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第四节基本不等式【课标标准】 1.驾驭基本不等式≤ (a>0，b>0).2.结合详细实例，能用基本不等式解决简洁的最大值或最小值问题．必备学问·夯实双基学问梳理1.基本不等式：≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．(3)其中，________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．2．基本不等式的两种常用变形形式(1)ab≤________(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号).(2)a＋b≥________(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号).3．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)假如积xy是定值P，那么当且仅当________时，x＋y有最小值__________．(简记：积定和最小).(2)假如和x＋y是定值S，那么当且仅当______时，xy有最大值________．(简记：和定积最大).[常用结论]1.＋≥2(ab>0)，当且仅当a＝b时取等号．2．应用基本不等式求最值要留意“一正、二定、三相等”，忽视某个条件，就会出错．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是相同的．( )(2)函数y＝x＋的最小值是2.( )(3)x>0且y>0是≥2的充分不必要条件.( )(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.( )2．(教材改编)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )A．B．C．D．3．(教材改编)若用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.4．(易错)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( )A．1＋B．1＋C．3 D．45．(易错)y＝2＋x＋(x<0)的最大值为________.关键实力·题型突破题型一利用基本不等式求最值角度一拼凑法求最值例 1(1)(多选)下列说法正确的是( )A．x＋(x>0)的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是2D．2－3x－的最大值是2－4(2)设0＜x＜，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．题后师说拼凑法求最值的策略巩固训练1[2024·辽宁沈阳三十一中月考]下列函数中，最小值为4的是( )A．y＝x＋B．y＝x＋＋4(x>－2)C．y＝cos2x＋D．y＝x2＋2x＋4角度二常值代换法求最值例 2 [2024·河南信阳模拟]设a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最大值为( )A．B．C．D．题后师说常数代换法求最值的一般步骤巩固训练2(1)[2024·辽宁鞍山模拟]已知正实数a、b满意a＋b＝2，则的最小值是( )A． B． C．5 D．9(2)a>0，b>0，a＋b＝4ab，则a＋b的最小值为________.角度三消元法求最值例 3[2024·安徽合肥八中模拟]已知x>0，y>0，满意x2＋2xy－1＝0，则3x＋2y的最小值是( )A． B． C．2 D．2题后师说当已知条件是含有两个变量的等式时，可以采纳把其中一个量用另一个量表示，代入所求代数式中再结合基本不等式求解．巩固训练3已知正实数a，b满意ab－b＋1＝0，则＋4b的最小值是________．题型二利用基本不等式证明不等式例 4[2024·安徽寿县一中模拟]已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝2.(1)求a2＋b＋c的取值范围；(2)求证：≥18.题后师说利用基本不等式证明不等式，先视察题中是否有符合基本不等式的条件．若有，则可以干脆利用基本不等式证明；若没有，则对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到运用基本不等式的条件．巩固训练4[2024·江西金溪一中模拟]已知正实数m，n满意m2＋n2＝4m2n2.证明：(1)mn≥；(2)≥8.题型三基本不等式的实际应用例 5某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度肯定，池的四周墙壁建立单价为每米400元，中间一条隔壁建立单价为每米100元，池底建立单价每平方米60元(池壁厚忽视不计)．(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；(2)假如受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低．题后师说利用基本不等式解实际应用问题的技巧巩固训练5[2024·江西吉安模拟]春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车平安，在某高速马路上的某时间段内车流量y(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时)与汽车的平均速度v(单位：千米/小时)、平均车长l(单位：米)之间满意的函数关系y＝(0<v≤120)，已知某种车型的汽车的平均速度为100千米/小时，车流量为1万辆/小时．(1)求该车型的平均车长l；(2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？1.[2024·全国乙卷]下列函数中最小值为4的是( )A．y＝x2＋2x＋4B．y＝|sin x|＋C．y＝2x＋22－xD．y＝ln x＋2．[2024·新高考Ⅱ卷](多选)若x，y满意x2＋y2－xy＝1，则( )A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥13．[2024·新高考Ⅰ卷](多选)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )A．a2＋b2≥B．2a－b>C．log2a＋log2b≥－2D．第四节基本不等式必备学问·夯实双基学问梳理1．(2)a＝b(3)2．(1)(2)23．(1)x＝y2(2)x＝y S2夯实双基1．(1)×(2)×(3)√(4)×2．解析：因为0<x<1，所以x(3－3x)＝＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立．故选B.答案：B3．解析：设矩形的一边长为x m，矩形场地的面积为y m2，则矩形另一边长为×(20－2x)＝(10－x)m，所以y＝x(10－x)≤＝25(m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y max＝25.答案：254．解析：f(x)＝x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝4，当x－2＝1时，即x＝3时等号成立．∴a＝3.故选C.答案：C5．解析：∵x<0，∴－x>0，∴y＝2＋x＋＝2－，又－x－≥2 ＝2，∴y＝2＋x＋＝2－≤2－2，当且仅当－x＝－，且x<0，即x＝－时等号成立．答案：2－2关键实力·题型突破例1 解析：(1)对于A，由基本不等式可知，当x>0时，x＋≥2，当且仅当x＝，即x ＝1时取等号，故A正确；对于B，＝，当x＝0时取得等号，故B正确；对于C，＝＝，令＝t，则t≥2，因为y＝t＋在[2，＋∞)上单调递增，当t＝2时，y取得最小值，故C错误；对于D，2－在x<0时，没有最大值，故D错误．故选AB.(2)y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2＝，当且仅当“2x＝3－2x，即x＝”时，等号成立．∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.答案：(1)AB (2)巩固训练1 解析：对于A：当x<0时y＝x＋<0，明显最小值不为4，解除；对于B：由x＋2>0，则y＝(x＋2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x＝－1时等号成立，满意；对于C：由题意0<t＝cos2x≤1，而y＝t＋在(0，1]上递减，故t＝1时函数最小值为5，不满意；对于D：由y＝(x＋1)2＋3≥3，当x＝－1时最小值为3，不满意．故选B.答案：B例2 解析：∵a＋b＝1，＝，＝(a＋b)＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴.故选B.答案：B巩固训练2 解析：(1)＝(a＋b)＝(4＋5)＝，当且仅当＝时等号成立．故选B.(2)∵a>0，b>0，a＋b＝4ab，∴同除以ab得＝4，∴a＋b＝(a＋b)·＝≥×2＝＝1.当且仅当＝即a＝b＝时取等号．答案：(1)B (2)1例3 解析：由x2＋2xy－1＝0，得y＝，而x>0，y>0，则有0<x<1，因此3x＋2y＝3x＋＝2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时取“＝”，所以3x＋2y的最小值为2.故选D.答案：D巩固训练3 解析：∵正实数a，b满意ab－b＋1＝0，∴a＝>0，即b>1，∴＋4b＝＋4b＝＋4b＝1＋＋4(b－1)＋4＝5＋＋4(b－1)≥5＋2 ＝9，当且仅当b＝，a＝时取等号，故＋4b的最小值是9.答案：9例4 解析：(1)∵a>0，b>0，c>0且a＋b＋c＝2，则b＋c＝2－a，a2＋b＋c＝a2＋2－a ＝＋，又0<a<2，故≤a2＋b＋c<＋＝4，故a2＋b＋c的取值范围为.(2)证明：∵a>0，b>0，c>0，＝(a＋b＋c)＝≥＝×(14＋4＋6＋12)＝18，当且仅当，即a＝，b＝，c＝1时等号成立．故≥18.巩固训练4 证明：(1)由m2＋n2＝4m2n2，得＝4，又，所以mn≥，当且仅当m＝n＝时等号成立．(2)＝－＝16－≥16－＝8，当且仅当m＝n＝时等号成立．故≥8.例5 解析：(1)设污水处理池的长为x米，则宽为米，总造价为f(x)元，则f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立．即污水处理池的长设计为15米时，可使总造价最低．(2)记g(x)＝x＋(0<x≤14.5)，明显g(x)是减函数，所以当x＝14.5时，g(x)有最小值，相应总造价f(x)有最小值，此时宽也不超过14.5米．巩固训练5 解析：(1)由题意：当v＝100时，y＝1，∴1＝，∴l＝5.∴该车型的平均车长为5米．(2)由(1)知，函数的表达式为y＝(0<v≤120)．∵v>0，∴y＝＝＝.当且仅当v＝，即v＝80时取等号．故当汽车的平均速度为80千米/小时时车流量y达到最大值．真题展台——知道高考考什么？1．解析：对于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0<|sin x|≤1，y＝|sin x|＋≥2＝4，当且仅当|sin x|＝2时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而2x>0，y＝2x＋22－x＝2x＋≥2＝4，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，y＝ln x＋，函数定义域为(0，1)而ln x∈R且ln x≠0，如当ln x＝－1，y＝－5，D不符合题意．故选C.答案：C2．解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x－)2＋(y)2＝1.令则所以x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin (θ＋)∈[－2，2]，所以A错误，B正确．x2＋y2＝(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ)2＝sin 2θ－cos 2θ＋＝sin (2θ－)＋∈[，2]，所以C正确，D错误．故选BC.答案：BC3．解析：对于A，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝2(a－)2＋，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝log2＝－2，当且仅当a＝b ＝时，等号成立，故C不正确；对于D，因为()2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以，当且仅当a＝b ＝时，等号成立，故D正确．故选ABD.答案：ABD。
