2015年深圳市一模文科数学试题答案及评分标准 (纯word版)

广东省深圳市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）A．φB．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5}2．（5分）i是虚数单位，复数i2（i﹣1）的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．（5分）在四边形ABCD中，“=+”是“ABCD是平行四边形”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0 D．a＞1，﹣1＜b＜05．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则x+2y的最大值为（）A．3 B．3 C．4 D．56．（5分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积为（）A．B．2 C．2D．27．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．28．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，点P在C上，若PF1⊥F1F2，且PF1=F1F2，则C的离心率是（）A．﹣1 B．C．+1 D．﹣19．（5分）函数f（x）=x+在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1] C．（0，1] D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设点M与曲线C i上任意一点距离的最小值为d i（i=1，2），若d1＜d2，则称C1比C2更靠近点M，下列为假命题的是（）A．C1：x=0比C2：y=0更靠近M（1，﹣2）B．C1：y=e x比C2：xy=1更靠近M（0，0）C．若C1：（x﹣2）2+y2=1比C2：x2+（y﹣2）2=1更靠近点M（m，2m），则m＞0D．若m＞1，则C1：y2=4x比C2：x﹣y+m=0更靠近点M（1，0）二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分满分15分．本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答．11．（5分）已知函数f（x）=，则f+f（﹣2015）=．12．（5分）将容量为n的样本中的数据分成5组，绘制频率分布直方图．若第1至第5个长方形的面积之比3：4：5：2：1，且最后两组数据的频数之和等于15，则n等于．13．（5分）执行如图的程序框图，则输出S的值为．三.选做题：第14、15题为选做题（坐标系与参数方程）14．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρcosθ=3的距离等于．（几何证明选讲选做题）15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为．三、解答题16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求f（）的值；（2）若f（x0）=，且x0∈（，），求sin2x0的值．17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了AQI实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数（2）现从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式确定6个城市，省环保部门再从中随机选取2个城市组织专家进行调研，则选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的概率是多少？18．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧SBC是正三角形，点E是SB的中点，且AE⊥平面ABC．（1）证明：SD∥平面ACE；（2）若AB⊥AS，BC=2，求点S到平面ABC的距离．19．（14分）已知各项为正的等差数列{a n}的公差为d=1，且+=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=λ，a n+1b n+1+a n b n=（﹣1）n+1（n∈N），是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（14分）如图，A，B分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右顶点，F为其右焦点，2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ 垂直于AP，并交直线l于点Q．证明：Q，P，B三点共线．21．（14分）已知a，b∈R，函数f（x）=（ax+2）lnx，g（x）=bx2+4x﹣5，且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处有相同的切线．（1）求a，b的值；（2）（2）证明：当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方；（3）当x∈（0，k]时，不等式（2k+1）f（x）≤（2x+1）g（x）恒成立，求实数k的取值范围．广东省深圳市2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，则∁U A=（）A．φB．{0，2} C．{1，5} D．{2，0，1，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据集合的补集的定义求出A的补集即可．解答：解：∵集合U={2，0，1，5}，集合A={0，2}，∴∁U A={1，5}，故选：C．点评：本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．（5分）i是虚数单位，复数i2（i﹣1）的虚部是（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．解答：解：∵i2（i﹣1）=（﹣1）×（i﹣1）=1﹣i．∴复数i2（i﹣1）的虚部是﹣1．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）在四边形ABCD中，“=+”是“ABCD是平行四边形”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的应用即可得到结论．解答：解：若在四边形ABCD中，若=+，则由向量加法加法的平行四边形法则知，线段AC是以AB、AD为邻边的平行四边形的对角线，则四边形ABCD是平行四边形，反之，若ABCD是平行四边形，则根据向量的四边形法则可得=+，故“=+”是“ABCD是平行四边形”的充要条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行四边形法则是解决本题的关键．4．（5分）若函数y=a x+b的部分图象如图所示，则（）A．0＜a＜1，﹣1＜b＜0 B．0＜a＜1，0＜b＜1 C．a＞1，﹣1＜b＜0 D．a＞1，﹣1＜b＜0考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据指数函数的图象和性质即可判断解答：解：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1，因为函数y=a x的图象过定点（0，1），函数y=a x+b的图象过定点（0，b），∴﹣1＜b＜0，故选：A．点评：本题主要考查函数图象的应用，利用函数过定点是解决本题的关键．5．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则x+2y的最大值为（）A．3 B．3 C．4 D．5考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点C时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即C（1，2），此时z的最大值为z=1+2×2=5，故选：D点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．6．（5分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=BC=CD=2，则该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积为（）A．B．2 C．2D．2考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，投影线平行于BD，可得：该三棱锥的侧视图是一个以△BCD中BD边的上高为底，以棱锥的高为高的三角形，进而可得答案．解答：解：∵三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，投影线平行于BD，∴该三棱锥的侧视图是一个以△BCD中BD边的上高为底，以棱锥的高为高的三角形，∵BC⊥CD，AB=BC=CD=2，∴△BCD中BD边的上高为，故该三棱锥的侧视图（投影线平行于BD）的面积S=××2=，故选：A．点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中分析出该三棱锥的侧视图是一个以△BCD中BD边的上高为底，以棱锥的高为高的三角形，是解答的关键．7．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60°，a=，b+c=3，则△ABC 的面积为（）A．B．C．D．2考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由余弦定理可得：a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，代入已知从而解得：bc的值，由三角形面积公式S△ABC=bcsinA即可求值．解答：解：由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA，∴代入已知有：3=9﹣3bc，从而解得：bc=2，∴S△ABC=bcsinA==，故选：B．点评：本题主要考察了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．8．（5分）已知F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，点P在C上，若PF1⊥F1F2，且PF1=F1F2，则C的离心率是（）A．﹣1 B．C．+1 D．﹣1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，结合离心率公式，计算即可得到．解答：解：可设F1F2=2c，则PF1=2c，在直角三角形PF1F2中，PF2==2c，由双曲线的定义可得，PF2﹣PF1=2a，即2（﹣1）c=2a，则e===1+．故选：C．点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）函数f（x）=x+在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1] C．（0，1] D．（﹣∞，0）∪[1，+∞）考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求出函数的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立．运用参数分离可得≤x2在（﹣∞，﹣1）上恒成立．运用二次函数的最值，求出右边的范围即可得到．解答：解：函数f（x）=x+的导数为f′（x）=1﹣，由于f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，则f′（x）≥0在（﹣∞，﹣1）上恒成立．即为≤x2在（﹣∞，﹣1）上恒成立．由于当x＜﹣1时，x2＞1，则有≤1，解得，a≥1或a＜0．故选D．点评：本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断单调性，以及不等式恒成立问题转化为求函数最值或范围，属于基础题和易错题．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设点M与曲线C i上任意一点距离的最小值为d i（i=1，2），若d1＜d2，则称C1比C2更靠近点M，下列为假命题的是（）A．C1：x=0比C2：y=0更靠近M（1，﹣2）B．C1：y=e x比C2：xy=1更靠近M（0，0）C．若C1：（x﹣2）2+y2=1比C2：x2+（y﹣2）2=1更靠近点M（m，2m），则m＞0D．若m＞1，则C1：y2=4x比C2：x﹣y+m=0更靠近点M（1，0）考点：命题的真假判断与应用．专题：新定义；函数的性质及应用；直线与圆．分析：运用新定义，由两点的距离公式计算即可判断A；运用曲线的对称性和导数的运用，判断单调性和极值以及最值，结合两点的距离公式，二次函数的最值，即可判断B；运用直线和圆的位置关系，结合新定义，即可判断C；运用点到直线的距离公式和二次函数的最值，即可判断D．解答：解：对于A．d1=|1﹣0|=1，d2=|0﹣（﹣2）|=2，d1＜d2，则为真命题；对于B．由对称性可得，C2：xy=1关于直线y=x对称，且经过点（0，0），交点为（1，1），（﹣1，﹣1），则d2==，由于y=e x﹣x﹣1的导数为e x﹣1，当x＞0时，导数大于0，当x＜0时，导数小于0，则x=0为极小值点们也为最小值点，则有e x≥x+1，设C1：y=e x上任一点P（x，e x），即|OP|=≥==≥，即有d1=＜d2，则B为真命题；对于C．由于点M（m，2m）在直线y=2x上，C2：x2+（y﹣2）2=1为圆心（0，2），半径为1的圆，圆心到直线的距离为＜1即直线和圆C2相交，即有交点到M的距离为0，而C1：（x﹣2）2+y2=1为圆心（2，0），半径为1的圆圆心到直线的距离为＞1，即有直线和圆C1相离，d1＞0，则有d1＞d2，则C为假命题；对于D．设P（x，y）为C1：y2=4x上的点，则|PM|==≥1，y=0时，d1=1；由于m＞1，则M到C2：x﹣y+m=0的距离d2=≥，则有d1＜d2，则D为真命题．故选C．点评：本题考查新定义的理解和运用，考查两点的距离和点到直线的距离公式的运用，考查点与圆和直线与圆的位置关系，以及二次函数的最值求法，属于中档题和易错题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分满分15分．本大题分为必做题和选做题两部分（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生必须作答．11．（5分）已知函数f（x）=，则f+f（﹣2015）=﹣6042．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，将2015，﹣2015分别代入分段函数求值．解答：解：f+f（﹣2015）=20152﹣3×2015+3﹣20152=﹣6045+3=﹣6042；故答案为：﹣6042．点评：本题考查了分段函数的应用，属于基础题．12．（5分）将容量为n的样本中的数据分成5组，绘制频率分布直方图．若第1至第5个长方形的面积之比3：4：5：2：1，且最后两组数据的频数之和等于15，则n等于75．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率和为1，求出直方图中最后两组数据的频率之和，再根据频率、频数与样本容量的关系，求出样本容量．解答：解：根据频率和为1，得；直方图中最后两组数据的频率之和为=对应的频数为15，∴样本容量为n==75．故答案为：75．点评：本题考查了频率、频数与样本容量的关系，是基础题目．13．（5分）执行如图的程序框图，则输出S的值为36．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算S值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．解答：解：执行程序框图，可得S=0，n=1，i=1S=1不满足条件i＞5，i=2，n=3，S=4不满足条件i＞5，i=3，n=5，S=9不满足条件i＞5，i=4，n=7，S=16不满足条件i＞5，i=5，n=9，S=25不满足条件i＞5，i=6，n=11，S=36满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为36．故答案为：36．点评：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题．三.选做题：第14、15题为选做题（坐标系与参数方程）14．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρcosθ=3的距离等于2．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：本题可以利用公式将点的极坐标转化为平面直角坐标，将直线的极坐标方程转化为平面直角坐标方程，再求出平面直角坐标系中的点线距离，从而得到极坐标的点线距离，得到本题结论．解答：解：将极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴重合，正方向一致，建立平面直角坐标系，∵在极坐标系中，点（2，），∴x=，y=，∴该点的平面直角坐标为：（1，）．∵在极坐标系中，直线ρcosθ=3，∴该直线的平面直角坐标方程为：x=3．∵在平面直角坐标系中，点（1，）到直线x=3的距离为2，∴在极坐标系中，点（2，）到直线ρcosθ=3的距离等于2．故答案为：2．点评：本题考查了极坐标化成平面直角坐标，本题难度不大，属于基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙O与AC相切于点E．若BC=6，则DE的长为4．考点：与圆有关的比例线段．专题：立体几何．分析：连接OE，由已知得∠AEO=90°，OA=2OE，OD=AD，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得DE=OD，由此能求出DE的长．解答：解：连接OE，∵AC是⊙O的切线，∴∠AEO=90°，∵∠A=30°，∴OA=2OE，∵OA=OD+AD，OD=OE，∴OD=AD，∴DE=OD（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∵∠C=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12，∵AB=OB+OD+AD=3OD=12，∴OD=4，∴DE=OD=4．故答案为：4．点评：本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质的合理运用．三、解答题16．（12分）函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求f（）的值；（2）若f（x0）=，且x0∈（，），求sin2x0的值．考点：正弦函数的图象；二倍角的正弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（1）由f（x）的周期T=π，即可求得ω，可解得解析式为：f（x）=2sin（2x+），从而有诱导公式可求f（）的值．（2）由已知先求得sin（2x0+）=，又由x0∈（，），可得2x0+∈（，π），可得2x0=，即可求sin2x0的值．解答：解：（1）∵f（x）的周期T=π，即=π，∴ω=±2，由ω＞0解得ω=2，即f（x）=2sin（2x+），∴f（）=2sin（）=2sin（）=﹣2sin=﹣1，（2）由f（x0）=，得sin（2x0+）=，又∵x0∈（，），∴2x0+∈（，π），∴2x0+=，即2x0=，∴sin2x0=．点评：本题主要考察了正弦函数的图象和性质，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，两角和与差的正弦公式的应用，考察了计算能力，属于基础题．17．（12分）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了AQI实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在2014年12月份某时刻实时监测到的数据：城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值城市 AQI数值广州118 东莞137 中山95 江门78 云浮76 茂名107 揭阳80深圳94 珠海95 湛江75 潮州94 河源124 肇庆48 清远47佛山160 惠州113 汕头88 汕尾74 阳江112 韶关68 梅州84（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数（2）现从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式确定6个城市，省环保部门再从中随机选取2个城市组织专家进行调研，则选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的概率是多少？考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（I）根据频率分布的表的知识，填表即可（II）先求出由分层抽样方法抽取“良”、“轻度污染“，利用列举法写出抽取2天数据的所有基本事件，并从中找出2天的空气质量选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的基本事件，利用基本事件个数比求概率．解答：解：（1）表格如下，空气质量优质良好轻度污染中度污染AQI值范围[0，50）[50，100）[100，150）[150，200）城市个数 2 12 6 1（2）按分层抽样的方法，从“良好”类城市中抽取×6=4个，分别记为1，2，3，4从“轻度污染”类城市中抽取×6=2个，记为a，b所有的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b）（3，4），（3，a），（3，b）（4，a），（4，b），（a，b）共15种，选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），共8种．故选取的城市既有空气质量“良好”的又有“轻度污染”的概率P=点评：本题考查了分层抽样方法及古典概型的概率计算，考查了学生搜集处理数据的能力，综合性较强，利用列举法写出所有的基本事件并从中找出符合条件的基本事件是解题的关键，属于中档题18．（14分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧SBC是正三角形，点E是SB的中点，且AE⊥平面ABC．（1）证明：SD∥平面ACE；（2）若AB⊥AS，BC=2，求点S到平面ABC的距离．考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连结BD，交于点F，由已知得EF∥SD，由此能证明SD∥平面ACE．（2）由已知得AB=，AE=1，AE⊥CE，CE=，AC=2，由V S﹣ABC=V A﹣SBC，能求出点S到平面ABC 的距离．解答：（1）证明：连结BD，交于点F，∵ABCD是平行四边形，∴F是BD的中点，又∵点E是SB的中点，∴EF∥SD，∵SD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∴SD∥平面ACE．（2）解：∵AB⊥AS，BC=2，且点E是SB的中点，∴AB=，AE=1，又∵AE⊥平面SBC，CE⊂平面SBC，∴AE⊥CE，∴侧面SBC是正三角形，∴CE=，∴AC==2，∴△ABC是底边为，腰为2的等腰三角形．∴=，设点S一平面ABC的距离为h，由V S﹣ABC=V A﹣SBC，得，∴h===．点评：本题考查空间点、线、面的位置，考查线线平行、线面平行、线线垂直与线面垂直，考查等积法求几何体的体积，考查空间想象能力、运算能力、逻辑推理能力及化归思想等．19．（14分）已知各项为正的等差数列{a n}的公差为d=1，且+=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b1=λ，a n+1b n+1+a n b n=（﹣1）n+1（n∈N），是否存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：计算题；存在型；等差数列与等比数列．分析：（1）运用等差数列的性质和通项公式，解方程可得首项，即可得到通项公式；（2）化简整理条件，可令c n=，则c1=﹣b1=﹣λ，c n+1﹣c n=1，运用等差数列的通项公式，可得b n，存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列，则由前三项，解方程可得λ=﹣1或3．再讨论即可得到结论．解答：解：（1）由+==，由于{a n}为等差数列，则a1+a3=2a2，则=，即有a1a3=3，由于a1＞0，d=1，则a1（a1+2）=3，解得，a1=1或﹣3（舍去），则有数列{a n}的通项公式是a n=a1+n﹣1=n；（2）由a n+1b n+1+a n b n=（﹣1）n+1（n∈N），即（n+1）b n+1+nb n=（﹣1）n+1，﹣=1，令c n=，则c1=﹣b1=﹣λ，c n+1﹣c n=1，数列{c n}为首项为﹣λ，公差为1的等差数列，c n==n﹣λ﹣1，b n=，假设存在实数λ，使得数列{b n}为等比数列，b1=λ，b2=，b3=，则b22=b1b3，即λ•=（）2，解得，λ=﹣1或3．当λ=﹣1时，b n=（﹣1）n，则{b n}为等比数列，当λ=3时，b n=，b4=0，则{b n}不为等比数列．则存在实数λ=﹣1，使得数列{b n}为等比数列．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查构造数列求通项，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）如图，A，B分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右顶点，F为其右焦点，2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ 垂直于AP，并交直线l于点Q．证明：Q，P，B三点共线．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）F（1，0），|AF|=a+c，|BF|=a﹣c．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．联立，及其b2=a2﹣c2．解得即可．（2）直线l的方程为：x=﹣2，直线AP的方程为：y=k（x+2）（k≠0），与椭圆方程联立化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用根与系数的关系可得x P=，y P=k（x P+2）．由于QF⊥AP，可得k PF=﹣．直线QF的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得Q．只有证明k PQ=k BQ，即可得出B，P，Q三点共线．解答：（1）解：F（1，0），|AF|=a+c，|BF|=a﹣c．由2是|AF|与|FB|的等差中项，是|AF|与|FB|的等比中项．∴，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆C的方程为=1．（2）证明：直线l的方程为：x=﹣2，直线AP的方程为：y=k（x+2）（k≠0），联立，化为（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴，∴x P=，∴y P=k（x P+2）=，∵QF⊥AP，∴k PF=﹣．直线QF的方程为：y=﹣，把x=﹣2代入上述方程可得y Q=，∴Q．∴k PQ==，k BQ=．∴k PQ=k BQ，∴B，P，Q三点共线．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、三点共线与斜率的关系、等差数列与等比数列的性质，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）已知a，b∈R，函数f（x）=（ax+2）lnx，g（x）=bx2+4x﹣5，且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在x=1处有相同的切线．（1）求a，b的值；（2）（2）证明：当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方；（3）当x∈（0，k]时，不等式（2k+1）f（x）≤（2x+1）g（x）恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求导f′（x）=a（lnx+1）+，g′（x）=2bx+4；从而可得b+4﹣5=0，a+2=2b+4；从而求参数的值；（2）要使得当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方，只证f（x）＜g（x）（x≠1），不妨设F（x）=f（x）﹣g（x），从而求导F′（x）=4lnx+﹣2x﹣4=4lnx+﹣2x；从而化为恒成立问题，再转化为最值问题．（3）由题意知，k＞0，2x+1＞0；故不等式（2k+1）f （x）≤（2x+1）g（x）可转化为2（2k+1）lnx≤x2+4x﹣5，从而构造函数H（x）=2（2k+1）lnx﹣x2﹣4x+5，讨论求实数k的取值范围．解答：解：（1）∵f′（x）=a（lnx+1）+，g′（x）=2bx+4；∴f′（1）=a+2，g′（1）=2b+4；又∵曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在点（1，0）处有相同的切线，∴f（1）=0=g（1）=b+4﹣5，f′（1）=g′（1）；即b+4﹣5=0，a+2=2b+4；从而解得，b=1，a=4；（2）证明：要使得当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方，即需证f（x）＜g（x）（x≠1），不妨设F（x）=f（x）﹣g（x），则F（x）=（4x+2）lnx﹣x2﹣4x+5；∴F′（x）=4lnx+﹣2x﹣4=4lnx+﹣2x；令G（x）=F′（x），∴G′（x）=﹣﹣2≤0恒成立，∴F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又∵F′（1）=0，∴当x∈（0，1）时，F′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，F′（x）＜0；∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即当x=1时，F（x）取得最大值F（1）=0．∴当x≠1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）＜g（x）；∴当x≠1时，曲线y=f（x）恒在曲线y=g（x）的下方；（3）由题意知，k＞0，2x+1＞0；∴不等式（2k+1）f（x）≤（2x+1）g（x）可转化为2（2k+1）lnx≤x2+4x﹣5，构造函数H（x）=2（2k+1）lnx﹣x2﹣4x+5，∴H′（x）=，在二次函数y=﹣2x2﹣4x+4k+2中，开口向下，对称轴为x=﹣1；且过定点（0，4k+2）；解﹣2x2﹣4x+4k+2=0得，x=﹣1﹣（舍去）；x=﹣1+；①当﹣1+＜k时，即k＜﹣1（舍去）或k＞1；②当﹣1+=k时，k=1；经检验成立；③当﹣1+＞k时，0＜k＜1，当x∈（0，k）时，H′（x）＞0，∴H（x）在（0，k]时取得最大值记为H2（k）=2（2k+1）lnk﹣k2﹣4k+5，由（2）可知，H2（k）的图象与F（x）的图象相同，∴0＜k＜1时，H2（k）＜H2（1）=0，原不等式恒成立；综上所述，实数k的取值范围是（0，1]．点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了分类讨论的思想应用，属于难题．。

数学一诊试题（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（A ） （B ） （C ） （D ） 3．命题“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”的逆命题是（A ）若22<+x a b ，则2<x ab （B ）若22≥+x a b ，则2<x ab （C ）若2<x ab ，则22<+x a b （D ）若2≥x ab ，则22≥+x a b4．函数31,0()1(),03x x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 5．复数5i(2i)(2i)=-+z （i 是虚数单位）的共轭复数为（A ）5i 3- （B ）5i 3（C ）i - （D ）i6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是 （A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]y xOxyO x y Ox yO消费支出/元7．已知53cos()25+=πα，02-<<πα，则sin 2α的值是 （A ）2425 （B ）1225 （C ）1225- （D ）2425-8．已知抛物线:C 28y x =，过点(2,0)P 的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为（A ）16- （B ）12- （C ）4 （D ）0 9．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//m n ，m ⊂α，则//αβ （B ）若//αβ，m ⊂α，则//m n （C ）若//m n ，m α⊥，则αβ⊥ （D ）若//αβ，m n ⊥，则m α⊥10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．点E ，F 分别为棱11B C ，1C C 的中点，P 是侧面11BCC B 内一动点，且满足⊥PE PF .则当点P 运动时， 2HP 的最小值是 （A ）72- （B ）2762- （C ）51142- （D ）1422-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如右图所示.则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是________．12．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．A BCD1A 1B 1C 1D HPE F13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ．则边c 的长度为__________．14．已知关于x 的不等式()(2)0---≤x a x a 的解集为A ，集合{|22}=-≤≤B x x ．若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________． 15．已知函数21()()2f x x a =+的图象在点n P (,())n f n （*n ∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且11y =-．给出以下结论： ①1a =-；②记函数()=n g n x （*n ∈N ），则函数()g n 的单调性是先减后增，且最小值为1；③当*n ∈N 时，1ln(1)2n n n y k k++<+； ④当*n ∈N时，记数列的前n 项和为n S ，则1)n n S n -<．其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）口袋中装有除编号外其余完全相同的5个小球，编号依次为1,2,3,4,5．现从中同时取出两个球，分别记录下其编号为,m n ． （Ⅰ）求“5+=m n ”的概率； （Ⅱ）求“5≥mn ”的概率．17．（本小题满分12分）如图，在多面体ECABD 中，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，ABC ∆为正三角形，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =． （Ⅰ）求证：DF //平面ABC ； （Ⅱ）求多面体ECABD 的体积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122+=-n n S ；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+．*n ∈N .（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n c a b =，*n ∈N .求数列{}n c 的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）根据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值； （Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且过点(23,0)．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，且32AB =点0(,2)P x 满足=PA PB ，求0x 的值． 21．（本小题满分14分） 已知函数()ln 2mf x x x=+，()2g x x m =-，其中m ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的极小值；（Ⅱ）对1[,1]e x ∀∈，是否存在1(,1)2m ∈，使得()()1>+f x g x 成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设()()()F x f x g x =，当1(,1)2m ∈时，若函数()F x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，求证： 101ea b c <<<<<．t （时）10 11 12 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.4332.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时）53.522.753.1252.3752.5632.469数学（文科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．A ； 2．C ； 3．D ；4．A ；5．C ；6．B ；7．D ；8．B ；9．C ；10．B ．第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．30 12．90︒ 13．4 14.[2,0]- 15．①②④ 三、解答题：（本大题共6个小题,共75分） 16．（本小题满分12分）解：同时取出两个球，得到的编号,m n 可能为： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5) (2,3)，(2,4)，(2,5) (3,4)，(3,5)(4,5)…………………………………………………………………………………6分（Ⅰ）记“5+=m n ”为事件A ，则 21()105==P A ．……………………………………………………………………………3分（Ⅱ）记“5≥mn ”为事件B ，则 37()11010=-=P B ．…………………………………………………………………… 3分 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ．在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ． ∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 面ABC ，⊂OB 平面ABC ．∴//DF 面ABC ．………………………6分 （Ⅱ）据题意知，多面体ECABD 为四棱锥-A ECBD ． 过点A 作⊥AH BC 于H ．∵⊥EC 平面ABC ，⊂EC 平面ECBD ， ∴平面⊥ECBD 平面ABC ．又⊥AH BC ，⊂AH 平面ABC ，平面ECBD 平面=ABC BC ，∴⊥AH 面ECBD ．∴在四棱锥-A ECBD 中，底面为直角梯形ECBD，高=AH ．∴1(21)232-+⨯=⨯=A ECBD V ∴多面体ECABD6分 18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵122+=-n n S ① 当2≥n 时，122-=-nn S ②①-②得，2=n n a （2≥n ）．∵当2≥n 时，11222--==n n n n a a ，且12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n n n a ．………………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b ∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．……………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n ……………………………………………………1分 ∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n n n T n n ③231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由③-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n (1)分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n (1)分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n ∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n (3)分19.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………………1分2125.15.22minmax =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分即2)26sin(21)(++=ππt t f ． （Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间． 由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分……………………………………………1分 ∴应该在11．625时停产．……………………………………………………………1分 （也可直接由)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）20.（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知得=a=c ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分 （Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴12=-==AB x ．又由AB =231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分 据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点． 设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=， ①当2m =时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--． 令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分 ②当2m =-时，31(,)22E -∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+． 令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-． 21.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）1m =时，1()ln ,02=+>f x x x x． ∴221121()22-'=-=x f x x x x ……………………………………………………………………1分由()0'>f x ，解得12>x ；由()0'<f x ，解得102<<x ； ∴()f x 在1(0,)2上单调递减，1(,)2+∞上单调递增． (2)分∴=极小值)(x f 11()ln 11ln 222f =+=-．…………………………………………………… 2分（II ）令1()()()1ln 21,,12⎡⎤=--=+-+-∈⎢⎥⎣⎦m h x f x g x x x m x x e ，其中1(,1)2m ∈ 由题意，()0h x >对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，∵2221221()1,,122-+-⎡⎤'=--=∈⎢⎥⎣⎦m x x m h x x x x x e ∵1(,1)2m ∈，∴在二次函数222=-+-y x x m 中，480∆=-<m ， ∴2220-+-<x x m 对∈x R 恒成立∴()0'<h x 对1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， ∴()h x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减． ∴min 5()(1)ln11212022==+-+-=->m h x h m m ，即45>m ．故存在4(,1)5∈m 使()()f x g x >对1,1⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦x e 恒成立．……………………………………4分（III ）()(ln )(2),(0,)2mF x x x m x x=+-∈+∞，易知2x m =为函数()F x 的一个零点， ∵12>m ，∴21>m ，因此据题意知，函数()F x 的最大的零点1>c ， 下面讨论()ln 2mf x x x=+的零点情况，∵2212()22m x mf x x x x -'=-=． 易知函数()f x 在(0,)2m 上单调递减，在(,)2m+∞上单调递增．由题知()f x 必有两个零点，∴=极小值)(x f ()ln 1022=+<m m f ，解得20<<m e， ∴122<<m e ，即(,2)2∈eme ．…………………………………………………………3分 ∴11(1)ln10,()ln 11102222=+=>=+=-<-=m m em emf f e e ．…………………1分又10101010101()ln 10100224---=+=->->m m f e e e e e ．101()0,()0,(1)0f e f f e -∴><>．10101e a b c e -∴<<<<<<．101a b c e∴<<<<<，得证．……………………………………………………………1分。

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、 选择题共12小题。

每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x |x =n 2，n ∈A ｝，则A∩B= ( ) （A ）｛1，4｝ （B ）｛2，3｝ （C ）{9，16} （D ）｛1，2}（2） 1＋2i(1－i)2＝ ( )（A ）－1－12i （B ）－1＋12i （C ）1＋12i （D ）1－12i（3）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）（A ）12 （B ）13（C ）14 （D ）16（4）已知双曲线C :x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ）（A ）y =±14x （B ）y =±13x （C ）y =±12x （D ）y =±x（5）已知命题p ：∀x ∈R,2x ＞＜3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1－x 2，则下列命题中为真命题的是：（）（A ） p ∧q（B ）￢p ∧q（C ）p ∧￢q（D ）￢p ∧￢q （6）设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则 （）（A ）S n =2a n －1 （B ）S n =3a n －2 （C ）S n =4－3a n （D ）S n =3－2a n（7）执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1，3]，则输出的s 属于 ( ) （A ）[－3,4] （B ）[－5,2] （C ）[－4,3] （D ）[－2,5]（8）O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y ²=42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|=42，则△POF 的面积为( ) （A ）2 （B ）2 2 （C ）2 3 （D ）4 （9）函数f (x )=(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )（10）已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则 b=( ) （A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为 （A ）16+8π （B ）8+8π （C ）16+16π （D ）8+16π（12）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x x ≤0ln(x ＋1)x ＞0，若| f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )（A ）（－∞，0] （B ）（－∞，1](C)[－2，1](D)[－2，0]侧视图俯视图第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数 学（文科） 2015.1本试卷共4页,21小题,满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 参考公式: 锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数i1i3++等于( ) A ．i 21+B ．i 21-C ．i 2-D ．i 2+2．已知集合{}02M x x =∈<<R ,{}1N x x =∈>R ,则()R MN =ð( )A ．[)1,2B ．()1,2C ．[)0,1D ．(]0,13．若函数42x xay +=的图象关于原点对称,则实数a 等于( )A ．2-B ．1-C ．1D ．24．已知x ,y 满足不等式组282800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则目标函数3z x y =+的最大值为( )A ．12B ．24C ．8D ．3325．已知两个单位向量12,e e 的夹角为45︒,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( )A ．1 BC．3D ．2 6．在空间中，有如下四个命题： ①平行于同一个平面的两条直线是平行直线； ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β距离相等，则α∥β； ④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直. 其中正确的两个命题是( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③7．某校高三年级学生会主席团有共有5名同学组成,其中有3名同学来自同一班级,另外两名同学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自不同班级的概率为( ) A ．0.35 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.78. 已知双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线与该双曲线的右支交于A 、B 两点,若5=AB ,则1ABF ∆的周长为( )A ．16B ．20C ．21D ．26 9．已知()2f x x x =-,且a ,b ∈R ,则“1a b >>”是“()()f a f b <”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10．有10个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( )A . 45B . 55C . 90D . 100 二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题(11～13题)11．如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî,那么()2f f =⎡⎤⎣⎦ . 12．已知点()2,0A -、()0,4B 到直线l :10x my +-=的距离相等,则m 的值为 .13. 如图1,为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ,从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ,从E 点可以观察到点B 、C ；并测量得到一些数据:2CD =,CE =45D ∠=︒,105ACD ∠=︒,48.19ACB ∠=︒,75BCE ∠=︒,E ∠=60︒,则A 、B 两点之间的距离为_________.(其中cos 48.19︒取近似值23)(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14.(几何证明选讲)如图2,P 是圆O 外一点,PA 、PB 是圆O 的两条切线,切点分别为A 、B ,PA 中点为M ,过M 作圆O 的一条割线交圆O 于C 、D 两点,若PB =1MC =,则CD = . 15.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线1C:)sin 1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0a >)的一个交点在极轴上,则a =______.C图1O DCA MB图22014年11月份AQI 数据频率分布表 表22013年11月份AQI 数据频率分布直方图2014年11月份AQI 数据频率分布直方图三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0ω>),x ∈R 的最小正周期为π.(Ⅰ) 求6f π⎛⎫⎪⎝⎭； (Ⅱ) 在图3给定的平面直角坐标系中,画出函数()y f x =在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像,并根据图象写出其在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭17.(本小题满分12分)某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI )(单位:3g /m μ)资料如下:(Ⅰ) 请填好2014年11月份AQI 数据的频率分布表．．．．．并完成频率分布直方图．．．．．．．；(Ⅱ) 该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当AQI 100<时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?表1PABC DM图618.(本小题满分14分)如图6,四棱锥P ABCD -,侧面PAD 是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是60ABC ∠=︒的菱形,M 为PC 的中点.(Ⅰ) 求证:PC AD ⊥；(Ⅱ) 在棱PB 上是否存在一点Q ,使得,,,A Q M D 四点共面?若存在,指出点Q 的位置并证明；若不存在,请说明理由；(Ⅲ) 求点D 到平面PAM 的距离.19.(本小题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()14211n n S n a +=-+(*n ∈N ),且11=a .(Ⅰ) 求证：数列{}n a 为等差数列； (Ⅱ)设n b =,数列{}n b 的前n 项和为n T ,证明:32n T <(*n ∈N ).20.(本小题满分14分)已知点()2,1M ,()2,1N -,直线MP ,NP 相交于点P ,且直线MP 的斜率减直线NP 的斜率的差为1.设点P 的轨迹为曲线E . (Ⅰ) 求E 的方程；(Ⅱ) 已知点()0,1A ,点C 是曲线E 上异于原点的任意一点,若以A 为圆心,线段AC 为半径的圆交y 轴负半轴于点B ,试判断直线BC 与曲线E 的位置关系,并证明你的结论.21.(本小题满分14分)设函数()e xf x x a=-的导函数为()f x '(a 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数).(Ⅰ) 讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ) 求实数a ,使曲线()y f x =在点()()2,2a f a ++处的切线斜率为3261274a a a +++-；(Ⅲ) 当x a ≠时,若不等式()()1f x k x a f x '+-≥恒成立,求实数k 的取值范围.8π38π2015年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（文科）参考答案和评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．[必做题] 11．1 12．112-或 13 [选做题] 14．215．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.【解析】(Ⅰ)依题意得2ππω=,解得2ω=,所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,………………2分 所以sin sin cos cos sin 6343434f πππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222-⨯=………4分 (Ⅱ)因为2x ππ-≤≤,所以532x πππ-≤-≤,列表如下:……………………6分画出函数()y f x =在区间,⎡⎤-上的图像如图所示!由图象可知函数()y f x =在,22-⎪⎝⎭上的单调递减区间为,28-- ⎪⎝⎭,,82 ⎪⎝⎭.…………12分 17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3分)；频率分布直方图(6分) (Ⅱ) 支持,理由如下:2013年11月的优良率为:119200.0050.0050.0150.010330⎛⎫⨯⨯+++= ⎪⎝⎭, …………8分2014年11月的优良率为:3026, …………9分 ………8分2014年11月份AQI 数据频率分布直方图2014年11月份AQI 数据频率分布表PABC DM QO因此2619723.3%20%303030-=≈> …………11分 所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”.…………………12分18.【解析】(Ⅰ)方法一:取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形,所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OC OP O =,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC , 所以AD ⊥平面POC ,又PC ⊂平面POC ,所以PC AD ⊥.………………4分 方法二:连结AC ,依题意可知△PAD ,△ACD 均为正三角形, 又M 为PC 的中点,所以AM PC ⊥,DM PC ⊥, 又AMDM M =,AM ⊂平面AMD ,DM ⊂平面AMD ,所以PC ⊥平面AMD ,又AD ⊂平面AMD ,所以PC AD ⊥.………………4分(Ⅱ)当点Q 为棱PB的中点时,,,,A Q M D 四点共面,证明如下:………………6分 取棱PB的中点Q ,连结QM ,QA ,又M 为PC 的中点,所以//QM BC ,在菱形ABCD 中//AD BC ,所以//QM AD ,所以,,,A Q M D 四点共面.………………8分 (Ⅲ)点D 到平面PAM 的距离即点D 到平面PAC 的距离, 由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面ABCD ,即PO 为三棱锥P ACD -的体高.………………9分在Rt POC ∆中,PO OC ==PC ,在PAC ∆中,2PA AC ==,PC =,边PC上的高AM==, 所以PAC ∆的面积1122PAC S PC AM ∆=⋅==,………………10分 设点D 到平面PAC 的距离为h ,由D PAC P ACD V V --=得………………11分1133PAC ACD S h S PO ∆∆⋅=⋅,又22ACD S ∆==所以1133h =………13分 解得h =, 所以点D 到平面PAM 的距离为5.………………14分19.【解析】(Ⅰ) 由题设()14211n n S n a +=-+,则21413a S =-=，3234115,a S =-=35a =. 当2n ≥时，()14231n n S n a -=-+,两式相减得()()12121n n n a n a ++=-, ……………………………………2分 方法一：由()()12121n n n a n a ++=-，得12121n n a a n n +=+-，且2131a a=. 则数列21n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是常数列，即1121211n a a n ==-⨯-，也即21n a n =- ……………………………6分 所以数列{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列 ………………………………………7分 方法二：由()()12121n n n a n a ++=-，得()()122321n n n a n a +++=+，两式相减得212n n n a a a +++=,且1322a a a += ……………………………………6分 所以数列{}n a 等差数列. ………………………………………7分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得12-=n a n ,()21212n n n S n +-==,()121n b n n =-,…………9分当1=n 时,1312T =<成立；…………………………………………………10分 当2n ≥时,()()111111*********n b n n n n n n n n ⎛⎫==<=- ⎪---⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭…………12分所以1111111122231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1113111222n ⎛⎫=+-<+= ⎪⎝⎭综上所述,命题得证.………………………………………………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ)设(),P x y ,依题意得11122y y x x ---=-+, ……………………3分 化简得24x y =(2x ≠±),所以曲线E 的方程为24x y =(2x ≠±). …………………5分 (Ⅱ) 结论:直线BC 与曲线E 相切.证法一:设()00,C x y ,则2004x y =,圆A 的方程为()()22220011x y x y +-=+-, ……………7分 令0x =,则,()()()2222000111y x y y -=+-=+,因为00,0y y ><,所以0y y =-,点B 的坐标为()00,y -, ………………………………………9分 直线BC 的斜率为002y k x =,直线BC 的方程为0002y y y x x +=,即0002yy x y x =-,……………11分代入24x y =得200024y x x y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭,即20000840x x y x x y -+=,……………13分 ()22000000064441640y x x y y y x ∆=-⋅=-=,所以,直线BC 与曲线E 相切.……………………………………………………………14分证法二:设()00,C x y ,则2004x y =,圆A 的方程为()()22220011x y x y +-=+-,……………7分 令0x =,则,()()()2222000111y x y y -=+-=+,因为00,0y y ><,所以0y y =-,点B 的坐标为()00,y -,………………………………………9分 直线BC 的斜率为02y k x =,…………………………………10分 由24x y =得214y x =得12y x '=,过点C 的切线的斜率为1012k x =,……………12分 而200000122142x y k x x x ⨯===,所以1k k =,……………13分 所以直线BC 与曲线24x y =过点C 的切线重合,即直线BC 与曲线E 相切.…………………………………………………………14分 21.【解析】(Ⅰ)函数()f x 的定义域是()(),,a a -∞+∞,…………………………1分对()f x 求导得:()()()2e 1x x af x x a --'=-,…………………2分由()0f x '>得1x a >+；由()0f x '<得x a <或1a x a <<+,…………………4分 所以()f x 在(),a -∞,(),1a a +上单调递减,在()1,a ++∞上单调递增.…………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得()2e 24af a +'+=……………………………………6分令232641274a a e a a ++++-=得 32261270a a a a e +++++=………① 令2a t +=,则有310te t +-=,……………………………8分令()31th t e t =+-,则()203th t e t '=+>,……………………………9分故()h t 是R 上的增函数,又()00h =,因此0是()h t 的唯一零点,即2-是方程①的唯一实数解, 故存在唯一实数2a =-满足题设条件.…………………………………………………………10分 (Ⅲ)因为()()1f x x a f x x a '--=-,故不等式()()1f x k x a f x '+-≥可化为11x a k x a x a--+-≥-, 令x a t -=,则0t ≠,……………………………11分 且有111k t t≥-- ………12分 ① 若0t <,则1kt t -≥,即21k t ≥-,此时0k ≥； ② 若01t <≤,则12kt t ≥-,即2221111k t t t ⎛⎫≥-=--+ ⎪⎝⎭,此时1k ≥；③ 若1t >,则1kt t ≥,即21k t≥,此时1k ≥. 故使不等式恒成立的k 的取值范围是[)1,+∞.………………………………………………14分2015届佛山一模文科数学评分细则(补充)第16题 三角函数(Ⅰ) 2ω=,给1分；sin 34ππ⎛⎫-⎪⎝⎭展开正确给1分； ② 递减区间写成(),1a -∞+扣1分；(Ⅲ) ① 表格对错不扣分；看图形,六个关键点,每点1分；画折线扣1分；描点没连线扣2分； 形态正确(错位)扣1分. ② 写成“”或“或”扣1分；“和”及“，”给分！ 区间开闭不扣分；少一个区间扣1分多了区间不给分.第17题 统计(Ⅰ) 分布表:频率填写成近似值不扣分(0.067,0.233,0.400,0.167,0.033,0.100)① 只要填对一个给1分；② 填错不超过一半给2分； ③ 填错超过一半给1分；④ 全对给3分. 直方图:只要六个方图作出来,高度不太离谱给3分. ① 只要作正确一个给1分； ② 错误不超过一半给2分. (Ⅱ) ① 只要有计算式,给1分；19300.633≈,只要在0.6~0.7均给2分； ②260.86730≈,只要在0.8~0.9给1分； ③ 若没有用增长率不给分!730只要在23%~24%给2分.只要有答不扣分.第18题 立体几何(Ⅰ) ① PO AD ⊥,给1分；OC AD ⊥,给1分；② 递减区间写成(),1a -∞+扣1分；(Ⅲ) ① 得出PO 为体高给至10分；PAC S ∆求对给至11分；等体积公式给至12分；② 不作答不扣分(即h =直接给至14分)；第19题 数列(Ⅰ) ① 求出2a 给1分；② 写出“当2n ≥时,()14231n n S n a -=-+”给1分写出两式相减得()()12121n n n a n a ++=-,给1分(至此共3分)； ③ 若学生算出23a =,35a =,并猜出221a n =-,共计给3分； ④ 累乘式写出给1分；化简得2213n a n a -=，再给1分；(共5分)； ⑤ 方法一中,不写“2131a a =”,扣1分. (Ⅱ) ① 求出2n S n =,给1分；()121n b n n =-,给1分；写出()111111233521n T n n =++++⨯⨯⨯-,给1分；② 不单独考虑第1项扣1分.第20题 解析几何(Ⅱ) 判断出相切给2分；第21题 函数导数(Ⅰ) ① 没定义域不扣分,但求导正确给至2分； ② 递减区间写成(),1a -∞+扣1分； (Ⅱ) ① 整理得到23261270a ea a a +++++=给至7分；② 只要写出结论(存在唯一实数2a =-满足题设条件)就给1分； (Ⅲ) ① 化简得到11x a k x a x a--+-≥-给1分；② 分0,01,1t t t <<≤>,每个1分；③ 111k x a x a-+-≥-,有去绝对值讨论,每种给1分；总分不超过14分.。

绝密★启用前 试卷类型：A2011年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科） 2011.3本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效.3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回. 参考结论：若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0 1 2A =，，，集合{}2B x x =>，则A B = A ．{}2B ．{}0 1 2，，C ．{}2x x >D ．∅2．复数34i i +()（其中i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2214y x -=的渐近线方程为A ．1x =±B ．2y =±C ．2y x =±D ．2x y =±4．已知:p 直线1:10l x y --=与直线2:20l x ay +-=平行，:1q a =-，则p 是q 的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．设数列{}1n -()的前n 项和为n S ，则对任意正整数n ，n S =A ．112n n ⎡⎤--⎣⎦() B ．1112n --+()C ．112n -+()D ．112n --()6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=A ．OHB ．OGC ．FOD ．EO7．在同一平面直角坐标系中，画出三个函数24f x x π+()()，sin 23g x x π=+()()，cos 6h x x π=-()()的部分图象（如图），则 A ．a 为f x ()，b 为g x ()，c 为h x () B ．a 为h x ()，b 为f x ()，c 为g x () C ．a 为g x ()，b 为f x ()，c 为h x () D ．a 为h x ()，b 为g x ()，c 为f x ()8．已知圆面2221C x a y a -+≤-:()的面积为S ，平面区域24D x y +≤:与圆面C 的公共区域的面积大于12S ，则实数a 的取值范围是A ．() 2-∞，B ．(] 2-∞，C ．()() 1 1 2-∞- ，，D ．()(] 1 1 2-∞- ，， c baQ0.00040.00030.00020.00019．如图所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点P a b c ()，，，输出相应的点 Q a b c ()，，．若P 的坐标为2 3 1()，，，则 P Q ，间的距离为 （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=” ）A ．0 BCD．10．若实数t 满足f t t =-()，则称t 是函数f x ()的一个次不动点．设函数ln f x x =()与函数e x g x =()（其中e 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为m ，则 A ．0m < B ．0m = C ．01m << D ．1m >二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在2500 3000[，)（元）段应抽出 人．12．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为2，其直观图和正(主)视图如下，则它的左(侧)视图的面积是 ．直观图 正视图13100x x ≤()则x 和y 可能满足的一个关系式是 ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分．14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中， P Q ，是曲线C :4sin ρθ=上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为 ．15．（几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于 A B ，的点，CD AB ⊥，垂足为D ，已知2AD =，CB =CD = ．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）已知向量 1 sin 2a α=-(，)与向量4 2cos 52b α= (，)垂直，其中α为第二象限角．（1）求tan α的值；（2）在ABC ∆中，a b c ，，分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边，若222b c a +-=，求tan A α+()的值．如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．（1）证明：BM ⊥平面SMC ；（2）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1V V的值．18．（本小题满分14分）已知函数313f x x ax b =-+()，其中实数 a b ，是常数． （1）已知{}0 1 2a ∈，，，{}0 1 2b ∈，，，求事件A “10f ≥()”发生的概率；（2）若f x ()是R 上的奇函数，g a ()是f x ()在区间[]1 1-，上的最小值，求当1a ≥时g a ()的解析式．19．（本题满分12分）如图，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．ABEMSDCBA已知椭圆222210x y C a b a b+=>>:()的左焦点F 及点0 A b (，)，原点O 到直线FA 的距离． （1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若点F 关于直线20l x y +=:的对称点P 在圆224O x y +=:上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ． （1）已知11a =，2d =，（ⅰ）求当n ∈N *时，64n S n +的最小值； （ⅱ）当n ∈N *时，求证：132********n n n S S S S S S +++++< ； （2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．。

广东省深圳市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数z=1+在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于（）A．4B．﹣4 C．﹣1 D．23．（5分）已知集合={x|1﹣x＞0}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}4．（5分）命题p：∃x0＞0，x0+=2，则￢p为（）A．∀x＞0，x+=2 B．∀x＞0，x+≠2 C．∀x＞0，x+≥2 D．∃x＞0，x+≠25．（5分）已知直线l，平面α，β，γ，则下列能推出α∥β的条件是（）A．l⊥α，l∥βB．l∥α，l∥βC．α⊥γ，γ⊥βD．α∥γ，γ∥β6．（5分）已知某路口最高限速50km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度如图的茎叶图（单位：km/h）．若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．29．（5分）如图所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的①、②两处应分别填写（）A．i＜5？，B．i≤5？，C．i＜5？，D．i≤5？，10．（5分）定义在[t，+∞）上的函数f（x）、g（x）单调递增，f（t）=g（t）=M，若对任意k＞M存在x1＜x2，使得f（x1）=g（x2）=k成立，则称g（x）是f（x）在[t，+∞）上的“追逐函数”，已知f（x）=x2，给出下列四个函数：①g（x）=x；②g（x）=lnx+1；③g（x）=2x﹣1；④g（x）=2﹣；其中f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）等差数列{a n}中，a4=4，则2a1+a5+a9=．12．（5分）若实数x，y满足，则x2+y2的最小值为．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在直角坐标系中，已知直线l：（s为参数）与曲线C：（t为参数）相交于A、B两点，则|AB|=．（几何证明选讲选做题）15．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C．若∠BAC=60°，BC=6，则⊙O的半径为．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，已知，cos（π﹣B）=﹣．（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．17．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）50 51 54 57 58PM2.5的浓度y（微克/立方米）69 70 74 78 79（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？18．（14分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=2．（1）证明：DE∥平面ABC；（2）证明：AD⊥BE．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=﹣2，a n+1+3S n+2=0（n∈N*）．（1）求a2、a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在整数对（m、n），使得等式a n2﹣m•a n=4m+8成立？若存在，请求出所有满足条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．20．（14分）已知平面上的动点P与点N（0，1）连线的斜率为k1，线段PN的中点与原点连线的斜率为k2，k1k2=﹣（m＞1），动点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线C的弦AB为直径；②过点N；③直径|AB|=|．求m的取值范围．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a，b∈R），且对任意x＞0，都有．（1）求a，b的关系式；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求出a的取值范围并证明；（3）在（2）的条件下，判断y=f（x）零点的个数，并说明理由．广东省深圳市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）i是虚数单位，复数z=1+在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则和几何意义即可得出．解答：解：复数z=1+=1=1﹣i在复平面内对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．2．（5分）平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于（）A．4B．﹣4 C．﹣1 D．2考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出x的值即可．解答：解：∵平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），且∥，∴1•x﹣（﹣2）•（﹣2）=0，解得x=4．故选：A．点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目．3．（5分）已知集合={x|1﹣x＞0}，B={x|2x＞1}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合，然后求解交集即可．解答：解：集合={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，则A∩B={x|0＜x＜1}．故选：B．点评：本题考查集合的基本运算，交集的求法，考查计算能力．4．（5分）命题p：∃x0＞0，x0+=2，则￢p为（）A．∀x＞0，x+=2 B．∀x＞0，x+≠2 C．∀x＞0，x+≥2 D．∃x＞0，x+≠2考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0＞0，x0+=2，则￢p为：∀x＞0，x+≠2．故选：B．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5．（5分）已知直线l，平面α，β，γ，则下列能推出α∥β的条件是（）A．l⊥α，l∥βB．l∥α，l∥βC．α⊥γ，γ⊥βD．α∥γ，γ∥β考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：根据空间中的平行与垂直关系，对选项中的问题进行判断分析，以便得出正确的结论．解答：解：对于A，当l⊥α，l∥β时，有α⊥β，或α∥β，∴A不符合条件；对于B，当l∥α，l∥β时，α与β可能平行，也可能相交，∴B不符合条件；对于C，当α⊥γ，γ⊥β时，α与β可能平行，也可能相交，∴C不符合条件；对于D，当α∥γ，γ∥β时，有α∥β，∴D满足题意．故选：D．点评：本题考查了空间中的平行与垂直的应用问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题目．6．（5分）已知某路口最高限速50km/h，电子监控测得连续6辆汽车的速度如图的茎叶图（单位：km/h）．若从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图．专题：概率与统计．分析：求出基本事件的总数，满足题意的数目，即可求解概率．解答：解：不同车速有6辆，从中任取2辆，共有C62=15．则恰好有1辆汽车超速的数目：2×4=8．从中任取2辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为：．故选：C．点评：本题考查古典概型的概率的求法，基本知识的考查．7．（5分）将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象关于原点对称，则φ的最小正值为（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得平移后函数的解析式为y=sin （2x+﹣2φ），再根据正弦函数的图象的对称性，可得﹣2φ=kπ，k∈z，由此求得φ的最小正值．解答：解：将函数的图象向右平移φ个单位，得到的图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ），再根据所得函数的图象关于原点对称，可得﹣2φ=kπ，k∈z，即φ=﹣，则φ的最小正值为，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题8．（5分）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，若其渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，则此双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x与圆x2+y2﹣4y+3=0相切⇔圆心（0，2）到渐近线的距离等于半径r，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．解答：解：取双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线y=x，即bx﹣ay=0．由圆x2+y2﹣4y+3=0化为x2+（y﹣2）2=1．圆心（0，2），半径r=1．∵渐近线与圆x2+y2﹣4y+3=0相切，∴=1化为3a2=b2．∴该双曲线的离心率e===2．故选：D．点评：熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键．9．（5分）如图所示的程序框图的功能是求的值，则框图中的①、②两处应分别填写（）A．i＜5？，B．i≤5？，C．i＜5？，D．i≤5？，考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据流程图所表示的算法功能可知求的值，从而应该利用来累加，根据循环的次数，可得处理框应填结果．解答：解：程序框图是计算的值，则可利用循环结构累加，共循环4次，则第一个处理框应为i＜5，然后计算，第二空应填写．故选：C．点评：本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，本题属于基础题．10．（5分）定义在[t，+∞）上的函数f（x）、g（x）单调递增，f（t）=g（t）=M，若对任意k＞M存在x1＜x2，使得f（x1）=g（x2）=k成立，则称g（x）是f（x）在[t，+∞）上的“追逐函数”，已知f（x）=x2，给出下列四个函数：①g（x）=x；②g（x）=lnx+1；③g（x）=2x﹣1；④g（x）=2﹣；其中f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：函数单调性的性质．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：求出M=1，解方程求得x1，x2，运用函数的单调性和特殊值法，判断是否存在x1＜x2，即可得到结论．解答：解：对于①，可得f（1）=g（1）=1=M，∀k＞1，有x12=x2=k，即为x1=，x2=k，＜k显然成立，存在x1＜x2；对于②，易得M=1，∀k＞1，有x12=1+lnx2=k，即为x1=，x2=e k﹣1，即有＜e k﹣1⇔k＜e2k﹣2，由x＞1时，x﹣e2x﹣2的导数为1﹣2e2x﹣2＜0，即有x＜e2x﹣2，则存在x1＜x2；对于③，易得M=1，∀k＞1，有x12=﹣1=k，即为x1=，x2=log2（k+1），当k=100时，＞log2（k+1），即不存在x1＜x2．对于④，易得M=1，∀k＞1，有x12=2﹣=k，即为x1=，x2=，当k=4，不存在x1＜x2．故f（x）在[1，+∞）上的“追逐函数”有①②故选B．点评：本题考查新定义的理解和运用，主要考查函数的单调性的运用，以及特殊值的运用，考查判断能力，属于中档题和易错题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．11．（5分）等差数列{a n}中，a4=4，则2a1+a5+a9=16．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设等差数列{a n}的公差为d，由通项公式可得2a1+a5+a9=2（4﹣3d）+（4+d）+（4+5d），化简可得．解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a4=4，∴2a1+a5+a9=2（4﹣3d）+（4+d）+（4+5d）=16故答案为：16．点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题．12．（5分）若实数x，y满足，则x2+y2的最小值为．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由题意画出图形，由点到直线的距离公式求得可行域内点与原点距离最小值的平方得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，x2+y2的最小值为坐标原点O到直线x+2y﹣2=0的距离的平方，等于．故答案为：．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为8﹣2π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，再根据题目中的数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，且正方体的棱长为2，圆柱体的底面圆半径为2，高为2；∴该几何体的体积为V=V正方体﹣V圆柱体=23﹣×π×22×2=8﹣2π．故答案为：8﹣2π．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在直角坐标系中，已知直线l：（s为参数）与曲线C：（t为参数）相交于A、B两点，则|AB|=．考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把直线l的参数方程化为直角坐标方程，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求出结果．解答：解：把直线l：（s为参数）消去参数，化为直角坐标方程为x+y﹣3=0．把曲线C：（t为参数）消去参数，化为直角坐标方程为y=（x﹣3）2．把直线方程和曲线C的方程联立方程组解得，或．故|AB|==，故答案为：．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求直线和曲线的交点坐标，两点间的距离公式，属于中档题．（几何证明选讲选做题）15．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C．若∠BAC=60°，BC=6，则⊙O的半径为2．考点：弦切角．专题：立体几何．分析：直接利用切线长定理解得：BD=3，∠AOB=60°，进一步利用勾股定理求出OD的长，最后求出半径的长．解答：解：连接OB，OA交BC于点D，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C．且∠BAC=60°，BC=6，则：∠ABO=90°，∠AOB=60°，且BD=3，设：OD=x，则：BO=2x，利用勾股定理得：x2+9=4x2解得：x=所以：圆的半径为2．故答案为：2点评：本题考查的知识要点：勾股定理的应用，切线长定理的应用，及相关的运算问题．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，已知，cos（π﹣B）=﹣．（1）求sinA与B的值；（2）若角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．考点：正弦定理．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）利用诱导公式与同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用正弦定理与余弦定理即可得出．解答：解：（1）∵，∴，又∵0＜A＜π，∴．∵，且0＜B＜π，∴．（2）由正弦定理得，∴，另由b2=a2+c2﹣2accosB得49=25+c2﹣5c，解得c=8或c=﹣3（舍去），∴b=7，c=8．点评：本题主要考查解三角形的基础知识，正、余弦定理，诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦公式等知识，考查了考生运算求解的能力，属于中档题．17．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：时间周一周二周三周四周五车流量x（万辆）50 51 54 57 58PM2.5的浓度y（微克/立方米）69 70 74 78 79（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）利用描点法可得数据的散点图；（2）根据公式求出b，a，可写出线性回归方程；（3）根据（2）的性回归方程，代入x=25求出PM2.5的浓度．解答：解：（1）散点图如图所示．…（2分）（2）∵，，…（6分），，，，…（9分）故y关于x的线性回归方程是：．…（10分）（3）当x=25时，y=1.28×25+4.88=36.88≈37所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37．…（12分）点评：本题主要考查了线性回归分析的方法，包括散点图，用最小二乘法求参数，以及用回归方程进行预测等知识，考查了考生数据处理和运算能力．18．（14分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=2．（1）证明：DE∥平面ABC；（2）证明：AD⊥BE．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）取AB的中点F，连接DF，CF，由已知可证DF EC，可得四边形DEFC为平行四边形，可得DE∥FC，由DE⊄平面ABC，从而可证DE∥平面ABC．（2）以FA，FC，FD为x，y，z轴的正方向建立直角坐标系，求出向量，的坐标，由•=0，即可证明AD⊥BE．解答：证明：（1）取AB的中点F，连接DF，CF，∵△ABC是边长为4的等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，∴DF⊥CF，∵DF=BC=2又∵EC⊥平面ABC，既有：EC⊥FC，EC=2．∴DF EC，故四边形DEFC为平行四边形，∴DE∥FC∴DE⊄平面ABC，可得DE∥平面ABC．（2）以FA，FC，FD为x，y，z轴的正方向建立直角坐标系，则有：A（2，0，0），D（0，0，2），B（﹣2，0，0），E（0，2，2）=（﹣2，0，2），=（﹣2，2，2）由于•=0，故AD⊥BE．点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=﹣2，a n+1+3S n+2=0（n∈N*）．（1）求a2、a3的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）是否存在整数对（m、n），使得等式a n2﹣m•a n=4m+8成立？若存在，请求出所有满足条件的（m，n）；若不存在，请说明理由．考点：数列递推式；数列的应用．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）根据递推公式即可求出a2、a3的值；（2）a n+1+3S n+2=0，①，a n+2+3S n+1+2=0，②，得到a n+2=﹣2a n+1，继而得到数列{a n}是以﹣2为首项，以﹣2为公比的等比数列，问题得以解决；（3）由题意求出m=（﹣2）n﹣4+，分别代入n的值求出（m，n）的坐标．解答：解：（1）a1=﹣2，a n+1+3S n+2=0（n∈N*），∴a2+3S1+2=0，a3+3S2+2=0，∴a2+3a1+2=0，a3+3（a1+a2）+2=0，∴a2=4，a3=﹣8，（2）a n+1+3S n+2=0，①，a n+2+3S n+1+2=0，②，②﹣①得，a n+2﹣a n+1+3（S n+1+S n）=0，∴a n+2=﹣2a n+1，∴=﹣2，∴数列{a n}是以﹣2为首项，以﹣2为公比的等比数列，∴a n=﹣2×（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，（3）∵a n2﹣m•a n=4m+8，∴m====（﹣2）n﹣4+，∵m为整数，则为整数，当n=1时，m=﹣2，当n=2时，m=1，当n=3时，m=﹣14，则满足条件的（m，n）共有（﹣2，1），（1，2），（﹣14，3）．点评：本题考查了数列的递推公式，等比数列的通项公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．20．（14分）已知平面上的动点P与点N（0，1）连线的斜率为k1，线段PN的中点与原点连线的斜率为k2，k1k2=﹣（m＞1），动点P的轨迹为C．（1）求曲线C的方程；（2）恰好存在唯一一个同时满足以下条件的圆：①以曲线C的弦AB为直径；②过点N；③直径|AB|=|．求m的取值范围．考点：轨迹方程；直线与圆的位置关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P（x，y），记PN的中点为M，所以，求出斜率，利用k1k2=﹣（m＞1），可得曲线C的方程；（2）若存在以曲线C的弦AB为直径的圆过点N，则有NA⊥NB，所以直线NA、NB的斜率都存在且不为0，设出方程与曲线联立，求出|NA|，|NB|，利用|AB|=|，确定k，m的关系，分类讨论求m的取值范围．解答：解：（1）设P（x，y），记PN的中点为M，所以．由题意（x≠0），（x≠0），由可得：（x≠0），化简整理可得：（x≠0），曲线C的方程为（x≠0）．…（6分）（2）由题意N（0，1），若存在以曲线C的弦AB为直径的圆过点N，则有NA⊥NB，所以直线NA、NB的斜率都存在且不为0，设直线NA的斜率为k（不妨设k＞0），所以直线NA的方程为y=kx+1，直线NB的方程为，将直线NA和曲线C的方程联立，得，消y整理可得（1+m2k2）x2+2m2kx=0，解得，所以，以替换k，可得，又因为，即有，所以，所以k3+m2k=1+m2k2，即（k﹣1）[k2+（1﹣m2）k+1]= 0，（1）当时，（k﹣1）[k2+（1﹣m2）k+1]=（k﹣1）3=0，解得k=1；（2）当时，方程k2+（1﹣m2）k+1=0有△=（1﹣m2）2﹣4＜0，所以方程（k﹣1）[k2+（1﹣m2）k+1]=（k﹣1）3=0有唯一解k=1；（3）当时，方程k2+（1﹣m2）k+1=0有△=（1﹣m2）2﹣4＞0，且12+（1﹣m2）×1+1≠0，所以方程（k﹣1）[k2+（1﹣m2）k+1]=（k﹣1）3=0有三个不等的根．综上，当时，恰有一个圆符合题意．点评：本题考查曲线方程，考查直线与曲线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，难度大．21．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a，b∈R），且对任意x＞0，都有．（1）求a，b的关系式；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求出a的取值范围并证明；（3）在（2）的条件下，判断y=f（x）零点的个数，并说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）先利用赋值法，结合f（1）=0得到关于a，b的关系式，然后对恒成立进行证明；（2）因为该函数有两个极值点，所以导函数等于零有两个异号根，在此基础上得到关于a，b 的关系式，然后代入f（），再证明函数g（a）=f（）＞0恒成立即可；（3）利用导数结合函数的极值点、单调性、最值等以及利用数形结合思想确定出函数零点的个数，注意分类讨论．解答：解：（1）根据题意：令x=1，可得，∴f（1）=﹣a+b=0，经验证，可得当a=b时，对任意x＞0，都有，∴b=a．（2）由（1）可知，且x＞0，∴，令g（x）=﹣ax2+x﹣a，要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则须有y=g（x）有两个不相等的正数根，∴或，解得或无解，∴a的取值范围，可得，由题意知，令，则，而当时，﹣3x4+4x﹣4=﹣3x4﹣4（1﹣x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）在上单调递减，∴，即时，．（3）∵，g（x）=﹣ax2+x﹣a，令f'（x）=0得：，，由（2）知时，y=g（x）的对称轴，△=1﹣4a2＞0，g（0）=﹣a＜0，∴x2＞1，又x1x2=1，可得x1＜1，此时，f（x）在（0，x1）上单调递减，（x1，x2）上单调递增，（x2，+∞）上单调递减，所以y=f（x）最多只有三个不同的零点，又∵f（1）=0，∴f（x）在（x1，1）上递增，即x∈[x1，1）时，f（x）＜0恒成立，根据（2）可知且所以，即∴，使得f（x0）=0，…（12分）由0＜x0＜x1＜1，得，又，∴f（x）恰有三个不同的零点：．综上所述，y=f（x）恰有三个不同的零点．点评：本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想．。

湖北省教育考试院 保留版权 数学（文史类） 第1页（共15页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）本试题卷共5页，22题。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．i 为虚数单位，607i =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 答案：A 解析：1.6074151+33ii i i ⨯===-.故选（A ）.2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石答案：B解析：这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石.故选(B). 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是 A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠- B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =- C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠- D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-答案：C解析：特称性命题的否定是全称性命题，且注意否定结论，故原命题的否定是：“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-”.故选（C ）.4．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关. 下列结论中正确的是 A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关答案：A数学（文史类） 第2页（共5页）解析：显然x 与y 负相关.又y 与z 正相关，所以根据“正负得负”的传递性，得x 与z 负相关.故选（A ）5．12,l l 表示空间中的两条直线，若p ：12,l l 是异面直线；q ：12,l l 不相交，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 答案：A解析：由12,l l 是异面直线，可得12,l l 不相交，所以p q ⇒；由12,l l 不相交，可得12,l l 是异面直线或12//l l ，所以q p ⇒.所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.故选（A ）.6．函数256()lg 3x x f x x -+=-的定义域为A ．(2,3)B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-答案：C解析：依题意，有40x -≥，解得44≤≤-x ①；且03652>-+-x x x ，解得2x >且3x ≠②；由①②求交集得，函数的定义域为()(]2,33,4.故选(C).7．设x ∈R ，定义符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则 A ．|||sgn |x x x = B ．||sgn ||x x x = C ．||||sgn x x x =D ．||sgn x x x =答案：D解析：当0>x 时，sgn x x x x ==； 当0=x 时，sgn 0x x x ==；数学（文史类） 第3页（共5页）当0<x 时，sgn x x x x =-=. 综上，sgn x x x =.故选(D).8． 在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p <<D ．2112p p << 答案：B解析：在直角坐标系中，依次作出不等式01,01,x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩11,22x y xy +≤≤的可行域如下图所示：依题意，OCDEABO S S p 四边形∆=1，OCDEOEGFC S S p 四边形曲边多边形=2，而O C D EO E C S S 四边形∆=21，所以1212p p <<. 故选(B).9．将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位 长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则 A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 答案：D数学（文史类） 第4页（共5页）解析：2211a b e +=，2e =不妨令21e e <，化简得()0b b m m a a m +<>+，得am bm <，得b a <.所以当a b >时，有ma mb a b ++>，即21e e >；当a b <时，有ma mb a b ++<，即21e e <.故选（D ）. 10．已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ，{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ，定义集合 12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．30答案：C解析：如图，集合A 表示如下图所示的所有红心圆点，集合B 表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点，集合A B ⊕显然是集合(){},|3,3,,x y x y x y ≤≤∈Z 中除去四个点()()()(){}3,3,3,3,3,3,3,3----之外的所有整点（即横坐标与纵坐标都为整数的点），即集合A B ⊕表示如下图所示的所有红心圆点+所有绿心圆点+所有黄心圆点，共45个.故A B ⊕中元素的个数为45 . 故选（C ）.数学（文史类） 第5页（共5页）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位 置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11．已知向量OA AB ⊥，||3OA =，则OA OB ⋅=_________． 答案：9 解析：由OA AB⊥，得OA AB =.所以()2O A OB OA O A AB O A O A A=+=+22039OA =+==. 12．若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y xy +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．答案：10解析：作出约束条件表示的可行域如下图所示：易知可行域边界三角形的三个顶点坐标分别是()()()3,1,1,3,1,3--，平行移动直线3y x =-，求可知当直线过点()3,1时3x y +取最大值10.13．函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为_________.答案：2解析：()2222sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x x x x π⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭.令()0f x =，则数学（文史类） 第6页（共5页）2sin 2x x =，则函数()f x 的零点个数即为函数sin 2y x =与函数2y x =图像的交点个数.作出函数图像知，两函数图像的交点有2个，即函数()f x 的零点个数为2.14．某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示. （Ⅰ）直方图中的a =_________；（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_________.答案：（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000.解析：（Ⅰ）由频率分布直方图知，()1.5 2.5 2.00.80.20.11a +++++⨯=，解得3a =； （Ⅱ）消费金额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为()100003 2.00.80.20.1⨯+++⨯=6000.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =_________m.数学（文史类） 第7页（共5页）答案：解析：依题意，在ABC ∆中，600AB =，30BAC ∠=︒，753045ACB ∠=︒-︒=︒，由正弦定理得sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，即600sin 30sin 45BC =︒︒，所以BC =.在BCD ∆中，30CBD ∠=︒，tan tan 30CD BC CBD =∠=︒=16．如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半 轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =. （Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.AB数学（文史类） 第8页（共5页）答案：（Ⅰ）22(1)(2x y -+=；（Ⅱ）①②③解析：（Ⅰ）由题意设圆心()1,C r （r 为圆C 的半径），则222122AB r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得r =所以圆C 的方程为()(2212x y -+=.（Ⅱ）令0x =，得1y =，所以点()1B .又点(C ，所以直线BC 的斜率为1BCk =-，所以圆C 在点B处的切线方程为)10y x -=-，即)1y x =+.令0y =，得切线在x轴上的截距为1.17． a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()g a . 当a =_________时，()g a 的值最小.解析：17.①当0a ≤时，()2f x x ax =-在[]0,1上是增函数，所以()()11g a f a ==-，此时()min 1g a =；②当02a <<时，作出函数()2f x x ax =-的大致图像如下：由图易知，()2f x x ax =-在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在,2aa ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在[],1a 上是增函数，此时，只需比较2a f ⎛⎫⎪⎝⎭与()1f 的大小即可.数学（文史类） 第9页（共5页）由()12a f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得2122a a a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得214a a =-，解得2a =或2a =（舍去）. 且当02a <<时，()12a f f ⎛⎫<⎪⎝⎭；当22a <<时，()12af f ⎛⎫> ⎪⎝⎭.（i ）当02a <<-时，()12a f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以()()11g a f a ==-，此时()31g a -<<；（ii ）当2a =时，()12a f f⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()()132a g a f f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭（iii ）当22a <<时，()12a f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()224a ag a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时()34g a -<；③当2a ≥时，()2f x x ax =-在[]0,1上是增函数，所以()()11g a fa ==-，此时()min 1g a =.综上，当2a =时，()min 3g a =-三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；数学（文史类） 第10页（共5页）（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到()y g x =图象，求 ()y g x =的图象离原点O 最近的对称中心. 解：18．（1）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-. 数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-.（2）由（1）知π()5sin(2)6f x x =-，因此 πππ()5sin[2()]5sin(2)666g x x x =+-=+.因为曲线sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π2π6x k +=，解得ππ212k x =-，k ∈Z .即()y g x =图像的对称中心为ππ0212k -（，），k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为π(,0)12-. 19．（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 解：（1）由题意有，111045100,2,a d a d +=⎧⎨=⎩ 即112920,2,a d a d +=⎧⎨=⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩ 或19,2.9a d =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩（2）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是数学（文史类） 第11页（共5页）2341357921122222n n n T --=++++++， ① 2345113579212222222n nn T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n nnn n T --+=++++-=-， 故n T 12362n n -+=-. 20．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的 中点，连接,,DE BD BE .（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需 写出结论）；若不是，请说明理由；（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12V V 的值．解：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥.由底面ABCD 为长方形，有BC CD ⊥，而PD CD D =， 所以BC ⊥平面PCD . DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥. 而PCBC C =，所以DE ⊥平面PBC .由BC ⊥平面PCD ，DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角数学（文史类） 第12页（共5页）形，即四面体EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠∠（2）由已知，PD 是阳马P ABCD -的高，所以11133ABCD V S PD BC CD PD =⋅=⋅⋅；由（1）知，DE 是鳖臑D BCE -的高， BC CE ⊥，所以21136BCE V S DE BC CE DE ∆=⋅=⋅⋅.在Rt △PDC 中，因为PD CD =，点E 是PC的中点，所以DE CE =， 于是 12123 4.16BC CD PD V CD PD V CE DEBC CE DE ⋅⋅⋅===⋅⋅⋅21．（本小题满分14分）设函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ()()e x f x g x +=，其中e 为自然对数的底数.（1）求()f x ，()g x 的解析式，并证明：当0x >时，()0f x >，()1g x >； （2）设0a ≤，1b ≥，证明：当0x >时，()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 解：（1）由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=, ①得 ()()e .x f x g x --+= ②联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-，1()(e e )2x x g x -=+.当0x >时，e 1x >，0e 1x -<<，故()0.f x > ③又由基本不等式，有1()(e e )12x x g x -=+>，即() 1.g x > ④（2）由（1）得 2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=， ⑤2111e 1()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x x x x x x x g x f x -''=+=-=-=， ⑥当0x >时，()()(1)f x ag x a x>+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-， ⑦()()(1)f x bg x b x<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧数学（文史类） 第13页（共5页）设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---，由⑤⑥，有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时，（1）若0c ≤，由③④，得()0h x '>，故()h x 在[0,)+∞上为增函数，从而()(0)0h x h >=，即()()(1)f x cxg x c x >+-，故⑦成立.（2）若1c ≥，由③④，得()0h x '<，故()h x 在[0,)+∞上为减函数，从而()(0)0h x h <=，即()()(1)f x cxg x c x <+-，故⑧成立. 综合⑦⑧，得 ()()(1)()(1)f x ag x a bg x b x+-<<+-. 22．（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与椭圆C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存 在，求出该最小值；若不存在，说明理由．解：（1）因为||||||314OM MN NO ≤+=+=，当,M N 在x 轴上时，等号成立；同理||||||312OM MN NO ≥-=-=，当,D O 重合，即MN x ⊥轴时，等号成立.图1图2数学（文史类） 第14页（共5页）所以椭圆C 的中心为原点O ，长半轴长为4，短半轴长为2，其方程为221.164x y +=（2）1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=.2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22,416,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=. 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-.②将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--. 因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8.综合1）2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.。