression of the construction, this paper aims to put forward the teaching objectives of a class , and the teaching plan that conforms to students' cognition and will make a comparison between this teaching practice with the traditional teaching method. Finally, the evaluation papers, classroom observation and interview results of the two classes are analyzed respectively, and Suggestions on the teaching guidance of the theory of learning progression are put forward.Through the analysis of the results, the following conclusions are drawn: compared with the traditional middle school mathematics classroom teaching, whenIIthe teachers implement the teaching plan based on the design of learning progression, the students have a deeper understanding of the knowledge in this lesson, which indicates that the instruction of learning progression is very beneficial to the students' learning. In addition, the situation of teacher-student interaction in the two classes was analyzed, and it was found that the students in the experimental class were more active and could cooperate with the teacher's advanced thinking. In the end, the interview with students is also a reflection, and then put forward relevant teaching Suggestions.Key words: learning progression; junior high school mathematics; From the formula to the equation; teaching practiceIII目 录摘要 (I)Abstract (II)目录........................................................................................................... I V 第1章绪论.. (1)1.1 研究背景 (1)1.2 研究意义 (2)1.2.1 理论意义 (2)1.2.2 实践意义 (2)1.3 文献综述 (2)1.3.1 学习进阶的相关综述 (2)1.3.2 “从算式到方程”课题的相关综述 (5)第2章理论基础与概念界定 (7)2.1 研究的理论基础 (7)2.1.1 皮亚杰的认知发展理论 (7)2.1.2 布鲁纳的螺旋式课程设计 (7)2.1.3 维果斯基的最近发展区 (7)2.1.4 建构主义学习理论 (8)2.2 学习进阶的概念界定 (8)第3章研究设计 (9)3.1 研究问题 (9)IV3.2 研究对象 (9)3.3 研究方法 (11)（1）文献研究法 (11)（2）试卷测评法 (11)（3）课堂观察法 (11)（4）访谈法 (11)3.4 研究流程 (11)第4章“从算式到方程”的学习进阶建构 (13)4.1 确定进阶起点 (13)4.2 提取知识要点 (13)（1）教材分析 (14)（2）课标分析 (16)4.3 确定进阶终点 (16)4.4 划分进阶层级 (16)第5章“从算式到方程”学习进阶的教学实践研究 (18)5.1 基于学习进阶的教学设计 (18)5.2 对照班级课堂实录 (22)5.3 研究工具与内容设计 (24)5.3.1 测评试卷的编制 (24)5.3.2 课堂观察的维度 (25)5.3.3 访谈提问的设计 (25)5.4 研究结果分析 (26)V5.4.1 测评结果分析 (26)5.4.2 课堂观察结果分析 (30)5.4.3 访谈结果分析 (31)5.5 基于学习进阶理论的教学策略与建议 (33)5.5.1 将学习进阶应用于课堂教学 (33)5.5.2 基于学习进阶进行评价 (34)5.5.3 概念进阶生成后要做适当延伸 (34)第6章结语 (35)6.1 研究结论 (35)6.2 不足与展望 (36)参考文献 (37)附录 (40)附录1 “从算式到方程”前知识问卷 (40)附录2 “从算式到方程”第一课时测试题 (42)致谢 (44)作者简介 (45)第1章 绪论1.1 研究背景（1）学习进阶研究的时代背景追随时代日新月异发展的脚步，国内外的教育学者们对热点话题的研究也在不断更替。
基于“四度六步”教学法的“从算式到方程”教学设计与反思作者：戴启猛来源：《中小学课堂教学研究》2021年第12期【摘要】文章基于“四度六步”教學法的理论基础与实践架构进行设计，采用“温故—引新—探究—变式—尝试—提升”六步教学模式，从学生熟悉的相等关系入手，创设真实问题情境，选用有梯度的问题，引导学生先尝试如何用算术方法解决，再逐步引导学生合作探究列出含未知数的式子表示有关量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程，以突出方程的根本特征，并体会代数方法的简便性。
在教学中，教师应尽可能做到自然引出方程、一元一次方程及方程的解的概念，构建用一元一次方程解决实际问题的数学模型，创造“有温度、有梯度、有深度、有宽度”四度精彩课堂。
【关键词】“四度六步”教学法;方程;算式【作者简介】戴启猛，南宁市教育科学研究所所长，正高级教师，广西特级教师，广西师范大学教育学部特聘研究员，广西“八桂教育家摇篮工程”培养对象，教育部基础教育数学教学指导专业委员会委员，初中数学“四度六步”教学法创始人。
一、问题提出方程是含有未知数的等式，因此方程概念的教学要从认识等式开始。
教师要让学生经历由数的等式到含有未知数的等式，通过不等到相等的比较，为方程概念的引入提供丰富的感性认知的基础。
但在当前的初中数学课堂教学中，存在忽视数学概念的抽象逻辑建构特征，过于强调情境化、生活化、活动化的倾向。
这实质上是重教学形式而忽略学科本质内涵的体现[1]。
陈邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”事实上，建立方程的概念是学习解方程的基础。
虽然有关方程的几个概念，各版本教材都只做描述，似乎没有下具体定义，但并没有削弱理解概念对于掌握方法的作用。
例如，只有理解方程的含义，才可能明确解方程是解决这样的问题：当x取什么数值时，能使等式成立。
又如，只有理解方程的解的含义，才能明确应当怎样检验方程的解。
为此，笔者以人教版七年级上册“从算式到方程”一课为例，基于“四度六步”教学法的理论基础与实践架构进行设计[2]22，采用“温故—引新—探究—变式—尝试—提升”六步教学模式进行教学设计和研究。
数学课堂上生生互动的预设与生成——圆的一般方程教学反思数学课堂是培养学生数学思维和解决问题能力的重要场所。
在教学过程中，教师需要激发学生的兴趣和参与度，使课堂充满生生互动的氛围。
本文将探讨如何通过预设和生成方法在圆的一般方程教学中实现课堂的生生互动。
一、激发兴趣：引导学生思考在引入圆的一般方程的概念时，教师可以通过提问来引导学生思考。
比如，可以问学生：“圆的一般方程是什么？如何表示一个圆？”。
这样的引导性问题可以激发学生的兴趣，促使他们积极思考并进行探索。
二、情境设定：引导学生发现规律在教学过程中，可以设计一系列的情境，引导学生进行观察和探索，并从中总结出圆的一般方程的规律。
例如，给学生展示不同半径和圆心的圆，并让他们观察半径和圆心对圆的一般方程的影响。
通过观察，学生可以发现圆的一般方程由圆心坐标和半径决定，并总结出具体的表达式。
三、案例分析：运用实例巩固知识在教学过程中，可以运用一些具体的案例来帮助学生巩固对圆的一般方程的理解和运用。
教师可以给学生提供一些实际问题，让学生尝试运用圆的一般方程进行求解。
通过解决实际问题，学生能够更好地理解圆的一般方程在现实生活中的应用价值。
四、合作探究：促进学生互动在教学中，教师可以设计一些合作学习的活动，鼓励学生之间的互动和合作。
例如，可以将学生分成小组，让每个小组设计一个问题，让其他小组成员运用圆的一般方程进行解答。
通过合作探究，学生之间可以相互交流和学习，激发出更多的灵感和思考。
五、拓展应用：引导学生思考延伸问题在教学的最后阶段，教师可以引导学生思考一些拓展应用的问题，以培养学生的创新和批判思维能力。
例如，可以让学生思考如何应用圆的一般方程来解决实际工程问题，或者进行进一步的扩展研究。
这样的思考延伸可以让学生在课堂之外继续深化和拓展所学知识。
六、诊断评价：及时发现问题并进行反馈在教学的过程中，教师需要及时发现学生的问题并进行适时的反馈。
可以通过布置小测验、课堂讨论、学生展示等方式进行诊断评价。
方程刻画的是现实世界中的等量关系，作为一种重要的数学思想方法，它对学生丰富解决问题的策略，突破算式思维方法中的某些局限性，提高解决问题的能力，发展数学素养有着非常重要的意义。
新课标指出，数学课程“要面向全体学生，适应学生个性发展的需要”。
这就要求我们以学生的发展为本设计教学，树立学生的发展是全人发展的教育理念。
教学苏教版五下《等式与方程》一课，笔者注重引导学生在互动中生成，在探究中生成，在思辨中生成，在生成中自主建构数学知识，提升数学素养。
一、操作观察，感知关系师：同学们，今天的课堂上，来了一位好朋友，认识吗？你了解天平吗？学生讨论后，教师明确：（1）天平左右两边各有一个托盘，可以放砝码或者物体。
（2）如果天平两边质量相等，天平就平衡，指针指向中间的刻度；如果天平两边质量不相等，质量较大的一边会下沉，另外一边会上翘，指针会向质量较大的一边倾斜。
启发：想不想玩个游戏？（出示图1）看一下游戏要求。
1.两人合作，一人在天平左边放砝码，一人在天平右边放砝码。
2.其他同学用手势或一个式子表示天平的现象。
游戏要求：左边20克、10克20克、30克100克、100克……右边50克50克200克……（图1）引出：20+10＜50；20+30=50；100+100=200。
追问：这里的“＜”“=”表示什么意思？谈话：来点挑战，现在我把100克的砝码换成老师的手机，天平怎么样了？你还能用一个式子表示这时候的现象吗？引出：x +100＞200。
追问：这里的x 表示的是什么？明确：x 表示的数不确定，我们就把它叫作未知数。
从学生熟悉的天平入手，一方面能激发学【关键词】小学数学；生成；自主建构；《等式与方程》【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2021）18-0063-03引导学生在生成中自主建构数学知识——苏教版五下《等式与方程》一课的教学实践与思考孙红伟63生的兴趣，调动学生学习的积极性；另一方面便于学生直观地看出质量的大小关系。
主动建构知识促进有效学习——一道解析几何题的研究性学习及教学反思在现代教育中，促进学生的主动学习和知识建构是非常重要的教学目标。
通过让学生参与到研究性学习活动中，他们能够更好地理解和掌握知识，并能够运用所学知识解决实际问题。
本文将以一道解析几何题的研究性学习为例，探讨如何通过主动建构知识促进学生的有效学习，并对教学进行反思。
研究性学习是指通过学生主动参与探究和研究活动，发现问题、解决问题、建构知识的过程。
在解析几何学习中，学生常常遇到复杂的几何关系和推理问题。
为了提高学生的解决问题的能力，我设计了以下一道研究性学习题目。
题目：已知一个矩形ABCD，其中AB=5cm，BC=12cm。
点E是线段DC上的一个动点，且满足BE=8cm。
请问，当点E在线段DC上移动时，四边形ABCE的面积是否会发生变化？如果会发生变化，请阐述其变化规律，并给出证明。
学生首先需要明确研究的目标：研究四边形ABCE的面积是否会发生变化。
接下来，他们可以通过以下步骤进行研究。
步骤1：通过建模和观察，学生可以绘制一张坐标纸，将矩形ABCD绘制在纸上，并以D点为原点建立直角坐标系。
步骤2：学生可以标出点E在线段DC上的位置，并计算四边形ABCE的面积。
他们可能会发现，四边形ABCE的面积确实会随着点E 在线段DC上的移动而发生变化。
步骤3：为了确定四边形ABCE的面积变化规律，学生可以尝试寻找相关的几何性质和数学定律。
他们可能会发现，线段BE是线段AD 的平行线，且线段AB与线段BE的长度之比等于线段AD与线段BC 的长度之比。
因此，他们可以通过计算不同位置点E的线段AB与线段BE的长度之比，来确定四边形ABCE的面积变化规律。
步骤4：为了验证自己的猜想，学生可以选择几个具体的点E进行计算，并绘制线段AB与线段BE长度之比与四边形ABCE的面积之间的关系图表。
通过观察图表，学生可以得出结论：四边形ABCE的面积随着点E在线段DC上的移动会发生变化，并且随着点E在线段DC 上移动越靠近点D，面积会逐渐增大。
引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学1. 引言1.1 背景介绍随着教育理念的不断更新和发展，越来越多的教育工作者开始重视学生的主体性和参与性。
引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学便是一个重要的教学策略。
通过激发学生的兴趣和主动性，让他们亲身参与到数学问题的解决过程中，从而提高他们的学习动力和深度。
本文将通过分析实践案例和效果评估来探讨这一教学方法的优势和不足，并提出未来发展的展望和改进建议。
希望通过本文的研究，能够为引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学提供一些新的思路和方法。
1.2 研究意义数学是一门抽象、逻辑和严密的科学，不仅是一种工具，更是一种思维方式。
在当今社会，数学的应用越来越广泛，对培养学生的逻辑思维能力、实际问题的解决能力和创新意识起着重要作用。
传统的数学教学模式过于注重知识的灌输和机械计算，缺乏培养学生的自主学习能力和创新精神。
引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学具有重要的研究意义。
这种教学模式能够激发学生的兴趣和主动性，让他们在探究中感受到数学的美妙与魅力。
通过自主发现，学生可以更深入地理解数学知识，提高解决实际问题的能力。
这种教学模式注重培养学生的批判性思维和创造性思维，有利于培养学生的创新精神和解决问题的能力。
引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学可以促进师生之间的互动和合作，营造积极、开放的学习氛围，从而提高学生的学习效果和教师的教学水平。
探讨这种教学模式对数学教学的意义是非常重要的。
1.3 研究目的研究目的是为了探讨引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学的重要性和有效性。
通过研究，可以促进学生对数学知识的理解和掌握，提高他们的学习兴趣和学习动力，培养他们的创新意识和解决问题的能力。
也旨在为教师提供有效的教学方法和策略，帮助他们更好地引导学生体验感悟，进行自主发现生成数学教学。
通过研究目的的明确，可以更好地指导研究的实施和结果的评估，为未来的教育教学工作提供有益的借鉴和启示。
2019年第7期中学数学月刊・1・運循认识规律提学素养——“从问题到方程”教学实录与反思刘洪超（江苏省连云港市实验学校222003）作者简介:刘洪超，江苏连云港人,1978年出生，教育硕士，江苏省第14批初中数学特级教师，江苏省“333高层次人才培养工程”第三层次培养对象，连云港市“港城名师"，连云港市实验学校校长.在省级以上刊物发表论文20余篇,主持参与多项省市级课题研究.在教学中一直努力营造“自主探究、合作交流、动手实践”的氛围，主张以生为本、快乐学习、思维育人.1基本情况!1学情分析七年级学生在学习了有理数和代数式之后具备了一定的运算能力和符号意识，而且小学已经学习了简单的方程，为此节课学习奠定了良好的基础.1.2教材分析所用教材为《义务教育教科书•数学（七年级上册）》（苏科版），课题“从问题到方程”为第4章第1节的内容'本章主要内容是一元一次方程、解法及其应用•这是中学数学的重要内容'也是数学中的基本运算工具'对培养学生分析问题、问题的能力'体会数学的价值具有重要意义.本节课作为本章的第1节其作用和意义主要凸显在让学生体会方程的岀现源于解决实际问题的，方程是刻画世界的有效数学模型，感受由问题抽象为方程过程中所蕴含的建模思想」教学目标（1）探索问题中的数量关系，体验方程是刻画现实世界的有效工具，体会模型思想；（2）初步学会根据实际问题的意义设置未知数，并列岀方程，建立符号意识.教学程是刻画世的有效工具;利用方程表示等量关系•教学根际问题建的数学模型.2教学过程2.1问题情境T：同学们见过天平吗？天平如何测量物体质量的？S1：天平是测量物体质量的仪器，当两边物'了.问题1如果在天平左侧放一袋质量为8g 的食盐，右侧放3个质量分别为1g,2g,5g的舷码,此时我们发现天平两侧是的•你能个数学表？S2：8=1+2+5.（教师板书）问题2如果在天平左侧放一袋质量为8g 的食盐和质量为a g的小球，右侧放3个质量分别为2g'5g'10g的不去码,此时天平两侧是平衡的,表？S3：可用式子8+q=2+5+10表t K.（教书）T：左边可以用代数式8+a表示,右边可以表为2+5+10,问题3如果在天平左侧放一个质量为15g 的小球和2个质量未知的小球,右侧放2个质量分别为10g和20g的舷码,此时天平两侧是平的,1）表问题的？S3：15g小球质量+2个未知小球质量= 10g+20g,・2・中学数学月刊2019年第7期(2)可以用数学式子来表示这个等量关系吗？S4：若设一个未知小球质量为乂g,则两个小球质量可表示为2#g,用等式15+2#%10+20表示.(教师板书)T：同学们认识这个式子吗？S5：在小学学过,叫作“方程％T:方程可称为“数学天平％方程可以表示数学问题中的程，最早见于我国古代算书《九章算术》.《九章算术》是年编定的一有传本的+的数学作.书中了246问题和其他问题的，分为「方程”是其中的•我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，程,课程也•二物者二程,程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程•”2.2活动探究•活动1问题1学校排球联赛规定胜一场得2分,七年级1班胜了6场，负了3场，共得15分，问负分？问题2七年级6班参加学校排球联赛赛了12场,共得分20分，比赛规定胜一场得2分，负一场得1分,问该班级胜了几场？•活动2问题3小明买5本笔记本和3支铅笔共用18元,其中笔记本每本3元，则铅笔的单价为多少？问题4在一块长原为5m,宽为3m的花园：一条小路(图1)・花园面积增加到18m2,问小路宽为多少？图1•动3问题5今年小红5岁,爸爸32岁.如果#年后小红的年龄是爸爸年龄的四分之一,程来表示问题中的？T&问题了一些方程，同学们观察这些方程有什么共同的特征？S6：方程中只有“#%T：请大家观察未知数的次数(指数)有什么共同的特征？S7：未知数的次数都为1.T：只含有知数,并且未知数的次数是1次的方程叫作一元一次方程•一次方程最早见于约公元前1600年的古埃及时期.法国数学家韦达提岀母表示数，方程有了雏2.3拓展延伸鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一.大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了鸡兔同笼这个有趣的问题.书中是叙述的：“今有雉兔同笼,上有三十五头《下有九十四足，问雉兔各几？”这句话的意思是：有若干只鸡和兔［一笼子里，从上面数，有35个头;从下面数，有94只脚•问笼中各有几只鸡和兔.请学生谈一谈“对从问题到方程”的感受.2.4课堂小结(1)说一说用方程表示实际问题中等量关系的步骤和关键.(2)你能说岀一个问题中的等量关系可以用方程3#+2%8来表不吗？3回顾与反思3.1设计思路本节课基于一元一次方程概念,通过学生对际问题的数分'岀程'学生感受建模思想,积累数学活动经验,提升数学素养•根据教学目标、内容和学生已有知识水计了四个环节:问题情境、活动、拓展延、课堂小结.“问题情境”中用天平引入课题，充分利用教头图，并且非常形象直观.让学生充分会特点，先用算式表；接着增加 为a g的小球，引入字母，再让学生用表，此已经包母，实际就是方程了，而教师没有直岀,给学生充分思考感悟的时间・《问题放入2知的小'如表其的'问题要多知数的环节，此时学生感问题程就更加深刻了・《际生活测是数学程表的'会数学来源于生活,生活与数学息息•《增2019年第7期中学数学月刊•3•加了关于方程的历史，让学生体会数学历史源远流长，同时也增添民族自豪感.在“活动探究”中设置了3个活动，活动1的两个问题来自课本，进行了适当变式，增设新问题,让学生体会问题中的相等关系不变，而其他量发生变化，方程也会随之改变•在处理这个问题时教师可以根据学生课堂掌握情况引导列出方程2(12—#)十#=20,让学生感受对于同一个问题也可能有另一个等量关系.活动2的两个问题设计，让学生感受同一个方程也可能表示不同的实际问题，从不同的实际问题也可能得到相同的方程，加深学生对从问题到方程的理解•活动3是将课本中的问题“用代数式分别表示#年后小红与爸爸的年龄”去掉了，少了这一铺垫问题，部分学生解决起来可能会有困难，当学生出现思维障碍时，再适时进行引导,让学生感受从问题到方程的步骤和方法•在三个问题的基础上引导学生归纳一元一次方程的特点，从而得出概念，并适当介绍关于一元一次方程的历史.在“拓展延伸”部分采用了“鸡兔同笼”问题,该问题是中国古代著名趣题之一,学生在小学时可利用算术方法解决，但比较难，多数学生理解不了；而现在用方程就比较容易解决,让学生感受用方程解决问题的便捷•在"课堂小结”中给出一个方程让学生说出一个实际问题，让学生进行逆向思维，感受从方程到问题•从以上几个环节中让学生从不同角度不同层次充分感受和认识从问题到方程.3.2教学反思(1)理解学生，提升教学的适合性学生数学核心素养的培育、分析问题和解决问题能力的提升，不能依靠讲题解题,而应让学生经历知识生成的过程，参与数学活动，积累活动的经验•为此在“问题情境”设计中遵循学生认知规律,让学生经历知识生成的过程，发展学生的数学素养•所设置的三个问题依据生活中的天平为背景由浅入深,由学生熟悉的算式到用代数式再发展到简单的方程,符合学生的认知规律，激发学生学习的兴趣，也让学生体会从问题为什么到方程,从学生已有的知识和经验点出发逐步引导学生从问题到方程，感受方程在解决问题中的作用•：2]实现学生对数学知识和方法的深刻理解•(2)理解教材,提升教学的针对性笔者考虑到本节课是本章的起始课，整体统摄此章节的内容•因此在设计教学活动时,在充分尊重教材、依据课标的基础上，灵活地使用教材,课本所给的际问题基础，其，适当变式，让所有问题围绕一条主线“问题到方程”,让学生体会方程的出现源于解决现实问题的需要，方程是刻画现实世界的有效模型，渗透模型思想.(3)理解教学，提升教学的有效性基于学情和教材的教学活动其有效性必然提高，教学的着力点不仅关注由实际问题列出方程和一元一次方程概念的获得，更要关注学生在学习过程中的感受和体验,感受建模思想，积累数学活动经验•在问题情境环节中，学生操作天平测量物体质量出现两边不平衡的状态,学生问可以用数学式子来表示吗？笔者抓住这个生成点，引导学生思考是，表•课后笔者再反思“由问题一定到方程吗？”教是为了教，之而是之，课堂引学生历问题程的学程，充分体会方程是刻画实际问题的有效工具，了解用方程表示实际问题中等量关系的基本步骤.学生数学素养培育是而的，入每一节数学课中,教师要把握课堂教学中每个环节和问题设置，遵循学生认知规律，关注学生已有的知识水平和学习经验，聚焦每个教学元素，充分提升学生数学活动的参与度，让学生真正进入数学思考的过程，从而提升数学核心素养.参考文献口-中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)[M北京：北京师范大学出版社,2011.杨裕前，董林伟.义务教育教科书•数学(七上)教师教学用书[M-.南京：江苏凤凰科学技术出版，2018,。
本资源为2021年制作，是一线教师经过认真研究，综合教学中遇到的各种问题，总结而来。
是一个非常实用的资源。
资源以课本为依托，以教学经验为蓝本，经过二次备课和实践研究，将教学环节进一步细化，综合同课异构的课堂结构，统一编写而成。
欢迎您下载使用！从算式到方程课型：新授课【教学习目标】一、知识与技能1、通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步。
2、初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念。
3、培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。
二、过程与方法通过实际问题，感受数学与生活的联系。
三、情感态度与价值观培养学生热爱数学热爱生活的乐观人生态度。
【教学方法】探索式教学法教师准备教学用课件。
【教学过程】一、新课引入教师提出教科书第79页的问题，同时出现下图：问题2：你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗？()50701510702301513+⨯--=-()50701310502301513+⨯-+=-问题3：能否用方程的知识来解决这个问题呢？可以提示学生从时间、路程、速度、四地的排列顺序等方面去考虑。
） 当学生列出不同算式时，应让他们说明每个式子的含义） 教师可以在学生回答的基础上做回顾小结： 1、问题涉及的三个基本物理量及其关系； 2、从知的信息中可以求出汽车的速度；3、从路程的角度可以列出不同的算式：如果设王家庄到翠湖的路程为x 千米，那么王家庄距青山 千米，王家庄距秀水 千米．问题1:题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思？问题2:汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示？你能表示其他各段路程的车速吗？问题3：根据车速相等，你能列出方程吗？教师引导学生寻找相等关系，列出方程．教师根据学生的回答情况进行分析，如：依据“王家庄至青山路段的车速=王家庄至秀水路段的车速”可列方程：507035x x -+=依据“王家庄至青山路段的车速=青山至秀水路段的车速” 可列方程：50507032x -+= 给出方程的概念，介绍等式、等式的左边、等式的右边等概念．含有未知数的等式叫方程.归纳列方程解决实际问题的两个步骤：(1)用字母表示问题中的未知数（通常用x,y,z 等字母）；(2)根据问题中的相等关系，列出方程对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？如果直接设元，还可列方程：70605x += 如果设王家庄到青山的路程为x 千米，那么可以列方程： 12060;335x x x +== 依据各路段的车速相等，也可以先求出汽车到达翠湖的时刻：552126⨯=，再列出方程536x +=60 二、巩固练习1、例题P/802、练习（补充）：(1) 列式表示：① 比a 小9的数； ② x 的2倍与3的和；③ 5与y 的差的一半； ④ a 与b 的7倍的和．(2)根据下列条件，列出关于x 的方程：（1） 12与x 的差等于x 的2倍；（2）x 的三分之一与5的和等于6.三、课堂小结教师引导学生设未知数，并用含未知数的字母表示有关的数量可以采用师生问答的方式或先让学归纳，补充，然后教师补充的方式进行，主要围绕以下问题：1、本节课我们学了什么知识？2、你有什么收获？谈谈你的收获和体会说明方程解决许多实际问题的工具。
基于学生经验促进自主建构和自觉生成—以“从算式到方程(一)”课堂教学为例徐晓蓉 施俊进江苏海门市能仁中学226100 江苏海门市海南中学226100[摘要]数学教学中，在学生已有的知识经验和教材原有知识结构的基础上，应尽 力让学生充分经历实践、体验、内化、表达的过程.在这样的过程中，师生互动，生生互动，深度交流，引导学生自主建构，自我完善“用方程表示实际问题中的数量关系”的方法和能力，甚至直达数学本质的自觉生成，从而优化学生的思维品质.[关键词]生生互动；自主建构；自我完善；自觉生成；思维品质《义务教育数学课程标准》(2011 版)指出：数学教学活动必须建立在学 生的认知发展水平和已有的知识经验 基础之上.有效的数学学习活动不能单 纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主 探索与合作交流是学生学习数学的重 要方式.2016年10月14日，在首届全国 基础教育国家级成果一等奖《初中数学 “自学•议论•引导”教学法》研修与推广 中心成立暨第一期推广活动中，笔者聆 听了施俊进老师执教的“从算式到方程(一)（人教版《义务教育教科书•数学》七年级上册）一课.施老师在认真分析 了学生已有的知识经验和教材原有知 识结构的基础上，以发展的观点，以学 定教，引导学生直达数学本质的自主建 构、自我完善、自觉生成，力图体现“自学•议论•引导”教学法的基本理念和价 值追求.现将教学设计、课堂生成，以及 反思启示整理成文，与各位同行交流.<0教学过程简录(一)通过引例研究袁初步认识从算式到方程是数学的进步1.引例研究引例快、慢两车同时从4地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是70 k m/h，慢车的行驶速度是60 k m/h，快车比慢车早1h到B地.4，B两地间的路程是多少？(1) 引导学生认真读题，分析题意，说出问题中已知什么，求什么，它们之间有怎样的关系.(2) 引导学生列出算式进行求解.(3) 引导学生用方程来求解.师:还有什么方法可用于求解？(部分)生:用方程.师:什么叫方程？生1院含有未知数的等式叫方程.师:方程含有未知数，那么本题怎么设未知数？方程还是一个等式，等式表示一个相等的关系，那么本题中的相等关系是什么？生2院我设慢车走完全程所花的时间为x小时，则快车走完全程所花的时间为(x-1)小时.相等关系是“慢车走的路程越快车走的路程”，由此得到方程60x=70(x-1).师:如果求得x的值，问题能得以解决了吗？生（齐）院不能，还要进一步求4，B两地之间的路程.师:还有什么方法？生3院我设4，B两地之间的路程为x km，由相等关系“慢车走完全程所花的时间-快车走完全程所花的时间=1”，可列出方程i-i=1.60 70师:刚才我们用两种方法列出了方程，那么用方程表示实际问题中的数量关系的一般步骤(或方法)是什么？列方程的关键是什么？*注：本文系江苏省“十二五”规划立项课题《初中数学“比翼式”课堂教学的构建研究》(课题立项编号:D/2011/02/101)研究成果之一.生4院列方程的步骤是设未知数、找相 等关系、列方程.最关键的是找相等关系.师：根据问题中的数量关系，我们 分别列出算式和方程来求解，请大家比 较一下，算式和方程各有什么特点？生5院方程是一个等式，等号两边分 别是一个整式，而算式是一个整式.生6院列算式时只能用已知数，是逆 向思考;而列方程时是顺着思考，既含 有已知数，又含有未知数.我觉得列方 程比较简便，也容易想到.师:思路清晰，表达清楚！大家既能 从思维上比较它们的不同点，还能从形 式上比较它们的不同点.列方程和列算 式都是依据问题中的数量关系，算式表 示用算术方法进行计算的程序（或者是 运算顺序），它只含有已知数;而方程中 既含有已知数，又含有未知数，打破了列 算式时只能用已知数的限制，这为我们 解决许多问题带来了方便.一般来说，列 方程比列算式有更多的优越性.通过以 后的学习，我们将会逐步认识到方程是 刻画现实世界的一种有效数学模型，从 算式到方程是数学的进步，这就是我们 今天要研究的课题——从算式到方程.点评引导学生分别用算式、方程表 示问题中的数量关系并作比较，突出了方 程的根本特征，使学生认识到从算式到方 程使我们有了更加有力、更加方便的数学 工具，进而认识到从算术方法到代数方法 是一个进步，从而调动了学生学习“用方 程表示问题中的数量关系”的积极性.2.野方程”史话中国人对方程的研究有着悠久的 历史.两千年前，《九章算术》中有专门 研究“方程”的一章，记载了用一组方程 解决实际问题的方法.这不但是我国古 代数学的伟大成就，而且是世界数学史 上一份非常宝贵的遗产.法国数学家笛 卡尔最早用x，y，z等字母表示未知数，方程才逐渐演变成现在的表达形式.点评了解方程的发展文化，能直 接感受到中华民族的文化成就，产生民 族自豪感，更重要的是，激发了学生学 习方程、学好方程的情感.(二)通过例题研究袁初步掌握用方 程表示实际问题中的数量关系的方法例1根据下列问题，设未知数并列出方程.(1)一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h?方式:学生代表读题，同时学生审题、思考，并说出问题中的“已知”“求”“相等关系”分别是什么，接着独立思考设未知数列方程，然后展示交流.最后，教师投影解题过程.⑵某校女生占全体学生人数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？师:请大家自己读题、审题，思考并说出问题中的“已知”“求”和“相等关系”分别是什么.生1院已知女生占全体学生人数的百分比，女生比男生多的人数;求学校总人数；相等关系是“女生人数-男生人数=80”.师:还有什么要补充的吗？生2院相等关系还有“女生人数=学校总人数伊52%”.师：下面请同学们先独立设未知数、列方程，然后小组交流(交流的内容为你是怎么思考的？还有什么方法），比一比哪个小组思路最清晰、方法最多.(独立思考2分钟、小组交流3分钟）生3院我们小组有三种方法，分别为设这个学校的学生共有x人，则女生有52%x人，男生有（1-52% )x人，根据相等关系“女生人数比男生人数多80人”得52%x-(1-52%)x=80或（1-52%)x+80=52%x;第三种方法是设男生有x人，但方程还没列好.师:设这个学校的学生共有x人，列出的方程怎么会有两个？生4院一样的.师:两个方程形式不同，但是依据的相等关系一样，它们之间可以相互转化.若设男生有x人，则根据哪个相等关系可列出怎样的方程？生5院如果设男生有x人，那么女生有(x+80)人，根据相等关系“女生人数=学校总人数伊52%”得x+80=52%(x+*+80).师:还有不同的方法或思路吗？生6院我也设这个学校的学生共有x人，根据“男生人数=男生人数”来列方程.（众生笑）生6院因为这个学校的学生共有x人，由“女生人数=学校总人数伊52%”可以知道女生有52%x和男生人数=学校总人数伊48%，那么男生人数有48%x人，又根据相等关系“女生人数比男生人数多80人”知道男生人数为（52%x-80).这样，48%x和（52%x-80)都表示男生人数，从而可得方程48%x=52%x-80.师:非常好！生6同时根据两个相等关系，分别用不同的式子表示相同的量，即男生的人数，从而列出方程，为我们列方程提供了一个新的思路.在这个问题的解决中，我们可以发现:如果求什么设什么，那是直接设元，可以直接求出问题的结果;但是间接设元则不能直接求出问题的结果，需要进一■步计算.(3)甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？方式：师生共同分析，学生形成两种思路.思路一:设甲种铅笔买了x支，则乙种铅笔买了（20-x)支，根据相等关系“甲种铅笔用的钱数垣乙种铅笔用的钱数=9 ”可列出方程 0.3x+0.6 (20-x)=9.思路二:设甲种铅笔用的钱数为x元，则乙种铅笔用的钱数为(9-x)元，根据相等关系“甲种铅笔的支数+乙种铅笔的支数=20”可列出方程原^=20.0.3 0.6追问：问题(2)和问题(3)都有两个相等关系，应如何处理？教师强调：当问题中出现两个相等关系时，可以用其中一个相等关系表示两个未知数，再根据另外一个相等关系列方程;列方程的关键是找相等关系.点评设置这样三个由浅入深的例题，让学生自主找相等关系、设未知数、列方程，这样符合学生的认知规律，分散了列方程这一教学难点，化整为零地培养学生的建模能力.同时为学生自主建构一元一次方程及其相关概念作准备.整个过程中，交替灵活地使用“个人学习、小组学习、全班学习”三结合的形式，让学生充分经历实践（思维或操作)、体验(发现、归纳、论证、概括)、内化(掌握了什么？为什么？）、表达(说出来，用起来)的过程.在这个过程中，师生互动，生生互动，深度交流，达到知识、技 能、方法、经验、能力、情感、态度以及价 值观的自主建构、自觉生成.注重了学 生读题审题能力及分析问题、解决问题 能力的培养;鼓励学生用不同方法体验 解决问题策略的多样性，优化了学生的 发散性思维品质.引导学生自觉地先找 相等关系，再列方程，让学生明确找相等 关系是列方程的关键，渗透数学建模思 想，让学生从现实表述到符号表述的情 境中深刻理解方程的意义，培养学生的 创造性和发散性思维.(三)在列方程的基础上，自主建立 一元一次方程及其相关概念师：观察以上列出的方程，它们有 什么共同的特征？生1院只含有一个未知数;未知数的 次数都是1.生2院等号两边都是整式.师:我国古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数，因此我们把同时 具备以上三个特征的方程叫做一元一 次方程.你能用自己的语言说说什么叫 一元一次方程吗？生3院只含有一个未知数，未知数的 次数是1，等号两边都是整式，这样的方 程叫做一元一次方程.师：弓I例中所列的方程i-i= 160 70是一元一次方程吗？为什么？生4院是一元一次方程，因为它同时 具备这三个特征.师：方程i-i=1中未知数的值60 70表示A，B两地之间的路程；算式[60衣(70-60)]x70的结果也表示A，B两地之间的路程，那么方程1-^= 1中的未60 70知数的值是多少呢？生5:x=420.师:我们把x=420叫做方程i-i=60 701的解.因为当x=420时，方程i-i= 160 70等号两边相等，所以我们把x=420叫做方程^-1= 1的解.也就是说，方60 70程中未知数的值应是420.什么叫方程 的解？生6:使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.师：求出方程的解的过程叫解方程.一般地，要检验某个值是不是方程的解，怎么办？生7:用这个值代替方程中的未知数，看方程左右两边的值是否相等.如果相等，那么这个值是方程的解；如果不相等，那么这个值不是方程的解.师:那么如何把方程i-i=1有根60 70有据地化为x=420的形式呢?这是我们下一节课要研究的内容——方程的解法.点评通过具体问题，引导学生自主建构相关概念，是学生原有基础上的自然提高，符合学生从特殊到一般、具体到抽象的认识过程；同时有利于归纳、概括能力的提高.(四）师生共同总结引导学生围绕以下问题进行思考、交流：⑴怎么认识“从算式到方程”是数学的进步？(2) 如何用方程表示实际问题中的数量关系？(3) 通过今天的学习，你觉得最大的收获是什么？还有什么疑问或想法？师:用方程表示实际问题中的数量关系，为我们解决问题提供了更多的方法和途径;从算式到方程使我们有了更有力、更加方便的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步，如果学会了正确地解方程，那么解决问题的能力就更强了.点评“问题化”引领学生自主总结，有利于发挥学生的主体作用，有利于学生归纳、整理和表达能力的提高，有利于增强学生自主反思学习过程的意识和能力.通过学生的自主反思，使得学生自主建构自己的经验世界和认知结构，自觉地达到知识、方法、技能、情感、态度和价值观的生成.(五)课后作业必做题：书P83耀84的5耀9曰选做题：书阼4的10、11.附板书设计：如图1.点评根据学生已有“列算式和方程”解决实际问题的经验构建本课的知识框图，有利于整体把握有关知识和方法，有利于能力的提高和素质的发展.同时，以知识结构框图的形式展现给学生，新颖、系统、醒目，且突出了知识的生成过程和包含关系，学生看了一目了然，便于整体理解和记忆.(E)反思和启示1.鼓励解法多样化，强化“数学建模思想”学生在小学阶段已学习了用简易方程解决实际问题，学生已经对方程有了初步的认识，积累了一些用方程表示简单情境中的数量关系的经验(但根据相等关系列方程的意识不够强烈).即学生在学习之前，习惯于算术方法解决实际问题以及模糊的方程意识.为强化“数学建模思想”，在教学过程中，对每个实际问题，都提出相同的问题:野本题的相等关系是什么或它们之间有什么关系？”看似“牵着学生走”，实质是突出(下转第39页）图12298x(1+30% )x+13%xl999x(1+25%). (960-x)解决.例2的第（1)问可以通过不等式组15-2x臆丄x袁2000x+2400x垣21600(15-2x)臆32400解决；第（2)问可 以通过函数y(财政补贴）=13%x2100x+ 13%x2500x+13%x1700(15-2x)解决.<0方案的执行当方程、不等式、函数解析式得到 以后，利用它们求解是比较容易的.当 求出未知数后，需要检验解的合理性，同时写出答案.最后，笔者再通过一例 说明笔者的应用题教学思路.例3某校团委为了教育学生，开展 了以感恩为主题的有奖征文活动，并为 获奖的同学颁发奖品.小红与小明去文 化商店购买甲、乙两种笔记本作为奖 品，若买甲种笔记本20个，乙种笔记本 10个，共用110元;且买甲种笔记本30个 比买乙种笔记本20个少花10元.(上接第4页）教学重点、分散教学难点.野用方程表示 实际问题中的数量关系，体会建立数学 模型思想”，对后继内容的学习具有重要 的基础作用.为强化“先找问题中的相等 关系，再设未知数，利用相等关系列出方 程”的意识和能力，应鼓励学生用不同的 方法解决各个问题.在这样的过程中，通 过对话、追问、启发、思辨等，能自主思 考、表达、操作、发现并修正自身的不足 乃至错误.民主、开放的课堂氛围让学生 身心愉悦，能带给学生深人细致的思考、无拘无束的交流，使得人人都能积极参 与、积极思考.学生自主探究多种方法后 的展示、交流、评价、互纠，教师综合评 价，不仅能让学生积累相互协作、相互启 发、用方程表示数量关系的方法和经验，还能提高其数学表达和分享交流的能 力，这无疑有利于学生思维品质的提升.2.基于经验，自主构建、自觉生成所谓“生成”，是指学生知识、能力 的自主生长，逐渐生成（即“产生、生长、成型”等意思；绝不止于教师预设之外、出乎意料的课堂学习情态).生成的过 程，是智慧，是一段独特的学习经历，是(1) 求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元；(2) 若本次购进甲种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还少10个，且购进两种笔记本的总数量不少于80个，总金额不超过320元，请你设计出本次购进甲、乙两种笔记本的所有方案.分析1(1)由“买曱种笔记本20个，乙种笔记本10个，共用110元”得野20本曱种笔记本的钱+10本乙种笔记本的钱=少10个”得“曱种笔记本的数量=2x乙种笔记本的数量-10”；由“购进两种笔记本的总数量不少于80本”得“曱种笔记本的数量+乙种笔记本的数量逸80”；由“总金额不超过320元”得“买曱种笔记本的钱+买乙种笔记本的钱臆320”.解答设本次购买乙种笔记本m个，则本次购买曱种笔记本(2m-10)个.(m+(2m-10)逸80，根据题意可得3(2m-10)+5m臆320，110元”；由“买曱种笔记本30个比买乙种笔记本20个少花10元”得野30本曱种笔记本的钱=20本乙种笔记本的钱-10”.解答（1)设曱种笔记本的单价是x元，乙种笔记本的单价是y元，根据题意可得 |20x+10y=110,解得 |x=3，[30x=20y-10, ly=3,所以曱种笔记本的单价是3元，乙种笔记本的单价是3元.分析2 (2)由“本次购进曱种笔记本的数量比乙种笔记本的数量的2倍还9解这个不等式组得30臆m臆31工.因为11m为正整数，所以m可取30或31.所以本次购买的方案有：购买乙种笔记本30个，购买曱种笔记本30个；购买乙种笔记本31个，购买曱种笔记本32个.总之，笔者在应用题教学时，以基础知识和基本关系为依据，以练习和训练为桥梁，通过分析、设元、建模、解模、检验、答案等步骤，将应用题这一重点和难点化解于无形.学生“生产知识冶(郭思乐语）的一种形态.教学中，从学生已有经验出发展开学习，方程模型的建立及相关方法、概念的得出都是在教师的引导下，自主构建、自我完善、自觉生成.通过“算式和方程各有什么特点”，帮助所有学生自主生成“一般地，列方程比列算式更方便，从算式到方程是数学的进步”.通过“如何用方程表示实际问题中的数量关系”“观察列出的方程，它们有什么共同的特征”“问题中含有两个相等关系，如何来处理”等，引领学生自主建构、自觉生成认知结构和经验世界.尤其在例题教学中，通过先独立、再交流的方式，引导学生自主建构“用方程表示问题中数量关系”的经验，使得学生获得自觉利用方程模型解决问题（模型思想）的意识和能力，从而使学生的逻辑思维从经验型逐步走向理论型.通过不断追问“你还有其他方法或思路吗”，引导学生自觉地探究不同的设元方法，拓展了例题的教学功能，让学生通过做一题，学会如何处理含有“两个相等关系”的一类实际问题.3.关注教学的“后半段冶,主动建构心理学家波斯纳认为，没有反思的经验是狭隘的经验，至多只能形成肤浅的认识.有效引导学生进行自我反思，有利于学生学习力的自主提升.为此，“后半段”的教学应该是“生长”在学生“最近发展区”上进行的，使得学生在教师的有效引导下不断地在“原有认知基础上主动建构”，不断完善知识结构体系，提升思维品质，发展学习力.本课中，教师就任何一个相对独立的教学阶段，通过“问题”引领，有效引导学生进行自我反思，尽力发挥“后半段”教学的有效性.通过“算式和方程各有什么特点”，引导所有学生感知“一般地，列方程比列算式更方便”.通过问题(含课堂总结等），引领学生自主建构、自觉生成认知结构和经验世界，反思、巩固知识与技能，体会数学思想与方法，形成基本的活动经验；通过“自评、互评”，引导学生积极参与，增进师生、生生之间的多向交流，取长补短，有利于激励学生不断认识掌握，完善学习；同时又关注了个体差异，真正保护不同层次学生学习数学的信心，使得不同的学生都可以在数学学习上获得不同程度的成功感.。
