数学选修1-1第三章导数及其应用提高训练C组

第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C： y = F+2x + 3上的点，且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无)，且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点；③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时，f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在［0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中，已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线，2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点，贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图，函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示，则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点，给出以下几个命题：乙@0 < %0 < -；②尢o>2；+ X o < 0；④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值，若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立，则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立，求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直，求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值，求a的取值范圉.(3)若a >2,求证：函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间；(II)求函数/(兀)在［-2,2］上的最大值.20.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示)，并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高％的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少？2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时，仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析：(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时，函数门切在(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减；当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减，在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析：(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(％)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。

阶段质量检测（三） 导数及其应用(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若f(x)＝sin α－cos x ，则f′(x)等于( ) A ．sin x B ．cos xC ．cos α＋sin xD ．2sin α＋cos x解析：选A 函数是关于x 的函数，因此sin α是一个常数．2．以正弦曲线y ＝sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 解析：选A y ′＝cos x ，∵cos x ∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 3．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 设极值点依次为x 1，x 2，x 3且a ＜x 1＜x 2＜x 3＜b ，则f(x)在(a ，x 1)，(x 2，x 3)上递增，在(x 1，x 2)，(x 3，b)上递减，因此，x 1，x 3是极大值点，只有x 2是极小值点．4．函数f(x)＝x 2－ln x 的单调递减区间是( ) A. ⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎣⎡⎭⎫22，＋∞ C. ⎝⎛⎦⎤－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0， 22 D.⎣⎡⎭⎫－22， 0，⎝⎛⎦⎤0，22 解析：选A ∵f′(x)＝2x －1x ＝2x 2－1x ，当0＜x≤22时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤0，22. 5．函数f(x)＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A ．1 B.12 C ．0D ．－1解析：选A f′(x)＝3－12x 2，令f′(x)＝0， 则x ＝－12(舍去)或x ＝12，f(0)＝0，f(1)＝－1，f ⎝⎛⎭⎫12＝32－12＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.6．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3处取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，∵f′(－3)＝0. ∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a ＝5.7．函数f(x)＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－310，67 B.⎝⎛⎭⎫－85，－316 C.⎝⎛⎭⎫－83，－116 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－310∪⎝⎛⎭⎫67，＋∞ 解析：选D f′(x)＝ax 2＋ax －2a ＝a(x ＋2)(x －1)，要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即⎝⎛⎭⎫103a ＋1⎝⎛⎭⎫－76a ＋1<0，解得a<－310或a>67. 故选D.8.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x －b)2＋c 的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是( )解析：选D 由导函数图象可知，当x<0时，函数f(x)递减，排除A 、B ；当0<x<x 1时，f′(x)>0，函数f(x)递增．因此，当x ＝0时，f(x)取得极小值，故选D.9．定义域为R 的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>12，则满足2f(x)<x ＋1的x 的集合为( )A ．{x|－1<x<1}B ．{x|x<1}C ．{x|x<－1或x>1}D ．{x|x>1}解析：选B 令g(x)＝2f(x)－x －1，∵f′(x)>12，∴g′(x)＝2f′(x)－1>0，∴g(x)为单调增函数， ∵f(1)＝1，∴g(1)＝2f(1)－1－1＝0，∴当x<1时， g(x)<0，即2f(x)<x ＋1，故选B.10．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x(千台)的函数：y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x(千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产( )A ．6千台B ．7千台C ．8千台D ．9千台解析：选A 设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3，y′＝36x －6x 2，令y′＝0得x ＝6或x ＝0(舍)，f(x)在(0,6)上是增函数，在(6，＋∞)上是减函数，∴x ＝6时y 取得最大值．11．已知定义在R 上的函数f(x)，f(x)＋x·f′(x)＜0，若a ＜b ，则一定有( ) A ．af(a)＜bf(b) B ．af(b)＜bf(a) C ．af(a)＞bf(b)D ．af(b)＞bf(a)解析：选C [x·f(x)]′＝x′f(x)＋x·f′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＜0， ∴函数x·f(x)是R 上的减函数， ∵a ＜b ，∴af(a)＞bf(b)．12．若函数f(x)＝sin x x ，且0<x 1<x 2<1，设a ＝sin x 1x 1，b ＝sin x 2x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a>bB ．a<bC ．a ＝bD ．a ，b 的大小不能确定解析：选A f′(x)＝xcos x －sin xx 2，令g(x)＝xcos x －sin x ，则g′(x)＝－xsin x ＋cos x －cos x ＝－xsin x.∵0<x<1，∴g′(x )<0，即函数g(x)在(0,1)上是减函数，得g(x)<g(0)＝0，故f′(x)<0，函数f(x)在(0,1)上是减函数，得a>b ，故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．若f(x)＝13x 3－f′(1)x 2＋x ＋5，则f′(1)＝________.解析：f′(x)＝x 2－2f′(1)x ＋1，令x ＝1，得f′(1)＝23.答案：2314．曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线的方程为________________． 解析：由y ＝ln xx ，得y′＝1－ln x x 2，所以y′| x ＝1＝1，即切线l 的斜率为1.又切线l 过点(1,0)，所以切线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.答案：x －y －1＝015．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时，f(x)＝x ＋sin x ，设a ＝f(1)，b ＝f(2)，c ＝f(3)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)， 因为f′(x)＝1＋cos x≥0， 故f(x)在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∵π2>π－2>1>π－3>0， ∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c<a<b. 答案：c<a<b 16．若函数f(x)＝4xx 2＋1在区间(m,2m ＋1)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．解析：f′(x)＝4－4x 22＋2，令f′(x)＞0，得－1＜x ＜1，即函数f(x)的增区间为(－1,1)． 又f(x)在(m,2m ＋1)上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m≥－1，m ＜2m ＋1，2m ＋1≤1.解得－1＜m≤0.答案：(－1,0]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点． 解：(1)由题设知f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，且f′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， 解得a ＝0，b ＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x 3－3x. 因为f(x)＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g′(x)＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2， 于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2. 当x ＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x ＜1时， g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g′(x)＞0， 故1不是g(x)的极值点． 所以g(x)的极值点为－2.18. (本小题满分12分)(北京高考)设函数f(x)＝x 22－kln x ，k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点． 解：(1)由f(x)＝x 22－kln x(k>0)，得x>0且f′(x)＝x －k x ＝x 2－kx.由f′(x)＝0，解得x ＝k(负值舍去)． f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：所以，f(x)f(x)在x ＝k 处取得极小值f(k)＝k(1－ln k)2. (2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)＝k(1－ln k)2.因为f(x)存在零点，所以k(1－ln k)2≤0，从而k≥e.当k ＝e 时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0， 所以x ＝e 是f(x)在区间(1， e ]上的唯一零点．当k>e 时，f(x)在区间(1， e ]上单调递减，且f(1)＝12>0，f(e)＝e －k 2<0，所以f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， e ]上仅有一个零点．19．(本小题满分12分)某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1 024x ＋20)x 100＋2k 元．假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所以座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域． (2)当k ＝100米时，试确定座位的个数，使得总造价最低． 解：(1)设摩天轮上总共有n 个座位，则x ＝kn ，则n ＝k x，y ＝8k k x ＋k x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1 024x ＋20)x 100＋2k ＝k 2⎝ ⎛⎪⎫10x ＋1 024x ＋20100， 定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x≤k 2，kx ∈Z . (2)当k ＝100时，则y ＝100⎝⎛⎭⎫1 000x ＋1 024x ＋20， 令f(x)＝1 000x＋1 024x ，则f′(x)＝－1 000x 2＋512×1x ＝－1 000＋512x32x 2， 令f′(x)＝0，所以x 32＝12564⇒x ＝⎝⎛⎭⎫1256423＝2516， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2516时，f′(x)<0， 即f(x)在x ∈⎝⎛⎭⎫0，2516上单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫2516，50时，f′(x)>0， 即f(x)在x ∈⎝⎛⎭⎫2516，50上单调递增，所以总造价y 的最小值在x ＝2516时取到，此时座位个数为1002516＝64个．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x ＋ax (a>0)．(1)若a ＝1，求函数f(x)的单调区间．(2)若以函数y ＝f(x)(x ∈(0,3])图象上任意一点P(x 0，y 0)为切点的切线的斜率k≤12恒成立，求实数a 的最小值．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝ln x ＋1x ，定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1x －1x 2＝x －1x2，当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， 所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)由(1)知f′(x)＝x －ax 2(0<x≤3)， 则k ＝f′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立， 即a≥⎝⎛⎭⎫－12x 20＋x 0max . 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12，所以a≥12，所以a 的最小值为12.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 2－mln x ，h(x)＝x 2－x ＋a. (1)当a ＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f(x)≥h(x)，得m≤xln x 在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝xln x，则g′(x)＝ln x －12， 当x ∈(1，e)时，g′(x)＜0； 当x ∈(e ，＋∞)时，g′(x)＞0，所以g(x)在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增． 故当x ＝e 时，g(x)的最小值为g(e)＝e. 所以m≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k(x)＝x －2ln x －a.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x)＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x)＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x)＜0，φ(x)递减， 当x ∈(2,3)时，φ′(x)＞0，φ(x)递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3， 要使直线y ＝a 与函数φ(x)＝x －2ln x 有两个交点， 则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x －2)e x ＋a(x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f(x)的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解：(1)f′(x)＝(x －1)e x ＋2a(x －1)＝(x －1)(e x ＋2a)． ①设a ＝0，则f(x)＝(x －2)e x ，f(x)只有一个零点． ②设a>0，则当x ∈(－∞，1)时，f′(x)<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． 又f(1)＝－e ，f(2)＝a ，取b 满足b<0且b<ln a2，则f(b)>a2(b －2)＋a(b －1)2＝a ⎝⎛⎭⎫b 2－32b >0， 故f(x)存在两个零点．③设a<0，由f′(x)＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a)． 若a≥－e2，则ln(－2a)≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)内单调递增． 又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点． 若a<－e2，则ln(－2a)>1，故当x ∈(1，ln(－2a))时，f′(x)<0； 当x ∈(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)>0.因此f(x)在(1，ln(－2a))内单调递减，在(ln(－2a)，＋∞)内单调递增． 又当x≤1时，f(x)<0，所以f(x)不存在两个零点． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x1<x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，又f(x)在(－∞，1)内单调递减，所以x1＋x2<2等价于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.由于f(2－x2)＝－x2e2－x2＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)ex2＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2e2－x2－(x2－2)ex2.设g(x)＝－xe2－x－(x－2)e x，则g′(x)＝(x－1)(e2－x－e x)．所以当x>1时，g′(x)<0，而g(1)＝0，故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.。

高二数学选修1-1第三章导数及其应用试题精选如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，查字典数学网为大家推荐了高二数学选修1-1第三章导数及其应用试题，请大家仔细阅读，希望你喜欢。

一、选择题1.(2019黄山调研)若曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x-y+1=0，则()A.f(x0)B.f(x0)0C.f(x0)=0D.f(x0)不存在2.(2019海口质检)函数f(x)=excosx的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A.0B.4C.1D.23.(2019九江模拟)已知f(x)=x3-ax在(-，-1]上递增，则a的取值范围是()A.aB.a3C.aD.a34.(2019东北师大附中模拟)已知函数f(x)在R上可导，且f(x)=x2+2xf(2)，则f(-1)与f(1)的大小关系为()A.f(-1)=f(1)B.f(-1)f(1)C.f(-1)5.(2019新乡一模)若a2，则方程31x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有()A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根6.(2019辽宁理)函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1，+)C.(-，-1)D.(-，+)二、填空题7.(2019萍乡一模)已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为M、m，则M-m=________.8.(理)(2019萍乡一模)已知t0，若(2x-1)dx=6，则t=________.9.已知函数f(x)=x3-3a2x+a(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________.10.(2019商丘调研)若点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为________.11.(2019广州一模)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2++a99的值为________.[答案] -2三、解答题12.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图像与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11).(1)求a、b的值;(2)讨论函数f(x)的单调性.13.(2019安徽理)设f(x)=1+ax2ex，其中a为正实数.(1)当a=34时，求f(x)的极值点;(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.14.(2019北京朝阳一模)已知函数f(x)=mx3+3x2-3x，mR. (1)若函数f(x)在x=-1处取得极值，试求m的值，并求f(x)在点M(1，f(1))处的切线方程;观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

第三章 导数及其应用 单元测试一、选择题 1 函数()323922y x x x x =---<<有（ ） A 极大值5，极小值27- B 极大值5，极小值11- C 极大值5，无极小值 D 极小值27-，无极大值 2 若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h→+--=（ ） A 3- B 6- C 9- D 12- 3 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 4 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 5 函数xx y 142+=单调递增区间是（ ） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),21(+∞ D ),1(+∞ 6 函数xx y ln =的最大值为（ ） A 1-e B e C 2e D 310 二、填空题 1 函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 2 函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________ 3 函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________4 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是5 函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________三、解答题1． 已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值2 如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？3 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间4 平面向量13(3,1),(,)22a b =-= ，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+ 且x y ⊥ ，试确定函数()k f t =的单调区间参考答案[综合训练B 组]一、选择题 1 C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值 2 D '0000000()(3)()(3)lim 4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===- 3 C 设切点为0(,)P a b ，'2'2()31,()314,1f x x k f a a a =+==+==±， 把1a =-，代入到3()2f x x x =+-得4b =-；把1a =，代入到3()2f x x x =+-得0b =，所以0(1,0)P 和(1,4)-- 4 B ()f x ,()g x 的常数项可以任意 5 C 令3'222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -=-=>-++>> 6 A 令'''22(ln )ln 1ln 0,x x x x x y x e x x -⋅-====，当x e >时，'0y <；当x e <时，'0y >，1()y f e e ==极大值，在定义域内只有一个极值，所以max 1y e= 二、填空题 1 36+π '12s i n 0,6y x x π=-==，比较0,,62ππ处的函数值，得max 36y π=+ 2 37- '2'3()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7f x x f f y x y x =+==-=-==-时 3 2(0,)3 2(,0),(,)3-∞+∞ '22320,0,3y x x x x =-+===或 4 20,3a b a c >≤且 '2()320f x ax bx c =++>恒成立， 则220,0,34120a a b ac b ac >⎧><⎨∆=-<⎩且 5 4,11- '2'2()32,(1)230,(1)110f x x a x b f a b f a a b =++=++==+++= 22334,,3119a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩或，当3a =-时，1x =不是极值点 三、解答题 1 解：00'''2'210202,|2;3,|3x x x x y x k y x y x k y x ========331200361,61,6k k x x =-=-=- 2 解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+'2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103x =（舍去） (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值，18V ∴=最大值 3 解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+ （2）'3310310()1090,0,1010f x x x x x =->-<<>或 单调递增区间为310310(,0),(,)1010-+∞ 4 解：由13(3,1),(,)22a b =-= 得0,2,1a b a b === 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=- '233()0,1,144f t t t t =-><->得或；2330,1144t t -<-<<得 所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,1)-。

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课时提升作业(二十四)函数的最大(小)值与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·绵阳高二检测)设函数f(x)=ax3+3bx(a,b为实数,a<0,b>0),当x∈[0,1]时,有f(x)∈[0,1],则b的最大值是( )A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【解析】选C.因为f′(x)=3ax2+3b,所以令f′(x)=3ax2+3b=0,可得x=〒错误！未找到引用源。

,①错误！未找到引用源。

≥1时,f(x)max=f(1)=1,所以b∈错误！未找到引用源。

,②0<错误！未找到引用源。

<1,f(x)max=f(错误！未找到引用源。

)=1,f(1)≥0,所以b∈错误！未找到引用源。

,所以b的最大值是错误！未找到引用源。

.【补偿训练】(2014·塘沽高二检测)函数y=错误！未找到引用源。

在区间错误！未找到引用源。

上的最小值为( )A.2错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

e2C.错误！未找到引用源。

D.e【解析】选D.y′=错误！未找到引用源。

,令y′=0,得x=1,故f(x)min=f(1)=e.2.函数f(x)=lnx-x在区间[0,e]上的最大值为( )A.-1B.1-eC.-eD.0【解析】选A.令f′(x)=错误！未找到引用源。

-1=0,解得x=1∈[0,e], 故当x=1时,函数取极大值,也是最大值,f(x)max=f(1)=0-1=-1.3.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a= ( )A.2B.3C.4D.5【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+3,由题意x=-3是方程3x2+2ax+3=0的根,故27-6a+3=0,解得a=5.4.(2015·安庆高二检测)已知函数f(x)=-错误！未找到引用源。

课时提升作业(二十二)函数的单调性与导数(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·汉中高二检测)设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( )【解析】选 C.由y=f′(x)的图象可知f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故应选C.【补偿训练】函数f(x)=x-sinx是( )A.奇函数且单调递增B.奇函数且单调递减C.偶函数且单调递增D.偶函数且单调递减【解析】选A.因为函数的定义域为R,f(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.又f′(x)=1-cosx≥0,所以函数f(x)=x-sinx在R上是单调递增函数.2.函数f(x)=的单调递减区间是( )A.(e,+∞)B.(1,+∞)C.(0,e]D.(0,1]【解析】选A.函数的定义域为(0,+∞),由f′(x)=<0得:x>e,所以函数的单调递减区间是(e,+∞),故选A.3.(2015·太原高二检测)若函数y=f(x)在R上可导,且满足不等式xf′(x)>-f(x)恒成立,且常数a,b满足a<b,则下列不等式一定成立的是( )A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b)D.af(b)<bf(a)【解析】选C.令g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x),因为xf′(x)>-f(x),所以f(x)+xf′(x)>0,即g′(x)>0,故g(x)在R上单调递增,因为a<b,所以g(a)<g(b),即af(a)<bf(b).4.(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)【解析】选A.记函数g(x)=,则g′(x)=,因为当x>0时,xf′(x)-f(x)<0,故当x>0时,g′(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减;又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数,故函数g(x)是偶函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时,g(x)>0,则f(x)>0;当x<-1时,g(x)<0,则f(x)>0,综上所述,使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).5.(2015·宣城高二检测)设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )【解题指南】分别以其中的一个图象为原函数的图象,另一个为导函数的图象,验证是否符合单调性与导函数的关系.【解析】选D.D中,若上方的图象为原函数,则下方的导函数的函数值先正后负再为正值,而不是恒小于等于0,若下方的图象为原函数,则导函数的函数值同样有正有负,不能横大于等于0,故选D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=在(-2,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围为.【解析】因为f(x)=,所以f′(x)=.由函数f(x)在(-2,+∞)内单调递减知f′(x)≤0在(-2,+∞)内恒成立,即≤0在(-2,+∞)内恒成立,因此a≤.当a=时,f(x)=,此时函数f(x)为常数函数,故a=不符合题意舍去.所以a的取值范围为a<.故实数a的取值范围为.答案:【补偿训练】已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-]∪[,+∞)B.[-,]C.(-∞,-)∪(,+∞)D.(-,)【解析】选B.f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立且不恒为0,Δ=4a2-12≤0⇒-≤a≤.7.函数f(x)=2x2-lnx的单调递减区间是.【解析】因为f′(x)=4x-,令f′(x)<0,又函数的定义域为(0,+∞),故函数的单调减区间为答案:8.设f(x)=-x3+x2+2ax.若f(x)在,+∞上存在单调递增区间,则a的取值范围为.【解题指南】本题可以转化为在上存在x值使f′(x)≥0成立,再利用f′(x)的图象求取值范围.【解析】f′(x)=-x2+x+2a,由题意在上存在x使-x2+x+2a>0成立,令g(x)=-x2+x+2a,则g>0,解得:a>-.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·菏泽高二检测)设函数f(x)=ax3+bx2+c,其中a+b=0,a,b,c均为常数,曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y-1=0.(1)求a,b,c的值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)因为f′(x)=3ax2+2bx,所以f′(1)=3a+2b,又因为切线x+y=1的斜率为-1,所以3a+2b=-1,a+b=0,解得a=-1,b=1,所以f(1)=a+b+c=c,由点(1,c)在直线x+y=1上,可得1+c=1,即c=0,所以a=-1,b=1,c=0.(2)由(1)令f′(x)=-3x2+2x=0,解得x1=0,x2=,当x∈(-∞,0)时f′(x)<0;当x∈时f′(x)>0;当x∈时f′(x)<0,所以f(x)的增区间为,减区间为(-∞,0)和.10.已知函数f(x)=x2+2alnx.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=2x+=,函数f(x)的定义域为(0,+∞).①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);②当a<0时,f′(x)=.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:x (0,) (,+∞) f′(x) - 0 +f(x) 递减递增由表格可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,).单调递增区间是(,+∞).(2)由g(x)=+x2+2alnx得g′(x)=-+2x+,由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立.即a≤-x2在[1,2]上恒成立.令h(x)=-x2,在[1,2]上h′(x)=--2x=-<0,所以h(x)在[1,2]上为减函数,h(x)min=h(2)=-,所以a≤-.故实数a的取值范围为{a|a≤-}.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若函数在R上可导,且满足f(x)<xf′(x),则( )A.2f(1)<f(2)B.2f(1)>f(2)C.2f(1)=f(2)D.f(1)=f(2)【解析】选A.由于f(x)<xf′(x),所以′=恒成立,因此在R上是单调递增函数,所以>,即f(2)>2f(1),故选A.2.(2015·兰州高二检测)已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1,f′(x)为其导函数,且导函数y=f′(x)的图象如图所示,则f(x)<1的解集是( )A.(-2,0)B.(-2,4)C.(0,4)D.(-∞,2)∪(0,4)【解析】选B.由导函数y=f′(x)的图象可知,当x<0时,函数f(x)单调递减,当x>0时,函数f(x)单调递增,且当x=0时有意义,当x<0时,f(x)<1=f(-2),解得-2<x<0,当x≥0时,f(x)<1=f(4),解得0≤x<4,故不等式的解集为(-2,4).【补偿训练】函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2f′(2)-3x,则f(-1)与f(1)的大小关系是( )A.f(-1)=f(1)B.f(-1)>f(1)C.f(-1)<f(1)D.不确定【解析】选B. f′(2)是常数,所以f′(x)=2xf′(2)-3,故f′(2)=2×2f′(2)-3,即f′(2)=1,所以f(x)=x2-3x,故f(1)=1-3=-2,f(-1)=1+3=4.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·盐城高二检测)若函数f(x)=(mx-1)e x在(0,+∞)上单调递增,则实数m的取值范围是.【解析】因为f′(x)=(mx+m-1)e x,由题意f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=mx+m-1,则,解得m≥1.答案:[1,+∞)4.若函数y=-x3+ax有三个单调区间,则a的取值范围是. 【解题指南】利用函数有三个单调区间,转化方程y′=0根的情况确定a 的取值范围.【解析】y′=-4x2+a,函数y=-x3+ax有三个单调区间,则方程-4x2+a=0有两解,故a>0.答案:a>0三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·驻马店高二检测)已知函数f(x)=(ax2+x-1)e x,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)若a=1,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.【解析】(1)因为f(x)=(x2+x-1)e x,所以f′(x)=(2x+1)e x+(x2+x-1)e x=(x2+3x)e x,所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=4e.又因为f(1)=e,所以所求切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0. (2)f(x)=(-x2+x-1)e x,因为f′(x)=-x(x+1)e x,令f′(x)<0,得x<-1或x>0,f′(x)>0得-1<x<0.所以f(x)的减区间为(-∞,-1),(0,+∞),增区间为(-1,0).6.(2015·四川高考)已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性.(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.【解析】(1)由已知,函数的定义域为(0,+∞),所以g(x)=f′(x)=2(x-1-lnx-a)所以g′(x)=2-=,当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.(2)由f′(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx.令φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx,则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0,令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x≥1),由u′(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1,即a0∈(0,1),当a=a0时,有f′(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0,再由(1)知,f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增,当x∈(1,x0)时,f′(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0,当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0,又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0,故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.。

第三章 学业质量标准检测 时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为导学号 03624941( A )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[解析] y ＝sin x ，y ′＝cos x ，∴k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π2＝0，k 1>k 2.2．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为导学号 03624942( B )A ．4B ．－4C ．1D ．－1[解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1， 由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4.3．函数y ＝x 2cos x 的导数为导学号 03624943( A ) A ．y ′＝2xcos x －x 2sin x B ．y ′＝2xcos x ＋x 2sin x C ．y ′＝x 2cosx －2xsin xD ．y ′＝xcosx －x 2sin x [解析] y ′＝(x 2cos x)′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x)′＝2xcos x －x 2sin x. 4．函数y ＝12x －x 3的单调递增区间为导学号 03624944( C )A．(0，＋∞) B．(－∞，－2)C．(－2,2) D．(2，＋∞)[解析] y′＝12－3x2＝3(4－x2)＝3(2＋x)(2－x)，令y′>0，得－2<x<2，故选C．5．(2016·福建宁德市高二检测)曲线f(x)＝ln xx在x＝e处的切线方程为导学号 03624945( A )A．y＝1eB．y＝eC．y＝x D．y＝x－e＋1 e[解析] f′(x)＝1－ln xx2，∴f′(e)＝1－ln ee2＝0，∴曲线在x＝e处的切线的斜率k＝0.又切点坐标为(e，1e)，∴切线方程为y＝1e.6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝导学号 03624946( D )A．2 B．3C．4 D．5[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＝5.7．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是导学号 03624947( C )A．m<0 B．m<1C．m≤0 D．m≤1[解析] f ′(x)＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；当m≠0时，由题意得m<0，综上可知m≤0.8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为导学号 03624948( C )A．20 B．9C．－2 D．2[解析] 由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，又点(2，－1)在抛物线上，∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C．9．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是导学号 03624949( B )A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x[解析] 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，∵函数图象过原点，∴d＝0.f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，。

（数学选修1-1）第三章 导数及其应用综合训练姓名：___________ 学号：____________ 班次：____________ 成绩：__________一、选择题1．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值2．若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h →+--=（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12-3．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（） A ．(1,0) B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--4．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ）A ．()f x =()g xB ．()f x -()g x 为常数函数C ．()f x =()0g x =D ．()f x +()g x 为常数函数5．函数x x y 142+=单调递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),21(+∞ D ．),1(+∞6．函数x xy ln =的最大值为（ ）A ．1-eB ．eC ．2eD ．310二、填空题1．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 。

2．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。

3．函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。

4．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 。

3.1 导数的定义基础训练(1)：1. 在求平均变化率中，自变量的增量x ∆（ ）Ａ．0>∆x Ｂ．0<∆x Ｃ．0=∆x Ｄ．0≠∆x 2. 一质点的运动方程是，则在一段时间[]t ∆+1,1内相应得平均速度为：（ ） Ａ．63+∆t Ｂ．63+∆-t Ｃ．63-∆t Ｄ．63-∆-t3．在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx ∆∆为（ ）A.Δx +x ∆1+2 B.Δx －x ∆1－2 C.Δx +2 D.2+Δx －x∆1 4.一物体位移s 和时间t 的关系是s=2t-32t ,则物体的初速度是5．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 巩固训练(1)：1．若质点M 按规律3s t =运动，则3t =秒时的瞬时速度为（ ）A ．2 B ．9 C ．27 D ．812．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3 C －2 D t 23-3．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）A ()x x f ∆+0B ()x x f ∆+0C ()x x f ∆⋅0D ()()00x f x x f -∆+ 4．物体的运动方程是=s t t 1642+-，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A ．=t 1 B ．=t 2 C ．=t 3 D ． =t 45．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ） A ．3米/秒 B ．2米/秒 C ．1米/秒 D ．4米/秒6．在曲线223x y =的图象上取一点（1,23）及附近一点⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+y x 23,1，则x y ∆∆为（ ） A x x ∆++∆1323 B x x ∆--∆1323 C 323+∆x D x x ∆-+∆1323 7．物体的运动规律是)(t s s =，物体在[]t t t ∆+,时间内的平均速度是（ ）Ａ．t t s t s v ∆∆=∆∆=)( Ｂ．t t s t t s v ∆-∆+=)()(Ｃ．t t s v )(= Ｄ．当0→∆t 时，0)()(→∆-∆+=tt s t t s v8.将边长为8的正方形的边长增加∆a,则面积的增量∆S 为（ ）A ．16∆a 2 B.64 C.2a +8 D.16∆a+∆a 29．已知一物体的运动方程是=s 7562+-t t ，则其在=t ________时刻的速度为7。

人教新课标版（A ）高二选修1-1 第三章 导数及其应用综合例题例1. 求下列函数的导数：（1）32x 3x 2y +=；（2）()()2x 33x 2y 2-+=；（3）2xcos 2x sinx y ⋅-=。

解：由函数的和（或差）与积的求导法则，可得（1）()()43433232x 9x 4x 9x 4x 3x 2x 3x 2y --=--='+'='⎪⎭⎫⎝⎛+'⎪⎭⎫ ⎝⎛='----。

（2）方法1：()()()()'-++-'+='2x 33x 22x 33x 2y 22()()33x 22x 3x 42⋅++-=9x 8x 182+-=。

方法2：∵()()6x 9x 4x 62x 33x 2y 232-+-=-+=， ∴9x 8x 18y 2+-='。

（3）∵x sin 21x 2x cos 2x sin x y -=⋅-=， ∴x cos 211y -='。

点拨：在可能的情况下，求导时应尽量少用甚至不用乘法的求导法则，所以，在求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后再求导，这样可减少运算量。

例2. 求函数()11x y 32+-=的单调区间。

分析：先化成基本初等函数后再利用求导法则求导。

解：()24632x 3x 3x 11x y +-=+-=，所以()()2224351x x 61x 2x x 6x 6x 12x 6y -=+-=+-='，令0y ='，则0x =或1x ±=。

由上表可得函数()11x y 32+-=的递减区间为()0,∞-；递增区间为（0，∞+）。

点拨：有多个极值时，可用列表的方法求极值或单调区间。

例3. （2005·湖北）在函数x 8x y 3-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是 A. 3 B. 2C. 1D. 0解：由1y 0<'<得，18x 302<-<，即3x 362<<。

目录：数学选修1-1第一章常用逻辑用语 [基础训练A组]第一章常用逻辑用语 [综合训练B组]第一章常用逻辑用语 [提高训练C组]第二章圆锥曲线 [基础训练A组]第二章圆锥曲线 [综合训练B组]第二章圆锥曲线 [提高训练C组]第三章导数及其应用 [基础训练A组]第三章导数及其应用 [综合训练B组]第三章导数及其应用 [提高训练C组]（数学选修1-1）第一章 常用逻辑用语[基础训练A 组]一、选择题1．下列语句中是命题的是（ ）A ．周期函数的和是周期函数吗？B ．0sin 451=C ．2210x x +->D ．梯形是不是平面图形呢？2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{}2|0x ax bx c φ++<≠”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是ba 11<的充要条件. ③0ab >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 4．下列说法中正确的是（ ）A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真5．若:,1A a R a ∈<, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题1．命题：“若a b ⋅不为零，则,a b 都不为零”的逆否命题是 。

新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答第三章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P76）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P78）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P79）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题3.1 A 组（P79）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-.这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π弧度／秒. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于0，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、函数（1）是一条直线，其斜率是一个小于0的常数；函数（2）的()f x '均大于0，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于函数（3），当x 小于0时，()f x '小于0，当x 大于0时，()f x '大于0，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P80）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思3．2导数的计算 练习（P85）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）41065y x x '=-+； （4）3sin 4cos y x x '=--习题3.2 A 组（P85）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=.4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）21sin y x'=-.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题3.2 B 组（P86）1、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.3．3导数在研究函数中的应用 练习（P93）当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P96）注：图象形状不唯一.令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-.（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-；当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22、2x ，4x 是函数()y f x =的极值点，其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，其中4x x =是函数()y f x =的极小值点. 练习（P98）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题3.3 A 组（P98）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =-，所以()20f x '=>. 因此，函数()24f x x =-是单调递增函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值. 5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-. （2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）当112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为4924-. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4924-. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.因为3()612f x x x =-+在1[,1]3-上单调递减，且1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，128-. 习题3.3 B 组（P99）（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >.因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略 3．4生活中的优化问题举例 习题3.4 A 组（P104）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.（第2题）3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可知，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x x π'=+-=，得x =.（第3题）当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题3.4 B 组（P105）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.因为()L x 只有一个极值，所以350x =为最大值点.因此，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b +'=-+=，解得458a bx +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.第三章 复习参考题A 组（P110）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x +'=； （3）ln x xe y e x x '=+. 3、32GMmF r'=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--.当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去. 由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=，0 1.6x <<. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 1x =是函数()V x 在(0,1.6)内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080,)x x N ≤≤∈. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x， 打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<. 令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.第三章 复习参考题B 组（P111）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，细菌在增加；当55t <<+时，细菌在减少. 2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得3h R =.h R =是函数()V h 在(0,)R 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.把3h R =代入222r h R +=，得r =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为3α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.24x =是函数y 在(0,)+∞上唯一极值点，且是极小值点，从而是最小值点.当24x =时，9600162478424⨯+=（元）. 于是20780()940.824÷=（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈，114y ≈；当50x =，114y ≈；当100x =，138y ≈.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.。

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阶段提升课第三课导数及其应用题组训练一导数的几何意义1．设函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点⎝⎛⎭⎫1，3处的切线方程为()A．y＝5x－2 B．y＝x＋2C ．y ＝5x ＋8D ．y ＝x ＋4【解析】选A.因为函数f(x)＝x 3＋(a －2)x 2＋2x 为奇函数，所以a ＝2，所以函数f(x)＝x 3＋2x ， 可得f′(x)＝3x 2＋2，f(1)＝3；曲线y ＝f(x)在点⎝⎛⎭⎫1，3 处的切线的斜率为f′(1)＝5，则曲线y ＝f(x)在点⎝⎛⎭⎫1，3 处的切线的方程为y －3＝5(x －1)，即y ＝5x －2.2．德国数学家莱布尼兹是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设f′(x)是函数f(x)的导函数，若f′(x)>0，且对∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2总有f ()x 1＋f ()x 22 <f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22 ，则下列选项正确的是( ) A ．f ()π <f ()e <f ()2 B ．f′()2 <f′()e <f′()π C ．f′(1)<f ()2 －f(1)<f′()2 D ．f′()2 <f ()2 －f(1)<f′(1)【解析】选D.由f′(x)>0，得f(x)在R 上单调递增， 因为π>e>2，所以f ()π >f ()e >f ()2 ，故A 不正确；对∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，总有f ()x 1＋f ()x 22 <f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22 ，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由f′(x)表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着x 的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以f′()π <f′()e <f′()2 ，故B 不正确； f ()2 －f(1)＝f ()2－f （1）2－1 ＝k AB ，表示点⎝⎛⎭⎫1，f （1） 与点⎝⎛⎭⎫2，f ()2连线的斜率，由图可知f′()2 <k AB <f′(1)，所以D 正确，C 不正确．3．已知曲线y ＝ax 3＋x 2－a 在⎝⎛⎭⎫1，1 处的切线过点⎝⎛⎭⎫2，6 ，那么实数a ＝________．【解析】因为y ＝ax 3＋x 2－a ，所以y′＝3ax 2＋2x ，则y′|x ＝1＝3a ＋2，曲线y ＝ax 3＋x 2－a 在⎝⎛⎭⎫1，1 处的切线方程为：y －1＝(3a ＋2)(x －1)，代入点⎝⎛⎭⎫2，6 ，得6－1＝(3a ＋2)(2－1)，解得a ＝1. 答案：1求曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线方程的关注点(1)判断点P(x 0，y 0)是否在曲线y ＝f(x)上．(2)①若点P(x 0，y 0)为切点，则曲线y ＝f(x)在点P 处的切线的斜率为f′(x 0)，切线的方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0).②若点P(x 0，y 0)不是切点，则设切点为Q(x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P(x 0，y 0)得y 0－y 1＝f′(x 1)(x 0－x 1)，①又y 1＝f(x 1)，②由①②求出x 1，y 1的值．即求出了过点P(x 0，y 0)的切线方程．题组训练二 函数的单调性与导数1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为________．【解析】函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，0 ∪⎝⎛⎭⎫0，＋∞ .y′＝8x －1x 2 ＝8x 3－1x 2 ， 令y′>0，则x>12 ，故函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 2．已知函数f(x)＝a ln x －12 ⎝⎛⎭⎫x －2 2在⎣⎡⎭⎫1，＋∞ 上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫－1，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫－1，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－1D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－1【解析】选D.由题知，f(x)的定义域为(0，＋∞)， 因为f(x)＝a ln x －12 (x －2)2在⎣⎡⎭⎫1，＋∞ 上是减函数， 所以f′(x)＝a x －⎝⎛⎭⎫x －2 ≤0在⎣⎡⎭⎫1，＋∞ 上恒成立， 所以a≤x ⎝⎛⎭⎫x －2 ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，因为(x －1)2－1≥－1， 所以a≤－1.3．已知函数f(x)＝x 3－ax 2＋bx ＋3，且f(1)＝－2，f′(1)＝－5. (1)求a ，b 的值．(2)求函数的单调递减区间． 【解析】 (1)f′(x)＝3x 2－2ax ＋b ，所以⎩⎨⎧f （1）＝1－a ＋b ＋3＝－2，f′（1）＝3－2a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－4，综上所述 a ＝2，b ＝－4.(2)f′(x)＝3x 2－2ax ＋b ＝(3x ＋2)(x －2)， 令f′(x)<0，解得－23 <x<2，所以f(x)的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，2 .函数的单调性与导数的关注点(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法．题组训练三 函数的极值、最值与导数1．若x ＝－2是函数f(x)＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f(x)的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1 【解析】选A.由题可得f′(x)＝⎝⎛⎭⎫2x ＋a e x －1＋⎝⎛⎭⎫x 2＋ax －1 e x －1 ＝⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫a ＋2x ＋a －1 e x －1， 因为f′⎝⎛⎭⎫－2 ＝0，所以a ＝－1，所以f(x)＝⎝⎛⎭⎫x 2－x －1 e x －1， 故f′(x)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x －2 ex －1， 令f′(x)>0，解得x<－2或x>1， 令f′(x)<0，解得－2<x<1，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－2 ，⎝⎛⎭⎫1，＋∞ 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－2，1 上单调递减，所以f(x)的极小值为f ()1 ＝⎝⎛⎭⎫1－1－1 e1－1＝－1. 2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在⎣⎡⎦⎤－2，1 上的最大值、最小值分别是( )A ．12，－15B ．1，－8C ．5，－16D ．12，－8【解析】选D.函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5，所以y′＝6x 2－6x －12＝6⎝⎛⎭⎫x ＋1 ⎝⎛⎭⎫x －2 ，令y′＝0，解方程可得x 1＝－1，x 2＝2，由表格可知，函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在⎣⎡⎦⎤－2，1 上的最大值为12，最小值为－8.3．若x ＝1是函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋ax －5 e x 的极值点，则f(x)在⎣⎡⎦⎤－2，2上的最小值为________．【解析】f′(x)＝⎝⎛⎭⎫2x ＋a e x ＋⎝⎛⎭⎫x 2＋ax －5 e x ＝e x ⎣⎡⎦⎤x 2＋（a ＋2）x ＋a －5 ，则f′()1 ＝e ⎝⎛⎭⎫2a －2 ＝0，解得a ＝1，所以f(x)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x －5 e x ，则f′(x)＝e x ⎝⎛⎭⎫x 2＋3x －4 ＝e x ⎝⎛⎭⎫x ＋4 ⎝⎛⎭⎫x －1 .令f′(x)>0，得x<－4或x>1； 令f′(x)<0，得－4<x<1.所以f(x)在⎣⎡⎭⎫－2，1 上单调递减；在⎝⎛⎦⎤1，2 上单调递增．所以f(x)min ＝f ()1 ＝－3e. 答案：－3e关于函数的极值、最值与导数的关注点(1)已知极值点求出参数的值后，要回代验证参数值是否满足极值的定义．(2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f′(x)的正负． (3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者．题组训练四 函数零点(方程的根)与导数 1．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －12x ＋3，x>1，x 2＋3x 2，x≤1，则函数f(x)的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】选C.当x≤1时，令f(x)＝0得：x 2＋32 x ＝0，解得：x ＝－32 或x ＝0，当x>1时，则f(x)＝ln x －12 x ＋3，f′(x)＝1x －12 ＝2－x 2x ，所以当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2 时，f′(x)>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫2，＋∞ 时，f′(x)<0，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫1，2 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫2，＋∞ 上单调递减，所以f(x)max ＝f ()2 ＝ln 2＋2>0， 因为当x→1时，f(x)→f ()1 ＝52 >0，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫1，2 上无零点，又f ()e 3＝6－e 32 ＝12－e 32 <0，所以f(x)在⎝⎛⎭⎫2，e 3 上有零点，因为f(x)在⎝⎛⎭⎫2，＋∞ 上单调递减， 所以f(x)在⎝⎛⎭⎫2，＋∞ 上有唯一零点，所以当x>1时，f(x)＝0有唯一解． 综上所述：f(x)的零点个数为3.2．若函数f(x)＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则a 的值为________．【解析】因为函数f(x)＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f′(x)＝2x(3x －a)，x ∈(0，＋∞)， ①当a≤0时，f′(x)＝2x(3x －a)＞0， 函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(0)＝1， f(x)在(0，＋∞)上没有零点，舍去；②当a ＞0时，f′(x)＝2x(3x －a)＞0的解集为x ＞a3 ， 所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞ 上单调递增，又f(x)只有一个零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3 ＝－a 327 ＋1＝0，解得a ＝3.答案：33．已知关于x 的不等式(x －k －1)e x ＋e 2<0有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是________．【解析】不等式(x －k －1)e x ＋e 2<0有且仅有三个整数解， 即x －k －1<－e 2e x ＝－e 2－x ，即k>x －1＋e 2－x ， 设函数f(x)＝x －1＋e 2－x ，f′(x)＝1－e 2－x ＝e x －e 2e x ；所以函数f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；f(0)＝e 2－1, f ()1 ＝e, f ()2 ＝2, f ()3 ＝2＋1e ，f(4)＝3＋1e 2 ，f(5)＝4＋1e 3 ，要使得k>x －1＋e 2－x 有三个整数解，则f ()1 <k≤f ()4 ，即e<k≤3＋e －2.答案：e<k≤3＋e －2与函数零点(方程根)有关的参数取值范围的求解方法(1)直接法：根据题设条件建立关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系内，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y ＝f(x)，y ＝g(x)交点问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数；二是转化为y ＝a ，y ＝f(x)的图象交点个数问题．题组训练五 不等式与导数1．已知(a ＋1)x －1－ln x≤0对于任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 恒成立，则a 的最大值为__________．【解析】由题求(a ＋1)x －1－ln x≤0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 上恒成立，可变形为a≤1＋ln x x －1，令f(x)＝1＋ln x x －1，化为a≤f(x)min ，由f′(x)＝－ln x x 2 可得单调递减区间为⎣⎡⎦⎤1，2 ，单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 ，算出函数在闭区间上两端点的函数值，通过比较求出最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝1－2ln 2.答案：1－2ln 22．已知函数f(x)＝x ln x ＋e ，若f(x)≥ax 恒成立，求实数a 的最大值．【解析】函数f(x)的定义域为⎝⎛⎭⎫0，＋∞ ，若f(x)＝x ln x ＋e≥ax 恒成立，则a≤ln x ＋e x ，令g(x)＝ln x ＋e x ，即a≤g(x)min ，令g′(x)＝1x －e x 2 ＝x －e x 2 ＝0，解得x ＝e ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，e 时，函数g(x)单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫e ，＋∞ 时，函数g(x)单调递增，则g(x)min ＝g(e)＝1＋1＝2，故a≤g(x)min ＝2，即a 的最大值为2.3．已知函数f(x)＝x ln x ，g(x)＝x 2－x.(1)求证：f(x)≤g(x)，对x>0恒成立．(2)若k ∈Z ，不等式k(x －1)<f(x)＋x 在x ∈⎝⎛⎭⎫1，＋∞ 上恒成立，求k的最大值．【解析】(1)令h(x)＝ln x －x ＋1(x>0)，则h′(x)＝1x －1，由h′(x)＝1x －1>0得0<x<1；由h′(x)＝1x －1<0得x>1；所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 所以h(x)≤h (1)＝0，所以ln x≤x －1，因此x ln x≤x 2－x ，即f(x)≤g(x)，对x>0恒成立．(2)由k(x －1)<x ＋x ln x(x>1)，得k<x ＋x ln x x －1， 令g(x)＝x ＋x ln x x －1(x>1). 则g′(x)＝（2＋ln x ）（x －1）－（x ＋x ln x ）（x －1）2 ＝x －2－ln x （x －1）2 . 令h(x)＝x －2－ln x ，则h′(x)＝1－1x >0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增，又h(3)<0，h(4)>0.故∃x 0∈(3，4)，使h ()x 0 ＝0.所以g(x)在⎝⎛⎭⎫1，x0上单调递减，在⎝⎛⎭⎫x0，＋∞上单调递增，所以g(x)的最小值为g()x0＝x0＋x0ln x0x0－1＝x0＋x0⎝⎛⎭⎫x0－2x0－1＝x0，因为k∈Z.所以k的最大值为3.不等式中的恒成立问题解法(1)根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；(2)若f(x)>0恒成立，f(x)>0就可讨论在参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f(x)min>0.f(x)<0恒成立，可转化为f(x)max<0；(3)f(x)>g(x)恒成立，可转化为f(x)min>g(x)max.题组训练六生活中的优化问题1．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x()0≤x≤390的关系是R(x)＝－x3900＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A．150 B．200 C．250 D．300【解析】选D.设总利润为P(x)＝－x3900＋400x－100x－20 000＝－x3900＋300x－20 000(0≤x≤390) ，P′(x)＝－x2300＋300(0≤x≤390)，令P′(x)＝0，可得x ＝300，当0≤x<300时，P′(x)>0，当300<x≤390时，P′(x)<0，故当x ＝300时，P(x)取得最大值．2．半径为R 的圆形铁片剪去一个扇形，用剩下的部分卷一个圆锥．圆锥的体积最大值为________．【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则r 2＋h 2＝R 2，即r 2＝R 2－h 2，所以圆锥的体积：V ＝13 πr 2·h ＝π3 ⎝⎛⎭⎫R 2－h 2 h ＝－π3 h 3＋π3 R 2h ，则V′＝－πh 2＋π3 R 2， 令V′＝0，解得：h ＝33 R ，则h ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，33R 时V′>0； h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33R ，R 时，V′<0， 即V 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33R 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫33R ，R 上单调递减， 所以V max ＝－π3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33R 3＋π3 R 2·33 R ＝2327 πR 3. 答案：2327 πR 33．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x(千台)的函数y 1＝17x 2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数y2＝2x3－x2，已知x>0，为使利润最大，应生产________千台．【解析】由题意，利润y＝y1－y2＝17x2－⎝⎛⎭⎫2x3－x2＝18x2－2x3(x＞0).y′＝36x－6x2，由y′＝36x－6x2＝6x(6－x)＝0，得x＝6(x＞0)，当x∈(0，6)时，y′＞0，当x∈(6，＋∞)时，y′＜0.所以函数y在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数．则当x＝6(千台)时，y有最大值．答案：6解决生活中的优化问题的关注点(1)关注问题的实际意义，当解决问题需要考虑定义域时，要注意问题中变量的实际取值．(2)实际问题要解决的一般都是最大、最小值的问题，所以要借助于导数先求极值，再进行比较得最值．关闭Word文档返回原板块。

3.1.3 导数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1.若曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为3x+y+5=0,则( )A.f'(x 0)>0B.f'(x 0)<0C.f'(x )=0D.f'(x 0)不存在2.已知曲线y =12x2−2上一点P (1,-32),则过点P 的切线的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.135°D.165°y =1x2−2,∴y'=limΔx →012(x+Δx )2-2-(12x 2-2)Δx =limΔx →012(Δx )2+x ·ΔxΔx=lim Δx →0(x +12Δx)=x.∴y'|x=1=1.∴点P (1,-32)处切线的斜率为1,则切线的倾斜角为45°. 3.曲线y=x 3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为( ) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2x=1=lim Δx →0(1+Δx )3-2(1+Δx )+1-(13-2×1+1)Δx=1,因此曲线在点(1,0)处的切线方程为y=x-1. 4.若曲线y=ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a 等于( ) A.1 B .12C.−12D.−1y'=limΔx→0a(1+Δx)2-a×12Δx=limΔx→0(2a+aΔx)=2a,∴2a=2,∴a=1.又直线2x-y-6=0不过(1,1)点,∴a=1即为所求.5.函数y=f(x)的图象如图,下列数值排序正确的是()A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3).由图可知f'(3)<f'(2).作出过A(2,f(2))与B(3,f(3))两点的直线,斜率k AB=f(3)-f(2)3-2=f(3)−f(2).设点(2,f(2))处的切线斜率为k1,点(3,f(3))处的切线斜率为k2, 由图可得k2<k AB<k1.6.曲线y=x2-2x+2在点(2,2)处的切线方程为.Δy=(2+Δx)2-2(2+Δx)+2-(22-2×2+2)=2Δx+(Δx)2,∴ΔyΔx=2+Δx.∴y'|x=2=limΔx→0(2+Δx)=2.∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2.∴切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.x-y-2=07.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=12x+2,则f(1)+f′(1)=.M处的切线方程y=12x+2,得f(1)=12×1+2=52,f′(1)=12,则f(1)+f'(1)=52+12=3.8.已知两条曲线y=x2-1与y=1-x3在点x0处的切线平行,则x0=.y=x2-1,得y′|x=x0=2x0,由y=1-x3,得y′|x=x0=−3x02.由题意得2x0=-3x02,即3x02+2x0=0.解得x0=0或x0=−23.或−239.在抛物线y=x2上求一点P,使在该点处的切线垂直于直线2x-6y+5=0.P的坐标为(x0,y0),则抛物线y=x2在点P处的切线斜率为y′|x=x0=limΔx→0(x0+Δx)2-x02Δx=2x0.直线2x-6y+5=0的斜率为1,由题设知2x0·1=−1,解得x0=−3,此时y0=94,故点P的坐标为(-32,94).10.若函数f(x)=x−1,求它与x轴交点处的切线的方程.f(x)=x−1=0,得x=±1,即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).∵f'(x)=limΔx→0(x+Δx)-1x+Δx-x+1xΔx=limΔx→0[1+1x(x+Δx)]=1+1x2,∴切线的斜率k=1+1=2.∴切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1),即2x-y-2=0或2x-y+2=0.能力提升1.设f(x)为可导函数且满足lim-2x→0f(1)-f(1-2x)2x=−1,则过曲线y=f(x)上点(1,f(1))处的切线斜率为()A.2B.-1C.1D.-2lim →0f(1)-f(1-2x)=lim-2x→0f(1-2x)-f(1)-2x=lim-2x→0f[1+(-2x)]-f(1)-2x=f′(1)=−1.2.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)(x)=limΔx→0(x+Δx)3+(x+Δx)-2-(x3+x-2)Δx=limΔx→0(3x2+1)·Δx+3x(Δx)2+(Δx)3Δx=3x2+1.因为曲线f(x)=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在点P0处的导数值等于4.设点P0(x0,y0),有f'(x0)=3x02+1=4,解得x0=±1,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).3.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1切点(0,b)在切线x-y+1=0上,∴b=1.∴y=x2+ax+1.∵y'=limΔx→0(x+Δx)2+a(x+Δx)+1-x2-ax-1=limΔx→02x·Δx+(Δx)2+aΔx=limΔx→0(2x+Δx+a)=2x+a,∴y'|x=0=a=1.4.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为[π4,π2 ],则点P的横坐标的取值范围为()A.(-∞,12]B.[−1,0]C.[0,1]D.[-12,+∞)5.已知曲线y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba=.★6.曲线y=1x和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是.7.已知直线l:y=4x+a和曲线C:f(x)=x3-2x2+3相切.求切点的坐标及a的值.l与曲线C相切于点P(x0,y0),f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)=limΔx→0(x+Δx)3-2(x+Δx)2+3-(x3-2x2+3)Δx=3x2-4x.由题意可知k=4,即3x02−4x0=4,解得x0=−23或x0=2.因此切点坐标为(-23,4927)或(2,3),当切点为(-23,4927)时,有4927=4×(-23)+a,解得a=12127.当切点为(2,3)时,有3=4×2+a, 解得a=-5.故切点为(-23,4927),a=12127或切点为(2,3),a=-5.★8.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.ΔyΔx=(x+Δx)2+1-(x2+1)Δx=2x+Δx,得y'=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(2x+Δx)=2x.设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y′|x=x0=2x0,由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).又因为切线过点(1,a),y0=x02+1,所以a-(x02+1)=2x0(1−x0),即x02−2x0+a−1=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是(-∞,2).。

函数的单调性、最值、极值以及实际应用一．选择题（本题共10小题）1. 函数ln x y x=在区间(1,)+∞上 A.是减函数 B.是增函数 C.有极小值 D.有极大值2.已知函数f(x)=x 3+ax 2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A.（-1,2） B .(,3)(6,).-∞-⋃+∞ C.（-3,6） D. (,1)(2,).-∞-⋃+∞3.函数f(x)=ax 3+(a-1)x 2+48(b-3)x+b 的图像关于原点成中心对称，则f(x)A.在上是增函数 B.在上不是单调函数C.在∞(-上是减函数，在∞)上是增函数.D . .在∞(-上增函数，在∞)上也为增函数.4.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,若f(x)在区间(-1,0)上单调递减，则a 2+b 2的取值范围是 A. ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭94 B. 90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭95 D. 90,5⎛⎤ ⎥⎝⎦5.设a ,R ∈，若函数f(x)的导函数f ’(x)=ae ax +3（x R ∈）有大于零的极值点，则a 的取值范围是A. （-3,2）B. ()3,+∞C. (),3-∞- D, (3,4)-6.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=3181234,3x x -+-则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 A.13万件 B.11万件 C. 9万件 D.7万件.7.已知函数f(x)=sinx-12x ([]0,x π∈),那么，下列结论正确的是 A.f(x)在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数. B. f(x)在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数. C. []0,,()()3x f x f ππ∃∈ D. []0,,()()3x f x f ππ∀∈≤ 8.设函数f(x)=ax 2+bx+c(a,b,c R ∈)，若x=-1为函数f(x)e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y=f(x)的图象是（D ）9.已知函数f(x)=x 3+2bx 2+cx+1有两个极值点,x 1,x 2,且x 1[]2,1∈--,x 2[]1,2∈,则f(-1)的取值范围是 A. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 3,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []3,12 D. 3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦10.已知函数f(x)=-x 3+ax 2-4在x=2处取得极值，若m,n []1,1∈-,则f(m)+f ’(n)的最小值是A.-13B.-15C.10D.15 二填空题（本题共6小题）11.函数f(x)=x 3-3x 2+1在x=___2___处取得极小值.12.若函数f(x)= 21x a x ++在x=1处取得极值，则a=___3____. 13.若函数f(x)=2x-()+3k k x +∞在1，上是增函数，则常数k 的取值范围是_[)2,-+∞________. 14.函数f(x)= 321x 313x x ---的图像与x 轴的交点个数是__3________. 15已知函数f(x)的导数f ’(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a 处取得极大值，则a 的取值范围是_(-1,0)_____.16.若函数f(x)=2x 2-lnx 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是___31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭________.三.解答题：（本大题共5小题） 17.设f(x)= 21x e ax=+,其中a 为正实数 （1）当a=43时，求f(x)的极值点. （2）若f(x)为R 上的单调函数，求a 的取值范围.（2011安徽）18.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离的平方成反比，比例系数为k(k>0),现已知相距18km 的A,B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上的任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和，设AC=xkm（1）试将y 表示为x 的函数.（2）若a=1,x=6时，y 取得最小值，试求b 的值.19.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c(x []1,2∈-),且函数f(x)在x=1和x=-23处都取得极值 (1)求a,b 的值 (2)求函数f(x)的单调递增区间.(3)若对任意x []12∈-，,f(x)<c 2恒成立，求实数c 的取值范围.20.已知函数333()1()(0)2f x ax x x R a =-+∈>(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程(2)若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，f(x)>0恒成立，求a 的取值范围.(2010天津)21. 设a>0,讨论函数2(1)a x --2f(x)=lnx+a(1-a)x 的单调性．(2011广东)。