Gauss Bonnet公式
[1] 测地曲率
测地曲率是曲面上的曲线的曲率向量在切平面上的投影, 如图,Г: r=r(s) 以弧长s为参数, =α×n
kg = kβ· = kβ· = r″·(α×n) = (r′, r″,n) 即
kg = (r′, r″,n).
由于kn是kβ在n上的投影, 所以下面的关系式成立:
k2=kn2+kg2
[2] 测地曲率的计算
首先计算正交坐标曲线的测地曲率.
设u-线、v-线的弧长分别为s1、s2, 单位切向量分别为e1、e2, 则
e1= ru/E, e2 = rv/G, ds1=Edu, ds2= Gdv.
α= ruu′+ rvv′ = e1Eu′+ e2Gv′ = cosθ e1 + sinθ e2 .
cosθ=Eu′, sinθ=Gv′.
沿u-线, v=常数. u-线的测地曲率
ku = (e1,11dsde, n) = (ru/E,11dsdudude, n) = (ru,duErdu)/(, n) /E =
= (ru , Eruu/, n) /E = (ru , ruu, n) /3E= (ru × ruu)·n/3E = (ru × ruu)·(ru × rv)/GE4=
= (ru2) (ruu ·rv)/GE4 = -E (Ev/2)/GE4= - Ev/2 EG= GvE2/ln. 即
ku = GvE2/ln. 参见P149
v-线的测地曲率
kv = (e2,22dsde, n) = (rv/G,22dsdvdvde, n) = (rv,dvGrdv)/(, n) /G =
= (rv , Grvv/, n) /G = (rv , rvv, n) /3G= (rv × rvv)·n/3G = (rv× rvv)·(ru × rv)/EG4=
第六节高斯公式和斯托克斯公式
高斯公式和斯托克斯公式是微积分中的两个重要定理，是对向量场的积分定理，用于求解曲面和曲线上向量场的积分。本文将介绍高斯公式和斯托克斯公式的定义、推导过程和应用。
一、高斯公式（Gauss's theorem）
高斯公式又称为高斯散度定理，它是从向量微积分中的散度定理演变而来。
1.定义
设Ω是空间中的一块有界闭区域，S是Ω的边界曲面，而n为S上的单位外法向量，则对于向量场F=(P,Q,R)，高斯公式的数学表达式为：
∬S(F·n)dS=∭ΩdivFdV
其中，“S”表示对曲面S的积分，“∬”表示对曲面上的每个点都进行积分，“∭”表示对空间Ω中的每个点都进行积分，“div”表示F的散度。
2.推导过程
为了推导高斯公式，我们先考虑最简单的情况，即立方体的情况。假设Ω是一个立方体，S是它的六个面，而n为各个面的单位外法向量。
我们将立方体按照坐标轴方向切割成一个个小的立方体，每个小立方体的体积为ΔV。在每个小立方体上应用散度定理，可以得到：
∬S(F·n)dS=Σi∆Si(F·ni) 其中，Σi表示对立方体的所有小立方体求和，Si表示第i个小立方体的表面积，ni为第i个小立方体的单位外法向量。
我们知道，在Ω中每个小立方体的边长趋于零的极限过程中，散度div F趋于ΔV的比例的极限值就是div F在相应点处的函数值，即div
FdV。
因此，当小立方体的数量趋于无穷大时，上式等于∭ΩdivFdV，从而得到了高斯公式的表达式。
3.应用
高斯公式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁学和流体力学中。例如，根据高斯公式，我们可以计算电荷的总电量和电场的密度分布等。
二、斯托克斯公式（Stokes's theorem）
斯托克斯公式是从向量微积分中的环量定理演变而来。
1.定义
设Ω是空间中的一块有界曲面，C是Ω的边界曲线，而n为曲面Ω上的单位法向量，t为曲线C上的单位切向量，则对于向量场F=(P,Q,R)，斯托克斯公式的数学表达式为：
作者：王幼宁
第六章 曲面的内蕴几何初步
§4 局部Gauss-Bonnet公式
在欧氏平面几何学中，三角形的内角和恒为180°；这个结论依赖于平
行公设．当考虑一般曲面的内蕴几何学时，类似的一般性讨论可以进行，
但相应的结论将会变形．对于非欧几何而言，相应的结论具有特别的历史
意义和现实的理论意义．
一．Gauss-Bonnet公式
本段需要用到较为一般的曲线概念（参见第七章§1），以及平面简单闭曲线的旋转指标定理（参见第七章§2）．
考察曲面 S: r(u1, u2) , (u1, u2)∈U⊂R2 以及 S 上的有界单连通区域 Σ0 ，
其中 Σ0 = r(D0) 且 D0⊂U ；取 Σ0 的正向边界线
C （即：当沿着 C 正向前行时，Σ0 总落在左
侧）．假设边界线 C 是周长为 L 的简单的正
则闭曲线（参见第七章§1定义2和定义3），
其正向弧长 s 参数化确定为参数区域中的形式
ui = ui(s) , s∈[0, L] , i = 1, 2 ．当动点沿着曲线
正向行走一周时，考虑曲线 C 的单位切向相
对于固定坐标曲线族的有向夹角的变化状况——微观的状况和总变差． u2
D0 C −1 U
u1
图6-11
当 (u1, u2) 为正交参数时，取曲线 C 的单位切向相对于 u1 坐标曲线族
的有向夹角函数 θ(s) ．可知（参见第七章§1定理2），函数 θ(s) 可取到连
续可微的单值支．于是，根据测地曲率的Liouville公式 (1.2) 式，沿 C 有
(4.1) κg = dθ ds + ⎝⎜⎛⎠⎟⎞ −(E )2 G du1 ds + (G )1 E du2 ds ；
积分一周得到
∫ C κg ds = ∫ C dθ + ∫ C ⎝⎜⎛⎠⎟⎞ −(E )2 G du1 + (G )1 E du2 ．
上式右端第二项利用Green公式变形，并注意到正交网下的Gauss绝妙定理
表达式，则得
第２卷第２期 ２ ０ １ ０年３月 南 阳 理 工 学 院 学 报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＮＡＮＹＡＮＧ ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ ＯＦ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖｏ１．２ Ｎｏ．２ Ｍａｒ． ２０１０ 文章编号：１６７４—５１３２（２０１０）０２—００８１—０２
一个改进两点Ｇａｕｓｓ公式的推导及应用
盛宗生，柳 静 （南阳理工学院河南南阳４７３００４） 摘 要：本文利用代数精度的概念对两点Ｇａｕｓｓ公式进行改进，获得了改进两点Ｇａｕｓｓ公式，代数精度提高了２次。 同时也进行了一个数值算例验证，得到了满意的数值效果。 关键词：数值积分；Ｇａｕｓｓ公式；代数精度 中图分类号：０２４１．４ 文献标识码：Ａ
０ 引言
近年来，出现了对数值积分公式的研究，文献 ［１］给出了矩形公式、梯形公式和抛物线公式的校 正公式，具有较高的代数精度。文献［２］对数值积 分中点公式进行了改进，得到了两个单节点高精度 数值积分公式，提高了近似计算的精度。文献［３］ 利用Ｔａｙｌｏｒ中值定理给出了Ｓｉｍｐｏｎ校正公式及校 正公式的截断误差，分析了复化Ｓｉｍｐｏｎ校正公式的 收敛阶比复化Ｓｉｍｐｏｎ公式提高了２阶。文献［４］利 用代数精度的概念，对左矩形公式校正公式及梯形 校正公式进行了简化推导。 Ｇａｕｓｓ型求积公式在节点数为ｎ时代数精度能 够达到２ｎ一１，ｎ值越大，精度较高，但是代价也越 大，因为节点和系数的计算比较麻烦。本文研究的 方法只需利用代数精度这一概念，便可轻松地通过 计算（不需论证）来确定Ｇａｕｓｓ公式余项里的待定系 数及 点的值，从而对两点Ｇａｕｓｓ公式进行改进，获 得更高代数精度的数值积分公式。通过数值算例验 证，得到了满意的数值效果。 Ｉ 改进两点Ｇａｕｓｓ公式的推导
文献［５］给出了区间上两点Ｇａｕｓｓ公式： Ｊ＝， 一 一抄 ）
考虑积分Ｊ ）ｄｘ，利用变换 ０＋ｂ ｂ一０ Ｔ＋丁 可将区间［ｏ，ｂ］变成［一１，１］，而积分变为 ＝ ｂ－ ㈩ 其中，ｇ（ ）＝ ＋鱼＿ 。利用公式（１）， 则 Ｊ ）ｄｘ
