第11讲 追及问题

追及问题学生/课程年级四年级学科数学授课教师日期时段11:00~11:40 核心内容相遇问题课型一对一/一对N教学目标1.理解总路程，相遇时间，速度和并熟记相遇问题中的四个常用公式2.会根据题意画出线段图，分析数量关系，从而解决实际问题重、难点重点：教学目标1.2 难点：教学目标2知识导图导学一：简单追及问题知识点讲解 1：求追及路程追及问题的基本运动模式是：同向运动的一慢一快的两个物体先有一段距离，由于后面的运动物体的速度快，因此在某一时刻追上前面的运动物体，这叫做追及问题。

追及路程：原来相隔的一段距离，追及时间：同时出发到追上，两运动物体所用的时间速度差：两运动物体各自速度的差（即每一个单位时间里追及的路程）追及问题的基本数量关系：（1）速度差×追及时间＝追及路程（路程差）（2）追及路程÷速度差＝追及时间（3）追及路程÷追及时间＝速度差（根据其中一个速度可以求另一个速度）例 1. 机灵兔和大角牛在两地同时同向而行，机灵兔在前，大角牛在后，机灵兔每小时走5千米，大角牛每小时走14千米，2小时后大角牛追上了机灵兔，问2小时前，大角牛和机灵兔相距多远？我爱展示1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，同向而行。

甲在前乙在后。

已知甲每分钟走50米，乙每分钟走70米，12分钟乙追上甲，A、B两地相距多远？2.甲、乙两车同时分别从A、B两地出发，同向而行，已知甲车在前，乙车在后，甲车的速度是50千米/时，乙车速度是80千米/时，3小时后乙车追上甲车，求A、B两地的距离。

知识点讲解 2：求追及时间例 1. A、B两地相距18千米，甲从A地，乙从B地同时出发同向而行，甲每小时行5千米，乙每小时行2千米，甲经过几小时追上乙？例 2. 黄艳以75米/分的速度步行去县城，出发1小时后，陆军以575米/分的速度从同一地点出发沿同一条路线去追黄艳。

追上时，黄艳还没到县城，求陆军出发后几分钟追上黄艳？我爱展示1.甲、乙两人相距150米，甲在前乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？2.哥哥以80米/分的速度步行放学回家，12分钟后弟弟以200米/分的速度骑自行车从同一学校放学回家，追上时哥哥还没到家。

小学数学《追及问题》追及问题[含义]两个运动物体在不同地点同时出发(或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发)作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类叫追及问题。

[数量关系] 追及时间=追及路程÷(快速-慢速)追及路程=(快速-慢速)x追及时间速度差=追及路程÷追及时间[解题思路和方法]简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1：好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?解：（1）劣马先走12天能走多少千米? 75x12=900(千米)（2）好马几天追上劣马? 900÷(120-75)=20(天)列成综合算式75x12÷(120-75)=900÷45=20(天)答:好马20天能追上劣马。

例2：小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。

小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解：小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了(500-200)米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。

又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40x(500÷200)]秒，所以小亮的速度是(500-200)÷[40x(500÷200)]=300÷100=3(米)答:小亮的速度是每秒3米。

练习题1.一辆汽车和一辆摩托车同时从甲、乙两地出发，向同一方向前进，摩托车在前，每小时行驶25千米，汽车在后，每小时行驶60千米，经过4小时汽车追上摩托车。

求甲、乙两地相距多少千米?2.一列慢车在前，速度是50千米/小时，快车在后，速度是70千米/小时，2小时后快车追上了慢车，那么原来快车和慢车相距多少千米?3.甲、乙两人分别从相距24千米的两地同时向东行驶，甲骑自行车每小时行驶13 千米，乙步行每小时走5千米，几小时后甲可以追上乙?4.一辆大客车和一辆小轿车从相距100千米的两地同时出发，同向而行，大客车在前，每小时行驶40千米，小轿车在后，每小时行驶60千米，经过几小时后两车第一次相距40千米?5.旭旭家和曼曼家在同一个胡同里相距900米，一天两人同时出发去学校。

七年级上册数学追及问题追及问题在数学中是一个常见的问题，通常涉及到两个或多个物体之间的相对运动。

在七年级上册的数学中，追及问题可能涉及到速度、时间和距离等概念。

1. 定义问题：追及问题通常涉及两个物体或个体，其中一个是追赶另一个。

我们需要找出追赶者需要多长时间才能追上被追者。

2. 定义变量：假设追赶者的速度为v1 米/秒，被追者的速度为v2 米/秒。

假设两者之间的初始距离为d 米。

3. 建立数学模型：追赶者要追上被追者，需要走的距离是被追者走的距离加上初始距离，即d + v2t = v1t。

其中，t 是时间（秒）。

4. 解方程：从上面的方程我们可以解出t = (d + v2t) / v1。

如果v1 > v2，那么追赶者会追上被追者。

如果v1 < v2，那么追赶者永远追不上被追者。

例题解析：例题1：小明和小强在操场上跑步，小明的速度是6米/秒，小强的速度是4米/秒。

他们之间的初始距离是20米。

小明要多长时间才能追上小强？根据上面的数学模型，我们可以建立方程：d + v2t = v1t => 20 + 4t = 6t => 2t = 20 => t = 10秒。

答：小明需要10秒才能追上小强。

例题2：一列火车以100公里/小时的速度行驶，前方有一座桥，长度为500米。

火车司机发现前方有一个人以5公里/小时的速度行走，火车司机应该如何操作才能避免撞到这个人？首先，我们要计算火车司机需要多长时间才能完全通过桥。

这段时间是桥的长度除以火车的速度，即500米/100公里/小时= 5分钟。

其次，我们要考虑这个人在这5分钟内能够走多远。

这个人每分钟走5公里/小时= 5/60 = 1/12公里，所以5分钟内这个人能走5/12公里。

最后，如果火车司机在5分钟内保持100公里/小时的速度行驶，那么火车将走100公里/小时5分钟= 5公里。

这意味着火车司机需要保持至少5公里的距离才能避免撞到这个人。

第十一讲稍复杂的相遇和追及问题知识要点行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型（计算、数论、几何、行程）之一，在历年各类小学奥数竞赛试题中都占有很大的比重，具体题型变化多样，形成十多种题型，都有各自相对独特的解题方法。

同时也是小学奥数专题中的难点，较复杂的行程问题经常作为试卷中的压轴难题出现。

行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，所有行程问题都是围绕“路程=速度×时间”这一基本关系式展开的。

本讲主要涉及两大典型行程题——相遇问题和追及问题，在学习时需多注意从“简单”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用。

教学课时：两课时教学目标：1.使学生掌握通过画线段图分析二次相遇问题的整体数量关系2.使学生学会读题，能够透过现象看到条件的本质，找到个体的对应三个量之间的关系。

3、培养学生主动挖掘条件本质的能力，提高解决实际问题的信心。

教学重难点：通过审题，能够从整体找出所有运动人三量之间的关系，同时从局部找到每一个运动人自己三两之间的关系。

教具准备：动画展示。

本周通知：教学过程：1、故事导入师：相信“龟兔赛跑”的故事同学们都听过吧！最终谁是获胜者？生：乌龟~~~（这里老师也可以请一位同学来将这个故事，作为引入）师：据了解兔子每分钟大约能跑400米，乌龟每分钟大约只能跑5米。

被公认为赛跑高手的兔子怎么会输给乌龟的呢？生：因为兔子在比赛过程中睡着了~O(∩_∩)O哈哈~师：没错~~根据老师的调查，途中乌龟和兔子相遇了一次，兔子正呼呼大睡，乌龟见了差点笑出声来，不过它还是忍住了，否则，惊醒了兔子，相信结果就不会是这样的了！最终，乌龟比兔子早2分钟行完了2000米的全程，获得了胜利。

兔子先生特别懊恼，关在家里不停地计算自己到底睡了多长时间，可是始终没有答案。

在座的各位同学，你们能不能帮帮他？生：想要帮助他，但是。

我也不会计算。

追及问题的公式。

追及问题可是咱们数学里挺有趣的一部分呢！说到追及问题的公式，那咱们可得好好说道说道。

先来说说啥是追及问题。

想象一下，小明在前面跑，小红在后面追，这就是追及问题的一个简单场景。

比如，小明每分钟跑 200 米，小红每分钟跑 250 米，一开始小明在小红前面 500 米的地方，那小红多久能追上小明呢？这就得用到咱们的追及问题公式啦。

追及问题的基本公式是：追及时间 = 路程差 ÷速度差。

就拿刚刚小明和小红的例子来说，路程差就是一开始小明领先小红的 500 米，速度差就是小红每分钟比小明多跑的 50 米（250 - 200 = 50），那追及时间就是 500 ÷ 50 = 10 分钟，也就是说小红 10 分钟能追上小明。

我记得之前给学生们讲这个知识点的时候，有个特别有趣的事儿。

当时我在黑板上写下了一道追及问题的例题，然后问同学们谁能上来解答一下。

结果平时特别调皮的小李居然主动举手了，我心里还挺惊讶。

他走上讲台，拿起粉笔就开始写，可是写着写着就卡壳了，站在那抓耳挠腮的，特别可爱。

下面的同学们都忍不住笑了起来，他自己也不好意思地挠挠头。

我就引导着他，一步一步地分析题目，告诉他先找出路程差和速度差，最后算出追及时间。

当他终于算出正确答案的时候，那脸上的得意劲儿，别提多有趣了。

从那以后，小李对这类问题可上心了，每次遇到追及问题都能又快又准地做出来。

咱们再深入点说，追及问题可不只是简单的两个人跑步。

比如两辆汽车在公路上行驶，一艘快艇在水面上追赶另一艘，甚至是两架飞机在天空中追逐，都能用到追及问题的公式。

还有一种情况，就是环形跑道上的追及。

假设跑道一圈是 400 米，甲的速度快，乙的速度慢，甲在乙后面 100 米的地方，那他们什么时候能相遇呢？这时候还是用咱们的公式，路程差就变成了 300 米（400 - 100），速度差还是甲乙的速度之差，算出追及时间就知道什么时候能追上啦。

在实际生活中，追及问题也很常见呢。

追及问题的解题技巧和实例追及问题是初中数学中的一个重要概念，它涉及到时间、距离和速度等多个方面。

在解决这类问题时，我们需要掌握一些技巧和方法，才能够快速准确地解题。

本文将从以下几个方面介绍追及问题的解题技巧和实例。

一、基本概念在学习追及问题之前，我们需要了解一些基本概念。

首先是速度的概念。

速度指的是单位时间内所走过的路程，通常用公里/小时或米/秒来表示。

其次是时间的概念。

时间指的是某个事件发生所经过的时长，通常用小时、分钟或秒来表示。

最后是距离的概念。

距离指的是两点之间的长度或者路程，通常用公里或者米来表示。

二、解题思路在解决追及问题时，我们需要掌握以下几个步骤：1.明确问题首先要明确问题中给出了哪些信息，需要求哪些未知量。

2.列出方程根据已知信息和未知量之间的关系，列出方程式。

3.求解方程通过代数运算求出未知量。

4.检验答案将得到的答案代入原方程式中检验是否正确。

三、实例解析下面通过几个实例来详细介绍追及问题的解题技巧。

例1：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行。

甲车速度为40km/h，乙车速度为60km/h。

当两车相距60km时，甲车司机发现自己的轮胎有问题，于是停下来换轮胎。

换完轮胎后，甲车以50km/h的速度重新出发。

问甲、乙两车何时相遇？解题思路：首先明确问题需要求出的未知量是两车相遇所需的时间。

由于甲、乙两车是相向而行的，因此它们之间的距离会不断缩短，最终相遇在某一点上。

根据追及问题的基本公式：S=V×t（其中S表示距离，V表示速度，t 表示时间），我们可以列出以下方程：40t+60t=60其中40t表示甲车行驶的距离，60t表示乙车行驶的距离。

当两者之和等于60时，即表示它们相遇了。

将上述方程化简得到：100t=60因此，t=0.6h也就是说，在0.6小时后，甲、乙两车会相遇。

例2：甲、乙两人从A、B两地同时出发，相向而行。

甲的速度是6km/h，乙的速度是4km/h。

第十一讲追及问题1、一艘快艇和一艘轮船分别从A、B两地同向出发到C地去，快艇在后，每小时行42千米，轮船每小时行34千米，2.5小时后同时到C地，A、B两地相距多少千米？（42-34）×2.5=20（千米）2、小明以每分钟50米的速度从学校步行回家，12分钟后小强从学校出发骑自行车去追小明，结果距学校1000米追上小明。

小强骑自行车每分钟行多少米？12×50=600（米）1000-600=400（米）400÷50=8（分）1000÷8=125（米）3、甲厂有原料120吨，乙厂有原料96吨，甲厂每天用15吨，乙厂每天用9吨，多少天两厂剩下的原料一样多？（120-96）÷（15-9）=4（天）4、两地相距900千米，甲走需15天，乙走需12天。

现在甲先出发2天，乙去追甲。

问要走多少千米才可追上？甲：900÷15=60（千米/天）乙：900÷12=75（千米/天）60×2÷（75-60）=8（天）75×8=600（千米）5、甲轮船以每小时平均16千米的速度由一码头出发，经过3小时，乙轮船也由同一码头按照同一方向出发，再经过12小时追上甲轮船。

求乙轮船的速度。

16×3=48（千米）48÷12=4（千米）4+16=20（千米/时）6、甲每分钟走65米，乙每分钟走45米，甲乙两人同时从同一地点背向走了5分钟，甲掉头去追乙，多少分钟可以追上？5×（65+45）=550（米）550÷（65-45）=27.5（分）7、甲、乙二人同时骑自行车从学校出发，同方向前进。

甲每小时行15千米，乙每小时行10千米，出发半小时后，甲因事返回学校，在学校停留1小时后动身追乙，再过几小时甲能追上乙？10×1+10×1=20（千米）20÷（15-10）=4（小时）8、姐姐从家上学校，每分钟走50米，妹妹从学校回家，每分钟走45米，妹妹比姐姐先动身5分钟，那么姐妹两人同时到达目的地。

一、教学目标:【你知道吗】1、追及问题也是行程问题中的一种情况。

这类应用题的特点是：①两个物体同时同一方向运动；②出发的地点不同（或从同一地点不同时出发，向同一方向运动）；追及路程=路程差=两个物体之间相距的路程追及速度=速度差=快的速度-慢的速度慢的物体追上快的物体的所用的时间为追及时间③慢者在前，快者在后，因而快者离慢者越来越近，最后终于可以追上。

2、相关的关系式：追及路程=速度差×追及时间速度差=追及路程÷追及时间追及时间=追及路程÷速度差二、教学内容：【经典例题】例1、蓝猫骑自行车以每分钟35米的速度从A地向前骑，白猫步行以每分钟40米的速度从距蓝猫后方20米的地方向前走，经过多少分钟白猫可追上蓝猫？例2、一辆摩托车上午8点从甲镇向乙镇方向开出，每小时行45千米，同时有一辆汽车从乙镇向同一方向开出，每小时行30千米，中午12点摩托车追上汽车。

问甲镇和乙镇之间的距离是多少千米？例3、环形跑道周长400米，甲、乙两名运动员同时顺时针从起点出发，甲速度400米/分，乙速度375米/分，几分钟甲、乙再次相遇？例4、淼淼、小利两人同时从邦德出发相背而行，淼淼每分钟走50米，小利每分钟走60米。

5分钟后，小利因事转身去追淼淼，多久可以追上？例5、一队士兵要从A基地步行前往B基地进行集训，前进速度为每分钟70米，出发后半小时后，通讯兵要返回A基地送一份很重要的文件，他以每分钟140米的速度返回后立即去追赶队伍，多久可以追上？例6、小明坐车从甲城到乙城，如果汽车的速度是24千米/小时，他将于下午1点到达乙城；如果汽车以每小时40千米的速度，他将于上午11点到达乙城；如果小明想在中午12点到达乙城，那么，这列火车应以怎样的速度行驶？【尖子训练营】1、填空。

（1）追及问题是问题中的一种情况，这类应用题的特点是：①两个物体（或人）同同运动；②在前，在后。

③出发的地点，（或从同一地点出发，向同一方向运动）（2）快者比慢者多走的路程（或者慢者先走的路程）叫（或者路程差）。

追及问题教学课件两物体在同向来线或者封闭图形上运动所涉及的追及、相遇问题，通常归为追及问题。

追及问题教学课件 1知识与技能1.借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题,进一步掌握列方程解应用题的步骤.2.能充分利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题.过程与方法1.培养学生分析问题、解决问题的能力,进一步体味方程模型的作用,提高学生应用数学的意识.2.培养学生文字语言、图形语言、符号语言这三种语言转换的能力.情感、态度与价值观1.通过开放性的问题,为学生提供思维的空间,从而培养学生的创新意识、团队精神和克服艰难的勇气.2. 体验生活中数学的应用与价值,感受数学来源于生活,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣.教学重点会借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系.教学难点1.怎样寻觅等量关系.2. 三种语言的转换.教学关键1. 使学生初步学会画“线段图”.2 .通过对具体问题情境的分析,准确的确定等量关系.教学方法自主探索、启示引导.教学手段多媒体教学.教学过程一、创设情景引入教学:1、情景设置:五年级学生组织一次社会考察活动,小巧早上从家走了一段路后,是她的爸爸发现她把考察表忘在家里,并即将追她给她送考察表.同学们,你们想一想最后会怎样?2、引出课题:追及问题3、回顾行程问题涉及的量及列方程解应用题的步骤二、解决问题深化认识:1、出示例题:小巧今天早上要在 7:50 之前赶到距家 1000 米的学校坐车去参加社会考察活动.小巧以 80 米/分的速度出发,5 分后,她的爸爸发现她忘了带考察表.于是,爸爸即将以 160 米/分的速度去追小巧,并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多长期?⑴学生尝试解答,并说出自己的思量过程。

*速度差×追及时间=相距路程*爸爸的走的总路程=小巧走的总路程⑵画线段图,验证你的思量是否正确?⑶如果我们把小巧和小巧爸爸相距的距离用 s 表示,小巧走的慢, 我们把她的速度用V 慢表示,小巧爸爸的速度用V 快表示,追及时间为 t,那末小巧走的路程用?表示;爸爸走的路程用?表示;(在线段图上表示出来)这几个量之间有什么关系呢?V 快 t- V 慢 t = s.V 快 t = s+ V 慢 t.V 快 t- s = V 慢 t其实这是同一个等量关系的不同变式.如何用语言叙述呢?(追及的路程就是两人的路程差)2、小结:黑板上的内容是追及问题的三种不同表示方法即文字表示;符号表示;图形表示.希翼同学灵便掌握,会进行三种语言的转换.3、变式 ,巩固三种语言的转换:变式 1:小巧今天早上要在 7:50 之前赶到距家 1000 米的学校坐车去参加社会考察活动.小巧以 80 米/分的速度出发,5 分后,她的爸爸发现她忘了带考察表.于是,爸爸即将追小巧,5 分钟后在途中追上了他.爸爸追小巧的速度是多少?* 学生审题,在小组内分工合作,找到的等量关系式,字母表达式, 并用线段图验证* 交流变式 2:小巧今天早上要在 7:50 之前赶到距家 1000 米的学校坐车去参加社会考察活动.小巧以 80 米/分的速度出发,过后,她的爸爸发现她忘了带考察表.于是,爸爸即将以 160 米/分的速度去追小明,5 分钟后在途中追上了他. (学生提问)小巧走多远后,爸爸才开始追的?小巧走多久后,爸爸才开始追的?*学生独立解答,并交流三、巩固认知提高能力:1、基础练习:数学书p 51,例 2,及试一试2、盐仓小学五年级学生步行到郊外旅行(1)班学生组成前队, 步行速度为4 千米/时,(2)班学生组成后队,速度为 6 千米/时.前队出发一小时后,后队才出发,同时后队派一位联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络,他骑车的速度为 12 千米/时.* 有问题吗?以小组为单位进行讨论,你们小组所提出的问题,并解答.* 将问题问题罗列,有选择的进行解答。