【4份】2016春八年级数学下册(北师大版)PPT课件：第四章 因式分解 共51张PPT

把一个多项式化成几个整式的积的形式， 这种变形叫做因式分解（ factorization), 例 如 ： a3-a=a(a+1)(a-1) 、 am+bm+cm=m(a+b+c), 从 左 到 右 的 变 形 都 是 因式分解。因式分解也可称为分解因式。
一辨: 下列从左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？ （1）24x2y=4x· 6xy (2)(a+3)(a-3)=a2-9 （3）a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1 (4)2mR+2mr=2m(R+r) 1 （5）x+1=x(1+ ) (6)m2-4=(m+2)(m-2)
式 分 解
拓展提升： 若关于x二次三项式x2+mx+n可分解为(x+1)2 ，则 m=___,n=___ 因式分解与整式乘法密切联系, 逆用整式乘法及乘法公式等可以帮助 我们解决有关因式分解的问题 三用： a=3.14, b=2.386, c=2.386,求ab-ac的值。 特殊问题背景下,因式分解 可以使运算更简便
193-19 = 19×192－19×1 = 19（192－1） = 19×360 = 19×18×20
类比、猜测
式
你能尝试把多项式a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？
a3-a = a× a2 － a × 1 = a（ a2 － 1 ） 形 = a(a+1)(a-1)
我校第十届校园文化艺术节即将拉开帷幕，为作好宣传， 我班同学分工合作，设计一幅宣传海报，海报由三部分 组成，他们分别将三部分拼成如图所示的一个大的长方 形，通过计算拼图前后的面积，写出相应的关系式。
整 式 乘 法

解：设正方形Ⅰ的边长为x cm,正方形Ⅱ的边长为y cm;
列方程得：
化简得：
整理得：
解得：
答：两个正方形的边长分别为32cm,8cm.
2.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？ 3.当k取何值时，100 x2-kxy+49y2是一个完全平方 2.式解？：x2+2x+1=(x+1)2
当x=-1时， x2+2x+1取得最小值0。
解：原式
⑵
解：原式
⑶
解：原式
•可以先化简整理，再 •考虑用公式或其它 •方法进行因式分解。
⑷
解：原式
小试牛刀
练一练：把下列各式分解因式 ⑴
解：原式
⑵
解：原式
连续两次使用公式 法进行分解因式。 当多项式情势上是二 项式时，应考虑用平 方差公式，当多项式 情势上是三项式时， 应考虑用完全平方公 式。
知识点四：综合运用多种方法分解因式 例4.把下列各式分解因式
答：这两个数分别为65和63。
作业
• 完成书上习题
3.解：100 x2-kxy+49y2 =(10x)2-kxy+(7y)2 所以k=±2×10×7=±140
永攀高峰：
例10.利用分解因式说明：
能被120整除。
提示：底数不同，且指数不全为偶数，若考虑使用平方差公式则需要
转化底数。 解：
•
可以被60和70之间某两个自然数整除，
求这两个数。
解：
反复利用平方差公 式进行分解因式， 分解过程中需注意 题目中的条件要求， 分解因式“适可而止”。
因式分解
回顾与思考
知识回顾
• 1、举例说明什么是分解因式。 • 2、分解因式与整式乘法有什么关系？ • 3、分解因式常用的方法有哪些？ • 4、试着画出本章的知识结构图。

合作探究
探究点三 问题1：因式分解：把一个多项式化成几个 整式 的 积 的形式，这种变形叫 做因式分解.因式分解也可称为 分解因式 . 问题2：你能说明因式分解与整式的乘法有什么关系吗? 多项式的因式分解与整式的乘法互为逆变形过程. 因此可以用整式的乘法来检验分解因式是否正确.
合作探究
探究点四 例1：已知多项式x2－4x＋m因式分解的结果为(x＋a)(x－6)，求2a－m的值 解：(x＋a)(x－6)
课程讲授
1 因式分解的定义
问题1：
完成下列题目： x(x-2)=__x_2_-_2_x_ (x+y)(x-y)=__x_2-_y_2__ (x+1)2=_x_2_+_2_x_+_1_
根据左空，解决下列问题： x2-2x=( x )( x-2 ) x2-y2=( x+y )( x-y ) x2+2x+1=( x+1 )2
4.1 因式分解
八年级下册
学习目标
1 经历从分解因数到分解因式的类比过程. 2 了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的相互关系. 3 感受因式分解在解决相关问题中的作用.
前置学习
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( D )
A．a(x－y)＝ax－ay
B．x²＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
整式乘法
(x+1)(x-1)
课程讲授
1 因式分解的定义
归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个 式子的两种不同表现形式．因式分解的等号右边是两个 或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的 形式．
随堂练习
1. 下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ C ） A. a(a+b-1)=a2+ab-a B. a2-a-2=a(a-1)-2 C. -4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D.2x +1=x(2+ 1 )

答案 C
章末复习
母题2 (教材P104复习题第1题) 把下列各式因式分解： (1)7x2-63； (2)a3-a； (3)3a2-3b2； (4)y2-9(x+y)2； (5)a(x-y)-b(y-x)+c(x-y)； (6)x(m+n)-y(n+m)+(m+n)； (7)(x+y)2-16(x-y)2； (8)a2(a-b)2-b2(a-b)2； (9)(x+y+z)2-(x-y-z)2； (10)(x+y)2-14(x+y)+49.
章末复习
相关题1 把下列各式分解因式： (1)5x2-15xy+10xy2； (2)a(x-2)+(2-x)2； (3)2x2y-8xy+8y； (4)(m2+n2)2-4m2n2.
章末复习
解：(1)原式＝5x(x－3y＋2y2)． (2)原式＝(x－2)(a＋x－2)． (3)原式＝2y(x2－4x＋4)＝2y(x－2)2. (4)原式＝(m2＋n2＋2mn)(m2＋n2－2mn)＝(m＋n)2·(m－n)2.
相关题3 求证：不论x取何实数, 多项式-2x4-12x3-18x2的值都不会是 正数.
证明：原式＝－2x2(x2＋6x＋9)＝－2x2(x＋3)2. ∵－2x2≤0，(x＋3)2≥0， ∴－2x2(x＋3)2≤0， ∴不论 x 取何实数，原式的值都不会是正数．
章末复习
专题四 因式分解的应用
【要点指点】 因式分解不仅在数值计算、代数式的化简求值等方 面有广泛的应用, 在解决实际问题时也同样重要.通过学习和应用 因式分解, 能使我们的视察能力、运算能力、逻辑思维能力、探究 能力得到提高．

整式的积
把一个多项式化成几个整式的积的形式，
这种变形叫做把这个多项式分解因式。
生成新知 形成概念 一般地，把一个多项式转化成几个整式
的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因 式分解. 温馨提示：
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式.
(x-y)(x+y)
x2+2x+1
当堂达标
一、基础练习 1.选择: (1)下列各式由左到右的变形是因式分解的是 A ( ) A.-9+a2=-(3+a)(3-a) B.(x-2)(x-3)=x 1 2-x-6 C.a2-2ab+b2+a=(a-b)2+a D.m2+m=m2(1+ m ) (2)(m+2n)(m-2n)是下列哪个多项式分解因式的 结果 ( C ) A.m2+4n2 B.-m2+4n2 C.m2-4n2 D.-m2-4n2
知识拓展 达标检测: 提炼升华
1. 19993-1999能被1999整除吗？能被2000整除吗？
2.若x2+mx-n因式分解后是(x-2)(x-5)，求m、n的
值.
3.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5 解： IR1+IR2+IR3 =I(R1+R2+R3) =2.5×(19.2+32.4+38.4) =2.5×90 =225
分解因式与整式乘法有什么关系?
恒等变形
和 差 化 积 是 分 解 积 化 和 差 是 乘 法

分解因式要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是积的形式. 3.结果中的每一个因式都必须是整式.
跟踪训练
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
×
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2 C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1) D. ax+by+c=x(a+b)+c
(1)对于(a-b)(x-y)=ax-ay-bx+by从左到右 的变形是 整式乘法 ，从右到左的变是 因式分解；
nm m
（2）根据下图写出一个因式分解的算式为 _m_n_+_m_2_=m__（__m_+_n_）__.
当堂检测
3.若x2+mx-n分解因式后是(x-2)(x-5)， 求m、n的值.
4.求代数式IR1+IR2+IR3的值，其中 R1=19.2，R2=32.4，R3=38.4，I=2.5
可以.
合作探究
问题1：993-99能被100整除这个吗？
993 - 99 99 992 - 99 1 99(992 - 1) 99 9800 98 99 100
想一想: 993-99 还能被哪些整数
整除?
所以，993-99能被100整除.
问题2：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不 同的方式表示这块草坪的面积吗？
根据左面算式填空: (1) 3x2-3x=___3_x_(x_-_1_)_ (2)ma+mb+mc=__m__(a_+__b_+_c_) _ (3) m2-16=_(m__+_4_)_(m__-_4_) (4) x2-6x+9=__(_x_-_3_)2__ (5) a3-a=__a_(_a_+_1_)_(_a_-1_)

你能再举几个类似的例子吗？
归纳概念
把一个多项式化为 几个整式的积的形式,这 种变形叫做把这个多项式 分解因式.
做一做,计算下列各式
(1) 3x(x-1)=__3_x__2____3_x_
(2) m(a+b+c)=_m__a____m__b___m_ c
(3) (m+4)(m-4)=___m__2____1_6_____
（1）x2m xn能分解成 (x2)(x5 )
-7 -10 则 m = ______, n = ______.
（2）某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪， 他们的宽都是８㎝，长分别是５５．５㎝，２ ４．４㎝，２０．１㎝，那么这些绿化带的面积
800 之和是_____
20.1
颗粒归仓
通过本节课的研究, 你有哪些收获?还有什 么疑问?
作业 课后习题
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月3日星期日2022/4/32022/4/32022/4/3 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/32022/4/32022/4/34/3/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/32022/4/3April 3, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
想一想
分解因式与整式乘法有什么关系?
分解因式
a2-b2
(a-b)(a+b)
整式乘法
二者是互逆的过程
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） a2aa(a1)是

解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16) ＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
三、课堂练习
9. 已知x2－y2＝－1，x＋y＝ 1 ，求x－y的值．
2
解：∵ x2－y2 ＝(x＋y)(x－y)＝－1，
＝4(4a＋b)(a＋4b)
二、考点精讲
考点五：公式法因式分解
15. 因式分解：(1)x2－y4；
(2)－x2＋4xy－4y2；
(3)4x2－8x＋4;
(4)25(a＋b)2－9(a－b)2.
解：(1)原式＝(x＋y2)(x－y2)
(2)原式＝－(x2－4xy＋4y2)＝－(x－2y)2
(3)原式＝4(x2－2x＋1)＝4(x－1)2
不是
(2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10;
不是
(3)x2-6x+9=(x-3)2;
是
(4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.
不是
二、考点精讲
考点三：提公因式因式分解 例2 因式分解： (1)8a3b2＋12ab3c； (2)2a(b＋c)－3(b＋c)； (3)(a＋b)(a－b)－a－b.
提取公因式变形后，将a＋b与ab作为一个整体代入计算即可得出答案
二、考点精讲
考点六：公式法因式分解的应用
5. 已知a＋b＝5，ab＝10，求 1 a3b＋a2b2＋ 1ab3的值．
2
2
解：
1 2a3b＋a2b2＋
1 2
ab3＝
1 2
ab(a2＋2ab＋b2)
＝1 ab(a＋b)2.
2
当a＋b＝5，ab＝10时，

第四章 因式分解
1.因式分解
1. 把一个多项式化成几个 整式的积 的形式，这种变形叫做因式分解.因 式分解也可称为分解因式.
2. 因式分解与 整式乘法 两者是互逆的过程. 3. 因式分解是 恒等 变形.
1. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ Ｂ ）
A. a2+4a-21=a（a+4）-21
C. 4x+y
D. 4x-y
3. 若x2-4x+m=(x+3)(x-7)，则m的值为( Ｃ )
A. 3
B. -3
C. -21
D. 21
4. 如果用a，b分别表示一个两位数的十位上的数字和个位上的数字，交换这
个两位数的十位上的数字和个位上的数字后，得到一个新的两位数，则这两个两
位数的和一定能( Ｃ )
【基础训练】
1. 下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是( A )
A. x2-x=x(x-1)
B. a(a-b)=a2-ab
C. (a+3)(a-3)=a2-9
D. x2-2x+1=x(x-2)+1
2. 将16x2-y2因式分解，其中一个因式是4x+y，则另一个因式是（ Ｄ ）
A. x+4y
B. x-4y
A. －3
B. 3
C. 9
D. -9
4. 如图，一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a，b的小长方形拼成
一个大长方形，则由整个图形的面积关系可以得到一个有关多项式因式分解的等 式，这个等式是 a2+2ab=a(a+2b) .
5. 2992－299能被298整除吗？能被299整除吗？
原式=299×(299-1)=299×298． 所以2992－299既能被298整除，又能被299整除．

1999 2000 ∴ 19992 1999 可以被2000整除.
小结
（1）因式分解的对象必须是多项式，结果要以积 的形式表示； （2）分解后的每个因式必须是整式. （3）因式分解与整式的乘法是一种互逆恒等变形；
拓展训练
1.已知多项式ax2 bx c(a,b,c均为常数)
分解因式的结果为 3x 1x - 2 ,则a= 3 ,b=-5,
① 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式 ② am+bm+c=m(a+b)+c 结果不是积的形式
③ x2-1=(x+1)(x-1)
④ (2x+1)2=4x2+4x+1 是整式乘法
⑤
x2+x=x2(1+
1
x)
每个因式必须是整式
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
例2
把多项式 x2 mx 5 因式分解得 x 5x 1，
①x2 1 y2 x 1x 1 y2
③x2 1 x 1 x 1 y y y y
⑤aa b a2 ab ⑦4 a4 a 16 a2
②x2 1 x 1x 1
④x 2
x
1
x
1
2
4 2
⑥6x2 y3 2xy 3xy2
⑧ห้องสมุดไป่ตู้mR r 2mR 2mr
课堂检测
c= -2 .
3x 1x - 2 3x x 6x x 2
3x2 5x 2
拓展训练
2关于x的多项式 x2 5x m,分解因式后
有一个因式是x-3,试求m .
解：设另一个因式为（x+a），则
x a(x 3) x2 5x m,