高等数学 D1_6极限存在准则

2024年9月27日星期五
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作为准则Ⅰ的应用，我们讨论一个重要极限：
lim
n
1
1 n n
?
首先，证
xn
1
1 n
n
是单调的．
xn
1
1 n
n
＝1111
11nn nn
1111
1 n
1
1 n
1
1 n
1
n 1 n 1
1 n
n 1
n2 n 1
n 1
＝
1
1
n 1
夹逼准则不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的
方法．下面利用它证明另一个重要的
极限公式： lim sin x 1 x0 x
证:
当
x
(
0
,
2
)
时，
BD
1x
oC
A
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
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内容小结
1. 极限存在的两个准则 夹逼准则; 单调有界准则 .
2. 两个重要极限
或
注: 代表相同的表达式
2024年9月27日星期五
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作业
习 题 1-6 1 （2）（4 ） 2 （3）（4）（6）
思考与练习
3（3）（4）
1. 填空题 ( 1～4 )

02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说， 当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极 限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们 可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用 极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否 则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。 具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这 是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷 小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替 换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在 该点的切线斜率。

n
xn a 成立,
该准则可以推广到函数的极限
准则 I'
如果当 x U ( x0 ) (或 | x | M )时,有
(1) g( x ) f ( x ) h( x ),
(2) lim g ( x ) A,
x x0 ( x ) x x0 ( x )
o
lim h( x ) A,
lim 那么 x x f ( x ) 存在, 且等于 A .
( x )
0
准则 I 和准则 I’ 称为夹逼准则. 注意: 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与 zn
( g( x ), h( x )), 并且 yn ( g ( x ))与zn ( h( x )) 的极限
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 再证 xlim (1 ) e , x
令 t x,
1 x lim (1 ) e . x x
1 x 1 t t t lim (1 ) lim(1 ) lim( ) x t t t 1 x t 1 t lim(1 ) lim(1 1 )t 1 (1 1 ) e. t t 1 t t 1 t 1 1 令t , x
复习
1. 无穷小与无穷大的定义
2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系
几点注意:
1. 无穷小和无穷大是相对于过程而言的;
2. 无穷小(大) 是变量，不能与很小(大)的数混淆; 3. 零是唯一可作为无穷小的数； 4. 无界变量未必是无穷大.
1. 极限运算法则
(1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则
arcsin x . 例5. 求 lim x 0 x

n
n lim 由此可得 n→ ∞ a
( a > 0)
n n n ⇒ lim a =1 由 1 a n ( n a 时 ) ≤ ≤ ≥ (1) 当 a ≥ 1 时， n→ ∞
∴ lim n a = lim (2) 当 0 < a < 1 时，
n→ ∞
1 1a
n→ ∞ n
=
1
n→ ∞
1 >1 a
lim n 1 a
第三节 极限存在的判别准则
1. 夹逼性定理 2. 单调有界性定理 3. 小结、作业
1/17
一. 夹逼定理
定理1 设有数列 { x n }, { yn }, { z n }，满足： （1） ∃N , n > N : zn ≤ xn ≤ yn （2） lim yn = lim z n = A, 则
n→ ∞
4/17
1.
例3 求下列数列的极限
n! ! n (1) x n = n ; (由前面讨论知lim n = 0) n→∞ n n n a ( 2) x n = ; n! 证： ∀n > [a ],
a a a a a a an ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 0< 1 2 [a ] [a ] + 1 [a ] + 2 n n!
设 lim x n = a , 对 x n = n + 3 x n−1两边求极限得 n→∞ 2n − 1
1 a = a ⇒ a = 0, ∴ lim x n = 0. n→∞ 2
例 2 设 A > 0 , x1 > 0, x n+1
试证 { x n } 收敛 , 并求此极限 .
A 1 = ( x n + ), ( n = 1,2, ) xn 2