Gauss型求积公式

5.2 Gauss型求积公式
形如
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0 n
插值型求积公式的代数精度至少为
n。
x0 x0
x1 x1
x0 x0
x1 x1
两点的求积公式为： 1 f ( x) dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) 若限制等距节点，则 1、x0 , x1固定，A0 , A1 变量 2、确定 A0 , A1 需两个方程
x0 , x1 ,, xn 是Gauss点 x0 , x1 ,, xn 是Gauss点
n 1 ( x) 是正交多项式。
x , x ,, x
0 1
n
是正交多项式的根。
证明： 必要性
I ( f ) ( x) f ( x)dx
a
b
I n ( f ) Ak f ( xk )
n n 2
n 1 ( xk ) 1 ( x ) ( x xk ) f ( xk ) n 1 k
2
n 1 ( x) ( x xk ) f ( xk ) 1 ( xk )( x xk ) k 0 n

1
1
f ( x) dx
1 1 f f 3 3
对于任意区间 a, b 上权函数 x 1 的Gauss型求积公式，只需 作变量替换：
x
则有
x a, b t 1, 1 ，这样
ab ba t 2 2
n 1 ( xk ) f ( xk ), k 0,1,..., n H 2 n 1 ( xk ) f ( xk ), H 2
的2n+1次Hermite插值多项式，即（P110 例5）

参阅表 7-4.
其截断误差为
2 2n 1 (n! ) 4 ( 2n ) R( f ) f ( ) 3 (2n 1)(2n)!
(1,1)
任意区间上的Gauss-Legendre 公式
对积分

b
a
f ( x )dx
ba ba x t 做变换 利用 Gauss－Legendre 求积公式的求积节 2 2 ，
（7-51）
2．可以证明：若 f ( x) C a, b，Gauss 型求积公式当 n 时收敛于 定积分值。
3.Gauss型求积公式是数值稳定的。
3.Gauss 型求积公式是数值稳定的。
记 f * ( xk ) 为 f ( xk ) 的近似值，
∵
Ak ( x)lk ( x)dx 0 且 a
b
Gauss型求积公式的误差 设求积公式 ( x ) f ( x )dx A
b n a k 1
k
f ( x k ) 是 Gauss 型求
积公式，H ( x ) 为以
b n
n x Gauss 点 k k 1 为节点的 f ( x ) 的 2n 1 次
Hermite 插值多项式，则有
例
试确定求积公式： 1 f ( x)dx af 0.6 bf (0) cf 0.6 中 待定参数 a , b 和 c ，使其代数精确度尽量高，并指出公式具有 几次代数精确度,判断是否为 Gauss 型求积公式。
1




解：记 I ( f ) 1 f ( x )dx
1
f af 0.6 bf (0) cf I
n n ( x) Al l k ( xl ) Ak a ( x)lk ( x)dx a ( x) ( x xk ) n ( xk ) dx l 1 b b

b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
b b
n


2

a
f ( x ) ( x )dx p( x ) ( x )dx
a



b
a
p( x ) ( x )dx Ak p( xk )
k 0
n
n
0
2
m 2n 1
Ak p( xk ) Ak f ( xk )
证明：由Weierstrass定理知
f p max f p
a xb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。 对
0
b
存在m次多项式
下证
p( x ) 满足
fp
n

N ,
当n
N时
k 0
2 ( x )dx
a

b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。 只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个 2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。
2 n1
令 f ( x)
因为
b
( x)
b a
其中 n 1 ( x ) ( x xk )
k 0
n
f ( x)dx 而 A f (x ) 0
k 0
n
与任何不超过n次的多项式 p( x ) 带权正交:

b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx 0
证明： 必要性 设
p( x ) H n

(k = 0,1 ⋯ n), 使（5.1）具有 2n +1次代数精度. , ,
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为