容斥问题

三者容斥问题公式三者容斥问题是一种涉及三个集合的计数问题，它的基本思想是利用包含与排除原理，也叫容斥原理，来避免重复计数或漏算。

三者容斥问题有一个基本公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|这个公式的含义是，要求出三个集合的并集的元素个数，可以先分别求出每个集合的元素个数，然后减去两两相交的部分，因为这些部分被重复计算了，最后加上三个集合都相交的部分，因为这部分被多次减去了。

三者容斥问题的推导为了理解这个公式是如何推导出来的，我们可以用维恩图来进行说明。

如下图所示，我们用三个圆形来表示三个集合A、B、C，它们之间有七个不同的区域，分别用1、2、3、4、5、6、7来标记。

如果我们要求出三个集合的并集A∪B∪C，那么就相当于求出这七个区域的总和。

我们可以用下面的方法来计算：首先，我们可以求出每个集合自身的元素个数，即|A|=1+4+5+7，|B|=2+4+6+7，|C|=3+5+6+7。

如果我们把这三个数相加，就得到了1+4+5+7+2+4+6+7+3+5+6+7=63。

但是这个数显然大于A∪B∪C的元素个数，因为有些区域被重复计算了。

其次，我们可以看到两两相交的部分被重复计算了两次，即A∩B=4+7，B∩C=6+7，C∩A=5+7。

如果我们把这三个数相减，就可以消除重复计算的部分。

即63−4−7−6−7−5−7=27。

但是这个数又小于A∪B∪C的元素个数，因为有一个区域被多次减去了。

最后，我们可以看到三个集合都相交的部分被多次减去了，即A∩B∩C=7。

如果我们把这个数再加回来，就可以得到正确的结果。

即27+7=34。

综上所述，我们就得到了三者容斥问题的公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|三者容斥问题的应用三者容斥问题在实际生活中有很多应用场景，例如：统计某高校做有关碎片化学习的问卷调查结果²。

一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。

二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。

用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。

【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。

结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。

容斥原理问题经典例题在数学的世界里，容斥原理是一个非常实用且有趣的概念。

它帮助我们解决那些涉及多个集合相互交叉、重叠的计数问题。

下面，我们就通过几个经典例题来深入理解容斥原理。

例 1：在一个班级中，有 30 人喜欢数学，25 人喜欢语文，20 人喜欢英语，其中 10 人既喜欢数学又喜欢语文，8 人既喜欢数学又喜欢英语，6 人既喜欢语文又喜欢英语，还有 3 人这三门学科都喜欢。

请问这个班级中至少喜欢一门学科的有多少人？首先，我们分别计算喜欢数学、语文、英语的人数之和：30 ＋ 25 ＋ 20 ＝ 75 人。

但是，在这个计算过程中，我们把同时喜欢两门学科的人数多算了一次。

所以要减去重复计算的部分：既喜欢数学又喜欢语文的 10 人被多算了一次，既喜欢数学又喜欢英语的 8 人被多算了一次，既喜欢语文又喜欢英语的 6 人被多算了一次。

所以要减去：10 ＋ 8 ＋ 6 ＝ 24 人。

然而，这里又把同时喜欢三门学科的 3 人多减了两次。

所以要再加上 3 人。

综上，至少喜欢一门学科的人数为：75 24 ＋ 3 ＝ 54 人。

例 2：某学校组织学生参加课外活动，参加体育活动的有 120 人，参加文艺活动的有 90 人，参加科技活动的有 70 人。

其中，既参加体育活动又参加文艺活动的有 40 人，既参加体育活动又参加科技活动的有 30 人，既参加文艺活动又参加科技活动的有 20 人，三种活动都参加的有 10 人。

请问该校参加课外活动的学生共有多少人？我们先计算参加体育、文艺、科技活动的人数总和：120 ＋ 90 ＋70 ＝ 280 人。

然后减去重复计算的部分：既参加体育和文艺的 40 人多算了一次，既参加体育和科技的 30 人多算了一次，既参加文艺和科技的 20 人多算了一次，所以要减去：40 ＋ 30 ＋ 20 ＝ 90 人。

但这样又把三种活动都参加的 10 人多减了两次，所以要加上 10 人。

因此，参加课外活动的学生总数为：280 90 ＋ 10 ＝ 200 人。

第35周容斥问题专题简析:容斥问题涉及一个重要原理一一包含与排除原理，也叫容斥原理。

当两个计数部分有重复包含时，为了不重复地计数，应从它们的和中排除重复部分。

容斥原理:对n个事物，如果采用两种不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如右图所示),那么具有性质a或性质b的事物的个数是N a 十Nb- Nab。

例1：一个班有48人，班主任在班会上问“谁做完语文作业了?请举手！”有37人举手。

又问:“谁做完数学作业了?请举手!”有42人举手。

最后问“谁语文、数学作业都没有做完?“没有人举手。

求这个班语文、数学作业都完成的人数。

练习一：1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。

其中语文成绩优秀的有65 人，数学成绩优秀的有87 人。

语文、数学成绩都优秀的有多少人?2、四(1)班有54 人，订阅<小学生优秀作文》和(数学大世界)两种读物的有13 人，订《小学生优秀作文》的有45 人，每人至少订种读物。

订《数学大世界》》的有多少人?3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。

这个文艺组一共有多少人?例2：城中小学选出10名学生参加区作文和数学比赛，结果每人都获奖。

其中有3人两项比赛都获奖，作文比赛获奖的有5 人,求数学比赛获奖的有多少人?练习：1、一个班有55 名学生，他们分别订阅了《小学生数学报》和《中国少年报》。

其中订阅《小学生数学报》的有32 人,两种报纸都订阅的有15 人,求订阅《中国少年报》的有多少人?2、四(1)班有40 个学生,有19 人参加了数学和科技两个兴趣小组。

其中有11人两个小组都没参加，有25人参加数学小组，求有多少人参加了科技小组?3、在四年级96 个学生中调查会下中国象棋和围棋的人数。

调查结果显示:有78人会下中国象棋，有24 人两样都会，还有12人两样都不会。

求会下围棋的有多少人?例3：某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?练习：1、一个旅行社有36 人，其中会英语的有24 人,会法语的有18 人,两样都不会的有4 人。

行测容斥问题公式行测中的容斥问题可是个有趣的“家伙”，在考试中时不时就会冒出来，给咱们考生带来点小挑战。

咱们先来说说啥是容斥问题。

简单来讲，容斥问题就是研究集合之间重叠部分的情况。

比如说，一个班级里喜欢数学的有一部分同学，喜欢语文的有一部分同学，那么既喜欢数学又喜欢语文的同学有多少呢？这就是一个典型的容斥问题。

容斥问题有几个常用的公式。

两集合容斥公式：A∪B = A + B -A∩B。

这就好比有两个盒子，一个装苹果，一个装香蕉。

把两个盒子里的水果都放到一个大筐里，总数就是两个盒子里水果数的和，减去两个盒子里都有的那种水果（比如既是苹果又是香蕉的水果）。

再说说三集合容斥公式，标准型：A∪B∪C = A + B + C - A∩B -B∩C - C∩A + A∩B∩C 。

这个公式看起来有点复杂，其实就是把三个集合的数量加起来，然后减去两两重叠的部分，再把三个都重叠的部分加回来。

打个比方，咱就说班级里的兴趣小组，有数学小组、语文小组和英语小组。

数学小组有多少人，语文小组有多少人，英语小组有多少人，这都好算。

但是有些同学既参加了数学又参加了语文，有些既参加了语文又参加了英语，有些既参加了数学又参加了英语，还有些同学三个小组都参加了。

要算出班级里一共参加兴趣小组的人数，就得用这个公式。

还有个非标准型的三集合容斥公式：A∪B∪C = A + B + C - 只属于两个集合的 - 2×属于三个集合的。

这个公式呢，理解起来也不难。

还是拿兴趣小组举例，咱们先把三个小组的人数加起来，然后把重复算的只属于两个小组的人数减掉，但是属于三个小组的人数被多减了一次，所以要再加上两倍的属于三个小组的人数。

我记得之前有个学生，在做容斥问题的时候，那叫一个头疼。

题目是这样的：一个班级有 50 名同学，参加数学竞赛的有 25 人，参加语文竞赛的有20 人，其中有10 人既参加了数学竞赛又参加了语文竞赛，问班级里参加竞赛的总人数是多少。

一、两集合容斥问题两集合容斥问题根据能否直接套用公式，又可以细分为标准型(直接套公式)和非标准型(不能直接套公式)。

(一)标准型两集合容斥问题的公式：满足条件A的情况数+满足条件B的情况数-两者都满足的情况数=总的情况数-两者都不满足的情况数。

对于两集合的容斥问题，如果能用公式我们直接套公式。

解题技巧：两集合容斥问题关键是匹配题型，这也是很多同学头疼的地方。

如果出现了两者都或者两者都不，就考虑两集合的容斥问题;如果两者都，两者都不同时出现，则往往能直接套公式(满足标准型)。

【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。

同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人( )A.28人B.26人C.24人D.22人【答案】D【解析】题干中出现了同时参加两科竞赛，即出现了两者都，又出现了两科都没有参加，即出现了两者都不，综合考虑满足两集合标准型公式。

参加物理竞赛30人，数学竞赛32人，都未参加20人，总人数60人，设两个竞赛都参加的有x人，参加数学+参加物理-都参加的人数=总人数-都未参加，30+32-x=60-20，x=22。

选择D。

两集合标准型题型特征非常明显，难度不大。

为了增加难度，有时题目特征不明显，这就需要我们发现特征，解决问题。

【例2】一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都待在屋里。

期间，不下雨的天数是12天，他上午待在旅馆的天数为8天，下午待在旅馆的天数为12天，他在北京共待了( )A.16天B.20天C.22天D.24天【答案】A【解析】此题咋一看，没有出现两者都，两者都不这样的字眼，不符合两集合容斥问题的特征。

但细想此题出现了上午待在旅馆，下午待在旅馆，即出现了满足条件A,B，想到容斥问题。

同时题干中出现了不下雨，有不下雨自然就有下雨，下雨其实就是上下午都在旅馆，即出现了两者都，从而判断出是两集合的容斥问题。

容斥问题两个集合的公式容斥问题在我们的数学学习中可算是个有趣但又有点小“调皮”的家伙。

咱们今天就来好好聊聊容斥问题中两个集合的公式。

先给大家举个小例子哈。

比如说，在一个班级里，喜欢数学的同学有 20 个，喜欢语文的同学有 15 个，但是呢，其中有 5 个同学既喜欢数学又喜欢语文。

那到底喜欢数学或者喜欢语文的同学一共有多少个呢？这时候，咱们的容斥问题两个集合的公式就派上用场啦！这个公式就是：A∪B = A + B - A∩B 。

这里的 A 就好比是喜欢数学的同学的集合，B 就是喜欢语文的同学的集合，A∪B 表示喜欢数学或者喜欢语文的同学的集合，A∩B 就是既喜欢数学又喜欢语文的同学的集合。

把咱们刚才班级里的数字带进去算算，喜欢数学的同学（A）有 20 个，喜欢语文的同学（B）有 15 个，既喜欢数学又喜欢语文的同学（A∩B）有 5 个。

那喜欢数学或者喜欢语文的同学（A∪B）就等于 20 + 15 - 5 = 30 个。

是不是一下子就清楚啦！我之前在给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别可爱。

他一直皱着眉头，嘴里还嘟囔着：“老师，这也太复杂啦，我脑袋都要转不过来了！”我就笑着跟他说：“别着急，咱们慢慢来。

”然后我又给他举了个例子，比如说学校组织运动会，参加跑步比赛的同学有 18 个，参加跳远比赛的同学有 12 个，其中有 3 个同学既参加了跑步又参加了跳远。

那参加跑步或者跳远比赛的同学一共有多少个呢？我带着他一步步地用公式去计算，先确定 A 是参加跑步比赛的同学集合，有 18 个；B 是参加跳远比赛的同学集合，有 12 个；A∩B 是既参加跑步又参加跳远的同学集合，有 3 个。

然后用公式 A∪B = A + B - A∩B ，算出 18 + 12 - 3 = 27 个。

这小家伙眼睛一下子亮了，兴奋地说：“老师，我懂啦！原来这么简单！”其实啊，容斥问题的两个集合公式在生活中也有很多用处呢。

比如说，咱们去超市买水果，喜欢吃苹果的有 30 个人，喜欢吃香蕉的有 25 个人，两种都喜欢的有 10 个人。

数量关系容斥问题公式咱来聊聊数量关系里的容斥问题公式。

先说说啥是容斥问题，简单来讲，就是在一些集合的计算中，要考虑重叠部分，别重复计算也别漏算。

这容斥问题的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开解决这类问题的大门。

比如说，有个班级组织活动，喜欢语文的有 20 人，喜欢数学的有30 人，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 人。

那咱们怎么算这个班级喜欢语文或者数学的总人数呢？这就得用到容斥问题公式啦。

容斥问题的基本公式是：A∪B = A + B - A∩B 。

就拿刚才班级的例子来说，喜欢语文的是 A 集合，有 20 人；喜欢数学的是 B 集合，有30 人；既喜欢语文又喜欢数学的就是A∩B ，有 10 人。

那喜欢语文或者数学的总人数就是 20 + 30 - 10 = 40 人。

再复杂一点的，三个集合的容斥问题公式是：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 。

我之前遇到过这么个事儿，学校组织兴趣小组，有绘画组、音乐组和书法组。

参加绘画组的有 50 人，参加音乐组的有 60 人，参加书法组的有 40 人。

同时参加绘画组和音乐组的有 20 人，同时参加绘画组和书法组的有 15 人，同时参加音乐组和书法组的有 10 人，三个组都参加的有5 人。

那这时候，咱们用公式来算算参加兴趣小组的总人数。

绘画组是 A 集合，50 人；音乐组是 B 集合，60 人；书法组是 C 集合，40 人。

A∩B 就是同时参加绘画组和音乐组的 20 人，B∩C 是同时参加音乐组和书法组的 10 人，C∩A 是同时参加绘画组和书法组的 15 人，A∩B∩C 是三个组都参加的 5 人。

代入公式就是：50 + 60 + 40 - 20 - 10 - 15 + 5 = 100（人）所以，参加兴趣小组的总人数就是 100 人。

通过这些例子，是不是觉得容斥问题公式没那么难啦？其实啊，只要多做几道题，多琢磨琢磨，这公式就能被咱们用得得心应手。