5.2二次函数的图像和性质单元建构

5.2二次函数的图像与性质(4)盐城市初级中学 杜爱英教学目标：1、会用描点法画出二次函数2()y a x m k =++的图像，知道二次函数2()y a x m k =++的图像与二次函数2ax y =、()2m x a y +=、k ax y +=2的图像的平移关系；2、经历探索与归纳，从特殊到一般，能够总结出二次函数2()y a x m k =++的图像的性质；3、在活动探究过程中，培养学生自主学习和合作学习的意识，发展学生的思维能力和语言表达能力.重点：知道二次函数2()y a x m k =++的图像与2ax y =、()2m x a y +=、k ax y +=2的图像的平移关系，并能够总结出二次函数2()y a x m k =++的图像的性质. 难点：探究并归纳二次函数2()y a x m k =++的图像的性质. 【学习过程】 一、情景创设对于二次函数2)1(2++=x y 、212—）——（x y =，同学们想有哪些新的认识？（设计意图：让学生从二次函数形式上面观察出与前面二次函数的形式不同，观察出是形如2()y a x m k =++的二次函数，针对新形式的二次函数，激发学生求知欲，让学生说出想探究的新知内容，体现学生的学习主动性） 二、探索活动活动一： 画二次函数2)1(2++=x y 、212—）——（x y =的图像活动要求：每个小组分别画出2)1(2++=x y 、 212—）——（x y =的图像（设计意图：通过学生小组合作画图，让学生相互交流取点的方法，体现出最优方法） （1）同学们能说出所画的二次函数的图像的性质吗？（设计意图：学生通过观察自己所画的图像，得到图像的性质，为接下来归纳出二次函数2()y a x m k =++的图像的性质做铺垫）（2）请小组内合作，归纳出二次函数2()y a x m k =++的图像的性质.二次函数2()y a x m k =++的图像与性质，体现学生学习的主动性，培养学生合作学习的意识，发展学生的思维能力和语言表达能力）（3）结合前面所学习的二次函数的图像，同学们能说出相应的平移关系吗？（设计意图:利用课件展示图像之间的平移关系，学生说出平移的方式，学生及时补充，为 归纳二次函数2()y a x m k =++的图像与2ax y =、()2m x a y +=、k ax y +=2的图像的平 移关系做铺垫）（4）通过刚才特殊的二次函数的平移关系，对于二次函数2()y a x m k =++的图像，可以通过前面所学的哪些类型的二次函数的图像平移得到？（设计意图:有特殊的二次函数的图像之间的平移关系，让学生归纳出2()y a x m k =++的图像与2ax y =、()2m x a y +=、k ax y +=2的图像的平移关系，体现学生学习的主动性） 活动二：设计问题活动要求：1、请每个小组针对形如2()y a x m k =++的二次函数， 设计出能够利用今天所学的知识解决的问题； 2、设计的问题类型不重复；3、组长将小组内提出的问题择优收集起来.（设计意图:由每个小组自主出题选题，培养学生应用知识与整合知识的能力，每个小组的题型多样，改变以往的就题讲题的形式，培养学生的自主学习意识，每个小组交替解决问题，并对对方的回答给予及时评价，培养小组与小组之间的竞争意识） 三、课堂检测1、若把函数252-=x y 的图像先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，则得到的新的函数表达式为 .2、填表（设计意图: 进一步巩固学生课堂所学知识，并及时评价） 四、课堂小结通过本节课的学习，同学们有什么收获？ 五、布置作业。

学习目标：1.经历探索二次函数y=ax2+k(a≠0)，y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质的过程；2.能够理解函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系，知道a、h对二次函数的图象的影响；3.能正确说出函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2的图象的性质.教学过程：一、探索二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质。

(2)在下图的直角坐标系中，描点并画出函数2y x=和21y x=+的图象；2.思考：函数y=x2+1的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）相同自变量的值所对应的两个函数值有何关系？（3）从点的位置看，函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？3.归纳：图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+ k (a≠0)的图象形状，只是位置不同；当k >0时，函数y=ax2+ k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到；当k〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。

二、探索二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质：1.操作：在上图右边直角坐标系中，描点并画出函数y=(x+3)2的图象；2.思考：函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系?（3）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?3.结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小.4.①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?三、例题：1.函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到；y=4x 2-11的图象可由 y=4x 2的图象向 平移 个单位得到。

二次函数的性质之对称教学目标：（1） 进一步深化理解二次函数图像抛物线的对称性，并学会利用其对称性解决相关问题。

（2） 在探究抛物线对称性问题的过程中，培养学生数形结合思想和函数、方程思想。

教学重点：掌握抛物线的对称性的特点，并灵活运用此性质解决问题。

教学过程：引例：一门迫击炮炮弹的飞行高度y 与飞行时间t 满足二次函数关系，若发射后5秒爆炸，则问何时炮弹飞行弹道最高点？抛一个小球后1.1秒后达到最高点，如果间隔1秒同样抛第二个小球，试问从抛第一个小球开始计时何时两球高度相同？一 二次函数图像抛物线是轴对称图形。

对称轴可以表示为（1）2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线2b x a =-（2）2()(0)y a x h k a =-+≠的对称轴为直线 x h = 导出结论（3）12()()(0)y a x x x x a =--≠的对称轴为直线122x x x +=二 探究二次函数图像抛物线上对称点的性质与条件抛物线上任一对对称点A 、B ，点A 在B 的左侧（A x < B x ）① 离对称轴距离相等 ⇔ A 、B 为对称点 ⇔ 纵坐标相等（B A x h h x -=-即2A B x x h += ） （A B y y =） ② 开口向上的抛物线上离对称轴较近的点其纵坐标较小；开口向下的抛物线上离对称轴较远的点其纵坐标较小。

三 基础题型演练：（1）2112y x x =-+ 的对称轴为直线 1x = ；2(1)3y x =-++的对称轴为直线 1x =- ；4(1)(3)y x x =-+的对称轴为直线 1x =-（2）如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为直线 2x = ． （3）如图是二次函数y =ax 2+bx +c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，方程ax 2+bx +c =0的根是31x x ==-或 ．（4）如图，已知抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为x =2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为 （4,3） ．（5）已知点A （4，y 1），B （，y 2），C （-2，y 3）都在二次函数y =（x -2）2-m 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为2y <1y <3y （2） (4) （3）（6）已知抛物线y =ax 2+2ax +m （a <0）经过点（-4，y 1）、（-2，y 2），（1，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系是 1y <3y <2y四 重点例题提升例1：已知点A （x 1，5），B （x 2，5），（x 1≠x 2）都在抛物线y =a （x -2）2+3上，则x 1+x 2= ______ ，当x =时，y = ______ ．变式训练：若x m = 或x n =时（m n ≠ ），代数式223x x -+ 的值相等，求当x m n =+时代数式223x x -+的值。

课题：5.2二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象和性质（1）【自主学习】 想一想:1. 二次函数y=ax 2(a≠0) 的图象叫做 ；图象关于 轴对称，顶点坐标为 。

2. 二次函数y=ax 2(a≠0) 的图象的开口方向与什么相关？3. 在二次函数y=ax 2(a≠0)中，当a>0时，函数值y 随x 的增大有着怎样的变化？练一练:用描点法在第一个直角坐标系中画出二次函数 2x y =和212y x =的图像，在第二个直角坐标系中画2x y -=和212y x =-图像1x… … 2x y =…… 2x y -= … (2)12y x =... (212)y x =- ……2【新知归纳】【例题教学】 例1.（1）函数223y x =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； 当x= 时，y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而减小。

（2） 函数214y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； 当x= 时，y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的减小而减小。

例2.已知二次函数2y ax =的图象经过点 P(2，-2)和Q （b ，-1）, (1) 求a 、b 的值(2) 画出该函数的大致图象(3) 判断A （4，-4）、B （3，-4.5）是否在此函数图像上(4) 若点M （-1，m ），N （-2，n ）在该函数图像上，试比较m,n 的大小。

【课堂检测】抛物线y=ax 2二次项系数 开口方向 最值 对称轴 顶点坐标 增减性a ﹥0a ﹤0yx123456789-1-2-3-4-5-6-7-8-9123456789-1-2-3-4-5-6-7-8-9o1. 函数22y x =的对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的右侧y 随x 的增大而 ，当x= 时，函数y 有最 值，是 .2.函数y=3x 2与函数y=-3x 2的图象的形状 ，但 不同.3.给出以下函数：①y=2x ；②y=-2x+1；③y ＝2x(x ＞0)；④y=x 2（x ＜-1），其中y 随x 的增大而减小的函数是 。

二次函数的图像和性质（单元整体建构）教学目标：1. 类比一次函数来研究二次函数的图像，会用描点法画二次函数的图像；2. 观察二次函数的图像初步认识二次函数的性质：形状、开口方向、对称轴、顶点坐标；3. 从“坐标的数值变化”与“图形的位置变化”着手，用平移来解释二次函数y =ax 2+k 、y =a(x +h)2、y =a(x +h)2+k 的图像与二次函数y =ax 2的图像的位置关系；4. 感受数形结合的思想方法；体验由简单到复杂、特殊到一般的研究方法；提高观察和分析问题的能力。

教学重点：掌握探究二次函数图像和性质的方法，自主探究，单元整体建构 教学难点：探究的方法；分析数据，探究图像间的变换 教学过程： 一、前置学习研究一次函数y 1＝2x 与y 2＝2x ＋3的关系：研究一次函数y 1＝2x 与y 2＝2（x －1）的关系 ：二、复习导入：上课时我们学习了二次函数的定义，二次函数是继一次函数、反比例函数后的又一类函数。

请你判断一下下列函数是什么函数？①y =2x ②y =2x +3 ③y =2(x −1) ④ y =−5x⑤y =x 2 ⑥y =x 2+2 ⑦y =(x −1)2 ⑧y =x 2−2x +3一次函数y =kx +b(k ≠0),反比例函数，二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0).（板书）学习一次函数时我们学习了定义后就研究了它的图像和性质，那二次函数也是如此，类比一次函数来学习.（板书：类比）这节课我们就一起来探究二次函数的图像和性质.怎么来研究呢？（类比一次函数）我们一起来回顾一下一次函数的图像和性质是如何研究的：微课：1.研究一次函数y =kx +b(k ≠0),先研究当b =0时的正比例函数y =kx(k ≠0). 2.它的图像,通过描点法：先确定自变量的取值范围为一切实数 ,列表；描点；再按照横坐标从小到大的顺序，用平滑的曲线将各点顺次连接起来。

发现是一条直线。

二次函数的性质及图像分析引言：二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的性质及图像分析，帮助读者更好地理解和应用二次函数。

一、二次函数的定义与一般形式二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，a决定了二次函数的开口方向和开口的大小，b决定了二次函数的对称轴位置，c决定了二次函数的纵轴截距。

二、二次函数的图像特点1. 开口方向：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。

2. 对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。

3. 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，即使y=0的解，可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0得到。

4. 极值点：当二次函数开口向上时，函数的最小值称为极值点；当二次函数开口向下时，函数的最大值称为极值点。

5. 函数增减性：二次函数的增减性与a的正负有关，当a>0时，二次函数在对称轴两侧递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧递减。

三、二次函数图像的分析与应用1. 开口方向的影响：二次函数的开口方向决定了函数的增减性和极值点的位置。

在实际问题中，可以通过二次函数的开口方向来判断某一现象的趋势，例如物体的抛射运动中，开口向上的二次函数可以表示物体上升的高度，开口向下的二次函数可以表示物体下降的高度。

2. 对称轴的作用：二次函数的对称轴决定了函数图像的对称性。

在实际问题中，对称轴可以帮助我们找到函数图像的关键点，例如求解二次函数的最值、求解二次函数与其他图像的交点等。

3. 零点的意义：二次函数的零点表示函数与x轴的交点，即函数的解。

在实际问题中，零点可以帮助我们求解方程，解决实际问题，例如求解二次方程来确定某一物体的位置、时间等。

4. 极值点的应用：二次函数的极值点表示函数的最值，可以帮助我们求解最优解问题。

在实际问题中，可以通过求解二次函数的极值点来确定某一问题的最优解，例如求解最短路径、最大利润等。