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2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《二次函数动点综合压轴》（四）1．如图，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OC＝2OA＝2，点D是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求出抛物线的解析式；（2）连接AD和BC，AD交BC于点E，当S△ABE ：S△BDE＝5：4时，求点D的坐标；（3）点F为y轴上的一点，在（2）的条件下，求DF+OF的最小值．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），交y轴正半轴于点C，OC＝4OA，S△ABC＝24．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作PD⊥AB于点D，连接AP交y轴于点E，过点E作EG⊥PD于点G，设点P的横坐标为t（t≤1），PG的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B作BF⊥EG交EG的延长线于点F，点Q在线段GF上，连接DQ、PQ，将△DGQ沿DQ折叠后，点G的对称点为点H，DH交BF于点M，连接MQ并延长交DP的延长线于点N，当∠DQM＝45°，tan∠PQN＝时，求直线PQ的解析式．3．如图，抛物线的解析式为y＝﹣x+5，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D．（1）E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段CD长度保持不变，沿直线BC移动得到C'D'，当线段EF最大时，求EC'+C'D'+D'B 的最小值；（2）Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P是△APQ为等边三角形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由．4．抛物线y＝﹣+bx+c交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，直线AB的解析式为y＝．（1）求b，c的值；（2）BA沿y轴翻折180°得到BA′，F为A′B上一点，BF的垂直平分线交y轴于点L，R为x轴上一点，BF+OR＝2，QR⊥FL于Q，求QR的长；（3）在（2）的条件下，直线LF交x轴于点D，E为抛物线第一象限上一点，BE＝BD，∠ABE+∠ABD＝180°，求点E的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC．（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的面积；（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；．并（4）在直线BC上方的曲线M上确定两个点D1，D2，使得＝＝S△ABC 求出点D1，D2的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点T1，T2，T3，T4，T5，使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点T1，T2，T3，T4，T5的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．（1）求此抛物线的解析式和对称轴．（2）如图2，当点E在抛物线的对称轴上运动时，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，当点A、C、D三点共圆时，请求出该圆圆心的坐标．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点横坐标是分式方程﹣2＝的解，若抛物线与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴的交点C（0，﹣6），（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）若点D坐标为，连结DC，若点H是线段DC上的一个动点，求的最小值；（3）连结AC，过点B作x轴的垂线l，在第三象限中的抛物线上取点P，过点P作直线AC的垂线交直线l于点E，过点E作x轴的平行线交AC于点F，已知PE＝CF．①求点P的坐标；②在抛物线上是否存在一点Q，使得∠QPC＝∠BPE成立？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴正半轴上，＝20．抛物线y＝ax2+bx+5经过A、B两点，连接BC，S△ABC（1）求抛物线的解析式；（2）点P在第二象限的抛物线上，过点P作PH⊥AC于点H，交y轴于点D，若PD＝3PH，求PD的长；（3）在（2）的条件下，若点M（m，7+m）和点P同在一个象限内，连接MD、MP，tan∠MDP ＝，求M点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点A，B，连接OA，OB，AB，直线AB交y轴于点C，点A到两坐标轴的距离相等．点B到两坐标轴的距离也相等．（1）求点A，B的坐标并直接写出△OAB的形状；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），连接PC，当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若点F为x轴上一动点，当△FAB是以AB为斜边的直角三角形时，求点F的坐标．10．已知：抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（m˃0）交x轴于A、B两点（其中A点在B点左侧），交y轴于点C．（1）若A点坐标为（﹣1，0），则B点坐标为．（2）如图1，在（1）的条件下，且am＝1，设点M在y轴上且满足∠OCA+∠AMO ＝∠ABC，试求点M坐标．（3）如图2，在y轴上有一点P（0，n）（点P在点C的下方），直线PA、PB分别交抛物线于点E、F，若＝，求的值．参考答案1．解：（1）OC＝2OA＝2，则点A、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣2），则c＝﹣2，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣2， S △ABE ：S △BDE ＝5：4，则AE ：ED ＝5：4，分别过点A 、D 作y 轴的平行线分别交BC 于点M 、H ，∴AM ∥HD ，当x ＝﹣1时，y ＝x ﹣2＝﹣， ∵AM ∥HD ，∴AM ：HD ＝AE ：ED ＝5：4， ∴HD ＝2，设点D （x ，x 2﹣x ﹣2），则点H （x ，x ﹣2）， DH ＝x ﹣2﹣（x 2﹣x ﹣2）＝2，解得：x ＝2， 故点D （2，﹣3）；（3）作一条与y 轴夹角为α的直线AH ，使tan ∠HOF ＝＝tanα，则sin ，过点D 作DH ⊥AH ，交AH 于点H ，交y 轴于点F ，则点F 为所求点，DF +OF ＝FD +HF 最小，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点N ，则∠FDN ＝α， 则直线FD 的表达式为：y ＝﹣x +n ，将点D的坐标代入上式并解得：直线DF的表达式为：y＝﹣x﹣，故点F（0，﹣），则OF＝，DF+OF的最小值＝FD+HF＝+×＝．2．解：（1）设OA＝m，则OC＝4OA＝4m，∵B（4，0），所以OB＝4，∴AB＝OA+OB＝4+m，∴S＝AB•OC＝2m（4+m）＝24，△ABC解得m＝2，∴A（﹣2，0），C（0，8），将A、C两点坐标代入y＝﹣x2+bx+c解得b＝2，c＝8，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8．（2）∵P为抛物线上一点，且横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+8），∴PD＝﹣t22t+8，OD＝t，∵A（﹣2，0），∴AD＝t+2，∵EG⊥PD，∴△PEG∼PAD，且EG＝OD＝t，∴，所以，所以d＝﹣t2+4t．（3）∵PG＝﹣t2+4t，PD＝﹣t2+2t+8，∴GD＝PD﹣PG＝8﹣2t，∴OE＝BF＝GD＝8﹣2t，设∠QMF＝α，则∠MQF＝90°﹣α，∵∠DQM＝45°，∴∠GQD＝180°﹣∠DQM﹣∠MQF＝45°+α，∴∠DQH＝∠GQD＝45°+α，∴∠HQM＝∠DQH﹣∠DQM＝α，∴△QFM≌△MHQ，∴QH＝MF，MH＝QF，如图，作MK⊥QM交DQ于K，过点K作SR⊥FB于R交GD于S，则∠KRM＝∠KMQ＝∠QFM＝90°，∵∠DQM＝45°，∴∠MKQ＝45°＝∠MQK，∴QM＝KM，∵∠QMF+∠KMR＝∠KMR+∠MKR＝90°，∴∠QMF＝∠MKR，∴△QFM≌△MRK，∴KR＝MF，MR＝QF，设QF＝m，则MR＝QF＝m，∴GQ＝QH＝FM＝EF﹣EG﹣QF＝4﹣t﹣m，∴FR＝FM+MR＝4﹣t﹣m+m＝4﹣t＝BF，∴R为BF中点，∴SK＝GQ，∵SK＝SR﹣KR＝GF﹣GQ＝QF，∴QF＝FM，∴tan∠QMF＝tanα＝，作PT⊥NQ于T，则tan∠N＝＝tanα＝，∴NT＝2PT，∵tan∠PQN＝＝，∴QT＝8PT，设PT＝n，则NT＝2n，QT＝8n，QN＝10n，PN＝n，∵＝tan∠N＝，∴GQ＝＝2n，NG＝2GQ＝4n，∴PG＝NG﹣PN＝3n，∴＝，∵GQ＝2SK＝2QF＝2m，∴，∴PG＝GF＝4﹣t，又∵PG＝﹣t2+4t，∴﹣t2+4t＝4﹣t，∴t2﹣5t+4＝0，解得t＝1或t＝5（舍），∴P（1，9），Q（3，6），∴PQ的解析式为y＝﹣x+．3．解：（1）因为y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣5）（x+），∴A（﹣，0），B（5，0），C（0，5），抛物线对称轴为x＝＝2，由B、C坐标可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+5，令x＝2，则y＝﹣×2+5＝3，∴D（2，3），∴CD＝C'D'＝4．设E（m，﹣m2+m+5），则F（m，﹣m+5），∴EF＝y E﹣y F＝﹣m2+m+5+m﹣5＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，EF取得最大值，此时E（，）．如图1，作平行四边形EC'D'E'，则EC'＝E'D'，E'（，）．作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H．∵tan∠CBO＝＝＝，所以∠CBO＝30°，∴D'G＝D'B，∴EC'+C'D'+D'B＝C'D'+E'D'+D'G≥C'D'+E'H，当且仅当E'、D'、G三点共线时，EC'+C'D'+D'B取得最小值C'D'+E'H＝4+＝．（2）①如图2，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．②如图3，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，P在x轴下方．∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．③如图4，△APQ是等边三角形，此时Q与C重合，P在x轴上方．∴等边三角形的边长为AQ＝AC＝2．④如图5，△APQ是等边三角形，此时Q在第三象限，P在x轴下方．∵PA＝PB＝PQ，所以A、Q、B三点在以P为圆心PA为半径为圆周上，∴∠ABQ＝∠APQ＝30°，∴直线BQ的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，解得或（舍），∴Q＝（﹣2，﹣7），∴AQ＝2，即等边△APQ的边长为2√．综上所述，满足要求的等边三角形的边长可以是：6、2、2．4．解：（1）∵直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，∴将A、B两点坐标代入抛物线解析析得：﹣﹣2b+c＝0，c＝2，∴b＝，c＝2，∴抛物线的解析为y＝﹣x2+x+2．（2）由题意知A'（2，0），∴OA'＝2，∴tan∠A'BO＝＝，所以∠OBA'＝30°，∵L为BF垂直平分线上的点，∴LB＝LF＝m，∴∠LFB＝∠LBF＝30°，∴∠OLQ＝60°，BF＝m，∴OL＝OB﹣LB＝2﹣m，设LQ的延长线与x轴交于点D，则∠LDO＝30°，∴OD＝OL＝6﹣m，∵BF+OR＝2，∴OR＝2﹣BF＝2﹣m，∴RD＝OD﹣OR＝4，∵RQ⊥FL，∴QR＝RD＝2．（3）如图3，设G为AB延长上一点，作BP⊥AB交x轴于点P，连接EP，作EH⊥x轴于H．∵tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝60°，∴∠BPA＝30°，∵∠ABE+∠ABD＝∠ABE+∠GBE＝180°∴∠ABD＝∠GBE，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∵∠ABD+∠DBE+∠GBE＝∠BDE+∠DBE+∠BED＝180°，∴∠ABD＝∠GBE＝∠BDE＝∠BED，∴AB∥DE，∴∠EDP＝∠BAO＝60°，∵BP⊥AB，∴BP⊥DE，∴PE＝PD，∴△EDP是等边三角形，∴PH＝DH＝DP，设D点坐标为（n，0），∵OP＝OB＝6，∴PD＝OP﹣OD＝6﹣n，∴DH＝PH＝，EH＝DH＝，OH＝，∴E（，），将E点坐标代入抛物线解析式解得n＝4或n＝，∴E点坐标为（5，）或（，）．5．解：（1）∵N与M图象下方的部分关于x轴对称，∴N所在函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵曲线N交y轴于点C，∴C（0，3），分别作BC与AB的垂直平分线交于点O'，则O'为△ABC的外接圆，∵Rt△BOC为等腰直角三角形，∴OO'＝OH＝O'H＝1，∵HB＝2，∴O'B＝，∵O'B是△ABC外接圆的半径，∴△ABC外接圆的面积＝5π；（3）当P点在M上时，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，0），∴m≥3或m≤﹣1；①当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝1+或m＝1﹣，＝，解得n＝2﹣或n＝2+，∴Q（2﹣，0）或Q（2+，0）；②当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝0或m＝2（都不符合）；当P点在N上时，设P（m，﹣m2+2m+3），Q（n，0），∴﹣1≤m≤3，③当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝0或m＝2，＝，解得n＝3或n＝1，∴Q（1，0）或Q（3，0），∵Q（3，0）与B（3，0）重合，∴Q（1，0）；④当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝1+或m＝1﹣（都不符合）；综上所述：Q（1，0）或Q（2﹣，0）或Q（2+，0）时以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；（4）∵＝＝S，△ABC∴D1D2所在直线与直线BC平行，∵BC＝3，设A点到BC的距离为h，∵△ABC的面积＝×3h＝×4×3，∴h＝2，∴D1D2所在直线与直线BC间的距离为2，设D1D2的直线解析式为y＝﹣x+b，∴b﹣3＝4，∴b＝7，∴y＝﹣x+7，联立，解得x＝或x＝，∴D1（，），D2（，）；联立，解得x无解；综上所述：D1（，），D2（，）；∵T1，T2，T3，T4，T5与点B，C围成的三角形的面积为，∴T1，T2，T3，T4，T5到直线BC的距离为，设与BC平行的直线为y＝﹣x+t，∴|t﹣3|＝，∴t＝或t＝，∴y＝﹣x+或y＝﹣x+，当点在M上时，x≥3或x≤﹣1，联立，解得x＝或x＝﹣，∴x＝﹣，∴T1（﹣，）；联立，解得x＝或x＝，∴T2（，）或T3（，）；当点在N上时，﹣1≤x≤3，联立，解得x＝（舍）或x＝，∴T4（，）；联立，解得x＝，∴T5（，）；综上所述：存在五个点符合条件，分别是T1（﹣，）或T2（，）或T3（，）或T4（，）或T5（，）．6．解：（1）把点A（﹣1，0）和B（3，0）代入，得解得：．∴抛物线的解析式为：∴对称轴；（2）存在，分三种情况讨论．①如图1 所示，∵四边形ACEF为平行四边形∴EF可由AC平移得到，点C的对应点为点E，点A的对应点为点F ∵，点E的横坐标为1∴向右平移了一个单位∵A（﹣1，0），∴点F的横坐标为0设直线AD的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．∴，把点A（﹣1，0）和代入，解得：∴直线AD的函数解析式为：∴当x＝0时，∴②如图2 所示，此时点F与点D重合，∴③如图3 所示，根据平移的规律，得知点F的横坐标为﹣2，当x＝﹣2时，∴综上所述：点F的坐标为或或．（3）设CD、AC的垂直平分线的交点为M点，则M点就是点A、C、D三点共圆的圆心．∵抛物线的对称轴x＝1是CD的垂直平分线，∴设M（1，m），由MA＝MC得，，解得，m＝﹣，∴M（1，﹣）．7．解：（1）解分式方程﹣2＝，1﹣2x+4＝﹣10x+1，x＝﹣，经检验，x＝﹣是原方程的解，∵抛物线对称轴与x轴交点横坐标是的解，∴抛物线对称轴为，∴a＝b，∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣3，0）、C（0，﹣6），∴∴，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣6；（2）作点O关于直线CD的对称点O'，过点O作O'G⊥y轴交CD与点H，交y轴与点G，如图1，∵OD＝2，OC＝6，则∠OCD＝30°，∴，∴＝GH+O'H＝GO'，此时为最小值，∵O'O⊥CD，∴∠OO'H＝∠OCD＝∠O'OD＝30°，∴OO'＝2OD•cos30°＝2×2×＝6，在Rt△OO'G中，GO'＝OO'•cos∠OO'G＝6cos60°＝3，即的最小值为；（3）①设点P的坐标为（m，n），n＝m2+m﹣6，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，，∴直线AC表达式为y＝﹣2x﹣6，则直线PE的一次项系数k的值为，设直线PE的表达式为：y＝x+b（k≠0），将点P坐标代入上式并解得：，∴直线PE的解析式为：y＝+n﹣，则点E的坐标为，点F的坐标为过点P作x轴的平行线交直线l于点M，过点F作y轴平行线交过C点作x轴的平行线于点S，如图2，∵AC⊥PE，∴∠EPM＝∠SFC，∵PE＝CF，∴△PME≌△FSC（AAS），∴PM＝FS，∴，即2m2+3m﹣2＝0，解得：或﹣2（舍去），故点P坐标为（﹣2，﹣4）；②由上可得点E坐标为（2，﹣2），过点P作x轴的平行线交直线l于点M，交y轴于点R，作EN⊥PB于点N，如图3，则PM＝4＝BM＝4，EM＝BE＝2，∴∠MPB＝∠MBP＝45°，PE＝，EN＝BE•sin∠NBE＝，设∠QPC＝∠BPE＝α，则，则tanα＝，过点P作y轴的平行线交过C点与x轴的平行线于点L，延长PQ交CL于点H，过点H 作HG⊥PC于G，则PL＝PR＝RC＝CL＝2，即四边形PRCL为正方形，∴∠PCH＝45°，设GH＝GC＝m，，，则，，即点H坐标为（﹣1，﹣6），则HP所在的直线表达式为：y＝﹣2x﹣8，解方程组得，或，∴点Q的坐标为（﹣1，﹣6）．8．解：（1）如图①，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C．∴A（﹣5，0），C（5，0）．∴OC＝OA＝5．＝20，∵S△ABC∴AB＝8．∴OB＝3．∴B（3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+5经过A，B两点，∴．解得．∴抛物线解析式为：；（2）如图②，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交AC于点G设点P的横坐标为3n，则纵坐标为：．∴E（0，﹣3n2﹣2n+5），F（﹣3n，0）．∴OE＝﹣3n2﹣2n+5，OF＝﹣3n在矩形PEOF中，PE＝OF，PF＝OE，∴PE＝﹣3n，PF＝﹣3n2﹣2n+5．∵OC＝OA＝5，∴AF＝5﹣3n，∠OAC＝∠OCA＝45°．∴∠PDE＝∠DPE＝45°．∴．∵PD＝3PH，∴．∵∠DPE＝45°，∴∠GPH＝45°．∵PH⊥AC，∴PG＝﹣2n．∵∠OAC＝45°，∴AF＝GF＝5+3n，∴PF＝﹣2n+5+3n＝n+5．∵PF＝﹣3n2﹣2n+5，∴n＝﹣1或n＝0（舍）∵点P在第二象限的抛物线上．∴n＝﹣1．∴；（3）∵M（m，7+m），∴点M在直线y＝x+7上．∵n＝﹣1，∴P（﹣3，4）．∴点P也在直线y＝x+7上．①如图③，当点M在点P上方时，过点M作MN⊥PE于点N∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴N（m，4）．∴PN＝m﹣（﹣3）＝m+3，MN＝7+m﹣4＝m+3．∴∠MPN＝∠PMN＝45．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝∠MPN+∠DPE＝90°．在直角三角形PMN中，PN＝m+3，MN＝m+3，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣2．∴M（﹣2，5）；②如图④，当点M在点P下方时，过点M作MK⊥EP延长线于点K，∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴K（m，4）．∴PK＝﹣3﹣m，MK＝4﹣（7+m）＝﹣3﹣m．∴PK＝MK．∴∠MPK＝∠PMK＝45°．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝180°﹣∠MPK﹣∠DPE＝90°．在直角三角形PMK中，PK＝﹣3﹣m，MK＝﹣3﹣m，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣4．∴M（﹣4，3）．∴点M的坐标为（﹣2，5）或（﹣4，3）．9．解：（1）∵点A在第二象限，∴设点A的坐标是（﹣m，m）．∵点A在抛物线上，∴．解得m1＝1，m2＝0（舍去）．∴点A的坐标是（﹣1，1）．同理可得点B的坐标是（3，3）．∴OA2＝2，OB2＝18，AB2＝（3+1）2+（3﹣1）2＝20．∴OA2+OB2＝AB2．∴△OAB是直角三角形；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）．∴，解得，∴直线AB的解析式为．∴点C的坐标为．∵直线OB过点O（0，0），B（3，3），∴直线OB的解析式为y＝x．∵△OPC为等腰三角形，∴OC＝OP或OP＝PC或OC＝PC．设P（x，x），①当OC＝OP时，．解得，（舍去）．∴．②当OP＝PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴．③当OC＝PC时，由，解得，x2＝0（舍去）．∴．∴P点坐标为或或．（3）如图，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作BH⊥x轴于点H．∵点F为x轴上一动点，∴设F（n，0），当∠AFB＝90°时，可得：∠NFA+∠HFB＝90°，∵∠HBF+∠HFB＝90°，则∠NFA＝∠HBF．又∵∠ANF＝∠FHB∴△AFN∽△FBH，∴，即，解得n1＝0，n2＝2．∴F1（0，0），F2（2，0）．10．解：（1）将（﹣1，0）代入y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）得：1+2m﹣3m2＝0，解得：m＝1或m＝﹣（舍），∴y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝a（x+1）（x﹣3），∴B（3，0）．故答案为：（3，0）．（2）当am＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3）∴OB＝OC＝3，∠ABC＝45°，如图1，M在y轴负半轴上，在y轴负半轴上截取OG＝OA＝1，连AG，则∠AGO＝45°＝∠ABC，AG＝，∴∠OCA+∠AMO＝45°，又∵∠OCA+∠GAC＝∠AGO＝45°，∴∠AMG＝∠GAC，又∵∠AGM＝∠CGA，∴△GMA∽△GAC，∴AG2＝MG•GC，又GC＝OC﹣OG＝2，设M（0，a）∴2＝（﹣1﹣a）•2，∴a＝﹣2，∴M的坐标为（0，﹣2）．根据对称性可知（0，2）也符合要求．综上所述，满足要求的M点的坐标有：（0，﹣2）、（0，2）．（3）由抛物线解析式可得：A（﹣m，0），B（3m，0）．∵，∴，如图2，作EG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，则△EAG∽PAO，△PFH∽△PBO，∴＝＝＝，∴AG＝AO＝m，OP＝2EG，∴x E＝﹣m，y E＝am2，即EG＝am2，∴OP＝am2，∴P（0，﹣am2），又∵B（3m，0），∴直线PB的解析式为：y＝amx﹣am2，∴amx﹣am2＝a（x2﹣2mx﹣3m2），∴2x2﹣7mx+3m2＝0，∴x1＝3m（舍），x2＝m，∴FH＝m，∴＝＝＝．。
重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。
所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。
课题二次函数的综合压轴题型归类1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 教学目标2、 掌握特殊图形面积的各种求法1、 利用图形的性质找点 重点、难点2、 分解图形求面积教学内容知识点睛：一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总1、两点间的距离公式22： ABy A y Bx A x Bx A x B y A y B2、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：2 ，2直线 yk 1 x b 1 （ k 1 0 ）与 y k 2 x b 2 （ k 2 0 ）的位置关系：（ 1）两直线平行k 1 k 2 且 b 1 b 2 （ 2）两直线相交k 1 k 2（ 3）两直线重合k 1 k 2 且 b 1 b 2（ 4）两直线垂直k 1k 213、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：① 用 和参数的其他要求确定参数的取值范围；② 解方程，求出方程的根； （两种形式：分式、二次根式）③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。
例：关于 x 的一元二次方程x 2－2 m 1 x m 2＝0 有两个整数根， m ＜5 且 m 为整数，求 m 的值。
4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。
（方法同上）例：若抛物线213 与y mxmx x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定3此抛物线的解析式。
5、方程总有固定根问题 ，可以通过解方程的方法求出该固定根。
举例如下：已知关于 x 的方程 mx 23(m 1)x 2m 3 0 （ m 为实数），求证：无论 m 为何值，方程总有一个固定的根。
解：当 m0 时， x1；当 m0 时，m 3203 m 1， x1 231 ；， x、 x22m m综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。
6、函数过固定点问题，举例如下：已知抛物线 y x2mx m 2 （ m 是常数），求证：不论 m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。
2021年中考数学第三轮压轴题：二次函数的综合专题复习1、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．2、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．3、如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．5、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B 的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P 运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y 轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于点E，且满足tan∠OAD=．（1）求抛物线的解析式；（2）动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A出发，沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动，当点P 运动到点A时，点Q也停止运动，设运动时间为t秒．①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△ADC与△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t，使得△APQ与△CAQ的面积之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．9、如图，已知二次函数y=ax2−5√3x+c(a>0)的图象抛物线与x轴相交于不同的两点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<x2，(1)若抛物线的对称轴为x=√3求的a值；(2)若a=15，求c的取值范围；(3)若该抛物线与y轴相交于点D，连接BD，且∠OBD=60∘，抛物线的对称轴l，连接AF，满与x轴相交点E，点F是直线l上的一点，点F的纵坐标为3+12a足∠ADB=∠AFE，求该二次函数的解析式．10、如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．11、如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．12、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a、b为常数，a≠0）与x轴相交于另一点A（3，0）．直线l：y=x在第一象限内和此抛物线相交于点B（5，t），与抛物线的对称轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使以点P、O、C为顶点的三角形与以点A、O、B为顶点的三角形相似，求满足条件的点P的坐标；（3）直线l沿着x轴向右平移得到直线l′，l′与线段OA相交于点M，与x 轴下方的抛物线相交于点N，过点N作NE⊥x轴于点E．把△MEN沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上时（图2），求直线l′的解析式；（4）在（3）问的条件下（图3），直线l′与y轴相交于点K，把△MOK绕点O 顺时针旋转90°得到△M′OK′，点F为直线l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点F的坐标．13、如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q 的坐标．14、已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO =S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．【解答】解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，∴B（﹣5，7），C（1，7），设直线AB解析式为y=kx+2，把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，可得△AQH∽△ABM，∴=，∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P （﹣13，0），综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．2、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1．（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D．设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，∴直线BC的解析式为y=﹣x+1．设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣x+1）∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，=OB•DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x．∴S△PBC又∵S=1，△PBC∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，∴点P的坐标为（1，）或（2，1）．（3）存在．∵A（﹣1，0），C（0，1），∴OC=OA=1∴∠BAC=45°．∵∠BQC=∠BAC=45°，∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点．设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°．设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，解得：x=（负值已舍去），∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．3、如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC 面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，∴OC2=OA•OB=3，则OC=；（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，∴OC=BC，∴点C的横坐标为，又OC=，点C在x轴下方，∴C（，﹣），设直线BM的解析式为y=kx+b，把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，解得：b=﹣，k=，∴y=x﹣，又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，解得：a=，∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；（3）点P存在，设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，则Q（x，x﹣），∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为当x=﹣=时，S△BCP（，﹣）．4、如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；（3）直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的表达式是y=x2﹣4x+3；（2）当x=0时，y=3，即点C（0，3），设BC的表达式为y=kx+b，将点B（3，0）点C（0，3）代入函数解析式，得，解这个方程组，得直线BC的解析是为y=﹣x+3，过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E（t，﹣t+3），PE=﹣t+3﹣（t﹣4t+3）=﹣t2+3t，∴S△BCP =S△BPE+SCPE=（﹣t2+3t）×3=﹣（t﹣）2+．∵﹣＜0，∴当t=时，S△BCP最大=（3）M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3）MN=m2﹣3m，BM=|m﹣3|，当MN=BM时，①m2﹣3m=（m﹣3），解得m=，②m2﹣3m=﹣（m﹣3），解得m=﹣当BN=MN时，∠NBM=∠BMN=45°，m2﹣4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）当BM=BN时，∠BMN=∠BNM=45°，﹣（m2﹣4m+3）=﹣m+3，解得m=2或m=3（舍），当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．5、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设y=a（x﹣1）2+4（a≠0），把C（0，3）代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，∵S△OBC =S△QBC，∴PQ∥BC，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，联立得：，解得：或，即Q（2，3）；②设G（1，2），∴PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，联立得：，解得：或，∴Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF 与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y=﹣x+b，联立得：，消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，∵△MNF为等腰直角三角形，∴MN2=2NF2=42﹣8b，∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），整理得：b2+10b﹣75=0，解得：b=﹣15或b=5，∵正方形边长为MN=，∴MN=9或．6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B 的左侧），且OA=3，OB=1，与y轴交于C（0，3），抛物线的顶点坐标为D（﹣1，4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F、G，当点P 运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A在B的左侧），且OA=3，OB=1，得A点坐标（﹣3，0），B点坐标（1，0）；（2）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣1），把C点坐标代入函数解析式，得a（0+3）（0﹣1）=3，解得a=﹣1，抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣1）=﹣x2﹣2x+3；（3）EF+EG=8（或EF+EG是定值），理由如下：过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．设P（t，﹣t2﹣2t+3），则PQ=﹣t2﹣2t+3，AQ=3+t，QB=1﹣t，∵PQ∥EF，∴△AEF∽△AQP，∴=，∴EF===×（﹣t2﹣2t+3）=2（1﹣t）；又∵PQ∥EG，∴△BEG∽△BQP，∴=，∴EG===2（t+3），∴EF+EG=2（1﹣t）+2（t+3）=8．7、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；（3）在（2）的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x=0时，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴点C的坐标为（0，﹣4）；当y=0时，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（3，0）．（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，，解得：，∴直线BC的解析式为y=x﹣4．过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如图1所示，当运动时间为t秒时，点P的坐标为（2t﹣2，0），点Q的坐标为（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB•QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+．∵﹣＜0，∴当t=时，△PBQ的面积取最大值，最大值为．（3）当△PBQ面积最大时，t=，此时点P的坐标为（，0），点Q的坐标为（，﹣1）．假设存在，设点M的坐标为（m，m2﹣m﹣4），则点F的坐标为（m，m﹣4），∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF•OB=﹣m2+3m．∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2．∵0＜m＜3，∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，点M 的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣）．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y 轴于点C（0，﹣），OA=1，OB=4，直线l过点A，交y轴于点D，交抛物线于。
二次函数与几何函数综合题探究图形面积数量关系压轴题重难点突破一.备考策略解决二次函数压轴题中的面积问题，求几何图形的面积是解决问题的关键，常有以下方法：（1）有一条边在坐标轴上：以坐标轴所在的边为底边，过顶点的作底边的垂线。
（2）①当没有边在坐标轴上时，作辅助线转化为面积和差求解：作平行于坐标轴的直线，转化为两个同底三角形，底×高的和。
②作两条平行于坐标轴的直线：借助直角梯形-两个直角三角形面积求解。
（3）当三角形面积为定值，求点坐标（点的轨迹为到底边一定距离的两条平行直线）（4）同底不等高的三角形，面积比等于高之比（5）等高不同底的三角形，面积比等于底边长之比（6）二次函数常见图形面积二．突破技巧构造二次函数来确定几何图形中的有关面积问题是近年常考的题型，求解这类问题，实际上，只要我们能充分运用条件，根据图形的特点，综合运用所学的知识，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、图形的面积公式等等寻找等量关系，从而构造二次函数，再利用二次函数的性质即可求解。
三．真题在线例1. （2018•黄冈）已知直线l：y=kx+1与抛物线y=x2﹣4x．（1）求证：直线l与该抛物线总有两个交点；（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k=﹣2时，求△OAB的面积．【分析】（1）联立两解析式，根据判别式即可求证；（2）画出图象，求出A、B的坐标，再求出直线y=﹣2x+1与x轴的交点C，然后利用三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（1）联立化简可得：x2﹣（4+k）x﹣1=0，∴△=（4+k）2+4＞0，故直线l与该抛物线总有两个交点；（2）当k=﹣2时，∴y=﹣2x+1过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，∴联立解得：或∴A（1﹣，2﹣1），B（1+，﹣1﹣2）∴AF=2﹣1，BE=1+2易求得：直线y=﹣2x+1与x轴的交点C为（，0）∴OC==S△AOC+S△BOC∴S△AOB=OC•AF+OC•BE=OC（AF+BE）=××（2﹣1+1+2）=例2. （2018•徐州）已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式．（2）根据的函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标．（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【解答】解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N （1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5）=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．∴S△OA′B′例3. （2018•黑龙江）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），对称轴为直线x=﹣2，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，请直接写出P点坐标．【分析】（1）由对称轴直线x=2，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式；（2）由抛物线的对称轴及BC的长，确定出B与C的横坐标，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B与C坐标，利用待定系数法求出直线AB解析式，作出直线CP，与AB 交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出Q横坐标，代入直线AB解析式求出纵坐标，确定出Q坐标，再利用待定系数法求出直线CQ解析式，即可确定出P的坐标．【解答】解：（1）由题意得：x=﹣=﹣=﹣2，c=2，解得：b=4，c=2，则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2；（2）∵抛物线对称轴为直线x=﹣2，BC=6，∴B横坐标为﹣5，C横坐标为1，把x=1代入抛物线解析式得：y=7，∴B（﹣5，7），C（1，7），设直线AB解析式为y=kx+2，把B坐标代入得：k=﹣1，即y=﹣x+2，作出直线CP，与AB交于点Q，过Q作QH⊥y轴，与y轴交于点H，BC与y轴交于点M，可得△AQH∽△ABM，∴=，∵点P在x轴上，直线CP将△ABC面积分成2：3两部分，∴AQ：QB=2：3或AQ：QB=3：2，即AQ：AB=2：5或AQ：QB=3：5，∵BM=5，∴QH=2或QH=3，当QH=2时，把x=﹣2代入直线AB解析式得：y=4，此时Q（﹣2，4），直线CQ解析式为y=x+6，令y=0，得到x=﹣6，即P（﹣6，0）；当QH=3时，把x=﹣3代入直线AB解析式得：y=5，此时Q（﹣3，5），直线CQ解析式为y=x+，令y=0，得到x=﹣13，此时P（﹣13，0），综上，P的坐标为（﹣6，0）或（﹣13，0）．练习反馈1. 如图， △ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，点A 、C 分别是一次函数334y x =-+的图像与y 轴、x 轴的交点，点B 在二次函数218y x bx c =++的图像上，且该二次函数图像上存在一点D 使四边形ABCD 能构成平行四边形． （1）试求b 、c 的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P 从A 到D ，同时动点Q 从C 到A 都以每秒1个单位的速度运动，问： ①当P 运动到何处时，由PQ ⊥AC ？②当P 运动到何处时，四边形PDCQ 的面积最小？此时四边形PDCQ 的面积是多少？2.如图 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过平行四边形ABCD 的顶点A (0，3)，B (－1，0)，D (2，3)，抛物线与x 轴的另一交点为E .经过点E 的直线l 将平行四边形ABCD 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F .P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点P 的横坐标为t .(1)求抛物线的函数表达式．(2)当t 为何值时，△PFE 的面积最大？并求最大值的立方根．(3)是否存在点P 使△PAE 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．3. 如图，抛物线y＝13x2＋23x－5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.若点E为x轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE ＝S△ABC时，求点E的坐标.4. 如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)，抛物线与直线y＝－32x＋3交于C，D两点.连接BD，AD.(1)求m的值；(2)抛物线上有一点P，满足S△ABP ＝4S△ABD，求点P的坐标.5. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－14x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C 三点，其中点A 的坐标为(0，8)，点B 的坐标为(－4，0). (1)求该二次函数的表达式及点C 的坐标；(2)点D 的坐标为(0，4)，点F 为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD ，CF ，以CD ，CF 为邻边作▱CDEF ，设▱CDEF 的面积为S ，求S 的最大值.6.如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4),交x 轴于点A(3,0)，交y 轴于点B(1)求抛物线和直线AB 的解析式;(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连PA ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及;(3)在(2)中是否存在一点P ，使，若存在，求出P 点的坐标;若不存在，请说明理由.7. 抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积.（2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）8. 已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P.（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；（2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=,若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
