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黏性流体动量平衡方程−纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations ） 1.动量平衡的定义流体在流动过程中遵守能量守恒定律，称为能量平衡根据牛顿第二定律：⎩⎨⎧≠∑=∑，运动，动力平衡，静止，静力平衡0F 0F 作用力的合力 = 单位时间内动量的变化量作用力形式 动量形式[动量传入量] - [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量][动量传入量] - [动量传出量] + [系统作用力的总和] = 0稳定流动系统：不稳定流动系统：动量收支差量动量收支差量⒉ 动量传递方式1 黏性动量传输dydv x yx μτ-= 2 对流动量传输对流动量传输vvρ⒊ 作用力的形式体积力表面力压力重力作用力⒋ 动量平衡方程的推导元体分析法牛顿第二定律分析法建立方法建立依据在直角坐标系中由于有三个方向的分速度，所以共有九个动量通量。
⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅zz yz xz z y y y x y z x y x xx v v v v v v v v v v v v v v v v v ρρρρρρρρρv 以v x动量通量收支差量⑴ 对流动量收支差量x 方向的速度、x 方向的动量通量对流动量收支差量为同理，以v x 为准，y 方向、z 方向的对流动量收支差量：以v x 为准，元体对流动量收支差量为同理，以v y 、v z 为准，元体对流动量收支差量为 v x → v y 、v z⑵黏性动量收支差量黏性动量通量同样由九个分量组成以v x为准，C、D黏性动量通量收支差量黏性动量收支差量同理，v x在y、x以v x为准，元体黏性动量收支差量为同理，以⑶作用力的总和zxgxddydρzxgyddydρzxgzddydρx方向：P Ax方向合压力为x方向的总压力为同理，y、z方向的总压力为x →y、z重力⑷ 动量蓄积量z 方向x 方向y 方向 单位时间内元体动量的变化量[动量传入量] - [动量传出量] +[系统作用力的总和] = [动量蓄积量]⒌ 动量平衡方程式将以上式子代入下式，整理得：N-S 方程简化：const=ρ，连续性方程⑵const=μ，牛顿黏性定律⑴动量收支差xx x x x x x x g x p zv y v x v z v v y v v x v v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂)()(222222z y x yy y y y y y y g xp zv yv xv zv v yv v xv v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂)()(222222zyxzz z z z z z z g xp zv yv xv zv v yv v xv v v ρμτρ+∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂)()(222222zyx黏性力引起压力 体积力积累动量收支差量⒍ 动量平衡方程的讨论x2x 22x 22x 2x z x y x x x g x P z v y v x v z v y v v x v v ρμτρ+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂v v 对流动量动量蓄积量黏性动量压重（1）方程的物理意义：运动的流体能量守恒的表现⎩⎨⎧作用力形式动量形式z zv y y v x x v v v d d d d d ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=ττz y x v zv v y v v x v v ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=v d d ττz y x v zvv y v v x v v a ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=τz x y x x x x x v zvv y v v x v v a ⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=τ全微分)z ,y ,x ,(v v τ=x2x 22x 22x 2g x Pz v y v xv ρμρ+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=xa y 2y 22y 22y2g Pz v y v xv ρμρ+∂∂-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=ya y z 2z 22z 22z 2g Pz v y v xv ρμρ+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=z az惯性力黏性力压力重力流体在运动中以作用力及动量形式表现能量平衡 关系是统一的⑵ 适用条件黏性流体、不稳定流动、不可压缩流体(元体范围内)、层流流动理想流体：=μ没有黏性的流体简化： 0v =∂∂τ② 稳定流动， ③ 单位质量流体 0=μ①时，N-S 方程简化为欧拉方程理想流体、稳定流动、不可压缩流体(元体范围内)流动微分方程的应用求解步骤(1)根据问题特点对一般形式的运动方程进行简化，获得针对具体问题的微分方程或方程组。
Navier-Stocks 方程组1、直角坐标系下的Navier-Stocks 方程组①.连续方程 非守恒形式0D V Dtρρ+∇⋅= 守恒形式()0V tρρ∂+∇⋅=∂ ②.动量方程 非守恒形式 x 方向yx xx zx x Du p f Dt x x y zτττρρ∂∂∂∂=-++++∂∂∂∂ y 方向xy yy zy y Dv p f Dt y x y zτττρρ∂∂∂∂=-++++∂∂∂∂ z 方向yz xz zz z Dw p f Dt z x y zτττρρ∂∂∂∂=-++++∂∂∂∂ 守恒形式x 方向()()yx xx zx x u p uV f t x x y zτρττρρ∂∂∂∂∂+∇⋅=-++++∂∂∂∂∂ y 方向()()xy yy zy y v p vV f t y x y zτττρρρ∂∂∂∂∂+∇⋅=-++++∂∂∂∂∂ z 方向()()yz xz zz z w p wV f t z x y zτρττρρ∂∂∂∂∂+∇⋅=-++++∂∂∂∂∂③.能量方程 非守恒形式()()()()()()()()()()()22yx xx zx xy yy zy yz xz up D V T TT e q k k k Dt x x y y z zx u vp wp u u y z x y z v v u w w xyz x yρρττττττττ∂⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫+=+++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∂∂∂∂ -++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ++++∂∂∂∂∂()zz w f V zτρ+∂+⋅∂守恒形式()()()()()()2222yx xx zx up V V TT T e e V q k k k t x x y yz zx u vp wp u u y z x y z ρρρτττ⎡⎤⎡⎤∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++∇⋅+=+++--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂∂ -++++∂∂∂∂∂ ()()()()()()xy yy zy yz xz zz v v u w w xyzx yw f V zττττττρ∂∂∂∂∂ +++++∂∂∂∂∂∂+⋅∂2、直角坐标系下直角坐标参数表示的矩阵守恒形式N-S 方程上述方程写成矩阵形式()()()v v v F F G G H H Q S t x y z∂-∂-∂-∂+++=∂∂∂∂ 其具体表达式为：(),,,,TQ u v w E ρρρρρ=()()()()()()222,,,,,,,,,,,,TTTF u u p uv uw pE p uG v uv v p vw E p vH w uw vw w p E p w ρρρρρρρρρρρρρρ=++=++=++()()()0,,,,0,,,,0,,,,Tv xx xy xz x Tv yx yy yz y Tv zx zy zz z F b G b H b τττττττττ=== ()()0,,,,Tx y z x y z S f f f f vf wf q ρρρρμρ=+++⋅其中，若忽略质量力，并可以将研究的气体视为绝热流动，则0S =。
模拟flunte软件模拟T型血管内的血流动力学1.模型的建立2.1 N-S方程N-S方程的最初形式1.作用在单元体上的力作用力有两类，即质量力和表面力。
1.1 质量力质量力是作用在每一个流体质点上，大小与流体的质量成正比。
工程流体力学中，会遇到两种质量力：重力和惯性力。
惯性力是一个很特殊的称谓，原来中学教程中认为惯性力并不是力，但是实际上，在出现加速度的时候，惯性力的作用同普通力完全一样的，只是惯性力会随着加速度的消失而消失。
如果认为惯性力是一种力，那么牛顿第二定律（1）也可以认为是力的平衡。
式的右端就是惯性力，左端就是其他的常规力。
其实观察一下重力，mgG ，同惯性力的ma本质上是一致的，g本身就是重力加速度。
假设单位质量流体上的质量力在各个坐标轴的分量分别为X ，Y ，Z 。
图1流体单元体的质量为：dxdydz ρ。
则作用在流体单元体上的质量力在坐标轴的分量分别为：dxdydz X ρ、dxdydz Y ρ、dxdydz Z ρ。
1.2 表面力作用在隔离流体（也就是所取的研究流体单元）的表面，和作用的面积成正比的力。
分为垂直于作用面的压力和眼沿作用面方向的切力。
表面力可以使作用于流体界面的压力、切力。
单位作用面的压应力、切应力即为图1中的σ、τ（第一个下标表示作用面的法线方向，第二个下标表示力的方向）。
以X 方向为例，流体单元受到的力：dxdydz z dz z dxdz dy y dy y dydzdx x dx x zx zx zx zx yx yx yx yx xx xx xx xx x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=222222G ττττστττσσσσ(2)即:dxdydz z y G zx yx x xx X ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=ττσ (3)y ，z 方向同理可获得。
dxdydz z y x G zy yy xy x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=τστ （4）dxdydz z y x G zz yz xz x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=σττ （5）2.单元体的加速度和重量加速度和质量的乘积（（1）式右侧）在三个方向上的分量分别为： d x d y d z dtdu ma xx ρ=（6）d x d y d z dtdu ma y y ρ=（7） d x d y d z dtdu ma zx ρ=（8） 将（3） （6）式代入（1）式，X 方向有：dt du dxdydz Xdxdydz dxdydz z y x x zx yx xx ρρττσ=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂ （9） 即：X z y x dt du zx yx xx x ρτσσρ+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂= （10） 同样：Y z y x dt du xy yy xy yρτστρ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂= (11) Z z y x dt du zz yz xz z ρσττρ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂= (12) 二、应力形式化简 1、切应力与应变的关系⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==x u y u y x yx xy μττ （13）⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==x u zuz x zx xz μττ （14)⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==y u z u z y zy yz μττ (15)2、法向应力与应变的关系u x u p x xx ∇-∂∂+-=μμσ322 （16） u y u p yyy ∇-∂∂+-=μμσ322 （17） u z u p z zz ∇-∂∂+-=μμσ322 （18） 将（13）、（16）代入（10），()()u xx u x p u xx u x x p u x u p x x x x x xx ∇∂∂-∂∂+∂∂-=∇∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∇-∂∂+-∂∂=∂∂μμμμμμσ32232232222 （19）yx u y u x u y y u y x u y u y y y xy x y x yx∂∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂222μμμμμτ （20）z x u z u x u z z u z x u z u z z z x z x z x zx ∂∂∂+∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=∂∂222μμμμμτ （21）即：()()()()()()Xu xu x p Xu x u x u x p X u xz u y u x u x u x p X u x z x u y x u x u z u y u x u x p xyx u z u y x u u x x u x P X z y x dt du x x z y x x z y x x x x x y x zx yx xx x ρμμρμμμρμμμρμμμρμμμμμρττσρ+∇∂∂+∇+∂∂-=+∇∂∂-∇∂∂+∇+∂∂-=+∇∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∇+∂∂-=+∇∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+∂∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=+∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∇∂∂-∂∂+∂∂-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=3132323232222222222222222222222 （22） 同理：()X u x u x p dt du x x ρμμρ+∇∂∂+∇+∂∂-=312 (23) ()Y u yu y p dtdu y y ρμμρ+∇∂∂+∇+∂∂-=312 （24） ()Z u zu z p dt du x z ρμμρ+∇∂∂+∇+∂∂-=312 (25) 矢量形式：()F u u p dt u d ρμμρ+∇∇+∇+-∇=312 (26) 三、不可压缩流体的N-S 方程连续性方程的基本推导原理就是，单元体流出、流入质量差等于该时间段内质量的变化。
原理是很简单的。
没有流入流出质量就不会变化，流入流出有了差值，说明单元体的质量变化了。
仍以x 方向为例。
左侧质量流速（一般的流速是体积流速，m/s,为了推到质量的变化需要引入质量流速，质量流速的定义就是单位时间内通过单位横截面的流体质量）为x u ρ，质量流速是位置的函数，因此在右侧面流出的质量流速为()dx xu u x x ∂∂+ρρ。
时间段dt 内流出、流入单元体的质量差为：()[]()dxdydzdt x u dydzdt u dydzdt dx x u u x x x x ∂∂=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+ρρρρ （27） 同理，改时间段dt 内y 方向，z 方向的流出流入质量差为：()dxdydzdt yu y ∂∂ρ （28）()dxdydzdt zu z ∂∂ρ （29） 因此，时间段dt 内单元体六面流出、流入的质量差为：()()()()()()dxdydzdtz u y u x u dxdydt z u dxdzdt y u dxdydt x u z y x z y x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ρρρρρρ （30）该时间段dt 内单元体质量的变化体现在密度随时间的变化上，开始时间密度为ρ，dt 时间末密度为dt t∂∂ρ。
质量的变化为：dxdydzdt tdxdydz dt t dxdydz ∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-ρρρρ （31） 根据质量守恒，（30）式等于（31）式，即()()()dxdydzdt t dxdydzdt z u y u x u z y x ∂∂-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂ρρρρ （32） 化简:()()()0=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂tz u y u x u z y x ρρρρ (33) ()0=∂∂+∇tu ρρ (34) 如果不可压缩流体，密度=0,tan =∂∂tt cons ρ，密度项可以提取出来，散度为： 0=∇u （34）将（34)式代入（26）式，不可压缩流体的N-S 方程为：F u p dtud ρμρ+∇+-∇=2 (35) 四、加速度项dtud 的处理 流动中，不仅不同位置的点具有不同的速度，就是在同一点，不同时刻速度也可能不同。
速度即时位置的函数也是时间的函数。
因此，加速度有两部分组成，迁移加速度和当地加速度。
以x 方向为例，加速度的表达式为：()dtdzz u dt y y u dt dx x u t u dt t z y x du a x x x x x x ∂∂+∂∂∂+∂∂+∂∂==,,, (36)式中，单位时间内，x(或y,或z ）方向的增量既是x 方向的加速度， 即：z y x u dtdzu dt dy u dt dx ===,, （37） 代入（36)式，y 方向，z 方向同理，得到不同方向的加速度为：z u u y u u x u u t u a z u u y u u x u u t u a z uu y u u x u u t u a zz z y z x z z yzy y y x y y x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=（38）矢量形式为:()u u tu dt u d a ∇+∂∂==(39) 将（39）式代入（26）式，可得最常见的N-S 方程形式：()F u p u u t uρμρ+∇+-∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇+∂∂2 (40)或可写为：()u u t u F u p ∇+∂∂=+∇+∇-21ρμρ（41）这篇论文主要研究在微血管的分叉处几何结构的血流动力学。
微血管又称毛细血管（capillary)是最细的血管、平均约为6-9m μ，分布最广，它是连接微动脉和微静脉的血管。
它们分支并相互吻合成网。
关闭薄，通透性强。
其功能是利用血液与组织之间进行物质交换。
血液是一种具有相当粘性的流体。
在正常情况下，血液的粘度系数是水的3-4倍。
由于血液是一种复杂的流体，既有液相(血浆)又有固相(血细胞等)，影响血液粘性的因素比较多。
在多数情况下，血液的粘度主要决定于血液中红细胞数。
每毫升血液中红细胞数愈多则粘度愈大。
贫血时红细胞减少，则血液粘度降低，而红细胞增多症的患者，血液粘度增加，血液在血管内流动，对血流的阻力是来自血液内部摩擦，即血液的粘度。
在整个心动周期中，主动脉中血流平均速度只有临界速度的一半，但在心缩开始时射血期内速度会超过临界速度。
剧烈运动时，心输出量增加4-5倍，心缩期间有较长的时期主动脉血流速度超过临界速度，出现湍流。
