高数课件-极限的存在准则

第一章 函数与极限

初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量，所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法，本章将介绍映射、函数、极限和函数的连续性等基本概念，以及它们的一些性质。

一、本章主要内容：

1、数列极限的 定义，函数极限的定义，函数的左右极限。

2. 极限的性质，函数的极限与其左右极限的关系，极限的唯一性，局部有界性，保号性。

3. 无穷小和无穷大的概念、性质极其运算、无穷小的比较。

4．极限的四则运算、复合运算、等价无穷小代换。

5．极限存在的两个准则与两个重要极限，

（1） 单调有限准则，重要极限

（2） 夹逼准则，重要极限

6．函数的连续性概念和间断点的类型

7．闭区间上连续函数的性质：最大（小）值定理、有界性定理、零点定理、介值定理。

二、内容提要框图

三 本章重点

1. 正确理解函数与复合函数的概念，掌握基本初等函数的性质及图象．

2. 建立极限概念与理解ε －N方法, 函数极限的概念与ε －δ方法

3. 无穷小的概念与性质 4. 单调有界法则与两个重要极限及其应用

5. 初等函数的连续性及其应用

四本章难点

1. 反函数概念，由实际问题建立函数关系式与求分段的

复合函数的关系式．

2. ε －N, ε －δ极限定义证明法

3. 理解无穷小，无穷小与任意小、充分小、很小的数的区别

4. 两个重要极限公式，分清各公式的特点及适用时机．

5. 闭区间上连续函数的几条性质．

第一节 映射与函数

学习指导

1．教学目的

读者应理解集合、映射的概念；理解函数概念，了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，了解反函数概念。

2．基本练习

会求函数的定义域，会求函数的反函数。会判断函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性；熟练掌握基本初等函数的图形和性质。会把复合函数分解成基本初等函数的组合。

二元函数的极限

二元极限存在常用夹逼准则证明

例1 14)23(lim212yxyx

例2 函数01sin1sin),(，xyyxyxf .00xyxy，在原点（0,0）的极限是0.

二元极限不存在常取路径

例3 证明：函数）），（，，00)(()y(442yxyxyxxf在原点（0，0)不存在极限.

与一元函数极限类似，二元函数极限也有局部有限性、极限保序性、四则运算、柯西收敛准则等. 证明方法与一元函数极限证法相同，从略.

上述二元函数极限)(lim00yxfyyxx，是两个自变量x与y分别独立以任意方式无限趋近于0x与0y.这是个二重极限. 二元函数还有一种极限：

累次极限

定义 若当ax时（y看做常数），函数)(yxf，存在极限，设当by时，)(y也存在极限，设

Byxfyaxbyby)(limlim)(lim，，

则称B是函数)(yxf，在点)(baP，的累次极限.同样，可定义另一个不同次序的累次极限，即

Cyxfbyax)(limlim，.

那么二重极限与累次极限之间有什么关系呢？一般来说，它们之间没有蕴含关系. 例如：

1)两个累次极限都存在，且相等，但是二重极限可能不存在. 如上述例3.

2)二重极限存在，但是两个累次极限可能都不存在. 如上述的例2.

多重极限与累次极限之间的关系

定理 若函数)(yxf，在点），000(yxP的二重极限与累次极限（首先0y，其次0x）都存在，则

)(limlim(lim0000yxfyxfyyxxyyxx，），.

二元函数的连续性

定理 若二元函数)(Pf与Pg在点0P连续，则函数)()(PgPf，)()(PgPf，)()(PgPf

（0)(0Pg）都在点0P连续

定理 若二元函数)(yxu，，)(yxv，在点)(000yxP，连续，并且二元函数)(vuf，在点)()()(000000yxyxvu，，，，，连续，则复合函数)()(0000yxyxf，，，， 在点)(000yxP，连续.

1 第 函数 极限 连续

第一节 函 数

1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域）

2． 函数的性态

1）单调性

定义：单调增： ).()(2121xfxfxx

单调不减： ).()(2121xfxfxx

判定：（1）定义：

(2）导数：设)(xf在区间I上可导，则

a) )(0)(xfxf单调不减；

b) )(0)(xfxf单调增；

2)奇偶性

定义：偶函数 );()(xfxf 奇函数 ).()(xfxf

判定：(1）定义：

(2）设)(xf可导，则：

a))(xf是奇函数 )(xf是偶函数；

b))(xf是偶函数 )(xf是奇函数；

(3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；

连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

3)周期性

定义：)()(xfTxf

判定：(1)定义；

(2）可导的周期函数其导函数为周期函数；

(3）周期函数的原函数不一定是周期函数；

4)有界性 2 定义：若;)(,,0MxfIxM则称)(xf在I上有界。

判定：（1）定义：

（2）)(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上有界；

（3）)(xf在),(ba上连续，且)0()0(bfaf和存在)(xf在）（ba,上有界；

（4）)(xf在区间I（有限）上有界)(xf在I上有界；

3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合)

4．基本初等函数与初等函数

基本初等函数:

常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形.

初等函数:

柯西极限存在准则

目 录

1定义

2证明

1定义

定义：柯西极限存在准则又叫柯西审敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。

柯西审敛原理

数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有

|Xn-Xm|

这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点Xn中，任意两点间的距离小于ε .

2证明

正确性证明：

1..充分性证明：

充分性证明：

(1)、首先证明Cauchy列有界

取ε=1,根据Cauchy列定义，取自然数N，当n>N时有

0 <|a(n)-a(m)|

由此得：

|a(n)|=|a(n)-a(m)+a(m)|<=|a(n)-a(m)|+|a(m)|<1+|a(m)|

(通俗理解，a(n)无论怎么样也大不过a(m)绝对值加1，显然根据经验这是有界的。但数学里需要严格的表达，下面因为m前的m-1个项，有最大值，所以得出了有界).

令：

M=Max{|a(1),a(2),……,|a(m)} +1

这样就证明了，对于任何n都有a(n)<=M。 所以Cauchy列有界。

（2)、其次在证明收敛

因为Cauchy列有界，所以根据Bolzano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列 aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用的方法：先取点性质，然后根据实数稠 密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了）

因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的ε>0，都存在N,使得m、n>N时有

|a(m)-a(n)|

取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得

|aj(k)-A|

因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有

|a(n)-A|<=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|