普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖北省,含答案)

2022高考湖北数学文科试题含详细解答（全word版）080628绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.★祝考试顺利★注间事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效.3.填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设a(1,2),b(3,4),c(3,2),则(a2b)cA.(15,12)B.0C.3D.11解：a2b(1,2)2(3,4)(5,6)，(a2b)c(5,6)(3,2)3，选C2.(2某312某2)的展开式中常数项是105210A.210B.解：Tr1C10(2某)(r3rC.rr14D.-105，令3r202r0得r412某4)210rC102(12)10412)10r某3r202r所以常数项为T5C102(410523.若集合P{1,2,3,4},Q{某0某5,某R},则A.“某R”是“某Q”的充分条件但不是必要条件B.“某R”是“某Q”的必要条件但不是充分条件C.“某R”是“某Q”的充要条件D.“某R”既不是“某Q”的充分条件也不是“某Q”的必要条件解：某P某Q反之不然故选A安徽省泾县中学查日顺整理第1页共10页2022.6.284.用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为A.323B.83C.82D.823解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为1球的半径是2，4R33所以根据球的体积公式知V823，故D为正确答案．某y,5.在平面直角坐标系某Oy中，满足不等式组的点(某,y)的集合用阴影表示为下列图中的某1解：在坐标系里画出图象，C为正确答案。

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设3i12iz -=+，则z = A ．2B ．3C ．2D ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =ðA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－2－3B ．－2+3C ．2－3D ．2+38．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国统一考试数学及答案（湖北卷文）绝密启用前_年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试题卷(文史类)本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分. 满分150分. 考试时间120分钟.第I部分(选择题共60分)注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名.准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3．考试结束,监考人员将本试题卷和答题卡一并收回.一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设P.Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q=,则P+Q中元素的个数是( )A．9 B．8 C．7 D．62．对任意实数a,b,c,给出下列命题:①〝〞是〝〞充要条件; ②〝是无理数〞是〝a是无理数〞的充要条件③〝a_gt;b〞是〝a2_gt;b2〞的充分条件;④〝a_lt;5〞是〝a_lt;3〞的必要条件.其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．43．已知向量a=(－2,2),b=(5,k).若a+b不超过5,则k的取值范围是( )A．[－4,6] B．[－6,4] C．[－6,2] D．[－2,6]4．函数的图象大致是( )5．木星的体积约是地球体积的倍,则它的表面积约是地球表面积的( )A．60倍B．60倍 C．120倍D．120倍6．双曲线离心率为2,有一个焦点与抛物线的焦点重合,则mn的值为( )A． B．C．D．7．在这四个函数中,当时,使恒成立的函数的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．38．已知a.b.c是直线,是平面,给出下列命题:①若;②若;③若;④若a与b异面,且相交;⑤若a与b异面,则至多有一条直线与a,b都垂直.其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．49．把一同排6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票全部分给4个人,每人至少分1张,至多分2张,且这两张票具有连续的编号,那么不同的分法种数是( )A．168 B．96 C．72 D．14410．若( )A． B．C．D．11．在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．012．某初级中学有学生270人,其中一年级108人,二.三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样.分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一.二.三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;关于上述样本的下列结论中,正确的是( )A．②.③都不能为系统抽样 B．②.④都不能为分层抽样C．①.④都可能为系统抽样 D．①.③都可能为分层抽样第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:第Ⅱ卷用0.5毫米黑色的签字或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分. 把答案填在答题卡相应位置上.13．函数的定义域是.14．的展开式中整理后的常数项等于.15．函数的最小正周期与最大值的和为.16．某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元. 在满足需要的条件下,最少要花费元.三.解答题:本大题共6小题,共74分,解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤.17．(本小题满分12分)已知向量在区间(－1,1)上是增函数,求t的取值范围.18．(本小题满分12分)在△ABC中,已知,求△ABC的面积.19．(本小题满分12分)设数列的前n项和为Sn=2n2,为等比数列,且(Ⅰ)求数列和的通项公式;(Ⅱ)设,求数列的前n项和Tn.20．(本小题满分12分)如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(Ⅰ)求BF的长;(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.21．(本小题满分12分)某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1,寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换.(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率;(Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率;(Ⅲ)当p1=0.8,p2=0.3时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字).22．(本小题满分14分)设A.B是椭圆上的两点,点N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C.D两点.(Ⅰ)确定的取值范围,并求直线AB的方程;(Ⅱ)试判断是否存在这样的,使得A.B.C.D四点在同一个圆上?并说明理由._年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考答案一.选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.1．B 2．B 3．C 4．D 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．C 11．D 12．D二.填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.13．14．38 15． 16．500三.解答题17．本小题主要考查平面向量数量积的计算方法.利用导数研究函数的单调性,以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.解法1:依定义开口向上的抛物线,故要使在区间(－1,1)上恒成立.解法2:依定义的图象是开口向下的抛物线,18．本小题主要考查正弦定理.余弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.解法1:设AB.BC.CA的长分别为c.a.b,.故所求面积解法3:同解法1可得c=8.又由余弦定理可得故所求面积19．本小题主要考查等差数列.等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解:(1):当故{an}的通项公式为的等差数列.设{bn}的通项公式为故(II)两式相减得20．本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力.解法1:(Ⅰ)过E作EH//BC交CC1于H,则CH=BE=1,EH//AD,且EH=AD.又∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH.∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2.(Ⅱ)延长C1E与CB交于G,连AG,则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CM⊥AG,垂足为M,连C1M,由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC,且AG面AEC_shy;1F,所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中,作CQ⊥MC1,垂足为Q,则CQ的长即为C到平面AEC1F的距离.解法2:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0), C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z).∵AEC1F为平行四边形,(II)设为平面AEC1F的法向量,的夹角为a,则∴C到平面AEC1F的距离为21．本小题主要考查概率的基础知识和运算能力,以及运用概率的知识分析和解决实际问题能力.解:(I)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为(II)对该盏灯来说,在第1.2次都更换了灯泡的概率为(1-p1)2;在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1-p2),故所求的概率为(III)至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况,换5只的概率为p5(其中p为(II)中所求,下同)换4只的概率为(1-p),故至少换4只灯泡的概率为22．本小题主要考查直线.圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问题的能力.(I)解法1:依题意,可设直线AB的方程为,整理得①设①的两个不同的根,②是线段AB的中点,得解得k=-1,代入②得,_gt;12,即的取值范围是(12,+). 于是,直线AB的方程为解法2:设依题意,(II)解法1:代入椭圆方程,整理得③③的两根,于是由弦长公式可得④将直线AB的方程⑤同理可得⑥假设在在_gt;12,使得A.B.C.D四点共圆,则CD必为圆的直径,点M为圆心.点M到直线AB的距离为⑦于是,由④.⑥.⑦式和勾股定理可得故当时,A.B.C.D四点均在以M为圆心,为半径的圆上. (注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:A.B.C.D共圆△ACD为直角三角形,A为直角⑧由⑥式知,⑧式左边=由④和⑦知,⑧式右边=∴⑧式成立,即A.B.C.D四点共圆解法2:由(II)解法1及.代入椭圆方程,整理得③将直线AB的方程代入椭圆方程,整理得⑤解③和⑤式可得不妨设∴计算可得,∴A在以CD为直径的圆上.又B为A关于CD的对称点,∴A.B.C.D四点共圆. (注:也可用勾股定理证明AC⊥AD)。

2008年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设(1,2)a =-，(3,4)b =-，(3,2)c =，则(2)a b c +⋅=( )A ．(15,12)-B ．0C ．－3D ．－112. 1032122x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是( ) A ．210 B ．1052 C ．14D ．105- 3．若集合{1,2,3,4},{05,},P Q x x x R ==<<∈则( ) A ．“x P ∈”是“x Q ∈”的充分条件但不是必要条件 B ．“x P ∈”是“x Q ∈”的必要条件但不是充分条件 C ．“x P ∈”是“x Q ∈”的充要条件D ．“x P ∈”既不是“x Q ∈”的充分条件也不是“x Q ∈”的必要条件4．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( )A ．323π B ．83π C ． D ． 35．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组||||||1x y x ≤⎧⎨<⎩，的点(,)x y 的集合用阴影表示为下列图中的( )第10题图6.已知()f x 在R 上是奇函数，且满足(4)(),f x f x += 当(0,2)x ∈时， 2()2f x x =，则 (7)f =( ) A ．-2 B ．2 C ．-98 D ．987.将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F '，若F '的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是( ) A ．512π B ．512π- C ．1112π D ．1112π-8.函数1()f x x=+( ) A ．(,4][2,)-∞-+∞ B ． (4,0)(0,1)- C ． [4,0)(0,1]- D ． [4,0)(0,1)-9．从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为( ) A ．100 B ．110 C ．120 D ．18010．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①1122a c a c +=+；②1122a c a c -=-；③1212c a a c >；④1212.c c a a <其中正确式子的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11．一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的员工人数是 .12.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C所对的边，已知3,30,a b c ===则A ＝ . 13.方程223xx -+=的实数解的个数为 .14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .15.圆34cos ,:()24sin x C y θθθ=+⎧⎨=-+⎩为参数的圆心坐标为 ，和圆C 关于直线0x y -=对称的圆C '的普通方程是 .第18题图三、解答题：本大题共6分小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满12分) 已知函数2()sincos cos 2.222x x xf x =+- (Ⅰ)将函数()f x 化简成))2,0[,0,0()sin(πϕωϕω∈>>++A B x A 的形式，并指出()f x 的周期； (Ⅱ)求函数17()[,12f x ππ在上的最大值和最小值17.(本小题满分12分)已知函数322()1f x x mx m x =+-+(m 为常数，且m >0)有极大值9. (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若斜率为-5的直线是曲线()y f x =的切线，求此直线方程。

2023____________________________________________1{1,2,3,4,5}U ={1,4}M ={2,5}N =UN M =()A.{2,3,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4,5}D.{2,3,4,5}235(1i )(2i)(2i)+=+-()A.1-B.1C.1i -D.1i+3(3,1)=a (2,2)=b cos ,+-=a b a b () A.117B.1717C.55D.255442.422()A.16B.13C.12D.235nS {}n a n.2610a a +=4845a a =5S =()A.25B.22C.20D.156B =()A.21B.34C.55D.8971F 2F C2215x y +=PC120PF PF ⋅= 12||||PF PF ⋅=()A.1B.2C.4D.58e 1xy x =+e (1,)2()A.e 4y x = B.e2y x = C.e e 44y x =+ D.e 3e 24y x =+9C22221(0,0)x y a b a b -=>>C22(2)(3)1x y -+-=A B ||AB =()A.5B.5C.5D.510P ABC -ABC 22PA PB ==PC =()A.1C.2D.3112(1)()e x f x --=.22a f =32b f =6(2c f =()A.b c a >>B.b a c >>C.c b a>> D.c a b>>12()y f x =πcos(2)6y x =+π6()y f x =1122y x =-()A.1B.2C.3D.413nS {}n a n .6387S S ={}n a ________.142π()(1)sin(2f x x ax x =-+++a =________.15x y323,233,1,x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩32z x y =+________.161111ABCD A B C D -4AB =O1AC OO ________.17ABC A B C a b c2222cos b c a A+-=.(1)bc(2)cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+ABC .18111ABC A B C -1A C ⊥ABC 90ACB ∠=︒.(1)11ACC A ⊥11BB C C(2)1AB A B=12AA =111A BB C C-.19402020(g).15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.27.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(1)(2)()40mmm.m <m≥()()95%22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.1000.0500.010k2.7063.8416.635202sin ()cos x f x ax x =-π(0,2x ∈.(1)1a =()f x (2)()sin 0f x x +<a.21210x y -+=C22(0)y px p =>A B ||AB =.(1)p (2)FC M NCFM FN ⋅= MFN .22[44](2,1)P l2cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩(t )αl l xy A B ||||4PA PB ⋅=.(1)α(2)xl .23[45]0a >()2||f x x a a =--.(1)()f x x <(2)()y f x =x 2a .1A{2,3,5}UM ={2,5}N ={2,3,5}UN M =A.2C()32251i 5(1i)5(1i)1i (2i)(2i)2i 5+--===-+-- C.3B(5,3)+=a b (1,1)-=-a b ()()17cos ,||||17+⋅-〈+-〉==+-a b a b a b a b a b a b B.4D21a 2a 21b 2b 42()12,a a ()11,a b ()12,a b ()21,a b ()22,a b ()12,b b 62()11,a b ()12,a b ()21,a b ()22,a b 424263P == D.5C2610a a +=4210a =45a =4845a a =89a =.{}n a d84951844a a d --===-45a =12a =51545202S a d ⨯=+⨯= C.{}n a d2610a a +=135a d +=4845a a =()()113745a d a d ++=12a =1d =51545202S a d ⨯=+⨯= C.6B13≤123A =+=325B =+=2k =23≤358A =+=8513B =+=3k =33≤81321A =+=211334B =+=4k =43≤34B = B.7B120PF PF ⋅= 12PF PF ⊥12212121tan 22PF F F PF SPF PF b ∠=⋅=121901tan 22PF PF ︒⋅=⨯122PF PF ⋅= B.120PF PF ⋅=12PF PF ⊥22221212(2)16PF PF F F c +===.122PF PF a +==()21220PF PF +=221212220PF PF PF PF ++⋅=122PF PF ⋅= B.8C22e (1)e 1e (1)(1)x x x x x y x x +-⋅'==++e 1xy x =+e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1e4x k y ='==e 1xy x =+e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭e e(1)24y x -=-e e 44y x =+ C.9Dc e a==c =225c a =2225a b a +=224b a=224b a =2y x=±2y x=.222,(2)(3)1,y x x y =⎧⎨-+-=⎩2516120x x -+=.11)(,A x y ()22,B x y 12165x x +=12125x x =.12||5AB x x =-==D.(2,3)2y x=55d ==||5AB=== D.10AAB D PD CD ABC22PA PB==PD AB⊥CD AB⊥PD CD==PC= 222PD CD PC+=PD CD⊥AB CD D=AB CD⊂ABC PD⊥ABC11121332P ABC ABCV S PD-=⨯⨯=⨯⨯=A.11A2(1)()e xf x--=e uy=2(1)u x=--e uy= R2(1)u x=--(,1)-∞(1,)+∞()f x(,1)-∞(1,)+∞.()f x1x=222c f f⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21222<-<<2222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭b c a>> A.12Ccos26y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭6π()cos2cos2sin2662f x x x x⎡ππ⎤π⎛⎫⎛⎫=++=+=-⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()f x1122y x=-.3. C.1312-6387S S ={}n a 1q ≠()()6311118711a q a q qq--⨯=⨯--()63)8(171q q -=-()3817q +=12q =-.142()f x ()()f x f x -=22(1)sin((1)sin 22x ax x x ax x ππ⎛⎫---+-+=-+++ ⎪⎝⎭2a =.()f x 22f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22112222a a ππππ⎛⎫⎛⎫---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2a =.1515320x y +=Az .323,233,x y x y -=⎧⎨-+=⎩3,3,x y =⎧⎨=⎩max 332315z =⨯+⨯=.16[22,23]O O().r4AB =24r =r =R4AB =2222(2)444R =++R =O.17(1)1bc =(2)4(1)222cos 2b c a A bc+-=2222cos b c a A+-=22bc =1bc =.(2)cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+sin cos sin cos sin 1sin cos sin cos sin A B B A BA B B A C--=+sin()sin 1sin()sin A B BA B C--=+.A B C +=π- sin()sin A B C∴+=sin()sin sin sin()A B B C A B ∴--==+sin cos cos sin sin sin cos cos sin A B A B B A B A B ∴--=+2cos sin sin A B B ∴-=.(0,)B ∈π sin 0B ∴≠1cos 2A ∴=-.(0,)A ∈π sin 2A ∴==.(1)1bc =ABC1133sin 12224S bc A ==⨯⨯=.18(1)(2)111A BB C C-1(1)1A C ⊥ABC BC ⊂ABC1A C BC ⊥90ACB ∠=︒BC AC⊥1A C AC C= 1AC AC ⊂11ACC ABC ⊥11ACC A BC ⊂11BB C C 11ACC A ⊥11BB C C .(2)1A 11A H CC ⊥1CCH(1)11ACC A ⊥11BB C C 11ACC A 111BB C C CC =1A H ⊂11ACC A 1A H ⊥11BB C C111A BB C C -1A H .1AB A B =BC BC=190A CB ACB ∠=∠=︒1ACB A CB1CA CA =.12AA =190ACA ∠=︒111AC CA ==.11111111122CA C SCA A C A H CC =⋅⋅=⋅⋅1111112CA A C A H CC ⋅===.111A BB C C- 1.11CA C 1A H11112A H CC ==111A BBC C- 1.19(1)19.8(2)()()95%(1)1(7.89.211.412.413.220⨯+++++15.516.518.018.819.219.820.221.622.823.6++++++++++23.925.128.232.336.5)19.8++++=.(2)()40202123.223.64023.223.623.42m +==.m <m≥614146()222()40(661414) 6.4 3.841()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯95%.20(1)1a =()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭(2)a(,0]-∞(1)()2cos (cos cos )sin cos cos (sin )2sin cos x x x x x x x x x''==-+⋅-=-24cos cos sin (2sin cos )()cos x x x x x f x a x ⋅-⋅-'=-22233cos 2sin 2cos cos cos x x x a a x x+-=-=-.1a =232332cos cos cos 2()1cos cos x x x f x x x-+-'=-=.0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos (0,1)x ∈32cos cos 2x x +<()0f x '<1a =()f x 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)2sin ()sin cos xF x ax x x=-+(0)0F =.242332cos cos cos 2()cos cos cos x x x F x a x a x x -+-'=-+=+.(0)0F '=0a =.0a >(0)0F a '=>2x +π⎛⎫→ ⎪⎝⎭()F x '→-∞00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00F x '=()00,x x ∈()0F x '>()F x ()00,x x ∈()(0)0F x F >=.a ≤()233222sin 1cos sin sin ()sin cos cos cos x x x x f x x ax ax xx x -+=-=-≤-0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin 0f x x +<0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭32sin 0cos x x-<0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.2cos x0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭03sin x0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭32sin 0cos x x-<0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.a (,0]-∞.22sin 1()sin sin sin 1cos cos x f x x ax x ax x x x ⎛⎫+=-+=+- ⎪⎝⎭0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.0a ≤()sin 0f x x +<0a >0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin x x<2211()sin sin 1sin sin 1cos cos f x x ax x a x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+->+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21sin 1cos x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭210,cos 2y x x ⎛π⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1,)+∞11a +>0a00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2011cos a x <+00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00sin 0f x x +>0a >()sin 0f x x +<0a >.a (,0]-∞.21(1)2p =(2)MFN 4(3-(1)()11,A x y ()22,B x y 21x y =-22y px=2420y py p -+=211680p p ∆=->12p >.124y y p+=122y y p=||4AB =2p =32p =-()2p =.(2)()33,M x y ()44,N x y (1)2:4C y x =(1,0)F .FM FN ⋅=90MFN ∠=︒()()()343434111||||111(*)222MFNS MF NF x x x x x x ==++=+++.MN MN x90MFN ∠=︒MF NF1-1.MF1:1MF y x =-21,4,y x y x =-⎧⎨=⎩2610x x -+=3433x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩3433x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(*)343x x ==-MFN4(3-.MNMNy kx m =+.2,4,y kx m y x =+⎧⎨=⎩222(42)0k x km x m --+=2222(42)40km m k ∆=-->342234242,,km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()()()22343434344my y kx m kx m k x x mk x x m k=++=+++=.()()()33443434341,1,10FM FN x y x y x x x x y y ⋅=-⋅-=-+++=22242410m km m k k k --++=2264m k km ++=.()2234342124122MFNm k km Sx x x x k +-+=+++=2222221m k km m m k k k ++⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m t k=221MFNSt t =++2264m k km ++=224610m m k k k ⎛⎫⎛⎫++=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2610t t ++>3t >-+3t <--221124(3MFNS t t =++>-=-.MFN 4(3-.22(1)34απ=(2)cos sin 30ρθρθ+-=(1)A B1t 2t .0x =22cos t α=-y =11sin t α=-2124||||4cos sin sin cos sin 2PA PB ααααα⋅=--===sin 21α=±[0,)α∈π4απ=34απ=.lxy34απ=.(2)(1)l2,212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t )30x y +-=cos x ρθ=sin y ρθ=l cos sin 30ρθρθ+-=.23(1),33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)2a =(1)()f x x <2||x a a x--<2||x a x a-<+()2222422x ax a x ax a -+<++2231030x ax a -+<(3)(3)0x a x a --<0a >33ax a <<,33a a ⎛⎫⎪⎝⎭.(2)()y f x =x1x 2x 12x x >.()0f x =2||x a a -=22x a a-=22x a a-=-132a x =22a x =()y f x =x12d x x a=-=x(,)a a -211||222S d a a =⋅-==24a =2a =2a =-()2a =.(1)x a ≤()22f x a x a x =--<3x a >3a x >3ax a <≤(0a >)x a >()22f x x a a x=--<3x a<3a x a <<.,33a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)2,()23,x a x af xx a x a-+≤⎧=⎨->⎩()f x()y f x=x ABC,02aA⎛⎫⎪⎝⎭3,02aB⎛⎫⎪⎝⎭(,)C a a-||AB a=ABC AB a211||222ABCS AB a a=⋅==2a=2a=-()2a=.。

2019普通高等学校招生全国统一考试数学（文）试卷（湖北卷）纯word 解析版注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

数学〔文科〕本试题卷共4页，共22题。

总分值150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★本卷须知1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷、草稿纸上无效。

3、填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试题卷、草稿纸上无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ，{|05,}B x x x =<<∈N ，那么满足条件A C B ⊆⊆ 的集合C 的个数为A 、1B 、2C 、3D 、42、容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：那么样本数据落在区间[10,40)的频率为A 、0.35B 、0.45C 、0.55D 、0.653、函数()cos2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为A 、2B 、3C 、4D 、5A 、任意一个有理数，它的平方是有理数B 、任意一个无理数，它的平方不是有理数C 、存在一个有理数，它的平方是有理数D 、存在一个无理数，它的平方不是有理数5、过点(1,1)P的直线，将圆形区域22+≤分为两部分，使得这两部分的面积之{(,)|4}x y x y差最大，那么该直线的方程为A、20x y+-=-=D、340x y+-=B、10y-=C、0x y6、定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如下图， 那么(2)y f x =--的图象为7、定义在(,0)(0,)-∞+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，那么称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)-∞+∞上的如下函数：①2()f x x =；②()2x f x =；③()f x =()ln ||f x x =. 那么其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 A 、①②B 、③④C 、①③D 、②④8、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .假设三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>，320cos b a A =，那么sin :sin :sin A B C 为 A 、4:3:2B 、5:6:7C 、5:4:3D 、6:5:49、设,,a b c +∈R ，那么“1abc =”是“a b c≤++”的A 、充分条件但不是必要条件B 、必要条件但不是充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要的条件10、如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率是A 、112π- B 、1πC 、21π- D 、2π第6题图第10题图【二】填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 11、一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取假设干人，假设抽取的男运动员有8人，那么抽取的女运动员有人、 12、假设3i i 1ib a b +=+-〔a ，b 为实数，i 为虚数单位〕，那么a b +=.13、向量(1,0)=a ，(1,1)=b ，那么〔Ⅰ〕与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为； 〔Ⅱ〕向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为.14、假设变量,x y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩那么目标函数23z x y =+的最小值是.15、某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为.16、阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s =. 17、传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如下图的三角形数：将三角形数1，3，6，10，记为数列{}na ，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}nb .可以推测：〔Ⅰ〕2012b 是数列{}na 中的第________项；〔Ⅱ〕21k b -=________.〔用k 表示〕第16题图163 1 ···【三】解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18、〔本小题总分值12分〕设函数22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=+⋅-+()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，其中ω，λ为常数，且1(,1)2ω∈. 〔Ⅰ〕求函数()f x 的最小正周期；〔Ⅱ〕假设()y f x =的图象经过点π(,0)4，求函数()f x 的值域.19、〔本小题总分值12分〕某个实心零部件的形状是如下图的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -.〔Ⅰ〕证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；〔Ⅱ〕现需要对该零部件表面进行防腐处理.10AB =，1120A B =，230AA =，113AA =〔单位：厘米〕，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？20、〔本小题总分值13分〕等差数列{}na 前三项的和为3-，前三项的积为8.〔Ⅰ〕求等差数列{}na 的通项公式；〔Ⅱ〕假设2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{||}na 的前n 项和.21、〔本小题总分值14分〕设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且.当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C 、〔Ⅰ〕求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；〔Ⅱ〕过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？假设存在，求m 的值；假设不存在，请说明理由.22、〔本小题总分值14分〕设函数()(1) (0)n f x ax x b x =-+>，n 为正整数，a ，b 为常数.曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=. 〔Ⅰ〕求a ，b 的值；〔Ⅱ〕求函数()f x 的最大值； 〔Ⅲ〕证明：1()ef x n <. 2018年普通高等学校招生全国统一考试〔湖北卷〕A 2B 2C 2D 2CBADA 1B 1C 1D 1第19题图数学〔文史类〕试题参考答案【一】选择题：A 卷：1、D2、B3、D4、B5、A6、B7、C8、D9、A10、C 【二】填空题：11、612、313、〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕 14、215、12π16、917、〔Ⅰ〕5030；〔Ⅱ〕()5512k k -【三】解答题： 18、解：〔Ⅰ〕因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos 22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+. 由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±， 所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z 、 又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=. 所以()f x 的最小正周期是6π5.〔Ⅱ〕由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=故5π()2sin()36f x x =-()f x 的值域为[22-. 19、解：〔Ⅰ〕因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，所以2AA AB ⊥，2AA AD ⊥.又因为AB AD A =，所以2AA ⊥平面ABCD .连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以2AA BD ⊥.因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 根据棱台的定义可知，BD 与B 1D 1共面.又平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB D D平面ABCD BD =，平面11BB D D平面111111A B C D B D =，所以B 1D 1∥BD .于是由2AA BD ⊥，AC BD ⊥，B 1D 1∥BD ，可得211AA B D ⊥，11AC B D ⊥.又因为2AA AC A =，所以11B D ⊥平面22ACC A . 〔Ⅱ〕因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 所以2211111()42S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()221204(101120(cm )2=+⨯+=. 于是该实心零部件的表面积为212130011202420(cm )S S S =+=+=，故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=〔元〕.20、解：〔Ⅰ〕设等差数列{}n a 的公差为d ，那么21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35na n n =--=-+，或43(1)37na n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37na n =-.〔Ⅱ〕当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37na n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件.故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为nS .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=；当3n ≥时， 234||||||n n S S a a a =++++5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+.当2n =时，满足此式. 综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩ 21、解：〔Ⅰ〕如图1，设(,)M x y ，0(,)A x y ，那么由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01||||y y m=.① 因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=.②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且. 因为(0,1)(1,)m ∈+∞，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)；当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,-，(0,.〔Ⅱ〕解法1：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，那么11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得21122244k x x x m k -+=-+，即212224m x x m k =+.因为点H 在直线QN 上，所以2121222224km x y kx kx m k -==+.于是11(2,2)PQ x kx =--，22112121222242(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++. 而PQ PH ⊥等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k -⋅==+， 即220m -=，又0m >，得m故存在m 2212y x +=上，对任意的0k >， 都有PQ PH ⊥.， 222222,m x y m +=⎪⎩222221212()()0m x x y y -+-=.③ 依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠.于是由③式可得212121212()()()()y y y y mx x x x -+=--+.④ 又Q ，N ，H 三点共线，所以QNQH kk =，即1121122y y y x x x +=+.于是由④式可得211212*********()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+.图2 (01)m << 图3 (1)m > 图1 第21题解答图而PQ PH ⊥等价于1PQPH kk ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得m ， 故存在m 2212y x +=上，对任意的0k >，都有 PQ PH ⊥.22、解：〔Ⅰ〕因为(1)f b =，由点(1,)b 在1x y +=上，可得11b +=，即0b =.因为1()(1)n nf x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =.故1a =，0b =.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)()1n n f x n x x n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =+，即()f x '在(0,)+∞上有唯一零点01n x n =+.在(0,)1n n +上，()0f x '>，故()f x 单调递增； 而在(,)1n n +∞+上，()0f x '<，()f x 单调递减.故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. 〔Ⅲ〕令1()ln 1+(0)t t t t ϕ=->，那么22111()= (0)t t t t t tϕ-'=->. 在(0,1)上，()0t ϕ'<，故()t ϕ单调递减； 而在(1,)+∞上()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增.故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=.所以()0(1)t t ϕ>>， 即1ln 1(1)t t t>->. 令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，即11ln()ln en n n++>， 所以11()e n n n ++>，即11(1)enn n n n +<+. 由〔Ⅱ〕知，11()(1)en n n f x n n +≤<+，故所证不等式成立.。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷，解析版）一、选择题1．已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则()C A B U U =A.{6,8}B. {5,7}C. {4,6,7}D. {1,3,5,6,8}答案：A解析：因为{1,2,3,4,5,7}A B =U ，故(){6,8}u C A B =U ，所以选A.解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A 、B 、F (,0)2P，依题意可知，A 、B 必关于x轴对称，故设200(,)2y A y P 0(0)y >，则200(,)2y B y P -，则0||2AB y =，故由抛物线定义可得20||22y P AF P =+，则由||||AB AF =，解得220040y Py P -+=，由判别式计算得△>0，故有两个正三角形，可知选C.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12]内的频数为 A.18B.36C.54D.72答案：B解析：根据频率分布直方图，可知样本点落在[10，12）内频率为12(0.020.050.190.15)0.18-⨯+++=，故其频数为2000.1836⨯=，所以选B. 6．已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A.{|,}3x k x k k z ππππ+≤≤+∈ B.{|22,}3x k k k z ππππ+≤+∈C.5{|,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ D. 5{|22,}66x k x k k z ππππ+≤≤+∈ 答案：A解析：由3sin cos 1x x -≥，即1sin()62x π-≥，解得22()3k x k k z ππππ+≤≤+∈，所以选A.7．设球的体积为V 1,它的内接正方体的体积为V 2，下列说法中最合适的是A. V 1比V 2大约多一半B. V 1比V 2大约多两倍半C. V 1比V 2大约多一倍D. V 1比V 2大约多一倍半答案：D解析：设球半径为R ，其内接正方体棱长为a 2222a a a R ++=，即23,3a R =由 3331248,339v R v a R π===，比较可得应选D.8．直线与不等式组0,0,2,4320x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨-≥-⎪+≤⎩表示平面区域的公共点有A.0个B.1个C.2个D.无数个答案：B解析：画出可行域（如图示），可得B(0,2) , A(2,4),C(5,0) ,D(0, 203), E(0,10),故由图知有唯一交 点，所以选B.9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为A. 1升B.6766升C.4744升 D.3733升答案：B解析：设9节竹子的容积从上往下依次为a1,a2,……a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：56766a=，所以选B.二、填空题11. 某市有大型超市200家、中型超市400家，小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市家. 答案：20解析：应抽取中型超市100400202004001400⨯=++（家）.解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为227230281145CPC=-=.14. 过点(－1,－2)的直线l被圆222210x y x y+--+=2则直线l的斜率为答案：1或177解析： 依题意直线l 斜率存在，设为k ，则l 方程为2(1)y k x +=+，圆方程化简为22(1)(1)1x y -+-=，由弦长为2及几何图形，可知圆心（1，1）到直线l 的距离22221()22d =-=，根据点到直线距离公式可计算得1717k =或.（1）∵22212cos 1444,4c a b ab C =+-=+-⨯=∴2c =.∴△ABC 的周长为a+b+c =1+2+2=5.（2）∵1cos ,4C = ∴22115sin 1cos 1()4C C =--∵15sin 154sin ,2a C A c === ∵,a c A C <∴<，故A 为锐角. ∴22157cos 1sin 1().88A A =-=-=∴71151511cos()cos cos sin sin .848416A C A C A C -=+=⨯+⨯=17. （本小题满分12分）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b中的245b b b 、、(Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；(Ⅱ)数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列5{}4n S +是等比数列.18. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱1AA 上，点F 在侧棱1BB 上，且22,2AE BE ==. (Ⅰ)求证：1CF C ⊥(Ⅱ)求二面角1EE CF C --的大小.本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力.19. （本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(Ⅰ)当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；(Ⅱ)当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =g 可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时） 本小题主要考查函数，最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 解析：（1）由题意：当020x ≤≤时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设().v x ax b =+ 再由已知得2000,2060.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,3200.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数v(x)的表达式为60, 020,()1(200), 20200.3x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（2）依题意并由（1）可得60, 020, ()1(200), 20200.3xxf xx x x≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，当020x≤≤时，()f x为增函数.故当x=20时，其最大值为60×20=1200；当20200x≤≤时，211(200)10000()(200)[].3323x xf x x x+-=-≤=当且仅当200x x=-，即100x=时，等号成立.所以，当100x=时，()f x在区间[20，200]上取得最大值100003.综上，当100x=时，()f x在区间[0，200]上取得最大值1000033333≈.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.20. （本小题满分13分）（2）由（1）得22()452f x x x x=-+-，所以32()()32.f xg x x x x+=-+依题意，方程2(32)0x x x m-+-=有三个互不相同的实根0、x1、x2，故x1、x2是方程2320x x m-+-=的两相异的实根.所以△=9-4（2-m）>0，即1.4m>-又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x∈+<-成立.特别地，取1x x=时，111()()f xg x mx m+-<-成立，得m<0.由韦达定理，可得121230,20,x x x x m+=>=->故120x x<<对任意的12[,]x x x ∈，有20x x -≤，10x x -≥，x >0.则12()()()()0.f x g x mx x x x x x +-=--≤又111()()0,f x g x mx +-= 所以函数()()f x g x mx +-在12[,]x x x ∈的最大值为0.于是当m<0时，对任意的12[,]x x x ∈，()()(1)f x g x m x +<-恒成立.综上，m 的取值范围是（1,04-）.21. （本小题满分13分）（2）由（1）知，当1m =-时，C 1的方程为222x y a +=；当(1,0)(0,)m ∈-+∞U 时，C 2的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F a m F m -++. 对于给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞U ，C 1上存在点000(,)(0)N x y y ≠使得2||S m a =的充要条件是22200020,0 121||||.2x y a y a m y m a ⎧+=≠⎪⎨⋅+=⎪⎩ 由①得00||y a <≤，由②得0||.1y m=+当0,1a m<≤+即1502m -≤<，或1502m +<≤时. 存在点N, 使2||;S m a =,1a m>+即151m --<15m +>时， 不存在满足条件的点N.当1515[m ++∈U 时，由100200(1,),(1,)NF a m x y NF m x y =-+-=+-u u u u r u u u u r， 可得22221200(1).NF NF x m a y ma ⋅=-++=-u u u u r u u u u r 令112212||, ||, F NF =NF r NF r θ==∠u u u u r u u u u r则由21212cos ,NF NF r r ma θ⋅==-u u u u r u u u u r 可得212cos ma r r θ=，从而22121sin 1sin tan ,22cos 2ma S r r ma θθθθ==-=-于是由2||.S m a =可得221tan ||2ma m a θ-=，即2||tan .m mθ=-综上可得：当15[m -∈时，在C 1上，存在点N ，使得2||S m a =，且12tan 2;F NF =当15m +∈时，在C 1上，存在点N ，使得2||S m a =，且12tan 2;F NF =-； 当1515(()m -+∈-+∞U 时，在C 1上，不存在满足条件的点N. ① ②。

绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2,3 C.{}3,4 D.{}1,2,92.设z =，则z z ⋅=（A.-iB.1C.-1D.23.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，37a a +=（）A.2- B.73 C.1 D.295.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.236.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.7.曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.2C.12D.328.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.9.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B.1- C.2D.1原10题略10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A .①③B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．13.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．14.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.16.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.17.已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1ex f x -<恒成立．18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.20.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．绝密★启用前2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}1,2,3,4,5,9A =，{}1B x x A =+∈，则A B = （）A.{}1,2,3,4 B.{}1,2,3 C.{}3,4 D.{}1,2,9【答案】A 【解析】【分析】根据集合B 的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算.【详解】依题意得，对于集合B 中的元素x ，满足11,2,3,4,5,9x +=，则x 可能的取值为0,1,2,3,4,8，即{0,1,2,3,4,8}B =，于是{1,2,3,4}A B ⋂=.故选：A 2.设z =，则z z ⋅=（）A.-iB.1C.-1D.2【答案】D 【解析】【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z=，故22i2zz=-=.故选：D3.若实数,x y满足约束条件43302202690x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y=-的最小值为（）A.5B.12C.2-D.7 2-【答案】D【解析】【分析】画出可行域后，利用z的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y满足43302202690x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y=-可得1155y x z=-，即z的几何意义为1155y x z=-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z有最小值，此时直线1155y x z=-过点A，联立43302690x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得321xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A⎛⎫⎪⎝⎭，则min375122z=-⨯=-.故选：D.4.等差数列{}n a的前n项和为n S，若91S=，37a a+=（）A.2-B.73 C.1 D.29【答案】D【解析】【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列的基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ⨯=+=⇔+=，又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=.故选：D方法三：特殊值法不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==.故选：D5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】分类讨论甲乙的位置，得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.【详解】当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；基本事件总数显然是44A 24=，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为81243=.故选：B6.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.【答案】C【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.7.曲线()631f x x x =+-在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.32C.12D.【答案】A 【解析】【分析】先求出切线方程，再求出切线的截距，从而可求面积.【详解】()563f x x ='+，所以()03f '=，故切线方程为3(0)131y x x =--=-，故切线的横截距为13，纵截距为1-，故切线与坐标轴围成的面积为1111236⨯⨯=故选：A.8.函数()()2e esin xxf x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.9.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+B.1- C.32D.1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 13⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+ ⎪-α⎝⎭，故选：B .原10题略10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③B.②④C.①②③D.①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.2【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．原13题略12.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是______．【答案】2【解析】【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】()πsin 2sin 3f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，当[]0,πx ∈时，ππ2π,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ32x -=时，即5π6x =时，()max 2f x =.故答案为：213.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.14.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，则a 的取值范围为______．【答案】()2,1-【解析】【分析】将函数转化为方程，令()2331x x x a -=--+，分离参数a ，构造新函数()3251,g x x x x =+-+结合导数求得()g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令()2331x x x a -=--+，即3251a x x x =+-+，令()()32510,g x x x x x =+-+>则()()()2325351g x x x x x =+-=+-'，令()()00g x x '=>得1x =，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()1,x ∞∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，()()01,12g g ==-，因为曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点，所以等价于y a =与()g x 有两个交点，所以()2,1a ∈-.故答案为：()2,1-三、解答题：共7017题第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n S 的通项公式.【答案】（1）153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）353232n ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；（2）利用等比数列的求和公式可求n S .【小问1详解】因为1233n n S a +=-,故1233n n S a -=-，所以()12332n n n a a a n +=-≥即153n n a a +=故等比数列的公比为53q =，故1211523333533a a a a =-=⨯-=-，故11a =，故153n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由等比数列求和公式得5113353523213n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-.16.如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD的中点.（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求点M 到ABF 的距离.【答案】（1）证明见详解；（2）31313【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作FO AD ⊥，连接OB ，易证,,OB OD OF 三垂直，结合等体积法M ABF F ABM V V --=即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD BC AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM 中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，由等体积法可得M ABF F ABM V V --=，211113323323242F ABM ABM V S FO -=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=△，2222222cos2FA AB FB FAB FAB FA AB +-+-∠==∠=⋅1139sin 2222FAB S FA AB FAB =⋅⋅∠=⋅⋅△，设点M 到FAB 的距离为d ，则113933322M FAB F ABM FAB V V S d d --==⋅⋅=⋅⋅=△，解得31313d =，即点M 到ABF 的距离为31313.17.已知函数()()1ln 1f x a x x =--+．（1）求()f x 的单调区间；（2）若2a ≤时，证明：当1x >时，()1e x f x -<恒成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x >时，1e 21ln 0x x x --++>即可.【小问1详解】()f x 定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x '-=-=当0a ≤时，1()0ax f x x -'=<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，1,x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减.综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；0a >时，()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.【小问2详解】2a ≤，且1x >时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++，令1()e 21ln (1)x g x x x x -=-++>，下证()0g x >即可.11()e 2x g x x -'=-+，再令()()h x g x '=，则121()e x h x x-'=-，显然()h x '在(1,)+∞上递增，则0()(1)e 10h x h ''>=-=，即()()g x h x ='在(1,)+∞上递增，故0()(1)e 210g x g ''>=-+=，即()g x 在(1,)+∞上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g >=-++=，问题得证18.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k =-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Q y y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．19.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x t y t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+（2）34a =【解析】【分析】（1）根据ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩可得C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为2222x s y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x a y x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =20.实数,ab 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。

普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出地 四个选项中，只有一项是符合题目要求地 .1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2}A =，{2,3,4}B =，则UB A =I ð A ．{2}B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5}2．已知π04θ<<，则双曲线1C ：22221sin cos x y θθ-=与2C ：22221cos sin y x θθ-=地 A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为A．()p⌝∨()q⌝B．p∨()q⌝C．()p⌝∧()q⌝D．p∨q4．四名同学根据各自地样本数据研究变量,x y之间地相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且$ 2.347 6.423=-；②y与x负y x相关且$ 3.476 5.648=-+；y x③y与x正相关且$ 5.4378.493=+；④y与x正y x相关且$ 4.326 4.578=--.y x其中一定不正确．．．地 结论地 序号是 A ．①②B ．②③C ．③④D ． ①④5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好地 图象是6．将函数sin ()y x x x =+∈R 地 图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到地 图象关于y 轴对称，则m地最小值是A．π12B．π6C．π3D．5π67．已知点(1,1)A-、(1,2)B、(2,1)C--、(3,4)D，则向量AB u u u r在CD u u u r方向上地投影为A．BC．D．8．x为实数，[]x表示不超过x地最大整数，则函数()[]f x x x=-在R上为A．奇函数B．偶函数C．增函数 D．周期函数9．某旅行社租用A、B两种型号地客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆地载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元10．已知函数()(ln)=-有两个极值点，则实数a地取f x x x ax值范围是A．(,0)-∞B．1(0,)2C．(0,1) D．(0,)+∞二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．地位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．i为虚数单位，设复数z，2z在复平面内对应地点1关于原点对称，若123iz=-，则2z= . 12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4则（Ⅰ）平均命中环数为；（Ⅱ）命中环数地标准差为 .13．阅读如图所示地程序框图，运行相应地程序.若输入m地值为2，则输出地结果i= .14．已知圆O ：225x y +=，直线l ：cos sin 1x y θθ+=（π02θ<<）.设圆O 上到直线l 地 距离等于1地 点地 个数为k ，则k = .15．在区间[2,4]-上随机地取一个数x ，若x 满足||x m ≤地 概率为56，则m = . 16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形地 天池盆第13题图接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸.（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y地坐标x，y均为整数，则称点P为格点. 若一个多边形地顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形. 格点多边形地面积记为S，其内部地格点数记为N，边界上地格点数记为L. 例如图中△ABC是格点三角形，对应地1N=，4S=，0L=.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应地,,S N L分别是；（Ⅱ）已知格点多边形地面积可表示为S aN bL c=++，其中a，b，c为常数. 若某格点多边形对应地71N=，18L=，则S=（用数值作答）.三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C对应地边分别是a，b，c.已知cos23cos()1-+=.A B C（Ⅰ）求角A地大小；（Ⅱ）若△ABC地面积S =5b =，求sin sin B C 地 值.19．（本小题满分13分）已知n S 是等比数列{}n a 地 前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-.（Ⅰ）求数列{}na 地 通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件地 所有n 地 集合；若不存在，说明理由．20．（本小题满分13分）如图，某地质队自水平地面A ，B ，C 三处垂直向地下钻探，自A 点向下钻到A 1处发现矿藏，再继续下钻到A 2处后下面已无矿，从而得到在A 处正下方地 矿层厚度为121A A d =．同样可得在B ，C 处正下方地 矿层厚度分别为122B Bd =，123C Cd =，且123d dd <<. 过AB ，AC 地 中点M ，N 且与直线2AA 平行地 平面截多面体111222A B C A B C -所得地 截面DEFG 为该多面体地 一个中截面，其面积记为S 中．（Ⅰ）证明：中截面DEFG 是梯形；（Ⅱ）在△ABC 中，记BC a =，BC 边上地 高为h ，面积为S . 在估测三角形ABC 区域内正下方地 矿藏储量（即多面体111222A B C A B C -地 体积V ）时，可用近似公式V S h=⋅估中来估算. 已知1231()3V d d d S=++，试判断V 估与V 地 大小关系，并加以证明.21．（本小题满分13分）设0a >，0b >，已知函数()1ax bf x x+=+. （Ⅰ）当a b ≠时，讨论函数()f x 地 单调性； （Ⅱ）当0x >时，称()f x 为a 、b 关于x 地 加权平均数.（i ）判断(1)f ， ()bf a，()b f a是否成等比数列，并证明()()b bf f a a≤；（ii ）a 、b 地 几何平均数记为G . 称2aba b+为a 、b 地 调和平均数，记为H . 若()H f x G ≤≤，求x 地 取值范围.22．（本小题满分14分）第20题图如图，已知椭圆1C 与2C 地 中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合地 直线l 与1C ，2C 地 四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，△BDM 和△ABN地 面积分别为1S 和2S .（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ地 值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．第22题图普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．B 7．A 8．D 9．C 10．B 二、填空题：11．23i -+ 12．（Ⅰ）7 （Ⅱ）2 13．414．4 15．3 16．3 17．（Ⅰ）3， 1， 6 （Ⅱ）79 三、解答题：18．（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得22cos3cos 20A A +-=，即(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得1cos 2A = 或cos 2A =-（舍去）. 因为0πA <<，所以π3A =. （Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得20bc =. 又5b =，知4c =.由余弦定理得2222cos 25162021,ab c bc A =+-=+-=故a =.又由正弦定理得222035sin sin sin sin sin2147b c bcB C A A A a a a=⋅==⨯=.19． （Ⅰ）设数列{}na 地 公比为q ，则10a ≠，0q ≠. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}na 地 通项公式为13(2)n na-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）有3[1(2)]1(2)1(2)n nn S ⋅--==----.若存在n ，使得2013nS≥，则1(2)2013n--≥，即(2)2012.n-≤-当n 为偶数时，(2)0n->， 上式不成立；当n 为奇数时，(2)22012nn -=-≤-，即22012n≥，则11n ≥.综上，存在符合条件地 正整数n ，且所有这样地 n 地 集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N .20． （Ⅰ）依题意12A A ⊥平面ABC ，12B B ⊥平面ABC ，12C C ⊥平面ABC ，所以A 1A 2∥B 1B 2∥C 1C 2. 又121A A d =，122B Bd =，123C Cd =，且123d dd << .因此四边形1221A AB B 、1221A A C C 均是梯形.由2AA ∥平面MEFN ，2AA ⊂平面22AA B B ，且平面22AA B B I 平面MEFN ME =，可得AA 2∥ME ，即A 1A 2∥DE . 同理可证A 1A 2∥FG ，所以DE ∥FG .又M 、N 分别为AB 、AC 地 中点，则D 、E 、F 、G 分别为11A B 、22A B 、22A C 、11A C 地 中点，即DE 、FG 分别为梯形1221A AB B 、1221A A C C 地 中位线.因此 12121211()()22DE A A B B d d =+=+，12121311()()22FG A A C C d d =+=+， 而123d dd <<，故DE FG <，所以中截面DEFG 是梯形.（Ⅱ）VV<估. 证明如下：由12A A ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，可得12A A MN ⊥.而EM ∥A 1A 2，所以EM MN ⊥，同理可得FN MN ⊥. 由MN 是△ABC地 中位线，可得1122MN BC a ==即为梯形DEFG 地 高，因此13121231()(2)22228DEFGd d d d a aSS d d d ++==+⋅=++中梯形，即123(2)8ahVS h d d d =⋅=++估中.又12S ah =，所以1231231()()36ahV d dd S d d d =++=++.于是1231232131()(2)[()()]6824ah ah ahV V d d d d d d d d d d -=++-++=-+-估.由123d dd <<，得210dd ->，310d d ->，故VV<估.21． （Ⅰ）()f x 地 定义域为(,1)(1,)-∞--+∞U ，22(1)()()(1)(1)a x ax b a bf x x x +-+-'==++.当a b >时，()0f x '>，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递增；当a b <时，()0f x '<，函数()f x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上单调递减.（Ⅱ）（i ）计算得(1)02a b f +=>，2()0b abf a a b=>+，0f =.故22(1)()[2b a b abf f ab f a a b+=⋅==+， 即2(1)()[b f f f a =.①所以(1),()b f f f a成等比数列.因2a b +≥(1)f f ≥. 由①得()b f f a ≤.（ii ）由（i ）知()b f H a=，f G =.故由()H f x G ≤≤，得()()b f f x f a ≤≤.②当a b =时，()()b f f x f a a===.这时，x 地 取值范围为(0,)+∞；当a b >时，01b a<<，从而b a <，由()f x 在(0,)+∞上单调递增与②式，得b x a ≤≤x 地取值范围为,b a⎡⎢⎣；当a b <时，1b a>，从而b a >()f x 在(0,)+∞上单调递减与②式，bx a≤≤，即x 地取值范围为b a ⎤⎥⎦.22． 依题意可设椭圆1C 和2C 地 方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.m nλ=> （Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 地 方程为0x =，则111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22SAB ON a AB =⋅=，所以12||||SBD SAB =.在C 1和C 2地 方程中分别令0x =，可得Aym=，Byn=，D y m=-，于是||||1||||1BD A Byy BD m n AB yy m n λλ-++===---.若12SSλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n=+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22SAB ON a AB =⋅=.所以12||1||1SBD m n SAB m n λλ++===--.若12S Sλ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=.故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 地 距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d=12d d =.又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==，即||||BD AB λ=.由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-，||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-.①将l 地 方程分别与C 1，C 2地 方程联立，可求得A x =Bx=. 根据对称性可知CBxx =-，DAxx =-，于是2||||2A B x AD BC x ===②从而由①和②式可得1(1)λλλ+=-.③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以2k>. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0tt λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ> 当11λ<≤+不存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=；当1λ>存在与坐标轴不重合地 直线l 使得12S S λ=.解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 地 距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==2d=12d d =.又111||2S BD d =，221||2SAB d =，所以12||||SBD SAB λ==.因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+===-，所以11ABxxλλ+=-.由点(,)AAA x kx ，(,)BBB x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n+=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0AB xx >>，所以22AB xx >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为2k>，所以由2222222()()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1ABxxλ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤+不存在与坐标轴不重合地 直线l ，使得12S S λ=；当1λ>存在与坐标轴不重合地 直线l 使得12S S λ=.。