因动点产生的面积问题

中考数学压轴题：由动点引出的几种面积问题动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点。

解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”。

即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。

基本方法：铅锤法！即利用“铅垂高、水平宽”求三角形面积.类型一、一次函数由动点问题引出的面积问题【分析】（1）Rt△AOH中利用勾股定理即可求得菱形的边长；（2）根据（1）即可求得OC的长，则C的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式；（3）根据S△ABC=S△AMB+SBMC求得M到直线BC的距离为h，然后分成P在AM上和在MC上两种情况讨论，利用三角形的面积公式求解．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及菱形的性质，根据三角形的面积关系求得M到直线BC的距离h是关键．类型二、二次函数由动点问题引出的面积问题【分析】（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x^2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣1.5x^2﹣1.5x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、一次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣1.5x^2﹣1.5x+3;（3）利用二次函数图像的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．类型三、利用相似三角形求解由动点问题引出的面积问题【分析】（1）利用待定系数法即可；（2）①分别用t表示PE、PQ、EQ，用△PQE∽△QNC表示NC及QN，列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解；②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值．【点评】本题是代数几何综合题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，解答时应注意数形结合和分类讨论的数学思想．类型四、利用转化思想解决由动点问题引出的面积问题【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（2）根据勾股定理，可得BC的长，根据等角的正切值相等，可得HO的长，根据待定系数法，可得BE的解析式，根据解方程组，可得E点坐标；（3）由题意△PMN是等腰直角三角形，得PM=PN=1，设M（a，a^2+3a﹣4）则N（a+1，a^2+3a+1）或（a+1，a^2+3a﹣5），代入抛物线的解析式即可求解．【点评】本题考查二次函数的有关知识、一次函数、直角三角形等知识，掌握两个函数的交点问题转化为方程组的解的问题是解题的关键，还要记住一个结论斜边为定值时直角边相等时面积最大．。

例21：2011年四川省南充市中考第22题抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（m﹣4，0）和B（m，0），与直线y=﹣x+p相交于点A和点C（2m﹣4，m﹣6）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且以点P和A，C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP面积为12，求点P，Q 的坐标；（3）在（2）条件下，若点M是x轴下方抛物线上的动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．解答：解：（1）∵点A（m﹣4，0）和C（2m﹣4，m﹣6）在直线y=﹣x+p上∴，解得：，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（2，﹣3），设抛物线y=ax2+bx+c=a（x﹣3）（x+1），∵C（2，﹣3），代入得：﹣3=a（2﹣3）（2+1），∴a=1∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3，答：抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3．（2）解：AC=3，AC所在直线的解析式为：y=﹣x﹣1，∠BAC=45°，∵平行四边形ACQP的面积为12，∴平行四边形ACQP中AC边上的高为=2，过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K，DK=2，∴DN=4，∵ACPQ，PQ所在直线在直线ACD的两侧，可能各有一条，∴PQ的解析式或为y=﹣x+3或y=﹣x﹣5，∴，解得：或，，方程无解，即P1（3，0），P2（﹣2，5），∵ACPQ是平行四边形，A（﹣1，0），C（2，﹣3），∴当P（3，0）时，Q（6，﹣3），当P（﹣2，5）时，Q（1，2），∴满足条件的P，Q点是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）答：点P，Q的坐标是P1（3，0），Q1（6，﹣3）或P2（﹣2，5），Q2（1，2）．（3）解：设M（t，t2﹣2t﹣3），（﹣1＜t＜3），过点M作y轴的平行线，交PQ所在直线雨点T，则T（t，﹣t+3），MT=（﹣t+3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+t+6，过点M作MS⊥PQ所在直线于点S，MS=MT=（﹣t2+t+6）=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，M（，﹣），△PQM中PQ边上高的最大值为，答：△PQM 的最大面积是，，点M 的坐标是（，﹣）．点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，平行四边形的性质，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．例22：2010年广东省湛江市中考第28题如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为(－3，－4)，线段OB 绕原点逆时针旋转后与x 轴的正半轴重合，点B 的对应点为点A ．(1)直接写出点A 的坐标，并求出经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点C ，使BC ＋OC 的值最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点P 是抛物线上的一个动点，且在x 轴的上方，当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？求出此时点P 的坐标和△PAB 的最大面积．解：(1)A(5，0) ………1分由抛物线经过点O ，可设抛物线的解析式为bx ax y +=2…2分⎩⎨⎧=-=+4390525b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=6561b a …………………………4分 ∴抛物线的解析式为x x y 65612+-=…………………………5分 (2)如图，由(1)得抛物线的对称轴是直线25=x ，点O 、A 关于直线25=x 对称，连接AB 交直线25=x 于点C ，则点C 使BC+OC 的值最小………………………6分设直线AB 的解析式为b kx y +=，得⎩⎨⎧-=+-=+4305b k b k ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2521b k∴直线的解析式为2521-=x y ………………………8分把25=x 代入2521-=x y ，得45-=y ，∴点C 的坐标为)45,25(-………………9分(3)如图，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点D ，设点P 的横坐标为x ，得)6561,(2x x x P +-, )2521,(-x x D ………………10分∴PAD PBD PAB S S S ∆∆∆+==)(21B A x x PD -∙＝))((21B A D p x x y y --＝[])3(5)2521()6561(212--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-x x x ＝1034322++-x x ＝332)1(322+--x ∴当1=x 时，PAB S ∆的最大值为332………………12分 把1=x 代入x x y 65612+-=，得32=y ，∴此时点P 的坐标为)32,1(………………13分例23：2012年广东省广州市中考数学模拟第25题平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，点A 、C 的坐标分别为(0，3)、(1-，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形'''A B OC 。

80因动点产生的面积问题★林广姗所谓的因动点产生的面积问题就是解决一个会移动的点在坐标系中的位置转变所形成的几何面积问题。

在往年真题中我们可以看到中考命题组特别喜爱动点面积相结合的问题，因动点产生的面积问题大多以函数为背景，充分结合函数、方程、转化及数形结合等思想进行展开，而学生对知识点多且题型复杂的动点问题也是又爱又恨。

在数学教学中，教师可以从哪些方向带着学生不慌不忙延伸拆解每一道题，让学生动脑生趣，不再害怕此类问题。

引言：在中考中，数学要如何和他人拉开距离，保持领先？那么我们就要教会学生破解压轴题，而作我们首要突破的热点压轴题则是动点问题，其中因动点产生的面积问题则是学生们最怕见到的压轴题类型。

如何让学生对动点产生兴趣？高效利用每一道真题，延伸派生，让学生一题多思。

接下来笔者将会对两道中考真题进行思路点拨和延伸，旨在与大家交流研讨。

一、思路建立阶段面积是平面图形中的一个重要的概念，关联着平面图形中的要素边与角，因点的运动而产生的面积问题，是一次函数图象与二次函数图象相结合的形式，经常出现的面积问题有规则图形（如直角三角形、平行四边形、特殊平行四边形的面积）以及不规则图形的面积计算，求解不规则几何图形的面积是中考压轴常考的题型，此类题目运算量较大，要根据不同题目的动点问题思考解的可变性和多可能性。

求解动点相关面积问题经常用到下列与面积有关的方法：平面几何的割与补、等积变形、等比转化等数学思想方法。

解决与面积相关的动点存在性题目，出现频率较高的题型和使用较多的解题策略有两种：一是据图形确定存在性，再列出方程，求解并检验方程的根．二是先认为关系存在，然后列出方程，再据方程的反推假设是否成立．而教师对真题进行延展派生时，可通过以下几个方面进行延展： （1）在原图中加一或多条辅助线，构成新图形，再求解新平面几何图形的面积；（2）改变面积比例求对应点坐标；（3）改变动点活动范围，例如当动点跑出函数外时；（4）求构成特殊图形时特殊点的坐标，例如直角三角形、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、特殊的平行四边形等。

因动点产生的面积问题例1：如图所示，将两张长为8，宽为2的矩形纸片交叉，使重叠部分呈一个菱形，求菱形面积的最大值。

例2：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△AOB为正三角形，A在第一象限上，点B的坐标为（2，0），点P是线段OB的三等分点．（1）求经过A、O两点的直线AO的解析式；（2）过点P作PC⊥AB，PD⊥AO，垂足分别为C、D，求PC+PD的值；（3）在（2）的条件下，点E在x轴的负半轴上，作直线CE交AO于点F，且△ACF和△EOF的面积相等，求直线CE的解析式．一、面积比定值问题已知：抛物线y=ax 2+bx+c 经过点O （0，0），A （7，4），且对称轴l 与x 轴交于点B （5，0）。

（1）求抛物线的表达式。

（2）如图，点E 、F 分别是y 轴、对称轴l 上的点，且四边形EOBF 是矩形，点C （5，25）是BF 上一点，将△BOC 沿着直线OC 翻折，B 点与线段EF 上的D 点重合，求D 点的坐标。

（3）在（2）的条件下，点G 是对称轴l 上的点，直线DG 交CO 于点H ，S △DOH ：S △DHC =1：4，求G 点坐标。

例.如图，在平面直角坐标系XOY 中，已知点A 的坐标为（a ，3）（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数y=x 12的图象交于点P ，点B 、C 分别在函数y=x 12的图象上，且AB ∥x 轴，AC ∥y 轴；（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB=BO 时，求点A 坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想：ACP ABP △S △S 的值是否随a 的变化而变化？如果不变,求出ACPABP △S △S 的值；如果变化，请说明理由．例：如图，在平面直角坐标系中，已知点A （m ，0），点B （4，0）、C （4，m ），其中m ＜0，点D 是y 轴正半轴上的一点，且OD=AB ，分别连接AD 、AC 、DB 和DC ．（1）请直接写出D 点的坐标（用含m 的整式表示）；（2）判断△DAC 的形状并说明理由；（3）是否存在实数m 的值，使得m S S ABCDACB 36-=∆四边形？若存在，请求出m 的值不存在，请说明理由．二、等面积求定点坐标问题例2.如图，在平面直角坐标系XOY 中，直线1+=mx y 与反比例函数y ＝xk （k ＞0）相交于点A 、B ，点C 在x 轴正半轴上，点D （2，-3），连结OA 、OD 、DC 、AC ，四边形AODC 为菱形．（1）求k 和m 的值．（2）当x 取何值时，反比例函数值不小于一次函数值．（3）设点P 是y 轴上一动点，且△OAP 的面积等于菱形OACD 的面积，求点P 的坐标．例：如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD 为菱形，且A （0，3）、 B （-4，0）．（1）求经过点C 的反比例函数的解析式；（2）设P 是（1）中所求函数图象上一点，以P 、O 、A 顶点的三角形的面积与△COD 的面积相等．求点P 的坐标．例：如图，在平面直角坐标系中，点A 是反比例函数y 1=xk （k ≠0）图象上一点，AB ⊥x 轴于B 点，一次函数y 2=ax+b （a ≠0）的图象交y 轴于D （0，-2），交x 轴于C 点，并与反比例函数的图象交于A ，E 两点，连接OA ，若△AOD 的面积为4，且C 为OB 的中点．若点Q 在反比例函数图象上，且QAB S ∆=BAC S ∆4，求点Q 的坐标．三、面积极值问题例3：如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象经过矩形OABC的顶点A ，B ，与x 轴交于点E ，F ，且B ，E 两点的坐标分别为B （2，23），E （-1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）若直线BE 与抛物线的对称轴交点为P ，M 是线段CB 上的一个动点（点M 与点B ，C 不重合），过点M 作MN ∥BE 交x 轴于点N ，连接PM ，PN ，设CM 的长为t ，△PMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；例：如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ，且A （4，0）．C （0，-3），对称轴是直线x=l ．（1）求二次函数的解析式；（2）若M 是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m ，设四边形OCMA 的面积为s ．请写出s 与m 之间的函数关系式，并求出当m 为何值时，四边形OCMA 的面积最大；例:已知：在矩形AOBC 中，OB=4，OA=3．分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数y=xk （k ＞0）的图象与AC 边交于点E ． （1）求证：△AOE 与△BOF 的面积相等；（2）记ECF OEF S S S ∆∆-=，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？例：如图1，已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过A （-3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ，（1）求二次函数的表达式；（2）如图2，若E 是线段AD 上的一个动点（E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线与点F ，交x 轴与点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ，①求S 与m 的函数表达式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．例：如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数c+=2的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析y+axbx式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．四、重叠面积问题例4.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x 轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．线段AE上有一动点P（不与A 重合），从A点开始沿AE方向匀速运动，到达点E时停止．运动的速度为每秒2个单位长度，设运动的时间为t秒，过P点作AE的垂线交AD于点Q，以PQ 为边向上作正方形PQMN，正方形PQMN与矩形ABCO重叠部分（阴影部分）面积为S（平方单位）．（1）求D、E两点的坐标．（2）当重叠部分为五边形时，求S与t之间的函数关系式并直接写出t的取值范围．（3）在（2）的条件下，当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？例.在矩形OABC 中，OA=4，AB=2，以点O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．将矩形OABC 绕点O 逆时针旋转至矩形ODEF ．（1）如图1，当∠AOD=60°时，△OCF 的形状是（2）如图2，当点E 落在y 轴的正半轴上，试求CE 的长度和点D 的坐标；（3）如图3，在图2的基础上再沿y 轴的负半轴向下平移，平移速度是每秒1个单位长度．①求经过几秒，直线DE 经过点A ；②设两矩形重叠部分的面积为S ，运动时间为t ，写出重叠部分面积S 与时间t 之间的函数关系式.例.如图，在平面直角坐标系中，点A 、点C 同时从点O 出发，分别以每秒2个单位、1个单位的速度向x 轴、y 轴的正半轴方向运动，以OA 、OC 为边作矩形OABC ．以M （4，0），N （9，0）为斜边端点作直角△PMN，点P 在第一象限，且tan∠PMN＝21，当点A 出发时，△PMN 同时以每秒0.5个单位的速度沿x 轴向右平移．设点A 运动的时间为t 秒，矩形OABC 与△PMN 重叠部分的面积为S ．（1）求运动前点P 的坐标；（2）求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）若在运动过程中，要使对角线AC 上始终存在点Q ，满足∠OQM=90°，请直接写出符合条件的t 的值或t 的取值范围．五、动点经过面积问题例5.如图，已知直线y ＝−21x+1交坐标轴于A 、B 点，以线段AB 为边向上作正方形ABCD ，过点A 、D 、C 的抛物线与直线的另一个交点为E ．（1）求点C 、D 的坐标（2）求抛物线的解析式（3）若抛物线与正方形沿射线AB 下滑，直至点C 落在x 轴上时停止，求抛物线上C 、E 两点间的抛物线所扫过的面积．六、面积转化等值问题例6.已知：二次函数c x ax y +-=22的图象与x 于A 、B ，（A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O.（1）求这个二次函数的解析式；（2）直线y ＝−31x+1交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求βα-的值；（3）在（2）问的前提下，P 为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC ，在y 轴右侧的抛物线上是否存在点M ，使得△BDM 的面积等于PA 2？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．七、划分面积求动点坐标问题例7.如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴、y 轴分别交于A （-1，0）、B （5，0）、C （0，4）三点，顶点为点D ．（1）求二次函数的解析式，并求出顶点坐标；（2）x 轴上方的抛物线是否存在异于B 、C 的点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，使直线BC 平分△PMB 的面积？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使AQ 等于点B 到直线AQ 的距离？如果存在，请直接写出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．例.如图，已知直线y=x 与二次函数bx x y +=2的图象交于点A 、O ，（O 是坐标原点），点B 为二次函数图象的顶点，OA=32．（1）求b 的值及过B 、A 两点的一次函数的解析式；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于C ，点P 在线段OA 上，Q 在抛物线上，且PQ ∥x 轴，若以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q 的坐标；（3）若点P 在线段OA 上，Q 在抛物线上，且PQ ∥x 轴，PQ 将△AOB 的面积二等分时，求点P 的坐标．例.如图，已知二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （1，0），与x 轴交于另一点C ，与y 轴交于点B （0，3），对称轴是直线x=-1，顶点是M ．（1）直接写出二次函数的解析式：；（2）点P 是抛物线上的动点，点D 是对称轴上的动点，当以P 、D 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点D 的坐标：；（3）过原点的直线l 平分△MBC 的面积，求l 的解析式．八、求面积问题例8：如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，四边形ABCO 为矩形，AB=16，点D 与点A 关于y 轴对称，tan ∠ACB=34，点E 、F 分别是线段AD 、AC 上的动点，（点E 不与点A ，D 重合），且∠CEF=∠ACB ．（1）求AC 的长和点D 的坐标；（2）求证：EC EF =DCAE （3）当△EFC 为等腰三角形时，求△AEC 的面积．。

1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1满分解答（1）b ＝12c +，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++．过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --．当C 、D 、E 三点在同一直线上时，EH CO DH DO =．所以1212c cc --=--． 整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12c =（舍去）．所以抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ． 直线BC 的解析式为122y x =-． 设213(,2)22P m m m --，那么1(,2)2F m m -，2122FP m m =-+． 所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221()24(2)42B C FP x x FP m m m -==-+=--+．因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5． 综上所述，0＜S ＜5．②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．考点伸展点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P 在BC 下方，S ＝4时，点P 在BC 的中点的正下方，F 是BC 的中点．例 2 2012年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1满分解答（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ． 设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDBS DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1．所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 22112(2)222PBOP S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．例 3 2012年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值； （2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）设直线112y x =+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)． 在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以5AE =．所以25sin 5AEO ∠=． 因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此25sin 5ACP ∠=． 将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-． （2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以2225251595sin (4)(1)55255PD PC ACP PC m m m =∠==-++=--+． 所以PD 的最大值为955． （3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =； 当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而252511cos cos (4)(2)(4)5525DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=⨯-++=-+-，BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．例 4 2011年南通市中考第28题如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线my x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和my x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．图1满分解答（1）因为点B (2，1)在双曲线my x=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-． （2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得1132x +=或1132x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时1132p +=． ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得152x +=或152x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时152p +=．考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）． 情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半． 不存在∠ANM ＝90°的情况．图5 图6例5 2010年广州市中考第25题如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ． （1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式； （2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图满分解答(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=． ②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯- 252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7例 6 2010年扬州市中考第28题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； ②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1 备用图满分解答(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=．(2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x ==．所以21223y AE EF x =⋅=． 如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3tan (5)4EF BE B x ==-．所以21315288y AE EF x x =⋅=-+． ②当905x <<时，223y x =的最大值为5425；当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532． 因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得1362x =±． 因为1362x =+在3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．考点伸展如果把第（3）题的条件“点F 在直角边AC 上”改为“点F 在直角边BC 上”，那么就不存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，BE ＝5－x ，BF ＝x ＋1．因此21133sin (5)(1)(45)22510BEF S BE BF B x x x x ∆=⋅⋅=-+⨯=---． 解方程23(45)310x x ---=．整理，得2450x x -+=．此方程无实数根．例7 2009年兰州市中考第29题如图1，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．图1 图2满分解答（1）Q (1,0)，点P 每秒钟运动1个单位长度．（2）过点B 作BE ⊥y 轴于点E ，过点C 作x 轴的垂线交直线BE 于F ，交x 轴于H ． 在Rt △ABE 中，BE ＝8，AE ＝10－4＝6，所以AB ＝10．由△ABE ≌△BCF ，知BF ＝AE ＝4，CF ＝BE ＝6．所以EF ＝8＋6＝14，CH ＝8＋4＝12．因此点C 的坐标为（14，12）．（3）过点P 作PM ⊥y 轴于M ，PN ⊥x 轴于N ．因为PM //BE ，所以AP AM MPAB AF BF==，即1068t AM MP ==．因此34,55AM t PM t ==．于是3410,55PN OM t ON PM t ==-==． 设△OPQ 的面积为S (平方单位)，那么2113347(1)(10)52251010S OQ PN t t t t =⋅⋅=+-=-++，定义域为0≤t ≤10．因为抛物线开口向下，对称轴为直线476t =，所以当476t =时，△OPQ 的面积最大．此时P 的坐标为(9415，5310)． （4）当53t =或29513t =时, OP 与PQ 相等．图3 图4考点伸展附加题的一般思路是：点Q 的横坐标是点P 的横坐标的2倍．先求直线AB 、BC 、CD 的解析式，根据直线的解析式设点P 的坐标，再根据两点间的距离公式列方程PO ＝PQ ．附加题也可以这样解：①如图4，在Rt △AMP 中，设AM ＝3m ，MP ＝4 m ，AP ＝5m ，那么OQ ＝8m ．根据AP 、OQ 的长列方程组5,81,m t m t =⎧⎨=+⎩解得53t =．②如图5，在Rt △GMP 中，设GM ＝3m ，MP ＝4 m ，GP ＝5m ，那么OQ ＝8m ．在Rt △GAD 中，GD ＝7.5．根据GP 、OQ 的长列方程组537.5,81,m t m t =-⎧⎨=+⎩解得29513t =．③如图6，设MP ＝4m ，那么OQ ＝8m ．根据BP 、OQ 的长列方程组51010,81,m t m t -=-⎧⎨=+⎩解得53t ，但这时点P不在BC上．例9 2011年上海市松江区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C 分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD ＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11松江24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于2．思路点拨1．这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算．2．点M 在抛物线的对称轴上且位于x 轴上方，要分两种情况讨论，分别为点M 在线段FB 和FB 的延长线上．因为用点M 的纵坐标表示△ABM 的底边长，因点M 的位置不同而不同．满分解答（1）因为BC ∥OA ，所以BC ⊥CD ．因为CD ＝CB ＝3，所以△BCD 是等腰直角三角形．因此∠BCD ＝45°．又因为BC ⊥CD ，所以∠ODE ＝45°．所以△ODE 是等腰直角三角形，OE ＝OD ＝1．所以点E 的坐标是（1，0）．（2）①因为抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点B （3，4）和点E （1，0），所以934,10.b c b c -++=⎧⎨-++=⎩解得6,5.b c =⎧⎨=-⎩所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋6x －5，抛物线的对称轴为直线x ＝3．②如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x 轴交于点F ，点M 的坐标为（3，t ）．CEM MEF COE OFMC S S S S ∆∆∆=--梯形111(4)321442222tt t =+⨯-⨯⨯-⨯⨯=+． （ⅰ）如图2，当点M 位于线段BF 上时，t t S ABM -=⨯-=∆42)4(21．解方程)4(242t t -=+，得58=t ．此时点M 的坐标为（3，58）． （ⅱ）如图3，当点M 位于线段FB 延长线上时，42)4(21-=⨯-=∆t t S ABM ．解方程)4(242-=+t t，得8=t ．此时点M 的坐标为（3，8）．图2 图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，C 、M 、A 三点在同一条直线上；△CEM 的周长最小．可以求得直线AC 的解析式为445y x =-+，当x ＝3时，85y =．因此点M （3，58）在直线AC 上． 因为点A 、E 关于抛物线的对称轴对称，所以ME ＋MC ＝MA ＋MC ． 当A 、M 、C 三点共线时，ME ＋MC 最小，△CEM 的周长最小．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ． （1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在线段AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围） ②当x 取何值时，y 有最大值？并求其最大值；（3）若F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 两点均不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问：是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．。

运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题．本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解．动点产生的面积问题内容分析知识结构模块一：面积计算的问题知识精讲【例1】 如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x向上平移1个单位长度得到直线P A ，点Q 是直线P A 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例2】 如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =交于点B 两点．求△AOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析【例3】 如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例4】 如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）【难度】★★★ 【答案】 【解析】A B CDE F 图1GHABCDE F 图2GH【例5】 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ． （1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值； （2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例6】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点． （1）求直线AM 的表达式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标； （3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ． （1）试证明：AP ＝PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当S △AOQ ＝23S △APQ 时，求点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】 【解析】本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大．模块二：与面积相关的函数解析式知识精讲【例8】 如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例9】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】 【解析】例题解析BAB CDMP【例10】已知：如图1，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连结EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于P．设正方形ABCD的边长为1．（1）证明：△CMG≌△NBP；（2）设BE＝x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP是菱形，求BE的长．【难度】★★★【答案】【解析】【例11】已知：在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝90°，AB＝BC＝4，点E在边AB 上，CE＝CD．（1）如图1，当∠BCD为锐角时，设AD＝x，△CDE的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当CD＝5时，求△CDE的面积．【难度】★★★【答案】【解析】AB CDEA BCDEFGPMN【例12】 如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ．（1）当点E 恰为AB 中点时，求m 的值；（2）当点E 在线段OA 上，记△ODE 的面积为y ，求y 与m 的函数关系式并写出定义域；（3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试判断四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S 关于m 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例13】 如图1，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ． （1）当E 是AB 中点时，求证AG ＝BF ；（2）当E 在边AB 上移动时，观察BF 、AG 、AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论；（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE ＝x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域．【难度】★★★ 【答案】 【解析】xA BCD EFG【例14】 如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21．点P 从点A 出发沿AD 以每秒1个单位的速度向点D 匀速运动，点Q 从点C 沿CB 以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当AB ＝10时，设A 、B 、Q 、P 四点构成的图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出定义域；（2）设E 、F 为AB 、CD 的中点，求四边形PEQF 是平行四边形时t 的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例15】 如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AB ＝4．左右作平行移动的正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上．当点G 到边BC 中点时，点E 恰好在边AB 上．（1）如图1，求正方形EFGH 的边长；（2）设点B 与点F 的距离为x ，在正方形EFGH 作平行移动的过程中，正方形EFGH 与菱形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FH 、HC ，当△FHC 是等腰三角形时，求BF 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDE PAQ 图1备用图HAB C DEF G【例16】 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形．A (0，4)，C (5， 0)，点D 是y 轴正半轴上一点，将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处．过点E 作y 轴的平行线与x 轴交于点N ．折痕与直线EN 交于点M ，联结DE 、OM . 设OD ＝t ，MN ＝s ． （1）试判断四边形EDOM 的形状，并证明；（2）当点D 在线段OA 上时，求s 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）用含t 的代数式表示四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例17】 已知：如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A ＝90°，∠C ＝45°，AB ＝AD ＝4．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作EF ⊥BE 交直线CD 于点F ．联结BF ．（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示） ①求证：BE ＝EF ；②设DE ＝x ，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域；（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】AB DEFABCD图1备用图备用图ABCD【例18】如图，已知正方形ABCD的边长为3，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形的边AB、CD、DA上，AH＝1，联结CF．（1）当DG＝1时，求证菱形EFGH为正方形；（2）设DG＝x，△FCG的面积为y，写出y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；（3）当DGGHE的度数．【难度】★★★【答案】【解析】A BCDEFGH【例19】已知：如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0，0)，A(8，0)，B(4，4)，C(0，4)，直线l：y＝x＋m保持与四边形OABC的边交于点M、N（M 在折线AOC上，N在折线ABC上）．设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝S1－S2（S≥0）．（1）求∠OAB的大小；（2）当M、N重合时，求l的解析式；（3）当m≤0时，线段AB上是否存在点N，使得S＝0?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与m的函数关系式．【难度】★★★【答案】【解析】x【例20】 在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设P A =x ，PCE S y =△．（1）求证：DF =EF ；（2）当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形?如果能，请直接写出P A 的长；如果不能，请简单说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】 如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求△ABC 【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABCD E F P O【习题2】已知直线2y x=-+与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线(0)y kx b k=+≠经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分．若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值．【难度】★★★【答案】【解析】【习题3】直线364y x=-+与坐标轴分别交与点A、B两点，点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿O B A→→运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．【难度】★★★【答案】【解析】【习题4】 如图，已知：过点A （8，0）、B （0，y =交于点C ，平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1） 写出点C 的坐标和t 的取值范围； （2） 求s 与t 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 如图，已知直线P A ：(0)y x n n =+>与直线PB ：2()y x m m n =-+>交于点P ．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积56，AB=2，试求点P 的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式． 【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业【作业2】 如图所示，直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，点E 的坐标为（－4，0）． （1）求直线y kx b =+的表达式；（2）若点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为点A 、B ，试求四边形OAPB 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业3】 如图，已知：直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，点P 从点A 出发，沿ADCB 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动，设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1） 求y 关于x 的函数解析式，并写出x 和y 的取值范围；（2） 当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDP Q【作业4】如图，在平面直角坐标系中，两个函数162y x y x==-+，的图像交于点A，动点P从点O开始在线段O向点A方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ∥x 轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PAMN，设它与△ABO重叠部分的面积为S．（1）求点A的坐标；（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动的时间t（秒）的关系式．【难度】★★★【答案】【解析】。

专题9：由动点引出的几种面积问题动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”. 即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。

基本模型一利用“铅垂高、水平宽”求三角形面积.面积公式：S =12ah 基本模型二CABD其中：:ACD BCD S S AD BD =△△： ，:ACD BCA S S AD BA =△△： 基本模型三OB()12AOB ACB AOBC S S S a h OA =+=+△△四边形 类型一、一次函数由动点问题引出的面积问题例1. 如图例1-1，在平面直角坐标系中，直线121y x =+和直线2443y x =-+交于点A . 直线y n =从x 轴出发以每秒2个单位的速度向上运动，至通过A 点时停止. 在运动过程中，直线y n =分别交y 1、y 2两条直线于C 、B 两点，交y 轴于点D . 连接OC 、OB .（1）设运动时间为t （s ），求t 的取值范围.（2）求出△OBC 的面积S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值及此时n 的值.y=n类型二、二次函数由动点问题引出的面积问题例2. 如图例2-1，二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴的交点为A 、D (A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ，且A (4，0)，C (0，－3)，对称轴是直线x =1． (1)求二次函数的解析式；(2)若M 是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m ，设四边形OCMA 的面积为S ．请写出S 与m 之间的函数关系式，并求出当m 为何值时，四边形OCMA 的面积最大.图例2-1图例2-2类型三、反比例函数由动点问题引出的面积问题例3. 如图例3-1，直线y＝2x＋6与反比例函数kyx(k＞0)的图象交于点A(1，m)，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n(0＜n＜6)交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM.(1)求m的值和反比例函数的表达式；(2)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？图例3-1类型四、利用三角函数求解由动点问题引出的面积问题例4. 如图例4-1，在矩形OABC中，点O为原点，边OA的长度为8，对角线AC＝10，抛物线y ＝－49x 2＋bx ＋c 经过点A 、C ，与AB 交于点D .(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为线段BC 上一个动点(不与点C 重合)，点Q 为线段AC 上一个动点，AQ ＝CP ，连接PQ ，设CP ＝m ，△CPQ 的面积为S . 求S 关于m 的函数表达式并求出S 最大时的m 值.图例4-1.类型五、由动点问题引出的面积存在性问题例5. 如图例5-1，在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，A （1，0），B （0，2），C （3，1）抛物线2122y x bx =+-的图象过C 点，交y 轴于点D ． （1）在后面的横线上直接写出点D 的坐标及b 的值： ，b = ；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l ，设l 与x 轴交于点G （x ，0），当OG 等于多少时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？AOxyBCGF H E图例5-1 图例5-2类型六、利用转化思想解决由动点问题引出的面积问题如图例6-1，在平面直角坐标系中，抛物线24 5y ax x c=++与直线2255y x=--交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线2255y x=--与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一个动点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线2255y x=--上方，求△P AC的最大面积.OxyPACBGEH 图例6-1专题9：由动点引出的几种面积问题动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题，而因动点产生的面积问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握几个基本图形及思路，而后“以静制动”、“转化求解”. 即把动态问题变为静态问题，变为我们所熟知的模型来解。

因动点产生的面积问题1．（南通）如图，已知直线l 经过点A （1，0），与双曲线my x =（x ＞0）交于点B （2，1）．过点P （p ，p ﹣1）（p ＞1）作x 轴的平行线分别交双曲线m y x =（x ＞0）和my x=-（x ＜0）于点M 、N ．（1）求m 的值和直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y =2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN =4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）.（1）求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值.⑴略解：①当P、Q同时在AB边上运动时，0≤t≤6.AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=(t+2), 由三角函数PG=(t+2),FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S =·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=t+.②当6＜t≤8时，S=S平行四边形ABCD-S△AQF-S△GCP.易求S平行四边形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t2.而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2.∴S=16-t2-(10-t)2=(6＜t≤8⑵分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值. 0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.当6＜t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6时，S＝；由于S＝(6＜t≤8,所以t=8时，S最大=6.综上所述, 当t=8时，S最大=6.3．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l 与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1.求A、B两点的坐标；2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？1.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标.解：∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∴OA=AB=BC=CO=4.如图①，过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=.∴A(2, )，B（6, ）.2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。

1 / 29xy12QPAOCBxyAOB【例1】 如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x向上平移1个单位长度得到直线P A ，点Q 是直线P A 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积． 【难度】★★【答案】65．【解析】由题意可得：直线P A 的解析式为1+=x y令⎩⎨⎧+-=+=221x y x y ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==3431y x ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛3431，P ．∵点Q 是直线P A 与y 轴的交点， ∴()01Q ，． ∵直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ， ∴B （1，0），C （0，2）． ∴65311211221=⨯⨯-⨯⨯=-=CPQ COB PQOB S S S △△四边形． 【总结】考察四边形面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决．【例2】 如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =交于点B 两点．求△AOB 的面积． 【难度】★★ 【答案】4．【解析】令⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 312，解得：⎩⎨⎧-=-=13y x ，则()31A --，． 令⎩⎨⎧=+=x y x y 32，解得：⎩⎨⎧==31y x ，则()13B ，． 设直线AB 与x 轴相交于C ，则C （－2，0），∴412213221=⨯⨯+⨯⨯=+=OCB OAC OAB S S S △△△．【总结】考察三角形面积的求法，不能直接求面积则用割补法来解决，注意交点坐标 的求法．例题解析【例3】 如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解 析式． 【难度】★★【答案】2y x =-或x y 21-=．【解析】∵直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于∴A （－3，0），B （0，3），∴293321=⨯⨯=OAB S △．当OBA OBCS S △△32=时， 则2932321⨯=⨯⨯C y ，则2=C y ， ∵C 点在直线AB 上，∴C （－1，2）， 则直线l 的解析式为：2y x =-；当OBA OBC S S △△31=时，则2931321⨯=⨯⨯C y ，则1=C y ， ∵C 点在直线AB 上，∴C （－2，1），则直线l 的解析式为：x y 21-=．综上直线l 的解析式为2y x =-或x y 21-=．【总结】考察面积的求法，本题中要注意分类讨论．3 / 29【例4】 如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）过点G 作GM ⊥BC 于M ．∵四边形EFGH 为正方形时，∴︒=∠+∠90BEF AEH ∵︒=∠+∠90AHE AEH ，∴BEF AHE ∠=∠ ∵BEF AHE ∠=∠，B A ∠=∠，EF EH =， ∴BEF AHE ≌△△同理可知：BEF MFG ≌△△ ∴2===AE BF GM∴10=-=BF BC FC ，则10=GFC S △； （2）过点G 作GM ⊥BC 于M ，连接HF ∵AD ∥BC ，∴MFH AHF ∠=∠ ∵EH ∥FG ，∴GFH EHF ∠=∠ ∴MFG AHE ∠=∠∵MFG AHE ∠=∠，GMF A ∠=∠，GF EH =， ∴MFG AHE ≌△△∴2==AE GM∴()a a GM FC S GFC -=⨯-=⋅=122122121△．【总结】本题主要考察菱形、正方形的性质和全等三角形的判定和性质．A BCDEF 图1GHABCDE F 图2GHMM4 / 29【例5】 如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ． （1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值； （2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值． 【难度】★★★【答案】（1）1=k ；（2）2=k ．【解析】（1）∵正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限， ∴B (2， 1)，C (2， 3)，D (0， 3)．∵一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ， ∴E (0， 2)． 设F (m ， 3)，∵△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2， ∴()212221121=⨯-⨯⋅m m ，解得：1=m ，∴F (1， 3) ∵F (1， 3)在直线y ＝kx ＋2上，∴1=k ； （2）延长BE 交CD 的延长线于H ， ∵BE 平分∠FBA ，∴ABE FBE ∠=∠∵CD ∥AB ，∴ABE H ∠=∠，∴FBE H ∠=∠，∴FB=HF ∵AE =1，DE=1，∴AE=DE∵AE=DE ，BAE HDE ∠=∠，BEA HED ∠=∠ ∴△HED ≌△BEA∴HD=AB =2，∴H (－2， 3) 设F (n ， 3) ∵FB=HF ，∴()22222+=+-n n ，解得：21=n ， ∴F (21， 3) ∵F (21， 3)在直线y ＝kx ＋2上， ∴2=k ．【总结】考察等腰三角形的性质和两点之间的距离公式的运用，注意点的坐标与解析式的关系．ABCD EFxy OH5 / 29【例6】 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点． （1）求直线AM 的表达式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标； （3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★【答案】（1）6+=x y ；（2）P (6， 12)或P (－18， －12)； （3）H (－12， 0)或H (－6， 18)或H (56-， 518)． 【解析】（1）∵函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，∴A (－6， 0)，B (0， 12)∵点M 为线段OB 的中点， ∴M (0， 6)， 则直线AM 的表达式为6+=x y ； （2）当点P 在AM 的延长线上时∵S △ABP ＝S △AOB ，∴OP ∥AB ，则可知直线OP 的表达式为x y 2=． ∵P 在直线AM 上，∴令⎩⎨⎧+==62x y x y ，解得：⎩⎨⎧==126y x ， ∴P (6， 12)；当P 在AM 的反向延长线上时，过P 点作PN ⊥OB ，垂足为H 设P (n ， n+6)∵AONP ABO BPN ABP S S S S 梯形△△△--=， S △ABP ＝S △AOB ，()()()()1262166621126216621⨯⨯=--⨯--⨯-⨯⨯----⋅n n n n ，解得：18-=n ，则P (－18， －12)．（3）存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形．若以AM 为底，BM 为腰，过点B 作AM 的平行线，当点H (－12， 0)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形；若以BM 为底，AM 为腰，过点A 作BM 的平行线，当点H (－6， 18)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形；若以AB 为底，BM 为腰，过点M 作AB 的平行线，当点H (56-， 518)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形．【总结】本题综合性较强，本题一方面考察面积的确定，另一方面考察等腰梯形的性质和分类讨论．ABOMxy6 / 29【例7】 如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ． （1）试证明：AP ＝PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当S △AOQ ＝23S △APQ 时，求点P 的坐标．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）22-=a b ；（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255255，P 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++255255，P ． 【解析】（1）过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为H 、T ，∵P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点 ∴PH=PT ，PH ⊥PT∵PQ ⊥AP ，∴QPT APH ∠=∠∵QPT APH ∠=∠，PH=PT ，QTP AHP ∠=∠ ∴△PHA ≌△PTQ ∴AP ＝PQ ；（2）由（1）可得：TQ a AH =-=2 ∵OH OT TQ OQ ==+， ∴a a b =-+2， 即22-=a b ； （3）设()P a a ，， ∵2221-=⋅⋅=a OQ OA S AOQ △，222122+-==a a AP S APQ △， ∴()2232222+-=-a a a ， 解得：255±=a ． ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255255，P 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++255255，P ． 【总结】本题主要考察全等的运用，及三角形面积的求法，注意利用面积公式确定点的坐标．P QAy O x7 / 29【例8】 如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】当P 在AB 上运动时，即10≤<x ，y =x AP AD S APM =⋅=21△；当P 在BC 上运动时，即31≤<x ， ∵PCM ABP ABCM APM S S S S △△梯形△--=， ∴y =454432123+-=----=x x x S APM △； 当P 在CM 上运动时，即273≤<x ， y =x x S APM -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-=2722721△．函数图像如由图所示．【总结】本题主要考察面积与动点的结合，注意进行讨论．【例9】 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由． 【难度】★★【答案】（1）102+=x y （50≤≤x ）； （2）3=x ；（3）35=x 或311=x ． 【解析】（1）作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，∵AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ， ∴BE=CF =3，则4=AE ．ABCDMPABCDPQE F8 / 29∵2DP x BQ x ==，， ∴()10242521+=⨯+-⨯=x x x y （50≤≤x ）； （2）当四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时， 四边形ABQP 的面积等于四边形ABCD 的面积的一半，∴()41152121102⨯+⨯⨯=+x ，解得：3=x ；（3）∵PQ ＝AB ，AD //BC ，∴四边形ABQP 为平行四边形或等腰梯形． 当四边形ABQP 为平行四边形时，则AP ＝BQ ，∴x x 25=-，解得：35=x ；当四边形ABQP 为等腰梯形时，则四边形PQCD 为平行四边形，∴x x 211-=，解得：311=x ；综上所述，当PQ ＝AB 时，x 的值为53或113．【总结】本题主要考察动点背景下的平行四边形和等腰梯形的性质的综合运用．【例10】 已知：如图1，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE ＜AB ），连结EG 并延长交DC 于点M ，作MN ⊥AB ，垂足为N ，MN 交BD 于P ．设正方形ABCD 的边长为1． （1）证明：△CMG ≌△NBP ；（2）设BE ＝x ，四边形MGBN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP 是菱形，求BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵正方形ABCD 和正方形BEFG ，∴︒=∠45ABD ，︒=∠45BEG ∵CM ∥BE ，∴︒=∠=∠45BEG CMG ∵正方形ABCD ，MN ⊥AB ，∴四边形BCMN 是矩形， ∴CM=NB ． ∵CM=NB ，PNB C ∠=∠，PBN CMG ∠=∠ ∴△CMG ≌△NBP ；（2）∵正方形BEFG ，BE ＝x ， ∴x BE BG ==， ∴x CG -=1，ABC DEFGPMN9 / 29∴()()212111212+-=-+=x x x y （10<<x ）； （3）由已知可得：MN ∥BC ，MG ∥BP ， ∴四边形BGMP 是平行四边形．要使四边形BGMP 是菱形，则MG BG =， ∴()x x -=12，解得：22-=x ， ∴当22-=BE 时，四边形BGMP 是菱形．【总结】本题考察正方形的性质和动点背景的下面积问题，解题时注意认真分析题目中的条件．【例11】 已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点E 在边AB上，CE ＝CD ．（1）如图1，当∠BCD 为锐角时，设AD ＝x ，△CDE 的面积为y ，求y 与x 之间 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2） 当CD ＝5时，求△CDE 的面积． 【难度】★★★【答案】（1）x x y 4212+-=（40<<x ）；（2）27或252．【解析】（1）过C 作CF ⊥AD 交AD 延长线于F∵AD //BC ，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4， ∴四边形ABCF 是正方形．∵CE ＝CD ，BC=CF ，∴△BCE ≌△FCD ，∴DF=BE ∵AD ＝x ，∴x DF -=4，∴x BE -=4 ∴ADE BEC ABCD y S S S =--△△梯形 ()()1114444222x x x x =+⨯-⋅⋅-⨯⨯- 2142x x =-+， 定义域为：40<<x ；（2）当∠BCD 为锐角时， ∵CD ＝5时，CF=4，∴由勾股定理可得：3=DF ，则1=AD代入解析式中可得：27=y ；当∠BCD 为钝角时，易知3DF BE ==．AB CDEFA B CDEF10 / 29∴CDEBCEADEABCD SS SS=--梯形111(47)43417222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ 252=． 综上所述，△CDE 的面积为27或252． 【总结】考察全等三角形的构造和正方形的性质的综合运用，第（2）问要注意分类讨论．【例12】 如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），点D是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ．（1）当点E 恰为AB 中点时，求m 的值；（2）当点E 在线段OA 上，记△ODE 的面积为y ，求y 与m 的函数关系式并写出定义域；（3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试判断四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S 关于m 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），∴B （3,1）． （1）当点E 恰为AB 中点时，则E （3，21） ∵点E 在直线12y x m =-+上， ∴代入E 点坐标，可得：2=m ；（2）当点E 在线段OA 上，∵直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ， ∴E （m 2，0），∴m m y =⋅⋅=1221（312m <≤）； （3）设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与B 1C 1相交于点N ，则四边形O 1A 1B 1C 1与 矩形OABC 的重叠部分的面积为四边形DNEM 的面积．AB CDEOxy∵DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 是平行四边形 ∵NED MED ∠=∠，NED MDE ∠=∠，∴NED MED ∠=∠， ∴ME MD =，∴四边形DNEM 是菱形过D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，设菱形DNEM 的边长为a∵D （22-m ，1），E （m 2，0）， ∴DH =1，HE =()2222m m --=，∴2NH EN EH a =-=-， 在直角△DHN 中，()22212+-=a a ，解得：45=a ∴菱形DNEM 的面积为：55144⨯=．【总结】本题综合性较强，一方面考查面积与动点的结合，另一方面考查面积的定值，注意进行分析．【例13】 如图1，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ． （1）当E 是AB 中点时，求证AG ＝BF ；（2）当E 在边AB 上移动时，观察BF 、AG 、AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得到的结论；（3）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE ＝x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）AE AG BF =+；（3）2212+=x y （20<<x ）．【解析】（1）当E 是AB 中点时，AE=BE∵AE=BE ，AEG BEF ∠=∠，B EAG ∠=∠ ∴△EAG ≌△EBF ∴AG ＝BF（2）AE AG BF =+过点F 作FH ⊥DA ，垂足为H ，则四边形ABFH 是矩形 ∴FH=AB=AD∵DE ⊥FG ，∴DEA ADE G ∠=∠-︒=∠90 ∵FH=AD ，DEA G ∠=∠，G A ∠=∠ ∴△FHG ≌△DAE ， ∴GH=AE ，即AE AG HA =+ ∵BF=HA ， ∴AE AG BF =+；A BCD EF GH（3）由（2）可得：FG=DE ∴224+==x DE FG ∴221442122222+=+⋅+=x x x y （20<<x ） 【总结】本题主要考察正方形背景下的动点问题，注意对常见辅助线的添加以及线段间的转化．【例14】 如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21．点P 从点A 出发沿AD 以每秒1个单位的速度向点D 匀速运动，点Q 从点C 沿CB 以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当AB ＝10时，设A 、B 、Q 、P 四点构成的图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出定义域；（2）设E 、F 为AB 、CD 的中点，求四边形PEQF 是平行四边形时t 的值．【难度】★★★【答案】（1）t S 5105-=（5.100≤≤t ）； （2）23=t ． 【解析】（1）由题意可得：AP =t ，CQ =t 2，则()t t t S 51051022121-=⨯-+⨯=（5.100≤≤t ）；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，取CH 的中点G ，则四边形ABHD 是矩形．∵F 是CD 的中点，G 是CH 的中点，∴DH FG 21=∵AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21∴CH =21-18=3，CG =2321=CH∴232-=-=t GC QC QG ∵四边形PEQF 是平行四边形， ∴PE=QF∵AB FG AE 21==，90A FGQ ∠=∠=GABCDE F PABCD Q图1备用图H∴△AEP ≌△GFQ ， ∴QG=AP∴t t =-232， 解得：23=t ，即当四边形PEQF 是平行四边形时，t 的值为32． 【总结】本题一方面考察梯形背景下的动点结合，另一方面考察中位线及平行四边形的性质的综合运用，注意认真分析．【例15】 如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AB ＝4．左右作平行移动的正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上．当点G 到边BC 中点时，点E 恰好在边AB 上．（1）如图1，求正方形EFGH 的边长；（2）设点B 与点F 的距离为x ，在正方形EFGH 作平行移动的过程中，正方形EFGH 与菱形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FH 、HC ，当△FHC 是等腰三角形时，求BF 的长． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当点G 到边BC 中点时，BG=2，∵∠B ＝45°，正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上． ∴BF=EF=FG ∵BG=2，∴FG=1， 即正方形EFGH 的边长为1；（2）当10≤<x 时，()212121122++-=--=x x x y ，当31≤<x 时，1=y ；（3）当FH=HC 时，∵HG ⊥CF ，∴FG=CG=1， ∴2114=--=--=FG GC BC BF ； 当FC=HC 时，∵CG CG FG FC +=+=1，2221GC GC GH HC +=+= ∴112+=+GC GC ，解得：0=GC ， ∴3014=--=--=FG GC BC BF ；当FH=FC 时，则2=FC ，此时24-=-=FC BC BF ， 综上所述，当△FHC 是等腰三角形时，BF 的长为2或3或42-．HAB C DEF G【总结】本题主要考察平行四边形与正方形的性质的综合运用，解题时注意对等腰三角形要进行分类讨论．【例16】 如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，A (0，4)，C (5， 0)，点D 是y 轴正半轴上一点，将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处．过点E 作y 轴的平行线与x 轴交于点N ．折痕与直线EN 交于点M ，联结DE 、OM . 设OD ＝t ，MN ＝s ． （1）试判断四边形EDOM 的形状，并证明；（2）当点D 在线段OA 上时，求s 关于t 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）用含t 的代数式表示四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）四边形EDOM 是菱形．∵将四边形OABC 沿着过点D 的直线翻折，使得点O 落在线段AB 上的点E 处， ∴EDM ODM ∠=∠，DE OD =． ∵EM ∥OD ， ∴DME ODM ∠=∠， ∴DME EDM ∠=∠，∴EM DE =，∵DE OD =，∴EM OD =． ∵EM ∥OD ，∴四边形EDOM 是平行四边形， ∵EM DE =，∴平行四边形EDOM 是菱形； （2）由（1）可得：OD ＝EM = t ， ∵EN =OA =4， ∴t s -=4（24t <<）； （3）当点D 在线段OA 上时，∵t EM ED OM OD ====，4=EN ，s t =-4∴()22224816224ON OM MN t t t t =-=--=-=-∴四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分面积为：224224OD ON t t t t ⋅=⋅-=-； 当点D 在线段OA 延长上时（如图所示），∵4AD t BD t =-=，， ∴2222(4)224AE BD AD t t t =-=--=-， ∴四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分面积为：2244824AE OA t t ⋅=-⨯=-， 综上所述，四边形EDOM 与矩形OABC 重叠部分的面积为224t t -或824t -． 【总结】本题主要考察菱形的判定方法和性质的综合运用，解题时注意进行分析．MA BCDE MNAB C OOxy xyE DN【例17】 已知：如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠A ＝90°，∠C ＝45°，AB ＝AD ＝4．E 是直线AD 上一点，联结BE ，过点E 作EF ⊥BE 交直线CD 于点F ．联结BF ．（1）若点E 是线段AD 上一点（与点A 、D 不重合），（如图1所示） ①求证：BE ＝EF ；②设DE ＝x ，△BEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出此函数的定义域；（2）直线AD 上是否存在一点E ，使△BEF 是△ABE 面积的3倍，若存在，直接写出DE 的长，若不存在，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）①在AB 上截取AG=AE ，连接EG ，∵∠A ＝90°，AG=AE ， ∴︒=∠=∠45AEG AGE ， ∴︒=∠135BGE ∵AD //BC ，∠C ＝45°， ∴︒=∠135D ，∴D BGE ∠=∠ ∵AG=AE ，AB ＝AD ， ∴ED=BG∵∠A ＝90°，EF ⊥BE ， ∴DEF ABE ∠=∠∵ED=BG ，D BGE ∠=∠，DEF ABE ∠=∠ ∴△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ；②∵DE ＝x ，∴4AE x =-， ∵∠A ＝90°，∴()222244+-=+=x AB AE BE ，∵BE ＝EF ， ∴()()23284444212122222+-=+-⋅+-=⋅⋅=x x x x EF BE y （40<<x ）；A BCDEFABCD图1备用图备用图ABCDGEF G（2）①当点E 在线段AD 上时，∵()11448222ABE S AB AE x x =⨯⨯=⨯⨯-=-△，又3BEFABESS=，∴()23282832+-=-⨯x x x ，解得：522±-=x （负值舍去），∴522+-=DE ；②当点E 在线段DA 延长线上时，延长BA 到G ，使得BG =DE ，连接EG ， 则△AGE 是等腰直角三角形．同（1）可证△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ，21122BEF S BE EF BE =⨯⨯=⨯= ∵()824421-=-⨯⨯=x x S ABE △，又3BEFABES S=，∴()23288232+-=-⨯x x x ，解得：5210±=x ，∴5210±=DE ；③当点E 在线段AD 延长线上时，延长AB 到G ，使得BG =DE ，连接EG ， 则△AGE 是等腰直角三角形．同（1）可证△BGE ≌△EDF ， ∴BE ＝EF ，21122BEF S BE EF BE =⨯⨯=⨯==，∵()144282ABE S x x =⨯⨯+=+△，又3BEFABESS=，∴()28323282x x x ++⨯+=，解得：2x =±，∴2DE =+；综上所述，当△BEF 是△ABE 面积的3倍时，DE 的长为2-+或10±或2+【总结】本题综合性较强，主要考察全等三角形的构造方法和梯形的性质运用，注意对点在直线上的准确理解，要分多种情况进行讨论．【例18】 如图，已知正方形ABCD 的边长为3，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形的边AB 、CD 、DA 上，AH ＝1，联结CF ． （1）当DG ＝1时，求证菱形EFGH 为正方形；（2）设DG ＝x ，△FCG 的面积为y ，写出y 关于x 的函数解析式，并指出x 的取值范围；（3）当DG ＝433时，求∠GHE 的度数．【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）当DG ＝1时，∵AH ＝1，∴DG=AH∵菱形EFGH ， ∴HG=HE ，∵90A D ∠=∠=， ∴△HDG ≌△EAH ， ∴AEH DHG ∠=∠ ∵︒=∠+∠90AEH AHE ，∴︒=∠+∠90DHG AHE ，∴︒=∠90GHE ∴菱形EFGH 是正方形；（2）联结GE ，过F 作FM ⊥DC 交DC 的延长线于M ， ∵CD ∥AB ，∴AEG CGE ∠=∠∵FG ∥HE ，∴HEG FGE ∠=∠，∴HEA FGC ∠=∠ ∵HEA FGC ∠=∠，M A ∠=∠，FG=HE ， ∴△AHE ≌△MFG ， ∴1==FM HA ，∴()x x y 21233121-=-⋅⨯=（30<<x ）；（3）∵正方形ABCD 的边长为3，AH ＝1， ∴DH =2．当DG ＝433时，213233422222=⎪⎭⎫⎝⎛+=+=DG DH GH ， ∴2132=HE ，∴33522=-=HA HE AE ． 过G 做GN ⊥AB 于N ，∵DG ＝433，335=AE ， ∴33=NE ， ∴21323332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=EN GN GE ， ∴HE GE GH ==， ∴△EGH 是等边三角形， ∴︒=∠60GHE ．【总结】本题主要考察正方形的性质及全等三角形的综合运用，注意辅助线的合理添 加．ABCD EFG H M N【例19】 已知：如图，四边形OABC 的四个顶点坐标分别为O (0， 0)，A (8， 0)，B (4，4)，C (0， 4)，直线l ：y ＝x ＋m 保持与四边形OABC 的边交于点M 、N （M 在折线AOC 上，N 在折线ABC 上）．设四边形OABC 在l 右下方部分的面积为S 1，在l 左上方部分的面积为S 2，记S ＝S 1－S 2（S ≥0）． （1）求∠OAB 的大小；（2）当M 、N 重合时，求l 的解析式；（3）当m ≤0时，线段AB 上是否存在点N ，使得S ＝0?若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由；（4）求S 与m 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）过B 作BE ⊥x 轴，垂足为E ，则点E (4，0)∵B (4，4)， ∴44==AE BE ，，∴△ABE 为等腰直角三角形， ∴︒=∠45OAB ； （2）∵S ≥0，∴点M 、N 只能重合到点C (0， 4)，此时4=m ，故直线l 的解析式为：y ＝x ＋4；（3）四边形OABC 的面积()2448421=⨯+⨯．∵直线l ：y ＝x ＋m 保持与四边形OABC 边交于点M 、N ， ∴△AMN 为等腰直角三角形．当S ＝0时，则△AMN 的面积为四边形OABC 的面积的一半． 过N 做x 轴的垂线NH ，则NH=AH=MH ．设a NH =，则122212==⋅⋅a a a ，解得：32=a ， ∴()82323N -，，∵点N 在直线l ：y ＝x ＋m 上， ∴834-=m ；ABC OxyN ME H（4）∵S ＝S 1－S 2（S ≥0），∴834-≥m ．①当0834<≤-m 时，m OM -=，m AM +=8， 经过A (8， 0)，B (4，4)的直线解析式为：8+-=x y ， 令⎩⎨⎧+=+-=m x y x y 8， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧+=-=2828m y m x ∴16441282822121++=+⨯+⨯⨯=m m m m S ，1224S S -=， ∴88212422121++=-=-=m m S S S S ； ②当40≤≤m 时，m OM =，m CM -=4，∴()22421m S -=，1224S S -=，∴882242121++-=-=-=m m S S S S ；综上所述，2218880)288(04)m m m S m m m ⎧++≤<⎪=⎨⎪-++≤≤⎩．【总结】本题综合性较强，主要考察图形的运动，包含了一次函数的性质及解析式的求法．解题时要注意从多个角度分析，特别要清楚动点的移动位置．【例20】 在边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，P 是对角线AC上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设P A =x ，PCE S y =△．（1）求证：DF =EF ；（2）当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）点P 在运动过程中能否使△PEC 为等腰三角形?如果能，请直接写出P A 的长；如果不能，请简单说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）延长FP 交AB 于点G∵正方形ABCD 中，PF ⊥CD 于点F ，∴四边形AGFD 是矩形， ∴DF=AG ，︒=∠90AGF ∵正方形ABCD ， ∴︒=∠45BAC∵︒=∠90AGF ，∴GP AG =，∴GP DF = 同理可得：BG PF CF ==∵PE ⊥PB ，︒=∠90AGF ，∴FPE GBP ∠=∠ ∵FPE GBP ∠=∠，BG PF =，PFE BGP ∠=∠ ∴△GBP ≌△FPE ，∴GP=EF ∵GP DF =，∴EF DF =； （2）∵P A =x ， ∴x GP AG 22==，x EF DF 22==， 则x DE 2=，∴x CE 24-=， ∵x PF 224-=， ∴()8232122424212+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x x x y （022x ≤≤）（3）点P 在运动过程中能使△PEC 为等腰三角形． 当点E 在CD 边上时，∵︒≥∠90CEP ，要使△PEC 为等腰三角形，则︒=∠=∠45ECP CPE ，则PE ⊥CE ． ∵PE ⊥PB ， ∴BP ∥CD ， ∴BP ∥BA ．于是点P 在AB 上，又点P 在AC 上，∴A 与P 重合，此时AP =0． 当点E 在DC 延长线上时，要使△PEC 为等腰三角形，只能是PC=CE ， ∴易得P A =4．【总结】本题主要考查正方形的性质的综合运用，注意对等腰的分类讨论．A BCDE F P OGxy BAOC【习题1】 如图，直线443y x =-+与y 轴交于点A ，与直线4455y x =+交于点B ，且直线4455y x =+与x 轴交于点C ，求△ABC 的面积． 【难度】★★ 【答案】4．【解析】∵直线443y x =-+与y 轴交于点A ，∴A （0，4）；∵直线443y x =-+与x 轴交于点D ，∴D （3，0）；令⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=5454434x y x y ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==223y x ， 则322B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；∵直线4455y x =+与x 轴交于点C ， ∴C （－1，0），∴424214421=⨯⨯-⨯⨯=-=BCD ACD ABC S S S △△△． 【总结】考察面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决，注意交点坐标的确定．随堂检测【习题2】 已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线(0)y kx b k =+≠经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分．若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值． 【难度】★★★【答案】22k b ==-，或2233k b =-=，．【解析】∵直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，∴A （2，0），B （0，2）．若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，那么直线(0)y kx b k =+≠与y 轴或A B 交点的纵坐标为：326122=⨯⨯． 当(0)y kx b k =+≠与直线2y x =-+相交时，交点为D ，当32=y 时，223x =-+，解得：34=x ，∴D （34，32）， ∵点C （1，0），D （34，32）在直线(0)y kx b k =+≠上， ∴22k b ==-，；当(0)y kx b k =+≠与y 轴相交时，交点为E ，当32=y 时，223x =-+，解得：34=x ，∴E （0，32）， ∵C （1，0），E （0，32）在直线(0)y kx b k =+≠上， ∴2233k b =-=，．综上，22k b ==-，或2233k b =-=，．【总结】本题主要考察面积的求法及交点坐标的确定，注意要分类讨论．【习题3】 直线364y x =-+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，点P 、Q 同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿O B A →→运动． （1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OPQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线364y x =-+与坐标轴分别交与点A 、B 两点，∴A （8，0），B （0，6）；（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10．∵点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动时间为8秒，∴点P 的运动速度是（6＋10）÷8=2． 当点P 在线段OB 上运动时(03)t ≤≤， ∵t OQ =，t OP 2=， ∴2t S =；当点P 在线段BA 上运动时(38)t <≤，t OQ =，t t AP 2162106-=-+=， ∵8t OA OQ S S OPAOPQ ==△△，10216tBA AP S S OBA OPA -==△△， ∴t t t t S t t S OAB OPQ 52453241021681021682+-=⨯-⋅=-⋅=△△，综上所述，S 与t 之间的函数关系为：22(03)324(38)55t t S t t t ⎧≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；（3）当485S =时，∵6321548⨯⨯>，∴点P 在AB 上，当485S =时，524524532=+-t t ，解得：4=t ，∴524=PD ，8=AP ，532=AD ， ∴58=OD ，∴P （58，524）， ∴以点O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标（528，524）或 （512-，524）或（512，524-）ABxyOQ P【习题4】 如图，已知：过点A （8，0）、B （0，83）两点的直线与直线3y x =交于点C ，平行于y 轴的直线l 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右平移，到C 点时停止；l 分别交线段BC 、OC 于点D 、E ，以DE 为边向左侧作等边△DEF ，设△DEF 与△BCO 重叠部分的面积为S （平方单位），直线l 的运动时间为t （秒）．（1） 写出点C 的坐标和t 的取值范围； （2） 求s 与t 的函数关系式． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线过点A （8，0）、B （0，83），∴直线AB 的解析式为383+-=x y ． 令⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x y x y 3383， 解得：⎩⎨⎧==344y x ，∴C （4，43）， 40≤≤t ；（2）作EM ⊥y 轴与M ，DG ⊥y 轴于点G∵直线l 的运动时间为t （秒），∴D （t ，383t -+），E （t ，3t ）， ∴t t t DE 32383383-=-+-=， ∴等边△DEF 的DE 边上的高为：()t t DE 31232382323-=-=． ∵E （t ，3t ），∴t ME =，t MN 33=，同理可得：t GH 33= ∴可求梯形上底为：t t 3323238--， ∴当点F 在BO 边上时：t t =-312，∴3=t ． 当30<≤t 时，重叠部分为等腰梯形，223783238323383233t S t t t t t ⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭； 当43≤≤t 时，重叠部分为三角形，()()348324333123238212+-=--=t t t t S ．【总结】本题综合性较强，主要考察一次函数与动点的结合以及图形的运动，解题时 一方面要清晰动点的运动轨迹，另一方面要学会表示动点的坐标，第（2）问注意 要分类讨论．AB CDEOxy l FPMGxy QPAOC B【作业1】 如图，已知直线P A ：(0)y x n n =+>与直线PB ：2()y x m m n =-+>交于点P ．（1）用m 、n 表示出A 、B 、P 点的坐标；（2）若点Q 是直线P A 与y 轴的交点，且四边形PQOB 的面积56，AB=2，试求 点P 的坐标，并写出直线P A 与PB 的解析式． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线P A ：(0)y x n n =+>交x 轴与A ，∴A （n -，0），∵直线PB ：2()y x m m n =-+>交x 轴与B ， ∴B （2m，0）， 令⎩⎨⎧+-=+=m x y n x y 2， 解得：323m n x m n y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴P （3m n -，32nm +）；（2）∵点Q 是直线P A 与y 轴的交点， ∴Q （0，n ）．∵四边形PQOB 的面积56，∴()65321221=-⋅-⋅-⋅⋅=-n m n m m m S S CPQ COB △△． ∵AB=2， ∴23=+n m， ∴21m n ==，． ∴直线P A 的解析式为：1y x =+， 直线PB 的解析式为：22y x =-+．【总结】本题主要考察点的坐标的求法及几何图形面积的表示．课后作业xy FEO【作业2】 如图所示，直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，点E 的坐标为（－4，0）． （1）求直线y kx b =+的表达式；（2）若点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，垂足分别为点A 、B ，试求四边形OAPB 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）∵直线y kx b =+的截距为6，该直线分别交x 轴、y 轴于E 、F ，∴点E 的坐标为（－4，0），∴直线y kx b =+的表达式为623+=x y ；（2）∵点P （x ，y ）是该直线第二象限上的一个动点，∴623+=x y ，∴()x x x x S 6236232--=⎪⎭⎫⎝⎛+-=（04<<-x ）．【总结】考察一次函数解析式的求法及图形面积的确定， 注意点的坐标与线段长度的关系．【作业3】 如图，已知：直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，点P 从点A 出发，沿ADCB 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动，设点P 移动的路程为x ，点Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1） 求y 关于x 的函数解析式，并写出x 和y 的取值范围；（2） 当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）过C 做CE ⊥AB 于E ，则CD=AE =3． ∵CE =4， ∴BC =5，∴梯形的周长为18．∵线段PQ 平分梯形ABCD 的周长， ∴9=+y x ． ∵60≤≤y ， ∴93≤≤x ， ∴x y -=9（93≤≤x ）；ABCD PQ E（2）∵P 不在BC 边上时，则73≤≤x ． 当43<≤x 时，点P 在AD 边上，则xy S APQ 21=△． ∵线段PQ 能否平分ABCD 的面积， ∴921=xy ． 由1929xy x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：，∴36x y =⎧⎨=⎩或63x y =⎧⎨=⎩（舍去）；当74≤≤x 时，P 在CD 边上，此时()y x S ADPQ +-⨯=4421四边形 ∵线段PQ 能否平分ABCD 的面积， ∴()94421=+-⨯y x联立9=+y x ，方程组无解．故当x =3时，线段PQ 平分ABCD 的面积．【总结】本题考察的知识点较多，包含了梯形的性质，面梯形面积及三角形的面积公式，二元二次方程组的解法等，第（1）问注意对解析式的确定，第（2）问注意利用第（1）问的结论，同时要进行分类讨论．【作业4】 如图，在平面直角坐标系中，两个函数162y x y x ==-+，的图像交于点A ，动点P 从点O 开始在线段O 向点A 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PAMN ，设它与△ABO 重叠部分的面积为S ．（1） 求点A 的坐标；（2） 试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动的时间t （秒）的关系式．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1）令⎪⎩⎪⎨⎧+-==621x y x y ， 解得：⎩⎨⎧==44y x ，∴A （4，4）；ABCP Q O yx（2）∵动点P 从点O 开始在线段O 向点A 方向以每秒1个单位的速度运动， ∴t OP =， 则P （t 22，t 22）． ∵PQ ∥x 轴，∴Q （t 212-，t 22）， ∴t PQ 22312-=． 当t t 2222312=-时， 23=t ． 当230≤<t 时，t t t t S 262322312222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=； 当P 到达A 点时，24=t ， 当2423<<t 时，144236292231222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t S ，综上所述，223(0291442t t S t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪-+<⎪⎩．【总结】本题主要考察交点坐标与面积的确定，解题的关键是要能够掌握重叠部分图 形的特点，一开始是矩形，后来才是正方形，要找出这个临界点，这样就将问题简化 了．。

二次函数--由动点生成面积问题二次函数是数学中重要的一个概念，它描述了一类以二次项为主导的多项式函数。

而这篇文章将重点探讨一个有趣的问题：如何由动点生成二次函数并应用于面积问题。

首先，我们需要了解什么是动点。

动点是平面上一个不固定的点，它的位置随着时间的推移而变化。

在二维平面上，我们通常用坐标系来描述动点的位置，其中x轴和y轴代表两个独立的变量。

考虑以下问题：假设我们有一条规定的直线，上面有两个动点A和B，它们沿着直线运动。

我们假设初始时刻A和B分别位于直线的两个不同的点，运动速度相同且方向相反。

我们还假设直线是垂直于x轴的。

为了简化问题，我们将直线的方程表示为 y = kx + b，其中 k 是直线的斜率，b 是 y 轴的截距。

此外，我们假设 A 和 B 分别运动的距离为 d1 和 d2，而 d1 和 d2 的长度相等。

我们的目标是通过动点A和B的运动来生成一个面积问题，并进一步将其转化为二次函数。

为了实现这一目标，我们需要引入一个新的点C，它是动点A和B的垂直平分线上的一个固定点。

通过仔细观察，我们可以发现三角形ABC的两条边的长度与动点A和B的距离之间存在一定的关系。

假设三角形ABC的高度为h，底边的长度为b，同时A和B分别位于底边的两个端点。

根据数学原理，我们可以通过两个已知长度和一个夹角来计算一个三角形的面积。

那么如何计算三角形ABC的面积呢？首先，我们可以根据两个动点A和B的运动距离d1和d2来计算出三角形底边的长度b。

由于d1和d2的长度相等，我们可以将它们的和除以2来得到b的长度。

即b=(d1+d2)/2接下来，我们需要确定三角形ABC的高度h。

由于点C是动点A和B的垂直平分线上的一个固定点，因此我们可以用坐标系来表示其位置。

假设点C的坐标为(x0,y0)。

由于点C是动点A和B的垂直平分线的交点，因此动点A在以点C为圆心的圆上运动。

同样地，动点B也在以点C为圆心的圆上运动。

我们可以将动点A和B的位置分别表示为(x1,y1)和(x2,y2)。

例1.已知△ABC 中，AB =4，BC =6，AC ＞AB ，点D 为AC 边上一点，且DC =AB ，E 为BC 边的中点，联结DE ，设AD =x 。

设ABEDCDES y S ∆=四边形，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域。

【解法点拨】：一．寻找题目中的已经条件：1.边：AB =4，BC =6，DC =AB ；2.特殊点：E 为BC 边的中点；3.动点：点D 为AC 边上一动点。

（2）求面积比ABEDCDES S ∆四边形：方法一：用含x 的代数式单独表示四边形ABED 和三角形CDE ∆的面积； 方法二：用面积比求解，ABED CDE S S ∆四边形=1ABD BDE ABDCDE CDES S S S S ∆∆∆∆∆+=+； 又因为ABD DBC S S ∆∆=24ABD CDE S x S ∆∆=即2ABD CDE S xS ∆∆=，即可求得。

【满分解答】：连BD ，∵点E 为BC 中点，∴BDE CDE S S ∆∆= ∴1ABD BDE ABDCDE CDES S S y S S ∆∆∆∆∆+==+∵4ABD DBC S x S ∆∆=，∴24ABD CDE S x S ∆∆=，即2ABD CDE S x S ∆∆= ∴12xy =+（0＜x ＜6） 例2.如图，已知在直角梯形ABCD 中，BD ∥BC ，AB BC ⊥，11AD =，13BC =，12AB =．动点P 、Q 分别在边AD 和BC 上，且2BQ DP =．线段PQ 与BD 相交于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ，射线PF 交BC 的延长线于点G ，设DP x =． （1）求CFDF的值。

（★★★★）（2）当点P 运动时，试探究四边形EFGQ 的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x 的代数式表示四边形EFGQ 的面积S ；如果不发生变化，请求出这个四边形的面积S 。

【参考教法】：可参考以下教法，以问题式引导学生分析题目、解决问题 一．寻找题目中的不变条件或特殊条件，让学生找找看。

函数图象中的存在性问题—因动点产生的面积问题函数图像中的存在性问题是函数图像是否存在的研究。

在研究函数图像的存在性时，我们通常会考虑到以下几个问题：函数是否有定义域和值域，函数是否连续，函数是否可导等等。

其中，因动点产生的面积问题是函数图像的一个特殊存在性问题。

考虑一个动点在平面上运动，其轨迹为函数的图像，我们可以通过计算该轨迹所围成的面积来研究函数图像的存在性。

首先，让我们考虑一个较简单的函数图像，例如：y=x。

当动点在平面上矩形区域内运动时，其轨迹就可以看作是函数y=x的图像。

我们可以将矩形区域分成无数个小长方形，并计算每个小长方形所围成的面积的和。

当矩形区域趋近于函数图像所占据的面积时，这个和就可以逼近函数图像所围成的面积。

如果这个和存在且为有限值，则可以认为函数图像所围成的面积存在。

然而，对于一些函数图像，存在动点产生的面积问题可能并不存在。

例如：y=1/x。

当动点运动到x=0的位置时，函数图像与x轴相切，不再围成一个有限的面积。

在这种情况下，我们无法通过动点产生的面积来研究函数图像的存在性。

对于一些较为复杂的函数图像，动点产生的面积问题可能会更加具有挑战性。

例如：y = sin(x)。

当动点在平面上运动时，函数图像会在一些位置出现多个极大值和极小值。

在这种情况下，计算动点产生的面积变得更为复杂，可能需要使用更高级的数学工具来解决。

总之，动点产生的面积问题是函数图像存在性问题的一个特殊情况。

通过计算动点所产生的面积，我们可以研究函数图像的存在性。

然而，对于一些复杂的函数图像，动点产生的面积问题可能并不存在或更加困难。

因此，在研究函数图像的存在性时，我们需要综合考虑多个因素，并使用合适的数学工具来解决。

1.6因动点产生的面积问题1、如图，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE//BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．（1）b ＝12c +，点B 的横坐标为－2c ． （2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++． 过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --．当C 、D 、E 三点在同一直线上时，EH CO DH DO =．所以1212c c c --=--． 整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12c =（舍去）． 所以抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ．直线BC 的解析式为122y x =-． 设213(,2)22P m m m --，那么1(,2)2F m m -，2122FP m m =-+． 所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221()24(2)42B C FP x x FP m m m -==-+=--+． 因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5．综上所述，0＜S ＜5．②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．2、如图，直线l 经过点A(1，0)，且与双曲线m y x =(x ＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p -(p＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和m y x =-(x ＜0)于M 、N 两点． （1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．2、（1）因为点B (2，1)在双曲线m y x=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩ 所以直线l 的解析式为1y x =-． （2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形． 由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形． 所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上． 当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x或x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p = ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p =3、如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．3、(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE ＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=． ②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时 S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD ＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯- 252b b =-+． (2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得54m ．所以重叠部分菱形DMEN的面积为54．图2 图3 图4。

专题八：因动点产生的面积问题零点突破（如图1），D、E为线段BC上的两个动点，且【例1】在△ABC中，AB=AC=10，cosB=45DE=3（E在D右边），运动初始时D和B重合，运动至E和C重合时运动终止．过E作EF ∥AC交AB于F，连接DF．（1）若设BD=x，EF=y，求y关于x的函数，并求其定义域；（2）如果△BDF为直角三角形，求△BDF的面积.（k≠0）的图象的一个【例2】如图，点M（﹣3，m）是一次函数y=x+1与反比例函数y=kx交点．（1）求反比例函数表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP=a（a≠2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，△ABC′与△ABC关于直线AB对称．①当a=4时，求△ABC′的面积；②当a的值为时，△AMC与△AMC′的面积相等．探究提升【例3】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为（a ，3）（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数y =12x的图象交于点P ，点B 、C 分别在函数y =12x的图象上，且AB ∥x 轴，AC ∥y 轴；（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式； （2）联结BO ，当AB=BO 时，求点A 坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想：S △ABP S △ACP的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出S△ABP S △ACP的值；如果变化，请说明理由．【例4】如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），顶点为M（1，4），且与y轴交于点C.（1）求二次函数的解析式，并写出点C的坐标；（2）直线y=kx+d经过C、M两点，且与x轴交于点D，若点P是抛物线上的一个动点，请探究：是否存在这样的点P，使S△PAB=S△ACD，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.压轴精炼【例5】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0）和点B（2，．3），过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan∠CAO=13（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）联结AB、BC，求∠ABC的正切值；（3）若点D在x轴下方的对称轴上，当S△DBC=S△ADC时，求点D的坐标．变式训练真题直面1.（2016•无锡）如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求n的值．m2.（2016•陕西）问题提出（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD 上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=√米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．。

抛物线与直线型——由动点生成面积问题 知识点归纳面积是平面几何中一个重要的概念，关联这平面图形中的重要元素与角。

由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式。

解这类问题常用到以下与面积相关的知识：（1）图形的割补；（2）等积变形；（3）等比变化。

经典例题【例1】 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连接OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（昆明市中考题）思路点拨 对于（3），抛物线的对称轴是直线1-=x ，当点C 位于的对称轴与线段AB 的交点时，BOC ∆的周长为最小，为此需求出直线AB 的解析式；对于（4）过点p 作y 轴的平行线交AB 解析式；对于（4），过点p 作y 轴的平行线交AB 于D ，则))((21A B P D PBD PAD PAB x x y y S S S --=+=∆∆∆，代入展开整理得关于x 的二次函数。

【例2】 如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（3，1），二次函数2x y =的图象记为抛物线1l ．（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A ，B 两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式；（2）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABC ABK S S ∆∆=，求点k 的坐标；（威海市中考题）思路点拨 （1）设k 点坐标为),0(h ，通过图形的分割计算，建立h 的方程；（2）K 点必在平行于AB 的直线上，从等积变形入手。

【例3】 如图，已知点A （m,6)、B(m,1)为两动点，其中0＜m ＜3，连接OA 、OB ，OA ⊥OB 。

（1）求证：mn=－6；（2）当6-=∆AO B S 时，抛物线经过A ，B 两点且以y 轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；(3) 在（2）的条件下，设直线AB 交y 轴于点F ，过点F 作直线l 交抛物线于P ，Q 两点，问是否存在直线l ，使 ？若存在，求出直线l 对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。

备战2020中考数学之解密压轴解答题命题规律专题04因动点产生的面积问题【类型综述】面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。

有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。

解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法.面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根．二是先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确．【方法揭秘】解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．图1图2图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等．如图5，同底三角形的面积比等于高的比．如图6，同高三角形的面积比等于底的比．y = - ( x + 1)(x - 4) = - x 2 + x + 2 = - ( x - )2 + ．顶点坐标为 ( ， ) ．图 4图 5 图 6【典例分析】【例 1】如图，抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与 x 轴交于 A (－1, 0)，B (4, 0)两点，与 y 轴交于点 C (0, 2)．点M (m , n )是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q ，交抛物线于另一点 E ，直线 BM 交 y 轴于点 F ．（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；（2）当 △S MFQ ∶△S MEB ＝1∶3 时，求点 M 的坐标．思路点拨1．设交点式求抛物线的解析式比较简便．△2．把 MFQ 和△MEB 的底边分别看作 MQ 和 ME ，分别求两个三角形高的比，底边的比（用含 m 的式子表示），于是得到关于 m 的方程．3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个方程，得到两个符合条件的解．满分解答（1）因为抛物线与 x 轴交于 A(－1, 0)，B(4, 0)两点，设 y ＝a(x ＋1)(x －4)．代入点 C(0, 2)，得 2＝－4a ．解得 a = - 1．所以21 1 3 1 3 252 2 2 2 2 83 252 8与 n 无关，两条底边的比考点伸展第（2）题 △S MFQ ∶△S MEB ＝1∶3，何需点 M 一定要在抛物线上？从上面的解题过程可以看到，△MFQ 与△MEB 的高的比 也与 n 无关．FQ m MQ m= =MN 4 - m ME 3 - 2m如图 3，因此只要点 E 与点 M 关于直线 x ＝ 3 2对称，点 M 在直线的左侧，且点 M 不在坐标轴上，就存在 S△MFQ∶△S MEB ＝1∶3，点 M 的横坐标为 1（如图 3）或－12（如图 4）．图 3图 4（t ﹣1）2+ △=3 m 2﹣ m ﹣3）．如图 2，过点 K 作 KE∥y 轴，交 BC 于点 E ．结合已知条件和（2）中的结果 ．则根据图形得到：S △ CBK =S △CEK +S △=BEK EK•m+ •EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代 入推知：﹣ m 2+3m= ．易求得 K 1 （1，﹣ ），K 2 （3，﹣）． 27 4⎩16a + 4b - 3 = 0【例 2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax 2+bx ﹣3（a≠0）与 x 轴交于点 A （﹣2，0）、B （4，0）两点，与 y 轴交于点 C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点 P 从 A 点出发，在线段 AB 上以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q 从 B 点出发，在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△ PBQ存在时，求运动多少秒使△ PBQ 的面积最大，最大面积是多少？（3△）当 PBQ 的面积最大时，在 BC 下方的抛物线上存在点 K ，使 △S CBK ：△S PBQ =5：2，求 K 点坐标．思路点拨（1）把点 A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数 a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为 t 秒．利用三角形的面积公式列出 S △PBQ 与 t 的函数关系式 S PBQ ﹣ 用二次函数的图象性质进行解答；9 9 10 10．利（3）利用待定系数法求得直线 BC 的解析式为 y= 3 4x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点 K 的坐标为（m ，3 8 4求得 S △CBK = 9 1 1 4 2 23 9 154 8 8满分解答（1）把点 A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入 y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得⎧4a - 2b - 3 = 0 ⎨，a=3解得⎨8OC==t5t．∴S△=12（6﹣3t）•32+9S△PBQ最大10．答：运动1△秒使PBQ的面积最大，最大面积是9⎧⎪⎪b=-3⎪⎩4，所以该抛物线的解析式为：y=3x2﹣834x﹣3；（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．∴PB=6﹣3t．由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．在Rt△BOC中，BC=32+42=5．如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．∴QH∥CO，∴BHQ∽BOC△，∴HB BG HbBC，即35，∴HQ=32PB•HQ=15t=﹣910t2+95t=﹣910（t﹣1）10．当△PBQ存在时，0＜t＜2∴当t=1时，=910；c = -3 ， ⎪k =4 x ﹣3．如图 2，过点 K 作 KE∥y 轴，交 BC 于点 E ．则点 E 的坐标为（m ，34 m ﹣3﹣（ 3 m 2﹣ 4m ﹣3）=﹣ 3 m 2+当△PBQ 的面积最大时，△∵S CBK ：S△=5PBQ：2，S△=9∴S △CBK = 9S △CBK =S △CEK +S △BEK = 12×4•EK4 m 2+3m ． 4 m 2+3m=（3）设直线 BC 的解析式为 y=kx+c （k≠0）．把 B （4，0），C （0，﹣3）代入，得⎧4k + c = 0 ⎨ ⎩⎧解得 ⎨3 4 ， ⎪⎩c = -3∴直线 BC 的解析式为 y=3∵点 K 在抛物线上．∴设点 K的坐标为（m ， 3 m 2﹣ 83 4m ﹣3）．4m ﹣3）．∴EK=38 38 3 2 m ．10．4 ．=12EK•m+12 •EK•（4﹣m ）=2（﹣ 3 m 2+ 83 2m）=﹣ 3即：﹣ 394 ．∴K1（1，﹣27），K2（3，﹣）．将A(－2,0)、B(4,3)分别代入y＝ax2＋bx－3，得⎨解得a=1，b=-．解得m1=1，m2=3．1588【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+1与抛物线y＝ax2＋bx－3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．思路点拨1．第（1）题由于CP//y轴，把∠ACP转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD＝PCsin∠ACP，第（1）题已经做好了铺垫．△3．PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形，面积比等于对应高DN与BM的比．4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线y=1x+1与y轴交于点E，那么A(－2,0)，B(4,3)，E(0,1)．2在△Rt AEO中，OA＝2，OE＝1，所以AE=5．所以sin∠AEO=因为PC//EO，所以∠ACP＝∠AEO．因此s in∠ACP=25．5⎧4a-2b-3=0,⎩16a+4b-3=3.122255．⨯ (- m 2+m + 4) = - (m + 2)(m - 4) ，①当 △S PCD ∶△S PCB ＝9∶10 时， - (m + 2)(m - 4) = (4 - m ) ．解得 m = ． ②当 △S PCD ∶△S PCB ＝10∶9 时， - (m + 2)(m - 4) = (4 - m ) ．解得 m = ．考点伸展第（△3）题的思路是： PCD 与△PCB 是同底边 PC 的两个三角形，面积比等于对应高 DN 与 BM 的比．而 DN = PD cos ∠PDN = PD cos ∠ACP = 5 2 5 1 1 5 5 2 5BM ＝4－m ．1 9 5 5 10 21 10 32 5 9 9【例 4】如图，在 △Rt ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 运动．过点 P 作 PD ⊥AC 于点 D （点 P 不与点 A 、B 重合），作∠DPQ=60°，边 PQ 交射线 DC 于点 Q ．设点 P 的运动时间为 t 秒．（1）用含 t 的代数式表示线段 DC 的长；（2）当点 Q 与点 C 重合时，求 t 的值；（△3）设 PDQ 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S ，求 S 与 t 之间的函数关系式；（4）当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，直接写出 t 的值．2=3t，思路点拨（1）先求出AC，用三角函数求出AD，即可得出结论；（2）利用AD+DQ=AC，即可得出结论；（3）分两种情况，利用三角形的面积公式和面积差即可得出结论；（4）分三种情况，利用锐角三角函数，即可得出结论．满分解答（1）在△Rt ABC中，∠A=30°，AB=4，∴AC=23，∵PD⊥AC，∴∠ADP=∠CDP=90°，在△Rt ADP中，AP=2t，∴DP=t，AD=AP cosA=2t×3∴CD=AC﹣AD=23﹣3t（0＜t＜2）；（2）在△Rt PDQ中，∵∠DPC=60°，∴∠PQD=30°=∠A，∴P A=PQ，∵PD⊥AC，∴AD=DQ，∵点Q和点C重合，∴AD+DQ=AC，∴2×3t=23，∴t=1；（3）当 0＜t≤1 时，S=S △PDQ = 1DQ×DP=13 =2（t ﹣1）， ∴S=S △PDQ ﹣S △ECQ = 1× 3 t×t ﹣ 13 t 2 (0＜t ≤ 1)∴S= ⎨ 22 PQ= 12 AP=t ，AF= 1 ∴∠PGF=90°，PG= 1 t= 12 AC=3 ，QM= 12 PQ= 1 ∴∠QMN=90°，AN= 1 cos30 ︒ =3 t =23 t ， ∴t= 32 ×3 t×t= 3 2 t 2，当 1＜t ＜2 时，如图 2，CQ=AQ ﹣AC=2AD ﹣AC=2 3 t ﹣2 3 =2 3 （t ﹣1）， 在 △Rt CEQ 中，∠CQE=30°，∴CE=CQ•tan ∠CQE=2 3 （t ﹣1）× 32 ×23 （t ﹣1）×2（t ﹣1）=﹣3 3 2 t 2+4 3 t ﹣2 3 ，⎧ ⎪ ⎪- 3 3 t 2 + 4 3t - 2 3 (0＜t ＜2 )⎪⎩ 2；（4）当 PQ 的垂直平分线过 AB 的中点 F 时，如图 3，2AB=2，∵∠A=∠AQP=30°，∴∠FPG=60°，∴∠PFG=30°，∴PF=2PG=2t ，∴AP+PF=2t+2t=2，2；当 PQ 的垂直平分线过AC 的中点 M 时，如图 4，2AP=t ，在 △Rt NMQ 中，NQ= MQ∵AN+NQ=AQ ，∴ 3 + 2 32 3 3 t，10∴BF= 1 (x ＞0)和 y = - (x ＜0)于 M 、N 两点．当 PQ 的垂直平分线过 BC 的中点时，如图 5，1BC=1，PE= PQ=t ，∠H=30°，2 2∵∠ABC=60°，∴∠BFH=30°=∠H ，∴BH=BF=1，在 △Rt PEH 中，PH=2PE=2t ，∴AH=AP+PH=AB+BH ，∴2t+2t=5，∴t= 54，即：当线段 PQ 的垂直平分线经过△ABC 一边中点时，t 的值为 123 5秒或 秒或 秒．4 4【例 5】如图，直线 l 经过点 A (1，0)，且与双曲线 y = m x(x ＞0)交于点 B (2，1)．过点 P( p , p -1) (p ＞1)作 x轴的平行线分别交曲线 y = m mx x（1）求 m 的值及直线 l 的解析式；（2）若点 P 在直线 y ＝2 上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数 p ，使得 △S AMN ＝4△S AMP ？若存在，请求出所有满足条件的 p 的值；若不存在，请说明 理由．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把 S △AMN ＝4△S AMP 转化为 MN ＝4MP ，按照点 M 与线段 NP 的位置关系分两种情况讨论．满分解答由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，△0)三点的位置关系，可知PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．图2图3图4考点伸展在本题情景下，△AMN能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN＝90°，此时点M的坐标为（1，2），点P的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN＝90°，此时斜边MN上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM＝90°的情况．图5图6【例6】如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．△Rt CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=43，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．△Rt CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：（1）如图（2），当△Rt CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．（2）如图（3），在△Rt CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．（3）在△Rt CDE的运动过程中，设AC=h△，OAB△与CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．思路点拨（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；（3）需要分类讨论：需要分类讨论：①h＜2时，②2≤h＜6-23时，③6-23≤h≤6时，依此即可求解．满分解答（1）如图2，∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=43，∴∠OCE=60°，∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，∴∠BME=∠CMA=15°；(2)如图3，∵∠CDE=90°，CD=4，DE=43，∴∠OBC=∠DEC=30°，∵OB=6，∴BC=43；（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，∴S=S △EDC ﹣S △EFM =1= S=S △AOB △-S ACM =113 + 13 + 3 S=S △OMC = 1h 2+4h+8(最大值为 15- 3 )；②2≤h ＜6-2 3 时，S=18- h 2（最大值∵CD=4，DE=4 3 ，AC=h ，AN=NM ，∴CN=4﹣FM ，AN =MN =4+h ﹣FM ，∵△CMN ∽△CED ，∴ CN MN = ，CD DE4 - FM 4 + h - FM∴ ，4 4 3解得 FM=4﹣3 + 1h ， 21 3 + 1 3 + 1×4×4 3 ﹣ （4 3 -4﹣h ）×（4﹣ h ）=﹣ 2 2 2 4h 2+4h+8， S=15- 3 ．最大②当 2≤h ＜6-2 3 时，2224×6×6- h （h+ h ）=18-h 2，S=15- 3 ． 最大③如图 3，当 6-2 3 ＜h≤6 时，3 OB× 3 OC=（6-h ）2，22S=6 3 ．最大综上所述，①h ＜2 时，S= -3 + 143 + 34为 15- 3 ）；③6-2 3 ≤h≤6 时，S=3 （6-h ）2（最大值为 6 3 ）2【变式训练】1．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙 BC 与 CD 总长为 12m ，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ）BC=6-S=11⎛1⎫⎛3⎫3333x+x+6⎪⋅ 63-x⎪=-x2+33x+183=-⎭⎝A．18m2B．183m2C．243m2D．4532m2【答案】C【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，在△Rt CBE中，∵∠CEB=90°，∴B E=11x 22∴A D=CE=3BE=63-311 x,AB=AE+BE=x+6-x=x+6 222∴梯形ABCD面积(CD+AB)⋅CE=22⎝22⎭888(x-4)2+243∴当x=4时，S最大=243．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；故选C．2．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x s，∆APQ 的面积为y cm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）=2⨯2-1(4-x)2-⨯2⨯(x-2)-⨯2⨯(x-2)A．B．C．D．【答案】A【详解】①当0≤x≤2时，∵正方形的边长为2cm，∴y=S1 AQ⋅AP=x2；22②当2≤x≤4时，y=S∆APQ=S正方形ABCD -S∆CP'Q'-S∆ABQ'-S∆AP'D112221=-x2+2x，2所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，故选A．3．如图，已知直线y=3x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆42D．17上一动点，连结PA、PB△．则PAB面积的最大值是（）A．8【答案】C【详解】解：∵直线y=34B．12C．21x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，2∴A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，﹣3），3x-4y-12=0，即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，过C作CM⊥AB于M，连接AC，则由三角形面积公式得：∴5×CM=4×1+3×4，111×AB×CM=×O A×OC+×OA×OB，222∴CM=16 5，∴圆C上点到直线y=31621x-3的最大距离是1+=，455 12121∴△PAB面积的最大值是⨯5⨯=，252故选C．4．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90︒，AB=8cm，C H是AB边上的高，正方形DEFGt = 4 - ⨯ [2 - (4 - t )]2 = - (t - 2)2 + 4 ；t的边 DE 在高 CH 上，F ，G 两点分别在 AC ，AH 上．将正方形 DEFG 以每秒1cm 的速度沿射线 DB 方向匀速运动，当点 G 与点 B 重合时停止运动．设运动时间为 ts ，正方形 DEFG 与 ∆BHC 重叠部分的面积为 Scm 2，则能反映 S 与 t 的函数关系的图象（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】由题意得： AH = BH = CH = 4 ， FE = FG = GH = EH = 2 ，（1）当 0剟2 时，如图 1，设 EF 交 CH 于点 K ，则 S = S矩形EDHK= t ⨯ 2 = 2t ；（2） 2 < t … 4 时，如图 2，设 EF 与 BC 交于点 M ， DE 于 BC 交于点 N ，S = S 正方形DEFG - S∆EMN 1 1 2 2（3） 4 < t … 6 时，如图 3，设 GF 交 BC 于点 L ，S = S1⨯ [2 - (t - 4)]2= (t - 6)2 ， 2 2∴当 0剟2 时，函数图象是正比例函数，当2 < t … 4 时，是开口向下的抛物线，当4 < t … 6 时，是开口向上的抛物线，故选： B ．5．如图，点A是直线y=﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB=2，则△AOB面积的最大值为（）A．2B．+1C．-1D．2【答案】B【详解】如图所示，作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA=AB，由题可得∠AOB=45°，∴∠ACB=90°，∴CD=AB=1，AC=BC==CO，连接OD，则OD≤OC+CD，+1，∴当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD=此时OD⊥AB，∴△AOB的面积最大值为AB×OD=×2（+1）=+1，当点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上时，+1，同理可得，△AOB面积的最大值为故选：B．6．如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】当直线AN与⊙B相切时，△AOM面积的最大．连接AB、BN，在△Rt AOB和△Rt ANB中∴△Rt AOB≌△Rt ANB，∴AN=AO=2，设BM=x，∴MN2=（BM-1）（BM+1），∴MN=，∵∠AOM=∠BNM=90°，∠AMO=∠BMN，∴△BNM∽△AOM，∴即，，解得x=，S△AOM=．故选B．7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D 是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为__________【答案】15【详解】∵D是抛物线y=-x2+6x上一点，∴ S V BCD = ⨯ 5 ⨯ (- x 2 + 6 x - 3) = - ( x - 3)2 + 15，Q - < 0，∴设 D( x , - x 2 + 6 x )，∵顶点 C 的坐标为(4,3)，∴OC = 42 + 32 = 5，∵四边形 OABC 是菱形，∴ BC = OC = 5, BC P x 轴，1 52 252∴ S V BCD 有最大值，最大值为 15，故答案为 15.8．如图，线段 AB 的长为 2，C 为 AB 上一个动点，分别以 AC 、BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ ACD △和BCE ，那么 DE 长的最小值是______________．【答案】1【详解】设 AC ＝x ，则 BC ＝2－x ，∵△ACD △和 BCE 都是等腰直角三角形，∴∠DCA ＝45°，∠ECB ＝45°，DC ＝ 2 x ，CE ＝ 2 (2－x) .2 2∴∠DCE ＝90°.∴DE 2＝DC 2＋CE 2＝（2 x ）2＋[ 2 (2－x) ]2＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.2 2∴当 x ＝1 时，DE 2 取得最小值，DE 也取得最小值，最小值为 1.9．已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15，动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动。