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初中函数图像分析知识点归纳初中阶段，我们学习了各种各样的数学知识，其中函数图像分析也是其中的一部分。
函数图像分析是学习函数的重要内容之一，它帮助我们理解函数的性质和行为。
在本文中，我将对初中函数图像分析的知识点进行归纳和总结。
一、函数的定义域和值域在图像分析中，我们首先要了解函数的定义域和值域。
函数的定义域是指函数可选取的自变量的值的集合，而函数的值域是函数对应的因变量的值的集合。
在分析函数图像时，我们要确保自变量在其定义域内取值，而因变量的取值则取决于函数所定义的规则。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自变量取正值和负值时的对称性。
具体来说，若对于函数中的每一对自变量的值 x 和 -x，有相应的 f(x) = f(-x)，则函数是偶函数。
相反，若对于函数中的每一对自变量的值 x 和 -x，有相应的 f(x) = -f(-x)，则函数是奇函数。
学习函数的奇偶性可以帮助我们预测函数图像的对称性。
三、函数的增减性与极值点函数的增减性是指函数图像在不同区间上的上升或下降趋势。
我们可以通过函数的导数或导函数来确定函数的增减性。
具体来说，若函数在定义域的某个区间上单调递增，那么该区间内的任意两点，其对应的函数值的大小关系保持不变。
若函数在某个区间上单调递减，也满足上述条件。
另外，函数在一处取得极值时，该点称为函数的极值点。
计算函数的导数或导函数，可以帮助我们确定函数的极值点。
四、函数的零点函数的零点也称为函数的根，它是使函数取值为0的自变量值。
零点是函数图像与 x 轴的交点。
通过求解函数的零点，我们可以找到函数图像与 x 轴的交点，进而推测函数的趋势和交点的位置。
五、函数的周期性周期函数是一类特殊的函数，它在一个固定的区间内具有重复的特征。
函数的周期性可以通过观察函数图像来判断。
若函数图像在特定的间隔 (T) 内呈现出相同的形状和性质，则该函数具有周期性。
周期函数的研究可以帮助我们预测函数在整个定义域上的行为。
2.动点与函数图象之面积问题1.如图,在直角坐标系xOy 中,已知()0,1,0)A B ,以线段AB 为边向上作菱形ABCD ,且点D 在y 轴上．若菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行,直至顶点D 落在x 轴上时停止．设菱形落在x 轴下方部分的面积为S ,则表示S 与滑行时间t 的函数关系的图象为( ).A ．B ．C ．D ．答案：A解析：解：∵()0,1,0)A B ,∴1,OA OB ==2AB ∴===,∵tan 1OB BAO OA ∠=== 60BAO ∴∠=︒,∴菱形ABCD 的高为22⨯= ∵菱形ABCD 以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 滑行,∴菱形沿y 轴方向滑落的速度为1,沿x ①点A 在x 轴上方时,落在x 轴下方部分是三角形,面积2122S t =⋅⋅=, ②点A 在x 轴下方,点C 在x 轴上方时,落在x 轴下方部分是梯形,面积1[(1)]22St t =-+=-, ③点C 在x 轴下方时,x 轴下方部分为菱形的面积减去x 轴上方部分的三角形的面积,2212t))22S t =⨯--=--, 纵观各选项,只有A 选项图形符合．故选A ．2.如图,AB 为半圆的直径,点P 为AB 上一动点,动点P 从点A 出发,沿AB 匀速运动到点B ,运动时间为t ,分别以AP 与PB 为直径做半圆,则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图象大致为( ).A ．B ．C ．D ． 答案：D解析：解：设P 点运动速度为v (常量),AB a = (常量),则,-AP vt PB a vt ==； 则阴影面积222111)()()222222a vt a vt s πππ-=--（ 2222()444v t avt vavt tπππ-+==-+ 由函数关系式可以看出,D 的函数图象符合题意．故选D ．3.如图,在矩形ABCD 中,O 是对角线AC 的中点,动点,P Q 分别从点,C D 出发,沿线段,CB DC 方向匀速运动,已知,P Q 两点同时出发,并同时到达终点,B C ．连接,OP OQ ．设运动时间为t ,四边形OPCQ 的面积为S ,那么下列图象能大致刻画S 与t 之间的关系的是（ ）.A ．B ．C ．D ． 答案：A解析：作OE BC ⊥于E 点,OF CD ⊥于F 点,如图,设,BCa ABb ==,点P 的速度为x ,点F 的速度为y , 则,CP xt DQ yt ==,所以,CQ b yt =-O Q 是对角线AC 的中点,OE OF ∴、分别是ACB ACD 、V V 的中位线,11,22OE b OF a ∴==, ,P Q Q 两点同时出发,并同时到达终点,a b x y∴=,即ay bx =, 1111()22221114441(0)4OCQ OCPS S S a b yt b xt ab ayt bxt a ab t x ∴=+=⋅-+⋅⋅=-+=<<V VS ∴与t 的函数图象为常函数,且自变量的范围为0a t x<<4.如图1,E 为矩形ABCD 边AD 上一点,点P 从点B 沿折线BE ED DC --运动到点C 时停止,点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止,它们运动的速度都是1/cm s ．若,P Q 同时开始运动,设运动时间为(),t s BPQ V 的面积为()2y cm ．已知y 与t 的函数图象如图2,则下列结论错误的是（ ）.A ．6AE cm =B ．4sin 5EBC ∠= C ．当010t<≤时, 225y t = D ．当12t s =时,PBQ V 是等腰三角形答案：D解析：(1)结论A 正确,理由如下：分析函数图象可知,10,4BCcm ED cm ==, 故1046AE AD ED BC ED cm ====﹣﹣﹣.(2)结论B 正确,理由如下：如图,连接EC ,过点E 作EF BC ⊥于点F ,由函数图象可知,10BC BE cm ==114010522BEC S BC EF EF EF ==⋅⋅=⋅⋅=V 8EF ∴=,84sin 105EF EBC BE ∴∠===. (3)结论C 正确,理由如下：如图,过点P 作PG BQ ⊥于点G ,BQ BP t==Q 211142sin 22255BPQ y S BQ PG BQ BP EBC t t t ∴==⋅⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=V . (4)结论D 错误,理由如下：当12ts =时,点Q 与点C 重合,点P 运动到ED 的中点,设为N ,如图,连接,NB NC .此时8,2AN ND ==,由勾股定理求得：NB NC ==10,BC BCN =∴Q V 不是等腰三角形,即此时PBQ V 不是等腰三角形.故选D.5.如图,正方形ABCD 中,8AB cm = ,对角线AC BD 、相交于点O ,点E F 、分别从B C 、两点同时出发,以1/cm s 的速度沿BC CD 、运动,到点C D 、时停止运动,设运动时间为(),ts OEF V 的面积为()2s cm ,则()2s cm 与()t s 的函数关系可用图像表示为（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：B解析：根据题意,8BE CF t CE t ===-,Q 四边形ABCD 为正方形,,45OB OC OBC OCD ∴=∠=∠=︒,Q 在OBE V 和OCF V中 OB OC OBE OCF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()OBE OCF SAS ∴≌V V ,OBE OCF S S ∴=V V ,218164OBCOECF S S ∴==⨯=四边形V 2116(8)214162CEFOECF S S t t t t ∴-=--⋅=--四边形V21(4)8(08)2t t t =-+≤≤， ∴2()s cm与()t s 的函数图象为抛物线一部分,顶点为()4,8,自变量为08t ≤≤．6.正方形ABCD 的边长与等腰直角三角形PMN 的腰长均为4cm ,且AB 与MN 都在直线l 上,开始时点B 与点M 重合.让正方形沿直线向右平移,直到A 点与N 点重合为止,设正方形与三角形重叠部分的面积为()2ycm ，MB 的长度为()x cm ,则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：D解析：根据题意分析可得：正方形与三角形重叠部分的面积先越来越快的增大；当MB 的长度为4时,面积为8,取得最大值；随后,越来越快的减小,最后为0．7.如图,两个边长相等的正方形ABCD 和EFGH ,正方形EFGH 的顶点E 固定在正方形ABCD 的对称中心位置,正方形EFGH 绕点E 顺时针方向旋转,设它们重叠部分的面积为S ,旋转的角度为,S θ与θ的函数关系的大致图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：B解析：如图,过点E 作EM BC ⊥于点,M EN AB ⊥于点N ,Q 点E 是正方形的对称中心,EN EM ∴=,由旋转的性质可得NEK MEL ∠∠=,在Rt ENK V 和Rt EML V 中,NEK MEL EN EMENK EML ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩故可得ENK EML ≌V V ,即阴影部分的面积始终等于正方形面积的148.如图,A 点在半径为2的O e 上,过线段OA 上的一点P 作直线l ,与O e 过A 点的切线交于点B ,且60APB ∠︒=,设OP x =,则PAB V 的面积y 关于x 的函数图象大致是（ ）.A ．B ．C ．D ． 答案：D解析：因为AB 切O e 于A ,所以90PAB ∠︒=在Rt PAB V 中,2,60AP x APB ∠︒=-=60,(2)AB tan AB x AP︒∴=-⋅=Q21(2)(2)22y x y x ∴=-=-且02x ≤<.9.矩形ABCD 中,8 , 6 AD cm AB cm ==.动点E 从点C 开始沿边CB 向点B以2 /cm s 的速度运动至点B 停止,动点F 从点C 同时出发沿边CD 向点D 以1 /cm s 的速度运动至点D 停止．如图可得到矩形CFHE ,设运动时间为x (单位：s ),此时矩形ABCD 去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y (单位：2cm ),则y 与x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：A 解析：分两种情况讨论：当4x ≤时,2682248y x x x⨯+⨯=-=- ,此时函数的图象为抛物线的一部分,它的最上点是抛物线的顶点(0,48),最下点为(4,16),当46x <≤时,点E 停留在点B 处,故488y x =-,此时函数的图象为直线488y x =-的一部分,它的最上点为(4,16),最下点为(60)，．结合图象可选A.10.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,动点P 从A 点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动,同时动点Q 从B 点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动,当P 运动到B 点时,P Q 、两点同时停止运动,设P 点运动的时间为,t APQ V 的面积为S ,则S 与t 的函数关系的图象是（ ）.A ．B ．C ．D ．答案：D 解析： 当02t<≤时,P 点在AB 上,Q 点在BC 上,这时,,2AP t BQ t == ,2122S t t t ∴⨯⨯==当24t <≤时,P 点仍在AB 上,Q 点在CD 上,这时,AP t APQ=V 的边AP 上的高为4,1422S t t ∴⨯⨯==.11.如下图所示,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形,设穿过时间为t ,正方形除去圆部分的面积为S (阴影部分),则S 与t 的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．答案：A 解析：由图中可知：在开始的时候,阴影部分的面积最大,可以排除B,C 。
初中数学动点产生的面积问题学习方法
函数中的动点问题是以函数为背景，充分运用方程、转化、函数以及数形结合等思想来研究解决。
1.求不规则图形或难以同时求出底和高的三角形的面积，一般的思路是割补法：
①有一边“水平”或“竖直”的多边形，作垂线分割成直角三角形或直角梯形，如图1;
②“斜”的三角形一般不易找到它的底和高，通常过顶点作铅垂线和水平线“补”成矩形，再减去各角上的直角三角形面积，如图2.
图1
图2
2.对于“斜”三角形可用“铅垂法”求面积：如图3，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1/2ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
图3
3.底或高不明显，但已知边的关系，可用相似比间接求得.①如图4，同底三角形的面积比等于高的比同高三角形的面积比等于底的比;②如图5，同底等高三角形的面积相等.
图4
图5
【典型例题】
如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(-3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.
(3)如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.。
第二轮复习之函数图像上点的存在性问题中的距离、面积与角度中考说明：从07到13年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等． 一、线段定值问题：初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题可分为以下几类： ① 动点P 到定点O 的距离等于定长d ，其实就是作圆（如图1）． ② 动点P 到定直线l 的距离等于定长d ，其实就是作平行线（如图2）． ③ 动点P 到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）． ④ 动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3）⑤ 动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）．Pd O图1图2P 2P 1ld d图3 角平分线角平分线角平分线角平分线图4I 3I 2I 1I二、线段最值问题： 题型一： 已知AB a =，AC b =，其中a b <，求BC 的最值．如图，以点A 为圆心，线段AB 为半径作圆， A ⊙交直线AC 于点1B 、2B ，当点B 与点1B 重合时，BC 取到最大值为a b +；当点B 和点2B 重合时，BC 取到最小值为b a -．点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小．题型二：在直线l 上找一点P ，使得其到直线同侧两点A B 、的距离之和最小，如图所示．作点A （或B ）关于直线l 的对称点，再连接另一点与对称点，与l 的交点即为P 点．题型三：直线12l l 、交于O ，P 是两直线间的一点，在直线12l l 、上分别找一点A B 、，使得PAB △的周长最短．如图所示，作P 点关于12l l 、的对称点12P P 、，连接12P P ，与12l l 、分别交于A B 、两点，即为所求．题型四：直线12l l 、交于O ，A B 、是两直线间的两点，从点A 出发，先到1l 上一题型一：存在问题中的距离B 1B 2CB A A'BPAl Ol 1l 2QPB'A'BAO B AP 2P 1P l 2l 1点P ，再从P 点到2l 上一点Q ，再回到B 点，求作P Q 、两点，使AP PQ QB ++最小．如图所示，作A B 、两点分别关于直线12l l 、的对称点A B ′′、，连接A B ′′分别交12l l 、于P Q 、，即为所求．点评：同侧定点问题通过轴对称转化成异侧定点，才能和直线相交．题型五：从A 点出发，先到直线l 上的一点P ，再在l 上移动一段固定的距离PQ ，再到点B ，求作P 点使移动的距离最短，如图所示．先将A 点向右平移到A ′点，使AA ′等于PQ 的长，作点B 关于l 的对称点B ′，连接A B ′′，与直线l 的交点即为Q 点，将Q 点向左平移线段PQ 的长，即得到P 点．题型六：A B 、是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为d 的河上垂直建一座桥，使得从A 村庄经过桥到B 村庄所走的路程最短．如图所示，将点A 向垂直于河岸的方向向下平移距离d ，到A ′点，连接A B ′交河岸于Q 点，过Q 点作PQ 垂直于河岸，交河岸的另一端为P ，即为所求． 点评：若有定长，则按着定长的方向平移掉定长．题型七：垂线段最短．AB ≥AM+BNNBMA斜边大于直角边C B A垂线段最短B'A'QPBAl【例1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y mx mx n =++经过(35)P ，，(02)A ，两点．⑴求此抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为B ，将直线AB 沿y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线l 与抛物线的对称轴交于C 点，求直线l 的解析式；⑶在⑵的条件下，求到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标． （北京中考）【解析】 ⑴ 由题意可得3652m m n n ++=⎧⎨=⎩解得132m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩故抛物线的解析式为：2123233y x x =++．⑵ 由2123233y x x =++可知抛物线的顶点坐标为()31B -，，故()31C --，， 由题意可知直线l 过原点()00，和()31C --，． 设直线l 的解析式为y kx =，则有31k -=-解得3k =． 故直线l 的解析式为3y x =． ⑶ 到直线OB 、OC 、BC 距离相等的点有四个． 由勾股定理可知OB =OC =BC =2，故△OBC 为等边三角形，四边形ABCO 是菱形，且∠BCO =60°，连接AC 交x 轴于一点M ，易证点M 到OB 、OC 、BC 的距离相等． 由点A 在∠BCO 的平分线上，故它到BC 、CO 的距离相等均为3，同时不难计算出点A 到OB 的距离为3，故点A 也算其中一个． 同理，不难想到向左、向下可以分别作与ABCO 全等的菱形（如图所示，其中△OBC 为新菱形的一半），此时必然存在两个点，使得它到直线OB 、OC 、BC 的距离相等．此四个点的坐标分别为：230M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，()02A ，，()02-，，()230-，．【例2】 已知抛物线21y ax bx =++经过点()13A ，和点()21B ，． ⑴求此抛物线解析式；⑵点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；⑶过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE 上运动速度的2倍，试确定点F 的位置，使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）（崇文一模）典题精练Bl-3-2-1C N -4-2M 12OA321y xy x331221O 1FGy xE H D 1OCBA【解析】 ⑴ 依题意：311421a b a b =++⎧⎨=++⎩解得24a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为2241y x x =-++．⑵ 点()13A ，关于y 轴的对称点A '的坐标是()13-，，点()21B ，关于x 轴的对称点B '的坐标是()21-，．由对称性可知 AB BC CD DA +++=AB B C CD DA ''+++≥AB A B ''+由勾股定理可求AB =5，5A B ''=．所以，四边形ABCD 周长的最小值是55AB A B ''+=+．⑶ 确定F 点位置的方法：如图，过点E 作直线EG 使对称轴与直线EG 成45︒角，则EG 与对称轴的交点为所求的F 点． 设对称轴与x 轴交于点H ，在Rt HEF △中，由1HE =，9045FHE EFH ∠=︒∠=︒，，得1HF =．所以点F 的坐标是()11，．中考说明：经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题，发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：一是面积可以通过底和高来限制线段，二是特殊图形面积计算也是中考的考查点．【例3】 抛物线223y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），与y 轴交于点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．【分析】 求三角形面积的问题通常要用割补法或等积变换等方法，本题较特殊，还可利用直线与抛物线相切来寻找面积最大时E 点的坐标．【解析】 解法一：过点E 作EF x ⊥轴于点F ，典题精练题型二：存在问题中的面积ExOyCBA设()223E a a a --+，()30a -<<∴223EF a a =--+，3BF a =+，OF a =-∴()1122BOCE S BF EF OC EF OF =⋅++⋅四边形()()()()22113232622a a a a a a =+⋅--++--+⋅- 2399222a a =--+23363228a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∴当32a =-时，BOCE S 四边形最大，且最大值为638．此时，点E 坐标为31524⎛⎫- ⎪⎝⎭，．解法二：过E 作EF x ⊥轴交BC 于点H ， 设E 坐标为()223a a a --+，，则()3H a a +，，∴222333EH a a a a a =--+--=--， 由()213322BEC BEH CEH S S S OB EH a a =+=⋅⋅=--△△△∴()239322BOCE S a a =-++四边形，当32a =-时，BOCE S 四边形取到最大值，此时，31524E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．解法三：过抛物线上一点作BC 平行线l ，当直线l 与抛物线有且只有一个公共点时，BEC S △取到最大值，此点即为点E ， 设直线l 解析式为y x b =+，则方程223x b x x +=--+，有两个相等实根，即0∆=，可求214b =，由此可求得方程的根，即可求出E 点坐标．【例4】 如图，已知抛物线212y x bx c =++（b ，c 是常数，且0c <）与x 轴分别交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(10)-，． ⑴ b ＝ ，点B 的横坐标为 （上述结果均用含c 的代数式表示）；⑵ 连接BC ，过点A 作直线AE BC ∥，与抛物线212y x bx c =++交于点E ．点D 是x轴上一点，其坐标为()20，，当C ，D ，E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；⑶ 在⑵的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连接PB ，PC ，设所得△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为整数，则这样的△PBC 共有 个．（ 苏州）【解析】（1）12c +，2c -；xy HF EOC B A（2）令0x =，得y c =，即点C 坐标为()0c ，． 设直线BC 的解析式为y kx c =+．∵点B 坐标为()20c -，， ∴20kc c +=．∵0c ≠，∴12k =．∴12y x c =+．∵AE BC ∥．∴可设直线AE 的解析式为12y x m =+．∵点A 坐标为()10-，， ∴()1102m ⨯-+=．∴12m =．∴1122y x =+． 由211221122y x c x c y x ⎧⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩．解得1110x y =-⎧⎨=⎩，22121x c y c =-⎧⎨=-⎩ ∴点E 坐标为()121c c --，． ∵点C 坐标为()0c ，，点D 坐标为()20，，∴直线CD 的解析式为2cy x c =-+． ∵C 、D 、E 三点在同一直线上，∴()1122cc c c -=--+， ∴22320c c +-=，∴112c =（舍去），22c =-． ∴1322b c =+=-．∴抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①设点P 坐标为213222x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，∵点A 坐标为()10-，，点B 坐标为()40，，点C 坐标为()02，． ∴5AB =，2OC =，直线CB 解析式为122y x =-．当10x -<<时，0ACB S S <<△．∵152ACB S AB OC =⋅=△，∴05S <<． 当04x <<0时，过点P 作PG x ⊥轴于点G ，交CB 于点F ．∴点F 坐标为122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴2211312222222PF x x x x ⎛⎫=----=-+ ⎪⎝⎭．∴211124222S PF OB x x ⎛⎫=⋅=-+⨯ ⎪⎝⎭．∴24S x x =-+．∴当2x =时，4S =最大值． ∴04S <≤．∴综上所述05S <<． ②11．1.【存在问题中的角度---特殊角】中考说明：单个特殊角θ一般指30︒、45︒、60︒等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线tan y x m θ=⋅+与抛物线()20y ax bx c a =++≠的交点.【例5】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为抛物线2y x =上一动点，点A 的坐标为()42，，若点P 使45AOP =︒∠，请求出点P 的坐标．PKNAMOxy图2PBKM N AxOy典题精练构造特殊三角形特殊角度45°30°题型三：存在问题中的角度AxOy【解析】方法一：构造外弦图，如图1，过点A作MN垂直x轴于M，在AN上取点N，使得AN OM=，过点N作NK OM∥，过点A作AK AO⊥，AK与NK相交于点K．易证AMO KNA△≌△∴4AN OM==，2NK AM==∴点K的坐标为()26，直线OK的解析式为3y x=联立方程组23y xy x⎧=⎨=⎩解得xy=⎧⎨=⎩（舍），39xy=⎧⎨=⎩故点P的坐标为()39，．方法二：如图2，以AO为斜边作等腰直角三角形AOK，再构造弦图，求K的坐标．2．【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】【例6】在平面直角坐标系xOy中，抛物线2y x bx c=++与x轴交于A B，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为(30)，，将直线y kx=沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C，两点．⑴求直线BC及抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且APD ACB∠=∠，求点P的坐标；⑶连接CD，求OCA∠与OCD∠两角和的度数．（北京中考）【解析】⑴y kx=Q沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，∴(03)C，．设直线BC的解析式为3y kx=+．∵(30)B，在直线BC上，∴330k+=．解得1k=-．∴直线BC的解析式为3y x=-+．Q抛物线2y x bx c=++过点B C，，∴9303b cc++=⎧⎨=⎩解得43bc=-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为243y x x=-+．⑵由243y x x=-+．可得(21)(10)D A-，，，．∴3OB=，3OC=，1OA=，2AB=．可得OBC△是等腰直角三角形．∴45OBC∠=︒，32CB=如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，∴112AF AB==．过点A作AE BC⊥于点E．∴90AEB∠=︒．1Oy2 3 44321-1-2-2-1PEBDP'ACF图11137–23–2–4xy55O21MED CB A321可得BE AE =CE =在AEC △与AFP △中，90AEC AFP ∠=∠=o ，ACE APF ∠=∠， ∴AEC AFP △∽△．∴AE CEAF PF =． 解得2PF =．Q 点P 在抛物线的对称轴上，∴点P 的坐标为(22)，或(22)-，． ⑶ 解法一： 如图2，作点(10)A ，关于y 轴的对称点A '，则(10)A '-，连结A C A D ''，， 可得A C AC '=OCA OCA '∠=∠． 由勾股定理可得220CD =，210A D '=．又210A C '=，∴222A D A C CD ''+=．∴A DC '△是等腰直角三角形，90CA D '∠=︒， ∴45DCA '∠=︒． ∴45OCA OCD '∠+∠=︒． ∴45OCA OCD ∠+∠=o ． 即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45︒． 解法二： 如图3，连结BD ．同解法一可得CD =AC =． 在Rt DBF △中，90DFB ∠=︒，1BF DF ==，∴DB =在CBD △和COA △中，1DB AO =3BC OC ==CD CA == ∴DB BC CD AO OC CA ==． ∴CBD COA △∽△． ∴BCD OCA ∠=∠． 45OCB ∠=︒Q ，∴45OCA OCD ∠+∠=︒．即OCA ∠与OCD ∠两角和的度数为45︒．【总结】当11tan 1,tan 2,23∠=∠=则1245.∠+∠=︒【证明】方法1：将上面三个三角形向下翻折，连接,AM EM可证：ABD MCE △≌△ ∴13∠=∠又∵AM EM =，222AM EM AE += ∴AEM △是等腰直角三角形∴45AEM ∠=︒，即2345∠+∠=︒图2 x图3123AB CD E∴1245∠+∠=︒【提示】此题中三垂直模型：方法2:连接AC∵,22CD AC AC CE ===且ACD ECA ∠=∠ ∴△ACD ∽△ECA 1,CAE ∴∠=∠12245CAE ACB ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒训练1. 如图，在直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2()0a ≠与x 轴交于点()10A -，、()30B ，两点，抛物线交y 轴于点()03C ，，点D 为抛物线的顶点．直线1y x =-交抛物线于点M 、N 两点，过线段MN 上一点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ． ⑴求此抛物线的解析式及顶点D 的坐标；⑵问点P 在何处时，线段PQ 最长，最长为多少？⑶设E 为线段OC 上的三等分点，连接EP ，EQ ，若EP EQ =，求点P 的坐标．（浙江省中考）CDQNPMBAy xO备图O xy A BMNDC【解析】 ⑴ 由题意，得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩223y x x =-++=2(1)4x --+，顶点坐标为()14，.⑵ 由题意，得()1P x x -，，()223Q x x x -++，，∴线段()222112314424PQ x x x x x x ⎛⎫=-++--=-++=--+ ⎪⎝⎭当12x =时，线段PQ 最长为144.⑶ ∵E 为线段OC 上的三等分点，3OC =， ∴()01E ，或()02E ， ∵EP EQ =，PQ 与y 轴平行，即PQ 中点的纵坐标等于点E 的纵坐标2Q PE y y y +=∴()22231OE x x x =-+++-当1OE =时，1203x x ==，，点P 坐标为()01-，或()32，. 当2OE =时，11x =，22x =，点P 坐标为()10，或()21，. 训练2. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线经过点()04A ，，()10B ，，()50C ，，思维拓展训练（选讲）抛物线的对称轴l 与x 轴相交于点M ． ⑴求抛物线的解析式和对称轴；⑵设点()P x y ，为抛物线上的一点，其中5x >A 、O 、M 、P 连续的正整数，请你直接写出．．．．点P 的坐标； ⑶连接AC ．探索：在直线AC 在一点N ，使NAC △点N 的坐标；若不存在，请你说明理由．【解析】 ⑴ 根据已知条件可设抛物线的解析式为)5)(1(--=x x a y ，把点A (0，4)代入上式得：54=a ， ∴=y 4(1)(5)5x x -- 2424455x x =-+ 2416(3)55x =-- ∴抛物线的对称轴是：3=x ． ⑵ 由已知，可求得P (6，4)．提示：由题意可知以A 、O 、M 、P 有两条边AO ＝4、OM ＝3，又知点P 的坐标中5>x ，所以，2M P >，AP >因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6种情况，在Rt △AOM 中，5AM ==， 因为抛物线对称轴过点M ，所以在抛物线5>x 象上有关于点A 的对称点与M 的距离为5，即＝5，此时点P 横坐标为6，即AP ＝6；故以A 、O 、M 、P 别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，此时点的坐标为(6，4)．⑶ 法一：在直线AC 的下方的抛物线上存在点N ， 使△NAC 面积最大．设N 点的横坐标为t ，此时点N 2424(4)55t t t -+，(05)t <<，过点N 作NG ∥y 轴交AC 于G ；由点A (0，4)C (5，0)可求出直线AC 的解析式为：445y x =-+；把t x =代入得：445y t =-+，则G 4(4)5t t -+，，此时：NG ＝445t -+－(2424455t t -+)＝2455t t -+．∴22211420525()52102()225522ACN S NG OC t t t t t ∆=⋅=-+⨯=-+=--+ ∴当25=t 时，△CAN 面积的最大值为252，由52t =，得：24244355y t t =-+=-，∴N (25，－3)．法二：提示：过点N 作x 轴的平行线交y 轴于点E ，作CF ⊥EN 于点F ，则ANC AEN NFC AEFC S S S S =--梯形△△△(再设出点N 的坐标，同样可求,余下过程略)训练3. 已知抛物线22y x x c =-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为D点，点A 的坐标为()10-，．⑴ 求D 点的坐标；⑵ 如图1，连接AC ，BD ，并延长交于点E ，求E ∠的度数；⑶ 如图2，已知点()40P -，，点Q 在x 轴下方的抛物线上，直线PQ 交线段AC 于点M ， 当PMA E ∠=∠时，求点Q 的坐标．( 十堰)x图1图2x【解析】（1）把x =－1，y =0代入22y x x c =-+得1＋2＋c =0， ∴c =－3∴()222314y x x x =--=--∴顶点D 的坐标为（1，－4）（2）如图1，连结CD 、CB ,过D 作DF ⊥y 轴于F 点， 由2230x x --=得x 1=－1，x 2=3，∴B （3,0）． 当x =0时，2233y x x =--=- ． ∴C （0,－3），∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OCB =45°，BC =32又∵DF =CF =1，∠CFD =90°，∴∠FCD =45°，CD=2，∴∠BCD =180°－∠OCB －∠FCD =90°． ∴∠BCD =∠COA ．211==,=3332CD OA CB OC 又 ∴=CD OACB OC，∴△DCB ∽△AOC ，∴∠CBD =∠OCA ． 又∠ACB =∠CBD +∠E =∠OCA +∠OCB ，∴∠E =∠OCB =45°．(3)如图2，设直线PQ 交y 轴于N 点，交BD 于H 点，作DG ⊥x 轴于G 点． ∵∠PMA =45°，∴∠EMH =45°，∴∠MHE =90°， ∴∠PHB =90°，∴∠DBG +∠OPN =90°．又∠ONP +∠OPN =90°，∴∠DBG =∠ONP ，又∠DGB =∠PON =90°，∴△DGB ∽△PON ， ∴2==44BG ON ONDG OP ,即， ∴ON =2，∴N （0，－2）．设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，则由40,2.k b b ì-+=ïïíï=-ïî 解得k =－12，b =－2， ∴122y x =--． 设Q （m ，n ）且n <0，∴122n m =--． 又Q （m ，n ）在223y x x =--上，∴223n m m =--， ∴212232m m m --=--，解得1212,2m m ==-， ∴1273,4n n =-=-，∴点Q 的坐标为（2，－3）或（－12，－74）.-1y x-4M QGNHEPA CB DO Q -1yxFEA C BD O图1题型一 存在问题中的距离 巩固练习【练习1】 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++经过()20A ，、()40B ，两点，直线122y x =+交y 轴于点C ，且过点(8)D m ，． ⑴求抛物线的解析式；⑵在x 轴上找一点P ，使CP DP +的值最小，求出点P 的坐标； ⑶将抛物线2y x bx c =++左右平移，记平移后点A 的对应点为A '，点B 的对应点为B '，当四边形A B DC ''的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A B DC ''周长的最小值．（顺义二模）【解析】 ⑴ 依题意，得4201640b c b c ++=⎧⎨++=⎩解得68b c =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式是268y x x =-+． ⑵ 依题意，得 (02)C ，，(86)D ，．作点(02)C ，关于x 轴的对称点(02)C '-，，求直线C D '的解析式为2y x =-，直线C D '与x 轴的交点即为P 点．因此，P 点坐标为(20)，． ⑶ 左右平移抛物线268y x x =-+，因为线段2A B ''=和CD =228445+=均是定值，所以要使四边形A B DC ''的周长最小，只要使A C B D ''+的值最小； 因为2A B ''=，因此将点C 向右平移2个单位得()122C ，，作点1C 关于x 轴的对称点2C ，2C 点的坐标为()22-，， 设直线2C D 的解析式为y kx b =+，将点()222C -，、()86D ，代入解析式，得 2286k b k b +=-⎧⎨+=⎩解得 43143k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线2C D 的解析式为41433y x =-．复习巩固∴直线2C D 与x 轴的交点即为B '点，可求702B ⎛⎫' ⎪⎝⎭，，因此302A ⎛⎫' ⎪⎝⎭，．所以当四边形A B DC ''的周长最小时，抛物线的解析式为37()()22y x x =--，即22154y x x =-+．∵2A C B D C D ''+==10=．∴四边形A B DC ''的周长最小值为21012+=+．题型二 存在问题中的面积 巩固练习【练习2】 如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点()33A ，，把直线OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点()6B m ，，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点.⑴求m 的值；⑵求过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；⑶若点E 是抛物线上的一个动点，是否存在点E ，使凸四边形OECD 的面积1S 是四边形OACD 面积S 的23?若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（内蒙古乌兰察布中考）【解析】 ⑴ 设反比例函数的解析式为：ky x=，把()33A ，代入解析式中求得9k =.当6x =时，9362y ==，所以32m =；点B 的坐标为362⎛⎫ ⎪⎝⎭，.⑵ 设直线OA 的解析式为1OA y k x =，把()33A ，代入解析式中求得11k =，则有OA y x =， 设直线BD 的解析式为BD y x b =+，把362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入解析式中求得 4.5b =-，则有 4.5BD y x =-，所以362B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、()0 4.5D -，设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，由题意知933336624.5a b c a b c c ++=⎧⎪⎪++=⎨⎪=-⎪⎩解得0.544.5a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以20.54 4.5y x x =-+-⑶ 由 4.5BD y x =-求出()4.50C ，，四边形OACD 面积OAC OCD S S S =+△△=111353 4.5 4.5 4.5228⨯⨯+⨯⨯=，四边形OECD 的面积122135453384S S ==⨯=因为初中只研究凸四边形，经分析点E 在直线CD 的上方，四边形OECD 的面积1OCE OCD S S S =+△△则45194.5 4.5428OCE S =-⨯⨯=△所以1928OC h ⨯⨯=，求出12h =，即点E 的纵坐标是12，把12y =代人20.54 4.5y x x =-+-中得出4x =所以142E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或142E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.又因为E 在直线CD 的上方，所以142E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.题型三 存在问题中的角度 巩固练习【练习3】 如图，点P 是直线l ：22y x =--上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2y x =于A 、B 两点．⑴ 若直线m 的解析式为1322y x =-+，求A ，B 两点的坐标；⑵ ① 若点P 的坐标为()2t -，．当PA AB =时，请直接写出点A 的坐标；② 试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上能找到点A ，使得PA AB= 成立．⑶ 设直线l 交y 轴于点C ，若AOB △的外心在边AB 上，且BPC OCP ∠=∠，求点P 的 坐标．m（ 武汉）【解析】⑴ 依题意，得21322y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩， 解得113294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，∴3924A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()11B ，． ⑵ ①()111A -，，()239A -， ②过点P ，B 分别作过点A 且平行于x 轴的直线的垂线，垂足分别为点G 、H ． 设()22P a a --，，()2A m m ，， ∵PA PB =，∴PAG BAH △≌△．∴AG AH =，PG BH =． ∴()22222B m a m a -++，． 将点B 坐标代入抛物线2y x =， 得2224220m am a a -+--=．∵()()222216822816168180a a a a a a ∆=---=++=++> ∴无论a 为何值时，关于m 的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的点P ，抛物线上总能找到两个满足条件的点A ． ⑶ 设直线m ：()0y kx b k =+≠交y 轴于点D ， 设()2A m m ，，()2B n n ，，过A ，B 两点分别作AG ，BH 垂直x 轴于G ，H ，∵AOB △的外心在AB 上， ∴90AOB ∠=︒． 由AGO OHB △∽△，得AG OHOG BH=． ∴1mn =-．联立2y kx b y x=+⎧⎨=⎩，得20x kx b --=． 依题意，得m ，n 是方程20x kx b --=的两根． ∴mn b =-．∴1b =，即()01D ，． ∵BPC OCP ∠=∠，∴3DP DC ==．设()22P a a --，，过点P 作PQ y ⊥轴于Q ， 在Rt PDQ △中，222PQ DQ PD +=．m即()2222213a a +---=． ∴10a =（舍去），2125a =-． ∴121455P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．。
1 / 11九年级二次函数综合——图形的存在性问题（讲义）➢ 知识点睛1. 二次函数的学习框架⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩一般式表达式顶点式交点式抛物线图象轴对称图形二次函数增减性性质对称性最值已知坐标计算表达式——待定系数法计算已知表达式计算坐标——联立表达式、坐标代入表达式函数与几何综合——从关键点坐标出发，横平竖直的线 2. 二次函数与方程、不等式的综合——数形结合 3. 二次函数与几何综合（1）函数与几何综合问题处理的两个原则①坐标系中处理问题的原则——作横平竖直的线，坐标和线段长互转 ②函数与几何综合问题的处理原则——从关键点坐标出发 （2）二次函数与几何综合问题的处理思路①已知表达式，设点坐标，转线段长，借助几何特征列方程 ②几何特征比较明显，设线段长、表达点坐标、代入表达式注：实际解决问题的时候，往往①②结合使用4. 存在性问题的处理框架（1）研究背景图形（2）根据不变特征，确定分类标准（3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4）结果验证➢精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得以P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．2/ 113 / 112. 已知抛物线21322y x x =--的图象如图所示．（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则平移后的解析式为____________________； （2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得以A ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．32x备用图3.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴相交于点C(0，-3)．（1）求这个二次函数的解析式．（2）若点P是第四象限内这个二次函数图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．4/ 114.如图，抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，直线y=-x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．备用图5/ 115.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴．（2）点D为抛物线对称轴上一点，连接CD，BD，若∠DCB=∠CBD，求点D的坐标．（3）已知F(1，1)，若E(x，y)是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2），连接CE，CF，EF，求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．6/ 117/ 118 / 116. 如图，直线132y x =-与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，抛物线214y x bx c =++过B ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为点A ，连接AC ． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点D （与点A 不重合），使得S △DBC =S △ABC ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）有宽度为2，长度足够长的矩形（阴影部分）沿x 轴方向平移，与y 轴平行的一组对边交抛物线于点P 和点Q ，交直线CB 于点M 和点N ，在矩形平移过程中，当以点P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．7.如图，已知直线113y x=+与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．（1）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式．（2）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（1）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的周长；若不存在，请说明理由．9/ 1110 / 11【参考答案】1. （1）抛物线的解析式为2142y x x =+-； （2）S 关于m 的函数关系式为S =-m 2-4m （-4＜m ＜0）；S 的最大值为4；（3）点Q 的坐标为Q 1(-4，4)，Q 2(2-+，2-，Q 3(2--2+)，Q 4(4，-4)．2. （1）213222y x x =--+；（2）△ABC 为直角三角形，理由略；（3）点P 的坐标为P 1(32-，2+)，P 2(32-，2)，P 3(32-，0)．3. （1）二次函数的解析式为y =x 2-2x -3；（2）①PM =-t 2+3t （0＜t ＜3），当t =32时，PM 取得最大值，为94；②点P 的坐标为P 1(2，-3)，P 2(3，2-． 4. （1）抛物线的解析式为224233y x x =+-； （2）PH； （3）M 点坐标为M 1(，2-+，M 2，2--，M 3(1，-2)，M 4(35-，65-)．5. （1）抛物线的解析式为224233y x x =-++；对称轴为直线x =1；（2）点D 的坐标为(1，74)； （3）△CEF 面积的最大值为4948；此时点E 的坐标为(74，5524)；11 / 11 （4）点M 的坐标为M 1(4，103-)，M 2(-2，103-)，M 3(2，2)． 6. （1）抛物线的解析式为2134y x x =--； （2）点D 的坐标为(8，5)；（3）点M 的坐标为M 1(2，-2)，M 2(2+2)，M 3(2-2)．7. （1）抛物线的解析式为2732y x x =-+；（2）菱形的周长为8或．。
专题12 二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题思路提示：二次函数中的面积问题通常用转化的数学思想将面积转化为线段的最值问题求解，常见的是先分割再用三角形的面积计算方法（“铅垂高、水平宽法”）求解.题型一、四边形面积最值问题1.（2019·山东枣庄中考）如图，已知抛物线y =4232++x ax 的对称轴是直线x =3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解折式和A 、B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大?若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，试说明理由；（3）如图2，若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN =3时，求点M 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为x =3， ∴3232a -=，解得：a =14- 即抛物线的解析式为：y =213442x x -++， 令y =0，得：213442x x -++=0， 解得：x =－2或x =8，即A (－2,0)，B (8,0)；（2）如图，过P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，由题意知，C (0,4),设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，得：480b k b =⎧⎨+=⎩，解得：412b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩， 即直线BC 的解析式为：y =12-x +4， S 四边形PBOC =S △BOC +S △PBC =1184822PD ⨯⨯+⨯⨯=4PD +16， 设P (m ，213442m m -++)，D (m ，12-m +4)，则PD =2124m m -+ ∴S 四边形PBOC =4PD +16=2816m m -++=()2432m --+∴当m =4时，四边形PBOC 的面积取最大值，为32，此时P 点坐标为（4,6）；（3）设M (x ，213442x x -++)，N (x ，12-x +4)，则MN =|2124x x -+|， ∵MN =3， ∴|2124x x -+|=3， 即2124x x -+=3（0<x <8）或2124x x -+=－3（x <0或x >8）， 解得：x 1=2，x 2=6，或x 3=4－，x 4，综上所述，当MN =3时，点M 的坐标为：(2,6)，（6,4），（4－－1），（－1）.2. （2019·四川自贡中考）如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A （－1,0）和点B （2,3）两点.（1）求抛物线C 函数表达式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）把A （－1,0），B （2,3）代入抛物线得：⎩⎨⎧=++=+-34402c a c a解得⎩⎨⎧=-=31c a∴抛物线的函数表达式为：y =－x 2+2x +3（2）∵A （－1,0），B （2,3），∴直线AB 的解析式为：y =x +1，如下图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，设M (m ,－m 2+2m +3)，N (m ,m +1)，（－1＜m ＜2）∴MN =－m 2+m +2，∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =1()2B A x x MN -∴S △ABM =2213127(2)3()2228m m m -++⨯=--+， ∴当21=m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时)27,21(M（3）存在，点)415,1(F 理由如下：抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=y 的距离为41， 设),1(n F 、)32,(2++-x x x P ，设P 到直线417=y 的距离为PG . 则PG =22175(23)244x x x x --++=-+， ∵P 为抛物线上任意一点都有PG =PF ，∴当P 与顶点D 重合时，也有PG =PF .此时PG =41，即顶点D 到直线417=y 的距离为14， ∴PF =DF =41， ∴)415,1(F ， ∵PG =PF ，∴PG 2=PF 2， ∵2222222153(1)(23)(1)(2)44PF x x x x x x =-++--=-+-+ 2225(2)4PG x x =-+ ∴222222153(1)(23)(1)(2)44x x x x x x -++--=-+-+225(2)4x x =-+ 整理化简可得0x =0， ∴当)415,1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG =PF . 3. （2019·甘肃中考）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴10930b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得：b=－4，c=3，∴二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1所示，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，即点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2所示，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：22m+，即：22m+＝2，解得：m＝2，即点P（2，﹣1）；综上所述，点P（4，3），（0，3），（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝12AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x=23924x⎛⎫--+⎪⎝⎭，∵﹣1＜0，所以四边形AEBD面积有最大值，当x＝32，其最大值为94，此时点E（32，﹣34）．4. （2019·山东枣庄中考）已知抛物线y＝ax2+32x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝3， ∴322a -＝3，解得a ＝14-， ∴抛物线的解析式为：y ＝14-x 2+32x +4． 当y ＝0时，14-x 2+32x +4＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝8， ∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．（2）当x ＝0时，y ＝4，∴点C 的坐标为（0，4），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入得：804k b b +=⎧⎨=⎩，解得124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为y ＝12-x +4， 过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，如图所示，设点P 的坐标为（x ，14-x 2+32x +4），则点D 的坐标为（x ，12-x +4）， 则PD ＝14-x 2+32x +4﹣（12-x +4）＝14-x 2+2x ，（0＜x ＜8）， ∴S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC ＝12×8×4+12PD •OB ＝﹣（x ﹣4）2+32，∴当x ＝4时，四边形PBOC 的面积最大，最大值是32，即存在点P （4，6），使得四边形PBOC 的面积最大．（3）设点M的坐标为（m，14-m2+32m+4）则点N的坐标为（m，12-m+4），∴MN＝|14-m2+2m|，∵MN＝3，∴14-m2+2m=3或14-m2+2m=－3，解得：m1＝2，m2＝6，m3＝4﹣，m4＝，∴点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣﹣1）或（﹣1）．题型二、三角形面积最值问题5. （2019·海南中考）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过点A(－5,0)，B(－4，－3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是该抛物线上一动点（与B、C不重合），设点P的横坐标为t，①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所以点P的坐标，若不存在，请说明理由？【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+5经过点A(－5,0)，B(－4，－3)两点，∴2555016453a b a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得：a =1，b =6， 即抛物线的解析式为：y =x 2+6x +5.（2）①在y =x 2+6x +5中，当y =0时，x =－1或x =－5，即C （－1,0），设直线BC 的解析式为：y =mx +n ， ∴043m n m n -+=⎧⎨-+=-⎩，解得：m =1，n =1， 即直线BC 的解析式为：y =x +1，过P 作PD ∥y 轴交BC 于点E ，∴S △PBC =()12C B PE x x ⨯⨯- =32PE 设P 点坐标为（t ，t 2+6t +5），则E 点坐标为（t ，t +1），∴PE =t +1－（t 2+6t +5）=－t 2－5t －4，∴S △PBC =32PE =()23542t t --- =23527228t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ∴当t =52-时，△PBC 面积有最大值，最大值为278； ②由y =x 2+6x +5=（x +3）2－4知，D 点坐标为（－3，－4），∴直线CD 的解析式为：y =2x +2，由B (－4，－3)，C （－1,0）得：BD 2=2，CD 2=20，BC 2=18,∴BD 2+ BC 2=CD 2，即△CBD 是直角三角形，∠DBC =90°，（i ）过B 作BE ∥CD ，则∠EBC =∠BCD ，即点P 在直线BE 上，设直线BE 的解析式为：y =2x +k ，将点B (－4，－3)代入，得：k =5，即直线BE 解析式为：y =2x +5，联立y =2x +5，y=x 2+6x +5，并解得： 0453x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（与B 点重合，舍）， ∴P 点坐标为（0,5）；（ii ）∵∠CBD =90°，取CD 中点F ，得F 点坐标为（12--，）连接BF ，则BF =FC ，∠FBC =∠BCD ，点P 在直线BF 上，由B (－4，－3)、F （－2，－2）可得直线BF 的解析式为： y =12x －1， 联立y =12x －1，y =x 2+6x +5，并解得：342734x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩或（与B 点重合，舍）， ∴P 点坐标为（32-,74-）； 综上所述，点P 的坐标为：（0,5），（32-,74-）. 6. （2019·甘肃兰州中考）二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象交x 轴于点A （－1，0），点B （4，0）两点，交y 轴于点C .动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒.（1）求二次函数y ＝ax 2+bx +2的表达式；（2）连接BD ，当t ＝23时，求△DNB 的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；（4）当t ＝45时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC +∠QAC ＝900,求点Q 的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）将点A （－1，0），点B （4，0）代入y ＝ax 2+bx +2中，得： 2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 二次函数的表达式为：y ＝－21x 2+23x +2． （2）∵ t ＝23， ∴AM ＝3，∵OA ＝1,∴OM ＝2,设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b (k ≠0),将点C （0,2）、B （4，0）代入，得：⎩⎨⎧=+=042b k b ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=221b k ， 即直线BC 的解析式为：y ＝－21x +2． 将x ＝2分别代入y ＝－21x 2+23x +2和y ＝－21x +2中，得：D （2，3）、N （2，1） ∴DN ＝2,∴ S △DNB ＝21×2×2＝2. (3)过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点E ，过点B 作y 轴的平行线，交EP 的延长线于点F ，设D （m ，－2m 2+2m +2）、E （0，n ）、P （m ,n ）、F （4，n ），由题意得： △PEC ≌△BFP ,∴PE ＝BF , CE ＝PF ,∴⎩⎨⎧=--=-mn n m 24∴⎩⎨⎧-==11n m点D 的坐标为：（1，3）.（4）当t ＝45时，AM ＝25,此时M 点在二次函数的对称轴上， 以M 点为圆心，AM 长为半径作圆，交MN 于Q 1、Q 2两点，∵C （0，2），M （23，0）,∴CM ＝25＝R , ∴C 点在该圆上,∴∠ACB ＝90°,∴∠CAB +∠CBA ＝90°,∵∠CQ 1A ＝∠CAB ,∴∠CQ 1A +∠CBA ＝90°,∠CQ 2A +∠CBA ＝90°,∴Q （23，25）或（23，－25）. 7. （2019·山东聊城中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，0），点B （4，0），与y 轴交于点C （0，8），连接BC ，又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC ，AP ，当直线l 运动时，求使得△PEA 和△AOC 相似的点P 的坐标；（3）作PF ⊥BC ，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt △PFD 面积的最大值．【答案】见解析．【解析】解：（1）将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：42016408a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：128a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +8；（2）∵点A （﹣2，0）、C （0，8），∴OA ＝2，OC ＝8，∵l ⊥x 轴，∴∠PEA ＝∠AOC ＝90°，∵∠PAE ≠∠CAO ，∴当∠PEA ＝∠AOC 时，PEA △∽AOC ， ∴AE PE OC OA=，即：82AE PE =， ∴AE ＝4PE ，设点P 的纵坐标为y ，则PE ＝y ，AE ＝4y ，∴OE ＝4y ﹣2，将点P 坐标（4y ﹣2，y ）代入二次函数表达式并解得：y ＝0（舍去）或2316， 即点P （154，2316）； （3）在Rt △PFD 中，∠PFD ＝∠COB ＝90°，∵l ∥y 轴，∴∠PDF ＝∠COB ，∴Rt △PFD ∽Rt △BOC ， ∴2PDF BOC S PD S BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭V V ， ∴S △PDF ＝2BOC PD S BC ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭V=21482⨯⨯⨯ =215PD ⨯，设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，将B 、C 坐标代入并解得， 直线BC 的表达式为：y ＝﹣2x +8，设点P （m ，﹣m 2+2m +8），则点D （m ，﹣2m +8），则PD ＝﹣m 2+2m +8+2m ﹣8＝﹣（m ﹣2）2+4，∴当m ＝2时，PD 的最大值为4，1 5PD＝165．∴当PD＝4时，△PDF的面积最大，最大值为：S△PDF＝2。
因动点产生的面积问题解题策略一.解题策略解读:面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:图1 图2 图3 计算面积常用到的策略还有:图4 图5 图6例1.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴交于不同的两点A、 B.(1) 求m的取值范围;(2) 证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标;(3) 当<m≤8时,由(2)求出的点P和点A、 B构成的△ABP的面积是否有最值,若有,求出最值及相应的m的值;若没有,请说明理由.思路:1. 已知的抛物线的解析式可以因式分解的,抛物线过x轴上的定点(-1, 0).2. 第(2)题分两步,先对m赋予两个不同的值,联立求方程组的解,再验证这个点是确定的.3. 第(3)题中△ABP的高为定值,点A为定点,求△ABP的最大面积,其实就是求点B的横坐标的最大值.例2.问题提出(1) 如图1,已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形.问题探究(2) 如图2,在矩形ABCD中,AB=4, AD=6, AE=4, AF=2.是否在边BC、CD上分别存在点G、 H,使得四边形EFGH的周长最小?若存在,求出它周长的最小值;若不存在,请说明理由.问题解决(3) 如图3,有一块矩形板材ABCD, AB=3米, AD=6米,现想从此板材中截出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件,使∠EFG=90°,米,∠EHG=45°.经研究,只有当点E、 F、 G分别在边AD、 AB、 BC上时,且AF<BF,并满足点H在矩形ABCD内部或边上时,才有可能截出符合要求的部件.试问能否截得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件?若能,求出截得的四边形EFGH 部件的面积;若不能,请说明理由.图1 图2 图3思路:1. 第(2)题的模型是“打台球”两次碰壁问题,依据光的反射原理.2. 第(3)题需先设AF的长并求解,再验证点H在矩形内部,然后计算面积.例3.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的顶点C和E分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上,OC=8, OE=17.抛物线y=x2-3x+m与y轴交于点A,抛物线的对称轴与x轴交于点B,与CD交于点K.(1) 将矩形OCDE沿AB折叠,点O恰好落在边CD上的点F处.①求点F的坐标;②请直接写出抛物线的函数表达式;(2) 将矩形OCDE沿着经过点E的直线折叠,点O恰好落在边CD上的点G处,连结OG,折痕与OG交于点H,点M是线段EH上的一个动点(不与点H重合),连结MG, MO,过点G作GP⊥OM于点P,交EH于点N,连结ON.点M从点E开始沿线段EH向点H运动,至与点N重合时停止,△MOG和△NOG的面积分别表示为S1和S2,在点M的运动过程中,S1·S2(即S1与S2的积)的值是否发生变化?若变化,请直接写出变化的范围;若不变,请直接写出这个值.温馨提示: 考生可以根据题意,在备用图中补充图形,以便作答.图1 备用图思路:1. 第(1)题中点F的位置是由A、 B两点确定的,A、 B两点的坐标都隐含在抛物线的解析式中.2. 第(2)题思路在画示意图过程中,点G是关键点.以E为圆心,EO为半径画弧,交CD于点G.例 4.如图,已知平行四边形ABCD的三个顶点A(n, 0)、 B(m, 0)、 D(0,2n)(m>n>0),作平行四边形ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1 D.(1) 若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2) 若点B1恰好落在y轴上,试求的值.思路:1. 第(1)题先说理再计算,说理四边形CC1B1B是矩形.2. 第(2)题根据AB1=AB列关于m、 n的方程,整理就可以得到m与n的关系.例5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3, 0)和点B(2, 3),过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C,且tan∠CAO=.(1) 求这条抛物线的表达式及对称轴;(2) 连结AB、 BC,求∠ABC的正切值;(3) 若点D在x轴下方抛物线的对称轴上,当S△ABC =S△ADC时,求点D的坐标.解析:1. 直觉告诉我们,△ABC是直角三角形.2. 第(3)题的意思可以表达为: B、 D在直线AC的两侧,到直线AC的距离相等.于是我们容易想到,平行线间的距离处处相等.例6.如图,半圆O的直径AB=10,有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动(点C、D分别不与点A、 B重合),点E、 F在AB上,EC⊥CD, FD⊥CD.(1) 求证:EO=FO;(2) 连结OC,如果△ECO中有一个内角等于45°,求线段EF的长;(3) 当动弦CD在弧AB上滑动时,设变量CE=x,四边形CDFE的面积为S,周长为l,问:S与l是否分别随着x变化而变化?试用所学过的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域,以说明你的结论.思路:1. 用垂径定理和平行线等分线段定理证明点O是EF的中点.2. 第(2)题的△ECO中,∠ECO是定值,45°的角分两种情况.3. 第(3)题用x表示OE的长,在△ECO中,∠ECO是定值.例7.直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(1, 0),且a<b.(1) 求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示);(2) 试说明抛物线与直线有两个交点;(3) 设抛物线与直线的另一个交点为N.①若-1≤a≤-时,求MN的取值范围;②求△QMN的面积最小值.思路:1. 将M(1, 0)分别代入直线和抛物线的解析式,可以确定m的值,用a表示b.2. 联立直线与抛物线的解析式,消去y,得到关于a的一元二次方程,判断Δ>0.3. 第(3)题①,分别求a=-1和a=-时直线与抛物线的交点M、 N的坐标,再求MN的长,两个MN的长,就是MN的取值范围的两端值.例8.已知Rt△EFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合),点F、 B(P)、 C 在同一直线上,AB=EF=6cm, BC=FP=8cm, ∠EFP=90°.如图2, △EFP从图1位置出发,沿BC方向匀速运动,速度为1cm/s, EP与AB交于点G;同时,点Q从点C出发,沿CD方向匀速运动,速度为1cm/s.过点Q作QM⊥BD,垂足为H,交AD于点M,连结AF、 PQ.当点Q停止运动时,△EFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题:(1) 当t为何值时,PQ∥BD?(2) 设五边形AFPQM的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;(3) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S五边形AFPQM ∶S矩形ABCD=9∶8?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;(4) 在运动过程中,是否存在某一时刻t,使点M在线段PG的垂直平分线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.图1 图2思路:1. 把线段BP、 PC、 CQ、 DQ的长用t表示出来.再把线段BG、 DM的长用t表示出来.2. 用割补法求五边形AFPQM的面积,等于直角梯形减去两个直角三角形的面积.3. 第(3)题用第(2)题的结果,直接解方程就可以了.4. 第(4)题是根据MP2=MG2列方程,需要构造以MP为斜边的直角三角形.例9.如图1,在平面直角坐标系中,过原点O及点A(8, 0)、 C(0, 6)作矩形OABC,连结OB,点D为OB的中点,点E是线段AB上的动点,连结DE,作DF⊥DE,交OA于点F,连结EF.已知点E从点A出发,以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动,设移动时间为t秒.(1) 如图1,当t=3时,求DF的长;(2) 如图2,当点E在线段AB上移动的过程中,∠DEF的大小是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出tan∠DEF的值;(3) 连结AD,当AD将△DEF分成的两部分的面积比为1∶2时,求相应的t的值.图1 图2思路;1. 作DM⊥AB于M, DN⊥OA于N,那么△NDF与△MDE的相似比为3∶4.2. 面积比为1∶2要分两种情况讨论.把面积比转化为两个同高三角形底边的比.3. 过点E作OA的平行线,构造“8字型”相似,这样就把底边的比利用起来了.例10.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、 B两点,与y轴交于点C, OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=2,直线l是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1) 求b、 c的值;(2) 如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3) 如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问:抛物线上是否存在点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,且线段NQ的长度最小?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,说明理由.图1 图2思路：1. 由已知抛物线的解析式可得C(0, c),再用c表示B、 D两点的坐标,然后将B、 D代入抛物线的解析式列关于b、 c的方程组.2. 第(2)题: 通过点C、 F分别与点D、 F'关于直线l对称,得到点F'是BE的中点,从而求得点F的坐标.3. 第(3)题: 设点P的横坐标为m,用m表示点M、 N的坐标,进而用m表示线段PM、 PN、 PA的长,根据两个三角形的面积相等,求出PN边上的高QH.最后讨论NQ与QH的关系.例11.如图,在平面直角坐标系中,直线y=12x+2与x 轴交于点A,与y 轴交于点C.抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、 C 两点,与x 轴的另一个交点为点B.(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 点D 为直线AC 上方抛物线上一动点.① 连结BC 、 CD.设直线BD 交线段AC 于点E, △CDE 的面积为S 1, △BCE 的面积为S 2,求 12S S 的最大值; ② 过点D 作DF ⊥AC,垂足为F,连结CD.是否存在点D,使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由.图1 备用图思路： 1. △CDE 与△BCE 是同高三角形,面积比等于底边的比.构造“8字型”,把底边的比转化为竖直线段的比.2. 第(3)题的第一种情况∠DCF=2∠BAC,过点C 作x 轴的平行线,通过内错角相等,再作轴对称的角,很容易找到点D 的位置.3. 第(3)题的第二种情况∠CDF=2∠BAC,先要探求2∠BAC的大小(正切值),如果这一步探究不出来,基本上进行不下去.例12.已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转60°，如题图1，连接BC.（1）填空：∠OBC= ;（2）如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图2，点M，N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止，已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒，设运动时间为x秒，△OMN 的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？思路：（1）由旋转的性质可以证明△OBC是等边三角形，从而可得∠OBC的度数；（2）求出△AOC的面积，利用三角形的面积公式计算即可；（3）分三种情形讨论求解即可解决问题：①当0＜x≤83时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E，利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；②当8 3＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．作MH⊥OB于H，利用∠CBO=60°表示出MH，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值）；③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G，易求OG，再利用面积公式表示出△OMN的面积（y值），最后分别求出三种情况下面积最大值，从而求出整个运动过程中y的最大值．例13. 在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，43-），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=34.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动，设运动为t秒.①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.思路：本题是代数几何综合题，以平面直角坐标系为背景，考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，，方程组的解法，几何图形面积的表示，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想，三角形的面积的最值问题，综合性强，难度大，解题的关键是需要学生有良好的运算能力及分析问题和解决问题的能力，还得富有耐心．（1）利用A、B、C三点的坐标确定二次函数的解析式．（2）利用题目的已知条件表示出相关线段的长，①中利用三角函数值探索出∠PAQ=∠ACD，再根据题目中的要求使得△ADC与△PQA相似，进行分类讨论得到对应线段成比例，列出关于t的方程求解即可；②直接利用三角形的面积公式列出△APQ与△CAQ 的面积之和与时间t之间的函数关系式，再将所得的二次函数的解析式配方确定最值即可得到答案.。
板块一探索抛物线上的点存在性之距离一、二次函数与线段定值探索：用距离来刻画动点的位置【探索1】抛物线223y x x=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
【探索2】抛物线223y x x=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，若点P到直线y x=的距离为2，求点P的坐标。
【探索3】抛物线223y x x=--+与x轴交于点A、B (点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，若点P到对称轴和y轴的距离相等，求P点坐标。
函数图象上点的存在性问题中的距离与面积（常考知识点精析）【探索4】抛物线223=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，y x x若点P到对称轴和x轴的距离相等，求P点坐标。
【探索5】抛物线223=--+与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为△BOC内一点，y x x且点P到△BOC三边所在直线的距离相等，求P点坐标。
二、二次函数与线段最值中考说明：动点满足线段间大小关系、和差最值等。
中考主要考查以下两点：1．“两点间线段最短”2．“垂线段最短”1．“两点间线段最短”下面按三大变换来分类：【旋转型】已知AB a<，求BC的最值。
=，AC b=，其中a b【轴对称型】1．在直线l上找一点P，使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小。
2．直线l1、l2交于O、P是两直线间的一点，在直线l1、l2上分别找一点A、B，使得△P AB的周长最短。
3．直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点，求作P、Q两点，使AP＋PQ ＋QB最小。
中考数学压轴题分析-函数图象中点的存在性问题-因动点产生的相切问题例 1 2015年上海市闵行区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3,0)，点D 在线段AB 上，AD ＝AC ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴； （2）如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BNCN的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“15闵行24”，拖动点N 在BC 上运动，可以体验到，当DC 垂直平分MN 时，∠NDC ＝∠ADC ＝∠ACD ，此时DN //AC ．思路点拨1．准确描绘A 、B 、C 、D 的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系． 2．第（3）题在图形中模拟比划MN 的位置，近似DC 垂直平分MN 时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．满分解答（1）将点A (－3,0)代入y ＝ax 2－2ax －4，得15a －4＝0． 解得415a =．所以抛物线的解析式为24841515y x x =--． 抛物线的对称轴为直线x ＝1． （2）由24844(3)(5)151515y x x x x =--=+-，得B (5, 0)，C (0,－4)． 由A (－3,0)、B (5, 0)、C (0,－4)，得 AB ＝8，AC ＝5． 当AD ＝AC ＝5时，⊙D 的半径DB ＝3．由D (2, 0)、C (0,－4)，得DC ＝因此当⊙D 与⊙C 外切时，⊙C 的半径为3（如图2所示）． （3）如图3，因为AD ＝AC ，所以∠ACD ＝∠ADC ． 如果线段MN 被直线CD 垂直平分，那么∠ADC ＝∠NDC ．这时∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是35 BN BDCN AD==．图2 图3考点伸展解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为M就是点O．这是为什么呢？我们反过来计算：当DN//AC，35BNCN=时，38DNAC=，因此DM＝DN＝31588AC=．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近啊．放大还原事实的真相，如图4所示．图4例2 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题已知OA＝5，sin∠O＝35，点D为线段OA上的动点，以A为圆心、AD为半径作⊙A．（1）如图1，若⊙A交∠O于B、C两点，设OD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）将⊙A沿直线OB翻折后得到⊙A′．①若⊙A ′与直线OA 相切，求x 的值；②若⊙A ′与以D 为圆心、DO 为半径的⊙D 相切，求x 的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“14徐汇25”，拖动点D 运动，可以体验到，⊙A ′可以与直线OA 相切于点H ，⊙A ′与⊙D 可以外切一次，不能内切．思路点拨1．把不变的量先标记出来，圆心A 到直线OB 的距离AE ＝3，翻折以后的圆心A ′的位置不变，AA ′＝2AE ＝6．2．若⊙A ′与直线OA 相切，那么圆心A ′到直线OA 的距离等于圆的半径，由此自然就构造出垂线，以AA ′为斜边的直角三角形的三边长就是确定的．3．探究两圆相切，在罗列三要素R 、r 、d 的过程中，发现先要突破圆心距A ′D ．满分解答（1）如图2，作AE ⊥BC ，垂足为E ，那么E 是BC 的中点．在Rt △OAE 中，OA ＝5，sin ∠O ＝35，所以AE ＝3． 在Rt △BAE 中，AB ＝AD ＝5－x ，AE ＝3，BE ＝1122BC y =，由勾股定理，得2221(5)3()2x y -=+．整理，得y =0≤x ＜2．图2 图3（2）①如图3，将⊙A 沿直线OB 翻折后得到⊙A ′，AA ′＝2AE ＝6． 作A ′H ⊥OA ，垂足为H ．在Rt △A ′AH 中，AA ′＝6，sin ∠A ′＝35，所以AH ＝185，A ′H ＝245． 若⊙A ′与直线OA 相切，那么半径等于A ′H ． 解方程2455x -=，得15x =．②如图4，在Rt △A ′DH 中，'A D ==．对于⊙A ′，R ＝5－x ；对于⊙D ，r ＝DO ＝x ；圆心距d ＝A ′D ．如果两圆外切，由d ＝R ＋r 5x x =-+．解得145x =（如图4）．如果两圆内切，由d ＝|R －r ||5|x x =--． 解得86515x =>．所以两圆不可能内切．图4 图5考点伸展当D 为OA 的中点时，⊙A ′与以D 为圆心、DA 为半径的⊙D 是什么位置关系？⊙A ′和⊙D 等圆，R ＝52，两圆不可能内切． 当D 为OA 的中点时，DH ＝AH －AD ＝185115210-=．此时'5A D ===．因此两圆的半径和大于圆心距，此时两圆是相交的（如图5）．例3 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，已知⊙O 的半径长为3，点A 是⊙O 上一定点，点P 为⊙O 上不同于点A 的动点．（1）当1tan 2A =时，求AP 的长；（2）如果⊙Q 过点P 、O ，且点Q 在直线AP 上（如图2），设AP ＝x ，QP ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tan 3A =时（如图3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q相外切，且OM ⊥OQ ，试求⊙M 的半径的长．图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P 在⊙O 上运动，可以体验到，等腰三角形QPO 与等腰三角形OAP 保持相似，y 与x 成反比例．⊙M 、⊙O 和⊙Q 三个圆的圆心距围成一个直角三角形．请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P 在⊙O 上运动，可以体验到， y 与x 成反比例．拖动点P 使得52QP =，拖动点M 使得⊙M 的半径约为0.82，⊙M 与⊙O 相内切，同时与⊙Q 相外切．拖动点P 使得52QP =，拖动点M 使得⊙M 的半径约为9，⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切．思路点拨1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程．满分解答（1）如图4，过点O 作OH ⊥AP ，那么AP ＝2AH ．在Rt △OAH 中，OA ＝3，1tan 2A =，设OH ＝m ，AH ＝2m ，那么m 2＋(2m )2＝32．解得m =．所以24AP AH m ==．（2）如图5，联结OQ 、OP ，那么△QPO 、△OAP 是等腰三角形． 又因为底角∠P 公用，所以△QPO ∽△OAP ． 因此QP OP POPA=，即33y x=．由此得到9y x=．定义域是0＜x ≤6．图4 图5（3）如图6，联结OP ，作OP 的垂直平分线交AP 于Q ，垂足为D ，那么QP 、QO 是⊙Q 的半径．在Rt △QPD 中，1322PD PO ==，4tan tan 3P A ==，因此52QP =．如图7，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝3－r ． 由⊙M 与⊙Q 外切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =+．在Rt △QOM 中，52QO =，OM ＝3－r ，52QM r =+，由勾股定理，得22255()(3)()22r r +=-+．解得911r =．图6 图7 图8考点伸展如图8，在第（3）题情景下，如果⊙M 与⊙O 、⊙Q 都内切，那么⊙M 的半径是多少？ 同样的，设⊙M 的半径为r ．由⊙M 与⊙O 内切，3O r =，可得圆心距OM ＝r －3． 由⊙M 与⊙Q 内切，52Q r QP ==，可得圆心距52QM r =-．在Rt △QOM 中，由勾股定理，得22255()(3)()22r r -=-+．解得r ＝9．。
函数图象中的存在性问题—因动点产生的面积问题函数图像中的存在性问题是函数图像是否存在的研究。
在研究函数图像的存在性时，我们通常会考虑到以下几个问题：函数是否有定义域和值域，函数是否连续，函数是否可导等等。
其中，因动点产生的面积问题是函数图像的一个特殊存在性问题。
考虑一个动点在平面上运动，其轨迹为函数的图像，我们可以通过计算该轨迹所围成的面积来研究函数图像的存在性。
首先，让我们考虑一个较简单的函数图像，例如：y=x。
当动点在平面上矩形区域内运动时，其轨迹就可以看作是函数y=x的图像。
我们可以将矩形区域分成无数个小长方形，并计算每个小长方形所围成的面积的和。
当矩形区域趋近于函数图像所占据的面积时，这个和就可以逼近函数图像所围成的面积。
如果这个和存在且为有限值，则可以认为函数图像所围成的面积存在。
然而，对于一些函数图像，存在动点产生的面积问题可能并不存在。
例如：y=1/x。
当动点运动到x=0的位置时，函数图像与x轴相切，不再围成一个有限的面积。
在这种情况下，我们无法通过动点产生的面积来研究函数图像的存在性。
对于一些较为复杂的函数图像，动点产生的面积问题可能会更加具有挑战性。
例如：y = sin(x)。
当动点在平面上运动时，函数图像会在一些位置出现多个极大值和极小值。
在这种情况下，计算动点产生的面积变得更为复杂，可能需要使用更高级的数学工具来解决。
总之，动点产生的面积问题是函数图像存在性问题的一个特殊情况。
通过计算动点所产生的面积，我们可以研究函数图像的存在性。
然而，对于一些复杂的函数图像，动点产生的面积问题可能并不存在或更加困难。
因此，在研究函数图像的存在性时，我们需要综合考虑多个因素，并使用合适的数学工具来解决。
【08武汉中考】25.（本题 12分）如图 1，抛物线y=ax2-3ax+b 经过A （-1,0），C （3,2）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B.（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y=kx-1（k≠0）将 四 边 形ABCD 面积二等分，求k 的值；（3）如图2，过点 E （1，-1）作EF ⊥x 轴于点F ，将△AEF 绕平面内某点旋转 180°后得△MNQ （点M ，N ，Q 分别与 点 A ，E ，F 对应），使点M ，N 在抛物线上，求点M ，N 的坐标.（2008年河北省）26．(08河北)（本小题满分12分）如图15，在Rt ABC △中，90C ∠=，50AB =，30AC =，D E F ，，分别是AC AB BC ，，的中点．点P 从点D 出发沿折线DE EF FC CD ---以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q 从点B 出发沿BA 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q 作射线QK AB ⊥，交折线BC CA -于点G ．点P Q ，同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P Q ，运动的时间是t 秒（0t >）． （1）D F ，两点间的距离是 ；（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出t 的值．若不能，说明理由；（3）当点P 运动到折线EF FC -上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值； （4）连结PG ，当PG AB ∥时，请直接．．写出t 的值．AE C D FG QK图15P（2009年奉贤二模）24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴正半轴上，边CO 在y 轴的正半轴上，且322==OB AB ，，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，且点A 落在y 轴上的E 点，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D . (1)求F 、E 、D 三点的坐标；（2）若抛物线c bx ax y ++=2经过点F 、E 、D ，求此抛物线的解析式；（3）在x 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得三角形QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积？。
初三数学
函数图象上点的存在性问
题中的距离与面积（上）
二次函数与线段最值
中考说明：
动点满足线段间大小关系、和差最值等。
中考主要考查以下两点：
①“两点间线段最短”
②“垂线段最短”
【例1】
从A点出发，先到直线l上的一点P，再在l上移动一段固定的距离PQ，再回到点B，求作P点使移动的距离最短。
【例2】
抛物线y＝-x2－2x＋3与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点，
若点P到直线y＝x 2
，求点P的坐标。
【例3】
已知：二次函数y＝ax2＋2ax－3a(a"`0)的图像的顶点为H，与x轴交于A、B两
点(B在A点右侧)，点H，B关于直线l：y 3
x3
⑴求A、B两点坐标，并证明A点在直线l上；
⑵求二次函数的解析式；
⑶过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值。
------------------------- 赠予------------------------
【幸遇•书屋】
你来，或者不来
我都在这里，等你、盼你
等你婉转而至
盼你邂逅而遇
你想，或者不想
我都在这里，忆你、惜你
忆你来时莞尔
惜你别时依依
你忘，或者不忘
我都在这里，念你、羡你
念你袅娜身姿
羡你悠然书气
人生若只如初见
任你方便时来
随你心性而去
却为何，有人
为一眼而愁肠百转
为一见而不远千里
晨起凭栏眺
但见云卷云舒。
第一部分 函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1 考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图5 例2 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1考点伸展 第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．例3 2012年黄冈市中考模拟第25题如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x mm=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．考点伸展第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长．例4 2010年义乌市中考第24题如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2考点伸展第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例5 2009年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1例6 2008年苏州市中考第29题图1．考点伸展在本题情景下，怎样计算PB的长？如图3，作AF⊥AB交OP于F，那么△OBC≌△OAF，OF＝OC 233PF＝2233P A 3323)313=-=，所以31PB=．因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP＝2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．图1 备用图考点伸展如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解256 BP ．例2 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x=的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用2cosAP AQ A=⋅∠来求解．例5 2010年南通市中考第27题如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym=，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1例 6 2009年江西省中考第25题如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN 的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．图1 图2 图31.3 因动点产生的直角三角形问题例12013年山西省中考第26题如图1，抛物线213442y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 例1 2012年广州市中考第24题如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1 考点伸展第（3）题中的直线l 恰好经过点C ，因此可以过点C 、E 求直线l 的解析式． 在Rt △EGM 中，GM ＝3，GE ＝5，所以EM ＝4．在Rt △ECO 中，CO ＝3，EO ＝4，所以CE ＝5．因此三角形△EGM ≌△ECO ，∠GEM ＝∠CEO ．所以直线CM 过点C ．在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y ＝k (x 2＋x －1)的图象交于点A (1,k )和点B(－1,－k )．（1）当k ＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随x 增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q ，当△ABQ 是以AB 为斜边的直角三角形时，求k 的值． 考点伸展如图4，已知经过原点O 的两条直线AB 与CD 分别与双曲线k y x=（k ＞0）交于A 、B 和C 、D ，那么AB 与CD 互相平分，所以四边形ACBD 是平行四边形．问平行四边形ABCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图5，当A 、C 关于直线y ＝x 对称时，AB 与CD 互相平分且相等，四边形ABCD 是矩形．因为A 、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，所以OA 与OC 无法垂直，因此四边形ABCD 不能成为正方形．图4 图5 例4 2011年浙江省中考第23题设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．例5 2010年北京市中考第24题在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m m y x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长； ②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．考点伸展在本题情境下，如果以PD 为直径的圆E 与以QM 为直径的圆F 相切，求t 的值．如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图1 例 7 2008年河南省中考第23题如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．1.4 因动点产生的平行四边形问题例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan ∠ABO 的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．图1第（3）题如果改为：点M 是抛物线上的一个点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1 图2例3 2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A 为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1例4 2011年上海市中考第24题已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图1例5 2011年江西省中考第24题将抛物线c 1：2y =x 轴翻折，得到抛物线c 2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c 2的表达式；（2）现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ；将抛物线c 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．①当B 、D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A 、N 、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．图1例6 2010年山西省中考第26题在直角梯形OABC 中，CB //OA ，∠COA ＝90°，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝．分别以OA 、OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B 的坐标；（2）已知D 、E 分别为线段OC 、OB 上的点，OD ＝5，OE ＝2EB ，直线DE 交x 轴于点F ．求直线DE 的解析式；（3）点M 是（2）中直线DE 上的一个动点，在x 轴上方的平面内是否存在另一点N ，使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2 例7 2009年江西省中考第24题如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF的面积为S ，求S 与m 的函数关系．1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ．①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1例 2 2012年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1 中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1 例 4 2011年南通市中考第28题如图1，直线l 经过点A (1，0)，且与双曲线m y x=(x ＞0)交于点B (2，1)．过点(,1)P p p -(p ＞1)作x 轴的平行线分别交曲线m y x =(x ＞0)和m y x=-(x ＜0)于M 、N 两点．（1）求m 的值及直线l 的解析式；（2）若点P 在直线y ＝2上，求证：△PMB ∽△PNA ；（3）是否存在实数p ，使得S △AMN ＝4S △AMP ？若存在，请求出所有满足条件的p 的值；若不存在，请说明理由．考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？例5 2010年广州市中考第25题如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E ．（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1 例 6 2010年扬州市中考第28题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1 备用图 例7 2009年兰州市中考第29题如图1，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴上运动，当P 点到D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．（1）当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；（2）求正方形边长及顶点C 的坐标；（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标．（4）如果点P 、Q 保持原速度速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．1.7 因动点产生的相切问题例 1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当1tanA=时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图22），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tanA=时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q相外切，且OM⊥OQ，3试求⊙M的半径的长．图1 图2 图3例2 2012年河北省中考第25题如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1例3 2012年无锡市中考模拟第28题如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一1.8 因动点产生的线段和差问题例12013年天津市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2例2 2012年滨州市中考第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图1例3 2012年山西省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1第二部分 函数图象中点的存在性问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2013年宁波市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为(－4,0)，点P 在射线AB 上运动，连结CP 与y 轴交于点D ，连结BD ．过P 、D 、B 三点作⊙Q ，与y 轴的另一个交点为E ，延长DQ 交⊙Q 于F ，连结EF 、BF ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）当点P 在线段AB （不包括A 、B 两点）上时．①求证：∠BDE ＝∠ADP ；②设DE ＝x ，DF ＝y ，请求出y 关于x 的函数解析式；（3）请你探究：点P 在运动过程中，是否存在以B 、D 、F 为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sinB ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3例3 如图1，甲、乙两人分别从A 、B 两点同时出发，点O 为坐标原点．甲沿AO 方向、乙沿BO 方向均以每小时4千米的速度行走，t 小时后，甲到达M点，乙到达N 点．（1）请说明甲、乙两人到达点O 前，MN 与AB 不可能平行；（2）当t 为何值时，△OMN ∽△OBA ？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长．设s ＝MN 2，求s与t 之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值． 图1例4 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，12sin 13EMP ∠=． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图2.2 由面积产生的函数关系问题 如图1， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形．（1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？图1例2 如图1，抛物线213922y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC 、AC ．（1）求AB 和OC 的长；（2）点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作BC 的平行线交AC 于点D ．设AE 的长为m ，△ADE 的面积为s ，求s 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积（结果保留π）．图1例3 如图1，图2，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，5cos 13ABC ∠=．探究 如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH ＝_____，AC ＝______，△ABC 的面积S △ABC ＝________．拓展 如图2，点D 在AC 上（可与点A 、C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E 、F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n ．（当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）（1）用含x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；（2）求(m ＋n )与x 的函数关系式，并求(m ＋n )的最大值和最小值；（3）对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值范围．发现 请你确定一条直线，使得A 、B 、C 三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1 图2例4 如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 在AB 上，AP ＝2．点E 、F 同时从点P 出发，分别沿P A 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立刻以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间为t 秒(t ＞0)，正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的面积为S ． （1）当t ＝1时，正方形EFGH 的边长是________；当t ＝3时，正方形EFGH 的边长是________；（2）当1＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？。
第一部分函数图象中点的存在性问题§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y ＝a x 2＋b x ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，与y 轴交于点C (0,－3m )（m ＞0），顶点为D ．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；（2）如图1，当m ＝2时，点P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值；（3）如图2，当m 取何值时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与△OBC 相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P 运动，可以体验到，当点P 运动到AC 的中点的正下方时，△APC 的面积最大．拖动y 轴上表示实数m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD 和∠ADC 都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP ，△APC 可以割补为：△AOP 与△COP 的和，再减去△AOC ．3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似． 4．直角三角形ACD 存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，设y ＝a (x ＋3)(x －1)． 代入点C (0,－3m )，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．所以该二次函数的解析式为y ＝m (x ＋3)(x －1)＝mx 2＋2mx －3m ． （2）如图3，连结OP ．当m ＝2时，C (0,－6)，y ＝2x 2＋4x －6，那么P (x , 2x 2＋4x －6)．由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32-(2x 2＋4x －6)＝－3x 2－6x ＋9，S △COP ＝1()2P OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9，所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24x -++．所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274．图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ． 由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )． 在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ．①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331mm =．解得m ＝1． 此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB=．所以△CDA ∽△OBC ． ②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m=．解得22m =． 此时222DA FD DC EC m===，而3232OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似． 综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ． 由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)． 又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ． 因为△P AH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH＝32(－2x 2－6x ) ＝23273()24x -++． 图6例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝60°，AB ＝10，BC ＝4，点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP ＝x ．2·1·c·n·j·y（1）求AD 的长；（2）点P 在运动过程中，是否存在以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP 与△PCB 的外接圆的面积分别为S 1、S 2，若S ＝S 1＋S 2，求S 的最小值.动感体验 图1请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，圆心O 的运动轨迹是线段BC 的垂直平分线上的一条线段．观察S 随点P 运动的图象，可以看到，S 有最小值，此时点P 看上去象是AB 的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB 的外接圆的圆心O 很关键，圆心O 在确定的BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的BP 的垂直平分线上．而BP 与AP 是相关的，这样就可以以AP 为自变量，求S 的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH ⊥AB 于H ，那么AD ＝CH ．在Rt △BCH 中，∠B ＝60°，BC ＝4，所以BH ＝2，CH ＝23．所以AD ＝23．（2）因为△APD 是直角三角形，如果△APD 与△PCB 相似，那么△PCB 一定是直角三角形． ①如图3，当∠CPB ＝90°时，AP ＝10－2＝8． 所以AP AD ＝823＝433，而PCPB＝3．此时△APD 与△PCB 不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP ＝90°时，BP ＝2BC ＝8．所以AP ＝2． 所以APAD ＝223＝33．所以∠APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ．综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ． 在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°， 所以OM ＝3(1)3m -． 所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2． 于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2)＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+．所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10． 这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值． 问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒2个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得930,3.b cc-++=⎧⎨=⎩解得2,3.bc=⎧⎨=⎩所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．（2）在△APQ中，∠P AQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝2t．分两种情况讨论直角三角形APQ：①当∠PQA＝90°时，AP＝2AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．②当∠QP A＝90°时，AQ＝2AP．解方程2t＝2(3－t)，得t＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE//QF，当EF//PQ时，四边形EPQF是平行四边形．所以EP＝FQ．所以y E－y P＝y F－y Q．因为x P＝t，x Q＝3－t，所以y E＝3－t，y Q＝t，y F＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t．因为y E－y P＝y F－y Q，解方程3－t＝(－t2＋4t)－t，得t＝1，或t＝3（舍去）．所以点F的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝32．由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM＝2．所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能：①当BM OBBQ OP=时，23322tt=-．解得94t=（如图5）．②当BM OPBQ OB=时，23322tt=-．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程无实根．考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向，将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3．§1．2 因动点产生的等腰三角形问题课前导学我们先回顾两个画图问题：1．已知线段AB＝5厘米，以线段AB为腰的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2．已知线段AB＝6厘米，以线段AB为底边的等腰三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C．已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外．在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类．如果△ABC是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB三种情况．解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？如果△ABC的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A的两边AB和AC可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法．①如图1，如果AB＝AC，直接列方程；②如图2，如果BA＝BC，那么1cos2AC AB A=∠；③如图3，如果CA＝CB，那么1cos2AB AC A=∠．代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来．图1 图2 图3例 9 2014年长沙市中考第26题如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和1(,)16a 两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0, 2)．（1）求a 、b 、c 的值；（2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；（3）设⊙P 与x 轴相交于M (x 1, 0)、N (x 2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“14长沙26”，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况．思路点拨1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长MN ＝4是定值．2．等腰三角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA ＝MN 和NA ＝NM 时，点P 的纵坐标是相等的．图文解析（1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y ＝ax 2．所以b ＝0，c ＝0． 将1(,)16a 代入y ＝ax 2，得2116a =．解得14a =（舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为214y x =，设点P 的坐标为21(,)4x x ． 已知A (0, 2)，所以222411(2)4416PA x x x =+-=+＞214x ．而圆心P 到x 轴的距离为214x ，所以半径P A ＞圆心P 到x 轴的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交．（3）如图2，设MN 的中点为H ，那么PH 垂直平分MN ． 在Rt △PMH 中，2241416PM PA x ==+，22411()416PH x x ==，所以MH 2＝4． 所以MH ＝2．因此MN ＝4，为定值．等腰△AMN 存在三种情况：①如图3，当AM ＝AN 时，点P 为原点O 重合，此时点P 的纵坐标为0．图2 图3②如图4，当MA ＝MN 时，在Rt △AOM 中，OA ＝2，AM ＝4，所以OM ＝23． 此时x ＝OH ＝232+．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =+=+=+．如图5，当NA ＝NM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为423+．图4 图5③如图6，当NA ＝NM ＝4时，在Rt △AON 中，OA ＝2，AN ＝4，所以ON ＝23． 此时x ＝OH ＝232-．所以点P 的纵坐标为22211(232)(31)42344x =-=-=-．如图7，当MN ＝MA ＝4时，根据对称性，点P 的纵坐标也为423-．图6 图7考点伸展如果点P 在抛物线214y x =上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B (0, 1)，那么在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．这是因为：设点P 的坐标为21(,)4x x ．已知B (0, 1)，所以222222111(1)(1)1444PB x x x x =+-=+=+．而圆心P 到直线y ＝－1的距离也为2114x +，所以半径PB ＝圆心P 到直线y ＝－1的距离．所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y ＝－1相切．例 10 2014年湖南省张家界市中考第25题如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为(10, 0)和1824(,)55-，以OB 为直径的⊙A 经过C 点，直线l 垂直x 轴于B 点．（1）求直线BC 的解析式； （2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O 、B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想mn 的值，并证明你的结论；（4）若点P 从O 出发，以每秒1个单位的速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t （0＜t ≤8）秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值．图图1动感体验请打开几何画板文件名“14张家界25”，拖动点M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点Q 在BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形．思路点拨1．从直线BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫． 2．设交点式求抛物线的解析式比较简便．3．第（3）题连结AE 、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高．4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含t 的式子表示．分三种情况讨论等腰三角形．图文解析（1）直线BC 的解析式为31542y x =-． （2）因为抛物线与x 轴交于O 、B (10, 0)两点，设y ＝ax (x －10)．代入点C 1824(,)55-，得241832()555a -=⨯⨯-．解得524a =． 所以2255255125(10)(5)2424122424y x x x x x =-=-=--． 抛物线的顶点为125(5,)24-．（3）如图2，因为EF 切⊙A 于M ，所以AM ⊥EF ． 由AE ＝AE ，AO ＝AM ，可得Rt △AOE ≌Rt △AME ．所以∠1＝∠2． 同理∠3＝∠4． 于是可得∠EAF ＝90°．所以∠5＝∠1．由tan ∠5＝tan ∠1，得MA MEMF MA=． 所以ME ·MF ＝MA 2，即mn ＝25．图2（4）在△BPQ 中，cos ∠B ＝45，BP ＝10－t ，BQ ＝t ． 分三种情况讨论等腰三角形BPQ ：①如图3，当BP ＝BQ 时，10－t ＝t ．解得t ＝5．②如图4，当PB ＝PQ 时，1cos 2BQ BP B =∠．解方程14(10)25t t =-，得8013t =． ③如图5，当QB ＝QP 时，1cos 2BP BQ B =∠．解方程14(10)25t t -=，得5013t =．图3 图4 图5考点伸展在第（3）题条件下，以EF 为直径的⊙G 与x 轴相切于点A ．如图6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线，也是直角梯形EOBF 的中位线，因此圆心G 到x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与x 轴相切于点A ．图6例 11 2014年湖南省邵阳市中考第26题在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B 的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m＝2，n＝1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,－1)，求∠ACB的大小；（3）若m＝2，△ABC是等腰三角形，求n的值．动感体验请打开几何画板文件名“14邵阳26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点A在x轴正半轴上运动，可以体验到，△ABC保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3），拖动点B在x轴上运动，观察△ABC的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形ABC有4种情况．思路点拨1．抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n表示点A、B、C的坐标．2．第（2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比．3．第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程．图文解析（1）由y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且m＞n，点A位于点B的右侧，可知A(m, 0)，B(n, 0)．若m＝2，n＝1，那么A(2, 0)，B(1, 0)．．（2）如图1，由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1．若A、B两点分别位于y轴的两侧，那么OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1．所以OC2＝OA·OB．所以OC OB OA OC．所以tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2．又因为∠1与∠3互余，所以∠2与∠3互余．所以∠ACB＝90°．图1 图2 图3（3）在△ABC中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)．讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2．①当AB＝AC时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得43n=-（如图2）．②当CA＝CB时，解方程4＋4n2＝5n2，得n＝－2（如图3），或n＝2（A、B重合，舍去）．③当BA＝BC时，解方程(n－2)2＝5n2，得512n+=-（如图4），或512n-=（如图5）．图4 图5考点伸展第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理．由于C(0, mn)，当点C的坐标是(0,－1)，mn＝－1．由A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2，BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1．所以AB2＝BC2＋AC2．于是得到Rt△ABC，∠ACB＝90°．第（3）题在讨论等腰三角形ABC时，对于CA＝CB的情况，此时A、B两点关于y轴对称，可以直接写出B(－2, 0)，n＝－2．例 12 2014年湖南省娄底市中考第27题如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连结PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图2，连结PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t 的值；（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14娄底27”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，当点P运动到AB的中点时，△APQ的面积最大，等腰三角形APQ存在三种情况．还可以体验到，当QC＝2HC时，四边形PQP′C 是菱形．思路点拨1．在△APQ中，∠A是确定的，夹∠A的两条边可以用含t的式子表示．2．四边形PQP′C的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，．图文解析（1）在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，所以AB＝5，sin A＝35，cos A＝45．作QD⊥AB于D，那么QD＝AQ sin A＝35 t．所以S＝S△APQ＝12AP QD⋅＝13(5)25t t-⨯＝23(5)10t t--＝23515()+1028t--．当52t=时，S取得最大值，最大值为158．（2）设PP′与AC交于点H，那么PP′⊥QC，AH＝AP cos A＝4(5)5t-．如果四边形PQP′C为菱形，那么PQ＝PC．所以QC＝2HC．解方程4424(5)5t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得2013t =．图3 图4（3）等腰三角形APQ 存在三种情况： ①如图5，当AP ＝AQ 时，5－t ＝t ．解得52t =． ②如图6，当P A ＝PQ 时，1cos 2AQ AP A =．解方程14(5)25t t =-，得4013t =． ③如图7，当QA ＝QP 时，1cos 2AP AQ A =．解方程14(5)25t t -=，得2513t =．图5 图6 图7考点伸展在本题情境下，如果点Q 是△PP ′C 的重心，求t 的值． 如图8，如果点Q 是△PP ′C 的重心，那么QC ＝23HC ． 解方程2444(5)35t t ⎡⎤-=⨯--⎢⎥⎣⎦，得6023t =． 图8例 13 2015年湖南省怀化市中考第22题如图1，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从A →B →C 方向运动，它们到C 点后都停止运动，设点P 、Q 运动的时间为t 秒．（1）在运动过程中，求P 、Q 两点间距离的最大值；（2）经过t 秒的运动，求△ABC 被直线PQ 扫过的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）P ，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得△PQC 为等腰三角形．若存在，求出此时的t 值，若不存在，请说明理由．（24.25≈，结果保留一位小数）图1动感体验请打开几何画板文件名“15怀化22”，拖动点P 在AC 上运动，可以体验到，PQ 与BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况．思路点拨1．过点B 作QP 的平行线交AC 于D ，那么BD 的长就是PQ 的最大值． 2．线段PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在AB 、BC 上． 3．等腰三角形PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长．图文解析（1）在Rt △ABC 中，AC ＝8，BC ＝6，所以AB ＝10． 如图2，当点Q 在AB 上时，作BD //PQ 交AC 于点D ，那么22AB AQ tAD AP t===． 所以AD ＝5．所以CD ＝3．如图3，当点Q 在BC 上时，16228CQ tCP t-==-． 又因为623CB CD ==，所以CQ CBCP CD=．因此PQ //BD ．所以PQ 的最大值就是BD ． 在Rt △BCD 中，BC ＝6，CD ＝3，所以BD ＝35．所以PQ 的最大值是35．图2 图3 图4 （2）①如图2，当点Q 在AB 上时，0＜t ≤5，S △ABD ＝15． 由△AQP ∽△ABD ，得2()AQP ABDS AP S AD=△△．所以S ＝S △AQP ＝215()5t ⨯＝235t ．②如图3，当点Q 在BC 上时，5＜t ≤8，S △ABC ＝24． 因为S △CQP ＝12CQ CP ⋅＝1(162)(8)2t t --＝2(8)t -， 所以S ＝S △ABC －S △CQP ＝24－(t －8)2＝－t 2＋16t －40．（3）如图3，当点Q 在BC 上时，CQ ＝2CP ，∠C ＝90°，所以△PQC 不可能成为等腰三角形． 当点Q 在AB 上时，我们先用t 表示△PQC 的三边长：易知CP ＝8－t ． 如图2，由QP //BD ，得QP AP BD AD =，即535QP t=．所以355QP t =． 如图4，作QH ⊥AC 于H ．在Rt △AQH 中，QH ＝AQ sin ∠A ＝65t ，AH ＝85t ． 在Rt △CQH 中，由勾股定理，得CQ ＝22QH CH +＝2268()(8)55t t +-． 分三种情况讨论等腰三角形PQC ： （1）①当PC ＝PQ 时，解方程3585t t -=，得6510t =-≈3.4（如图5所示）． ②当QC ＝QP 时，226835()(8)555t t t +-=．整理，得2111283200t t -+=． 所以(11t －40)(t －8)＝0．解得4011t =≈3.6（如图6所示），或t ＝8（舍去）． ③当CP ＝CQ 时，22688()(8)55t t t -=+-．整理，得25160t t -=． 解得165t =＝3.2（如图7所示），或t ＝0（舍去）． 综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展第（1）题求P 、Q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法： ①如图8，当点Q 在AB 上时，PQ ＝22QH PH +＝2268()()55t t t +-＝355t ． 当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35．②如图9，当点Q 在BC 上时，PQ ＝22CQ CP +＝22(2)CP CP +＝5(8)t -． 当Q 与B 重合时，PQ 最大，此时t ＝5，PQ 的最大值为35． 综上所述，PQ 的最大值为35．图8 图9§1．3 因动点产生的直角三角形问题课前导学我们先看三个问题：1．已知线段AB ，以线段AB 为直角边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？ 2．已知线段AB ，以线段AB 为斜边的直角三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？ 3．已知点A (4,0)，如果△OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点B 的坐标．图1 图2 图3如图1，点C 在垂线上，垂足除外．如图2，点C 在以AB 为直径的圆上，A 、B 两点除外．如图3，以OA 为边画两个正方形，除了O 、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B ，共6个．解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．如图4，已知A (3, 0)，B (1,－4)，如果直角三角形ABC 的顶点C 在y 轴上，求点C 的坐标．我们可以用几何的方法，作AB 为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C ．如果作BD ⊥y 轴于D ，那么△AOC ∽△CDB ． 设OC ＝m ，那么341m m -=． 这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点． 图4例 19 2015年湖南省益阳市中考第21题如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y轴的对称点分别为点A′、B′．（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△P AA′与△P′BB′的面积之比．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15益阳21”，拖动点P在抛物线E1上运动，可以体验到，点P始终是线段OP′的中点．还可以体验到，直角三角形QBB′有两个．思路点拨1．判断点P是线段OP′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点P、P′的坐标．2．分别求线段AA′∶BB′，点P到AA′的距离∶点P′到BB′的距离，就可以比较△P AA′与△P′BB′的面积之比．图文解析（1）当x＝1时，y＝x2＝1，所以A(1, 1)，m＝1．设抛物线E2的表达式为y＝ax2，代入点B(2,2)，可得a＝12．所以y＝12x2．（2）点Q在第一象限内的抛物线E1上，直角三角形QBB′存在两种情况：图3 图4①如图3，过点B 作BB ′的垂线交抛物线E 1于Q ，那么Q (2, 4)． ②如图4，以BB ′为直径的圆D 与抛物线E 1交于点Q ，那么QD ＝12BB '＝2． 设Q (x , x 2)，因为D (0, 2)，根据QD 2＝4列方程x 2＋(x 2－2)2＝4． 解得x ＝3±．此时Q (3,3)．（3）如图5，因为点P 、P ′分别在抛物线E 1、E 2上，设P (b , b 2)，P ′(c ,212c )． 因为O 、P 、P ′三点在同一条直线上，所以P PM N OM ON ='，即2212c bb c=．所以c ＝2b ．所以P ′(2b , 2b 2)．如图6，由A (1, 1)、B (2,2)，可得AA ′＝2，BB ′＝4．由A (1, 1)、P (b , b 2)，可得点P 到直线AA ′的距离PM ′＝b 2－1． 由B (2,2)、P ′(2b , 2b 2)，可得点P ′到直线BB ′的距离P ′N ′＝2b 2－2． 所以△P AA ′与△P ′BB ′的面积比＝2(b 2－1)∶4(2b 2－2)＝1∶4．图5 图6考点延伸第（2）中当∠BQB ′＝90°时，求点Q (x , x 2)的坐标有三种常用的方法： 方法二，由勾股定理，得BQ 2＋B ′Q 2＝B ′B 2． 所以(x －2)2＋(x 2－2)2＋(x ＋2)2＋(x 2－2)2＝42． 方法三，作QH ⊥B ′B 于H ，那么QH 2＝B ′H ·BH ． 所以(x 2－2)2＝(x ＋2) (2－x )．例 20 2015年湖南省湘潭市中考第26题如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结BC．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度从点B向点C 运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15湘潭26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，△BPQ有两次机会可以成为直角三角形．还可以体验到，点N有一次机会可以落在抛物线上．思路点拨1．分两种情况讨论等腰直角三角形BPQ．2．如果PQ的中点恰为MN的中点，那么MQ＝NP，以MQ、NP为直角边可以构造全等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程．．图文解析（1）因为抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，所以y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3．（2）由A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0,－3)，可得AB＝4，∠ABC＝45°．在△BPQ中，∠B＝45°，BP＝4－t，BQ＝2t．直角三角形BPQ存在两种情况：①当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP．解方程2t＝2(4－t)，得t＝2（如图3）．②当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ．解方程4－t＝2t，得t＝43（如图4）．图3 图4 图5 （3）如图5，设PQ的中点为G，当点G恰为MN的中点时，MQ＝NP．作QE⊥y轴于E，作NF⊥x轴于F，作QH⊥x轴于H，那么△MQE≌△NPF．由已知条件，可得P(t－1, 0)，Q(3－t,－t)．由QE＝PF，可得x Q＝x N－x P，即3－t＝x N－(t－1)．解得x N＝2．将x＝2代入y＝(x＋1)(x－3)，得y＝－3．所以N(2,－3)．由QH//NF，得QH PHNF PF=，即(3)(1)32(1)t t tt---=--．整理，得t2－9t＋12＝0．解得9332t±=．因为t＜2，所以取9332t-=．考点伸展第（3）题也可以应用中点坐标公式，得(1)(3)122P QGx x t tx+-+-===．所以x N＝2x G＝2．§1．4 因动点产生的平行四边形问题课前导学我们先思考三个问题：1．已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？图1 图2 图3如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D．如图2，已知A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)．如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等．关系式x A＋x C＝x B＋x D和y A＋y C＝y B＋y D有时候用起来很方便．我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合．如图4，点A是抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的一个动点，AB⊥x轴于点B，线段AB交直线y＝x－1于点C，那么点A的坐标可以表示为(x,－x2＋2x＋3)，点C的坐标可以表示为(x, x－1)，线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为AB＝y A＝－x2＋2x＋3，线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标图4表示为AC＝y A－y C＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2．通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离．例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24题如图1，抛物线经过A (1, 0)、B (5, 0)、C 10(0,)3三点．设点E (x , y )是抛物线上一动点，且在x 轴下方，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E (x , y )运动时，试求平行四边形OEBF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值；（3）是否存在这样的点E ，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E 运动，可以体验到，当点E 运动到抛物线的顶点时，S 最大．当点E 运动到OB 的垂直平分线上时，四边形OEBF 恰好是正方形．思路点拨1．平行四边形OEBF 的面积等于△OEB 面积的2倍．2．第（3）题探究正方形OEBF ，先确定点E 在OB 的垂直平分线上，再验证EO ＝EB ．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (1, 0)、B (5, 0)两点，设y ＝a (x －1)(x －5)．代入点C 10(0,)3，得1053a =．解得23a =． 所以抛物线的解析式为22210(1)(5)4333y x x x x =--=-+．（2）因为S ＝S 平行四边形OEBF ＝2S △OBE ＝OB ·(－y E )＝22105(4)33x x --+＝210(65)3x x --+＝21040(3)33x --+．所以当x ＝3时，S 取得最大值，最大值为403．此时点E 是抛物线的顶点（如图2）．（3）如果平行四边形OEBF 是正方形，那么点E 在OB 的垂直平分线上，且EO ＝EB ．当x ＝52时，22355(1)(5)()33222y x x =--=⨯⨯-=-．此时E 55(,)22-．如图3，设EF 与OB 交于点D ，恰好OB ＝2DE ．所以△OEB 是等腰直角三角形．所以平行四边形OEBF 是正方形．所以当平行四边形OEBF 是正方形时，E 55(,)22-、F 55(,)22．。
大鹏新区星宇学校师生共用学讲练九（）班年级：九年级内容：《函数中动点与图形面积专题》（一）课型：复习课学习目标：1.学会用代数法表示与函数图象相关的几何图形的面积，并能用函数图象的性质解决相关问题；2.领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在函数问题中的应用.学习重点：用代数法表示与函数图象相关的几何图形的面积及解决“动点面积”问题的一般方法规律。
学习难点：点的坐标的求法。
一、学前准备：(一)、填空：有关几何图形的面积计算公式：1.三角形的面积计算公式：。
长方形的面积计算公式：。
平行四边形面积计算公式：。
梯形面积计算公式：。
（二）已知：直线L1：y=k1x+b1，直线L2：y=k2x+b2若L1//L2，则k1，k2的关系为若L1⊥L2，则k1，k2的关系为(三)1.二次函数的一般式：；顶点式：；交点式：。
2.二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标：；与x轴、y轴的交点坐标分别是：。
3.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A,B两点间的距离|AB|= 。
(四)、基础演练：1.直线 =-3x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，则△ABO的面积是________．2.如图，二次函数y=-x2+2x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为_______.二、“函数中动点与图形面积”试题解析例题：如图，已知抛物线y=x 2＋3x －4与 x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C,直线y=2x ＋2与抛物线交于D 、E.(1)求D 、E 两点的坐标；（2）连接DC,CE,求△CDE 的面积。
【解析】 【解答】【方法规律】【变式1】若抛物线的顶点为P,求△PDE 的面积。
【解析】【解答】【方法规律】【变式2】若P 是线段DE 上一点，且使得S △PCD :S △PCE =2:3，求此时P 点的坐标。
【解析】【解答】【方法规律】【变式3】若P 是直线DE 上方抛物线上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PDE = 58S △DEC , 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由。
x
y
A
B
C
O
第24题图
函数图象中的存在性问题——因动点产生的面积问题
例33、.如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． (1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；
(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．
例34、如图，在平面直角坐标系xoy 中，等腰梯形OABC 的下底边OA 在x 轴的正半轴上，BC∥OA，OC=AB ．tan∠BA0=43
，点B 的坐标为(7，4)．
(1)求点A 、C 的坐标；(2)求经过点0、B 、C 的抛物线的解析式； (3)在第一象限内(2)中的抛物线上是否存在一点P ，使得经过点P 且 与等腰梯形一腰平行的直线将该梯形分成面积相等的两部分?若存在， 请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
例35、如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0），（0，1），点D 是线段BC 上的动点（与
端点B 、C 不重合），过点D 作直线y ＝－1
2x
＋b 交折线OAB 于点E ．
（1）记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；
（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1，试探究O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.
例36、如图，已知直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于E 和F ．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）连结EF ，设△BEF 与△BFC 的面积之差为S ，问：当CF 为何值时S 最小，并求出这个最小值．
24.（2013普陀二模） 如图，抛物线c bx x y -+=2
经过直线
与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另 一个交点为C ，抛物线的顶点为D . ☆ 求此抛物线的解析式（4分）； ☆ 点P 为抛物线上的一个动点，求使
第24题。
