求欧拉回路的Fleury算法

Fleury（佛罗莱）算法FleuryFleury算法⽤于解决欧拉回路的具体输出路径问题，在算法开始之前，我们先⽤⼀个dfsdfs来判断这个图是否是⼀个联通块，然后再判断这个图中有奇数出度的点是否只有00个或者22个，如果是00个，则存在欧拉回路，如果是两个，则存在欧拉路径，对于欧拉回路，我们任意选择⼀个点作为dfsdfs的第⼀个点，对于欧拉路径，我们选取两个奇数出度的点中之⼀来作为dfsdfs的第⼀个点我们在求取的时候，⽤栈这种数据结构举个例⼦⽐如说这个图，显然奇数出度的点为11和22，于是我们选择⼀个点，⽐如说选择11，那么我们在dfs的过程中，按照dfs的顺序把点的编号放进栈中，⽐如我们的访问次序是12432，则把12432放⼊栈中，每经过⼀条边，就把这条边的正向边反向边打上标记表⽰这条路已经⾛过了，由于之前我们已经判过欧拉回路存在的充要条件了，所以请对这张图保持信⼼，⼀定是可以找到欧拉回路的，于是我们的算法流程就是：先把1放到栈中，然后把1-2的边的正向边反向边打上标记，表⽰已经⾛过了，然后再把2放到栈中，然后⾛2-4，打标记，4⼊栈，⾛4-3，打标记，3⼊栈，⾛3-2，打标机，2⼊栈，然后我们去⾛2的时候发现2已经⽆路可⾛了，她能⾛的所有边已经被打上了标记，也就是说这个点已经没有办法出去了，那么什么样的点进去了出不来呢？显然就是我们的奇数出度的点，于是我们在这⾥把栈顶输出，然后pop出去，然后回溯，每回溯到⼀个点都判断这个点是否还能⾛其他边，如果不能⾛的话，我们就输出这个点，然后再回溯，⼀直到⼀个点有其他边可以⾛，我们就把这个pop，但是不输出，然后再重新从这个点开始dfs⽐如说这幅图中，我们在dfs了2及右边之后，左边的1由于还有边可以⾛，于是不输出，从1再开始dfs，最后输出的序列就是2 , 4 , 3，2，1，5 , 6 , 1#include<iostream>#include<stack>const int MAXN=111;using namespace std;stack<int>S;int edge[MAXN][MAXN];int n,m;void dfs(int x){S.push(x);for(int i=1;i<=n;i++){if(edge[x][i]>0){edge[i][x]=edge[x][i]=0;//删除此边dfs(i);break;}}}//Fleury算法的实现void Fleury(int x){S.push(x);while(!S.empty()){int b=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(edge[S.top()][i]>0){b=1;break;}}if(b==0){printf("%d",S.top());S.pop();}else {int y=S.top();S.pop();dfs(y);//如果有，就dfs}}printf("\n");}int main(){scanf("%d%d",&n,&m); //读⼊顶点数以及边数memset(edge,0,sizeof(edge));int x,y;for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&x,&y);edge[x][y]=edge[y][x]=1;}//如果存在奇数顶点，则从奇数顶点出发，否则从顶点0出发int num=0,start=1;for(int i=1;i<=n;i++){ //判断是否存在欧拉回路int degree=0;for(int j=1;j<=n;j++){degree+=edge[i][j];}if(degree&1){start=i,num++;}}if(num==0||num==2){Fleury(start);}elseprintf("No Euler Path\n");return0;}。

欧拉图中欧拉回路的算法，演示，及分析
设G为欧拉图，一般来说G中存在若干条欧拉回路，下面介绍两种求欧拉回路的算法。

1．Fleury算法，能不走桥就不走桥：
（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0.
（2）设Pi=v0e1v1e2…e i v i已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…,e i}中选取e i+1：
（a）e i+1与v i相关联；
（b）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i=G-{e1,e2,…,e i}中的桥。

（3）当（2）不能再进行时，算法停止。

可以证明，当算法停止时所得简单回路P m=v0e1v1e2…e m v m(v m=v0)为G中一条欧拉回路。

例15.2 图15.4(1)是给定的欧拉图G。

某人用Fleury算法求G中的欧拉回路时，走了简单回路v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2之后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误?
解此人行遍v8时犯了能不走桥就不走桥的错误，因而他没行遍出欧拉回路。

当他走到v8时，G-{e2,e3,e14,e10,e1,e8}为图15.4(2)所示。

此时e9为该图中的桥，而e7,e11均不是桥，他不应该走e9，而应该走e7或e11，他没有走，所以犯了错误。

注意，此人在行遍中，在v3遇到过桥e3，v1处遇到过桥e8，但当时除桥外他无别的边可走，所以当时均走了桥，这是不会犯错误的。

算法可以用于解决欧拉回路问题。

在图论中，一个欧拉回路是指一条从某个节点开始并经过每条边恰好一次，最后回到起点的路径。

要找到一个给定图中的欧拉回路（如果存在的话），可以使用以下几种方法：
1. 深度优先搜索（DFS）：通过递归遍历图的所有可能路径来寻找欧拉回路。

2. 广度优先搜索（BFS）：利用队列进行层次遍历，检查每个顶点是否能够构成欧拉回路。

3. Hierholzer算法：这是一个专门针对欧拉回路问题的算法，它基于逐步插入回路的思想，首先找到一个环，并不断将新的边加入这个环直到形成完整的欧拉回路。

4. Fleury算法：该算法试图构建欧拉路径，同时保留与起始节点相连的桥梁，最终通过反向遍历来获得欧拉回路。

5. Ford-Fulkerson算法：虽然主要是用于求解最大流问题，但当所有边的容量为1时，此算法实际上是在寻找欧拉回路。

这些算法可以帮助你确定给定图中是否存在欧拉回路以及找到这样的回路。

请注意，不是所有的图都有欧拉回路。

要使一个图有欧拉回路，必须满足以下条件之一：
- 所有的顶点都是偶数度。

- 除两个奇数度的顶点外，其他所有顶点都是偶数度。

弗勒里算法Fleury's Algorithm
弗勒里（Fleury）于1883年提出，在存在欧拉道路/回路的无向图中构造该道路/回路的算法：
I E I=0? Y
选不是桥的与v关联的边
(除非无可选择) e，γ(e)= {v, u}
π←π◦e◦u , v ←u
删除边e 及孤立顶点（如果存在）N
|E| 自减1
选择图中一个奇数
度顶点v或任选一个顶点v
π← v
输出序列π
弗勒里算法Fleury (G)
输入：至多有两个奇数度顶点的图G=(V, E , γ )
输出：以序列形式呈现的欧拉回路/道路π
1.选择图中一个奇数度顶点v∈V，如果图中不存在奇数度顶点则任意选取一个顶点v，道路序列π←v
2.如果|E|≠0，则
2.1如果与v关联的边多于一条，则任选其中不是桥的一条边e；否则选择桥e
2.2假设e的两个端点是v和u，π←π◦e◦u，v ←u
2.3删除边e及孤立顶点（如果存在）
2.4返回步骤2
3.输出序列π
E nd。

弗罗莱（Fleury）算法,求欧拉（Euler）通路/回路 算法及分析 2009-09-20 17:11:54 阅读807 评论0字号：大中小 1、基本概念： （1）定义 欧拉通路(欧拉迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的 通路。 欧拉回路(欧拉闭迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点 的回路。 欧拉图—存在欧拉回路的图。欧拉图就是从一顶出发每条边恰通过一次 又能回到出发顶点的那种图，即不重复的行遍所有的边再回到出发点。 通路和回路－称vie1e2…envj为一条从vi到vj且长度为n的通路，其中长 度是指通路中边的条数．称起点和终点相同的通路为一条回路。 简单图－不含平行边和自回路的图。 混合图－既有有向边，也有无向边的图 平凡图－仅有一个结点的图 完全图－有n个结点的且每对结点都有边相连的无向简单图，称为无向 完全图；有n个结点的且每对结点之间都有两条方向相反的边相连的有 向简单图为有向完全图。 （2）欧拉图的特征： 无向图 a）G有欧拉通路的充分必要条件为：G连通，G中只有两个奇度顶点(它 们分别是欧拉通路的两个端点)。 b）G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。 有向图 a）D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出 度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的 入度比出度小1。
{ int a[200],x,i,k=0; LinkQueue Q; InitQueue(Q); EnQueue(Q,0); for(i=0;i<v;i++) a[i]=0; a[0]=1; while(!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q,x); for(i=0;i<v;i++) if(G[x][i]>0) if(a[i]!=1) { a[i]=1; EnQueue(Q,i); }//if }//while for(i=0;i<v;i++) if(a[i]==0) { k=1; break; } if(k==1) return 0;

称{C1, C2, …, Cmn+1}为G对应T的基本回路系统，称 mn+1为G的圈秩，记作(G)。
求基本回路的算法
设弦e=(u,v)，先求T中u到v的路径(u,v)，再并上弦e
，即得对应e的基本回路。
举例
求下图中的基本回路系统。
对应生成树的弦分别为 e6,e7,e8,e10,e11。
(1) 1，1，1，1，1，5 (2) 1，1，1，1，2，4 (3) 1，1，1，1，3，3 (4) 1，1，1，2，2，3 (5) 1，1，2，2，2，2
(4)对应两棵非同构的树， 在一棵树中两个2度顶点相邻， 在另一棵树中不相邻， 其他情况均能画出一棵非同构 的树。
例16.1
人们常称只有一个分支点，且分支点的度数为n-1的 n(n≥3)阶无向树为星形图，称唯一的分支点为星心。
S1＝{e1,e7,e8} S2＝{e2,e7,e8,e10,e11} S3＝{e3,e10,e11}
S4＝{e4,e6}
S5＝{e5,e6,e10,e11}
S6＝{e9,e8,e11}
此图的割集秩为6，基本割集系统为{S1,S2,S3,S4,S5,S6}。
说 无向连通图G的割集秩与生成树的选取无关，但不同生成 明 树对应的基本割集系统可能不同。
例16.3
例16.3 求下图所示两个图中的最小生成树。
W(T1)＝6
W(T2)＝12
例题
例如 求所示图的一棵最小生成树。 解答
最小生成树 W(T)=38
小节结束
16.3 根树及其应用
设D是有向图，若D的基图是无向 树，则称D为有向树。
在所有的有向树中，根树最重要， 所以我们只讨论根树。
二叉树的应用

欧拉回路构造算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉回路是图论中的一个重要概念，在一幅图中指的是一条包含图中每一条边且经过每一条边仅一次的闭合路径。

欧拉回路构造算法是指寻找一条欧拉回路的方法，即将给定的图转化为满足欧拉回路性质的路径。

欧拉回路构造算法有多种，其中最为经典和常用的算法是Fleury 算法和Hierholzer算法。

Fleury算法是一种基于贪心思想的算法，其基本思路是每次选择一条不是桥的边，通过DFS搜索来构造欧拉回路。

具体步骤如下：1. 从图中任选一个顶点作为起点。

2. 找到可以走的一条不是桥的边，并走向该边所连接的顶点。

3. 如果该边是割边，则在走完该边后，必须选择一条不是割边的边继续前进。

4. 重复步骤2和步骤3，直到不能走为止。

Fleury算法的时间复杂度为O(E^2)，其中E为图中的边数。

Hierholzer算法是另一种求解欧拉回路的经典算法，其基本思想是通过遍历所有的边来构造欧拉回路。

具体步骤如下：1. 从图中任意一个顶点开始，选择一条边进行遍历。

2. 如果走到某个节点时无法继续行走，则回退到之前分叉点重新选择一条边继续遍历。

3. 直到遍历完所有的边，形成一个闭合回路即为欧拉回路。

欧拉回路构造算法的应用十分广泛，例如在网络设计、图像处理、数据压缩等领域都有着重要的作用。

通过欧拉回路构造算法，我们可以快速有效地找到一条经过所有边的闭合路径，从而解决一系列实际问题。

欧拉回路构造算法是解决图论中欧拉回路问题的重要工具。

不同的算法适用于不同的情况，可以根据具体问题的要求选择合适的算法。

通过学习和了解欧拉回路构造算法，我们可以更好地运用图论知识解决实际问题，提高问题解决的效率和准确性。

希望本文对读者有所帮助，欢迎大家进一步深入学习和探讨。

第二篇示例：欧拉回路构造算法是图论中一种重要的算法，用于寻找图中存在的欧拉回路。

欧拉回路是指一条包含所有边且不重复经过任何边的闭合路径。

在很多实际应用中，欧拉回路是一个非常有用的概念，比如在电子电路的布线设计、网络路由、以及城市旅行等领域都有很多应用。

fleury算法:aco上提供的算法:# circuit is a global arrayfind_euler_circuitcircuitpos = 0find_circuit(node 1)# nextnode and visited is a local array# the path will be found in reverse orderfind_circuit(node i)if node i has no neighbors thencircuit(circuitpos) = node icircuitpos = circuitpos + 1elsewhile (node i has neighbors)pick a random neighbor node j of node idelete_edges (node j, node i)find_circuit (node j)circuit(circuitpos) = node icircuitpos = circuitpos + 1总结: 这种算法的时间复杂度是o(e)的,空间复杂度也是o(e)的,这种算法的特点是最后倒序输出,这个地方需要特别重视一下,在图有欧拉通路或者有欧拉回路的时候,我们总可以从一个合适的点出发,找到一条欧拉路.可以做一下usaco的3.1的题目.2.fleury算法:(1).任取v0属于v(G),令P0=v0;(2) 设Pi=v0e1v1e2…eivi已经行遍,按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…..ei}中任取ei+1 ;(a) : ei+1与vi相关联:(b): 除非无别的边可供行遍,否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2,….ei}中的桥.(3): 当(2)不能再进行时,算法停止.可以证明,当算法停止时所得的简单回路Pm=v0e1v1e2….emvm(vm=vo)为G中的一条欧莱回路.总结:这种算法的复杂度是o(e*e),相队于前面那种算法在时间上没有什么优势,但是由于他是顺序找的,所以用这个来求解题目有时候会收到奇效,比如说题目要求欧拉回路字典序最小,先前的哪一种算法扎这个时候可能无能为力,但是用这个算法仍旧能够漂亮的解决这个问题大家可以参考一下pku的2337,一道很好的用fleury算法求解的题目。

求欧拉回路的Fleury算法一、实验内容：判断图G是否存在欧拉回路，若存在，输出其中一条欧拉回路。

否则，显示无回路。

二、实验环境：vc++三、实验过程与结果1.问题简介：通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。

具有欧拉回路的图称为欧拉图2.算法思想（框图）：（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0.（2）设Pi=v0e1v1e2…e i v i已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…,e i}中选取e i+1：（a）e i+1与v i相关联；（b）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i=G-{e1,e2,…,e i}中的桥。

（3）当（2）不能再进行时，算法停止。

可以证明，当算法停止时所得简单回路Pm=v0e1v1e2…e m v m(v m=v0)为G中一条欧拉回路。

3.数据输入：边数5，点数6相关联的点1 21 32 54 23 24 54.运行结果：存在欧拉回路 1，3，2，4，5，2，15.分析总结：Fleury算法是求欧拉图的十分有效的算法，在执行过程中需要用到类似于图的深度优先遍历，因为该算法就是需要将已找到的路径不断的扩展下去，直到将所有边扩展进路径。

四、完整源程序#include <iostream.h>#include <stdio.h>#include <string.h>struct stack{int top , node[81];} T,F,A; //顶点的堆栈int M[81][81]; //图的邻接矩阵int n;int degree[81];bool brigde(int i,int j){int flag[81],t,s;for(s=1;s<=n;s++)flag[s]=0;if(degree[i]==1)return false;else{M[i][j]=0;M[j][i]=0;A.top=1;A.node[1]=i;flag[i]=1;t=i;while(A.top>0){for(s=1;s<=n;s++){if(degree[s]>0){if(M[t][s]==1)if(flag[s]==0){A.top++;A.node[A.top]=s;flag[s]=1;t=s;break;}}}if(s>n){A.top--;t=A.node[A.top];}}for(s=1;s<=n;s++){if(degree[s]>0)if(flag[s]==0){M[i][j]=M[i][j]=1;return true;break;}}if(s>n)return false;}}void Fleury(int x) //Fleury算法{int i,b=0;if(T.top<=n+1){T.top++;T.node[T.top]=x;for(i=1;i<=n;i++)if(M[x][i]==1)if(brigde(x,i)==false){b=1;break;}if(b==1){M[x][i]=M[i][x]=0;degree[x]--;degree[i]--;Fleury(i);}}}void main(){int m , s , t , num , i , j,flag[81];//inputcout<<"\n\t输入顶点数和边数:";cin>>n>>m; //n顶点数m边数memset(M , 0 , sizeof(M));for (i = 1; i <=n; i ++)degree[i]=0;for (i = 0; i < m; i ++){cout<<"\n\t\t输入第"<<i+1<<"边的顶点:";cin>>s>>t;M[s][t] = 1; M[t][s] = 1;degree[s]=degree[s]+1;degree[t]=degree[t]+1;}//判断是否存在欧拉回路for(i=1;i<=n;i++)flag[i]=0;s = 0; //判断是否连通F.top=1;F.node[1]=1;flag[1]=1;t=1;for(j=2;j<=n;j++){if(M[t][j]==1){F.top++;F.node[F.top]=j;flag[j]=1;t=j;break;}}if(j>n)s=1;else{while(F.top<=n&&F.top>=1){for(j=2;j<=n;j++){if(M[t][j]==1)if(flag[j]==0){F.top++;F.node[F.top]=j;flag[j]=1;t=j;break;}}if(j>n){F.top--;t=F.node[F.top];}}for(i=1;i<=n;i++)if(flag[i]==0){s=1;break;}}if(s==0) //判断有无奇度点{for (i = 1; i <= n; i ++){num = 0;for (j = 1; j <= n; j ++)num += M[i][j];if (num % 2 == 1){s ++;break;}}}if (s == 0) {T.top=0;Fleury(1);cout<<"\n\t该图的一条欧拉回路：";for(i=1;i<=m+1;i++){cout<<T.node[i]<<" ";}}elsecout<<"\n\t该图不存在欧拉回路!\n";}。

管梅谷
管梅谷教授。 上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
求解。
推广的中国邮递员问题： 混合图的中国邮递员问题，有各种限制 的中国邮递员问题，动态网络的中国邮 递员问题。 其他相关问题-旅行售货员（TSP）问题， 灾清巡视路线。

谢谢!
v1 2 5 v2 5 9 v3 v4 图2 3 v8
4
3
v7
6
v9 4 4 4
v6
4
v5

这样就得到初始方案.在这个图中，没有奇点， 故称它为欧拉图。对应于这个可行方案，重复 边总权为51。
思考



这样的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是 否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？

欧拉图及求欧拉回路的算法
欧拉行迹—含所有边恰好一次的行迹 欧拉回路—含所有边恰好一次的回路 欧拉图—存在欧拉回路的图

设G是连通图, 下列命题等价: (1) G是欧拉图. (2) 每个顶点的度数都是偶数. (3) G是两两无公共边的圈的并.
欧拉图及求欧拉回路的算法
求欧拉回路的算法(Fleury算法，1921年) 算法思想: “过河拆桥,尽量不走独木桥”. 即若已选定迹 Wi v0e1v1e2 eivi , 从 G Wi 中选 取下一条边 ei 1 使得ei 1 与 vi 相关联, 且ei 1 不是 G Wi 的桥, 除非无边可选.

1. Hierholzer算法的基本概念Hierholzer算法是一种用来寻找欧拉回路的经典算法。

它的基本原理是通过遍历图中的所有边，找到一条路径，使得每个节点都被经过且每条边都被遍历到。

欧拉回路是一种经过图中每条边一次且回到起点的路径，这种路径的存在性以及如何找到它一直是图论中的一个经典问题。

2. 经典图的定义在讲解Hierholzer算法的原理之前，我们需要先了解一些经典图的定义。

图是一种由节点和边构成的数据结构，一般用G(V, E)来表示，其中V是节点的集合，E是边的集合。

当图中的每条边都不重复出现且每个节点之间都存在相互连接的边时，称这种图为欧拉图。

而欧拉回路则是在欧拉图的基础上，经过图中每条边一次且回到起点的路径。

3. Hierholzer算法的基本思路在讲解Hierholzer算法的具体原理之前，我们先来了解一下它的基本思路。

Hierholzer算法的基本思路是利用递归的方式来在欧拉图中寻找欧拉回路。

它的核心是通过拆边和回溯的方式，找到一条满足条件的路径，并将其合并成一条欧拉回路。

4. Hierholzer算法的具体步骤Hierholzer算法的具体步骤可以大致分为以下几个步骤：- 从图中任意选取一个节点作为起点，将其入栈。

- 对起点进行深度优先遍历，直到遇到没有未访问的边的节点，将节点加入到路径中。

- 如果当前节点的邻接节点还有未访问的边，则将当前节点入栈，并选择一个邻接节点作为下一个起点进行深度优先遍历。

- 如果当前节点的邻接节点都已经访问完，则将该节点加入到路径末尾，并将栈中的节点依次加入到路径中，直到找到一个出边没有访问的节点。

- 重复以上步骤直到所有的边都被经过。

5. Hierholzer算法的应用Hierholzer算法在实际生活中有很多应用，比如在网络路由系统中寻找最优路径、在交通规划中寻找最优车辆行驶路线等。

另外，在图论研究中，Hierholzer算法也被广泛应用于求解欧拉回路的问题，并且它的时间复杂度相对较低，适用于大规模的图。

一：弗罗莱(Fleury)算法算法步骤如下：(1):任取一起始节点VS;(2):设路EE：=[[v1,v2],[v2,v3],....,[vn,vs]]选出，则从G\EE中选边ee，使ee与VS相连，除非没有其它选择，EE不应为G\EE的桥（即去G\EE应保持连通性）;(3):重复步骤(2)，直至不能进行下去为止。

具体程序如下：> Fleury:=proc(G)> local V,E,ee,VD,i,j,VS,EE;> VS:=1:EE:=[]:> for j from 1 to nops(edges(G)) do> VD:=neighbors(VS,G):> for i from 1 to nops(VD) do> ee:=edges({VS,VD[i]},G):> delete(edges(ee,G),G):> if connectivity(G)=0 then> addedge({VS,VD[i]},G):> if i=nops(VD) then> RETURN(0):> fi:> else> EE:=[op(EE),[VS,VD[i]]]:> VS:=VD[i]:> fi:> od:> od:> RETURN(EE):> end:二：中国邮递员问题解法如下：(1):找出原图G的所有负节点和正节点；(2):求出每对负、正节点之间的最短路的权数，并求出最佳配对与附加配对的最短路；对添加了配对后的最短路的新图，找出一个或若干个欧拉回路，并合理地分配在规定的时间经过的路段。

欧拉回路的求解左图是一个井田图，由于2、3、5、8、9、12、14、15几个点都是奇数连线，故不存在欧拉回路。

而右图增加几条连线后，该图就存在欧拉回路。

a)假设点1和点2 之间的连线消失，b)建立数学模型把右图的拓扑关系（并考虑a中连线消失的因素）表达出来c)理解fleury算法，并计算一条欧拉迹，使得该欧拉迹从点1出发，经过b中的每一条边，最终达到点2d)使用plot命令把该欧拉迹显示出来。

这个动画过程可以用一个for循环语句实现，如下。

其中pos是个2x16的矩阵，2行分别代表x/y轴坐标，每一列表示每个点的坐标，共16个点；另外，T是个2xN的矩阵，每一列表示一条边从T(1，i) 点到T(2，i)点。

fleury 算法的目的就是要产生这样一个T 矩阵。

for i …draw_arrow(pos(:,T(1,i))',pos(:,T(2,i))',0.5)pause;end以下是这段动画的其中几个截图clear all hold offA=zeros(16);for i=1:16%A(i,i)=1/2;if i+1<=16 && mod(i,4)~=0A(i,i+1)=1;endif i+4<=16A(i,i+4)=1;endendA(2,5)=1;A(3,8)=1;A(9,14)=1;A(12,15)=1;A=A+A';[T3 c3]=fleury3(A);pos3(1:2,1)=0;for i=1:16if i==1, pos3(1:2,i)=0;elseif mod(i-1,4)~=0pos3(1,i)=pos3(1,i-1)+1;pos3(2,i)=pos3(2,i-1);elsepos3(1,i)=pos3(1,i-4);pos3(2,i)=pos3(2,i-4)-1;endendendfigure (1), title('3rd Question')for i=1:16for j=i:16if A(i,j)==1,plot([pos3(1,i),pos3(1,j)],[pos3(2,i),pos3(2,j)]); hold on, endendendfor i=2:size(T3,2)draw_arrow(pos3(:,T3(1,i))',pos3(:,T3(2,i))',0.5)x = mean(pos3(1,T3(:,i)));y = mean(pos3(2,T3(:,i)));text(x,y,num2str(i),'FontSize',18);pause;endpause off;hold offfunction [T,sleds]=fleury3(A)[m,n]=size(A);if m~=nfprintf('there is sth wrong.\n');return;endtemp=sum(A,1);tteds=sum(temp); % total nos edgessleds=0; %selected edgesmtr = A;startp = 1;eulerPath = startp;while sleds~=tteds % 当sleds = tteds 时，表示所有的边已经进入到eulerPath里面了listNp = find(mtr(startp,:)==1); %列出与startp 相通的点nosNgbr = length(listNp); %计算上述点的个数if nosNgbr ==1, %没有其他选择情况下nextp = listNp(1);elsefor i=1:length(listNp) %依次判断是否是割边flag = isGeBian(mtr,startp,listNp(i));if flag~=1break; %遇到第一条不是割边的边，即停止endendnextp = listNp(i); %把这条边的终点记录下来endmtr(startp,nextp)=0;mtr(nextp,startp)=0;eulerPath = [eulerPath, nextp]; %把这条边的终点作为欧拉回路的下一个点startp = nextp;sleds = sleds+1;end% 构建T 矩阵，以便画图T = zeros(2,length(eulerPath)-1);for i=2:length(eulerPath)T(:,i-1) = [eulerPath(i-1);eulerPath(i)];endendfunction flag=isGeBian(mtr,startp,nextp)%判断startp 与nextp 两点之间连线是否割边mtr(startp, nextp) = 0;mtr(nextp, startp) = 0;% 通过队列，查看是否存在任意一条“其他”通道可以从startp 达到nextpdui=[];dui=enqueue(dui,startp);while ~isempty(dui)startp = dui(1); % topdui=pop(dui);listp=find(mtr(startp,:)==1);if any(listp==nextp)% 表示存在另外一条这样的通道，所以flag =0 ,即startp 与nextp 两点之间连线不是割边flag=0;return;enddui=enqueue(dui,listp);mtr(startp,listp)=0;endflag=1;endfunction dui=enqueue(dui,p)if isempty(dui)dui = p;elsedui = [dui,p];endendfunction dui=pop(dui)if length(dui)==1dui=[];elsedui = dui(2:end);endend。

Fleury算法这⾥对于实验中⽤到的两个算法进⾏简单的介绍和理解Fluery算法算法简介福楼⾥算法（Fleury算法）在图上求欧拉环游的⼀种⽅法。

中国邮递员问题实质上是在具有⾮负的连通图⽹络G中找出⼀条最⼩权的通过所有边的闭途径。

当G是欧拉图的时候，问题转化成为在G中确定⼀条欧拉环游。

算法的基本原则是：每到⼀点，就沿该点的关联边中从未⾛过的⼀条⾛，当没有其他选择时，才选择未⾛过边所导出的⼦图中的割边。

Floyd算法算法简介floyd算法可以看作是搜索算法在最短路径的简化算法。

即可以通过第三点对所求的a，b两点进⾏路径距离的优化。

⽽算法的⽬的就是尽可能多的找到这样的中转点。

我们假定⼀个邻接矩阵，并且现在只经过1号点，求任意两点最短路程，只需要判断e[i][1]+e[1][j]是不是⼩于e[i][j]，实现这个我们只需要⼀个简单的遍历代码for (i=1;i<n;i++){for(j=1;j<n;j++){if(e[i][j]>e[i][1]+e[1][j])e[i][j] =e[i][1]+e[1][j];}}}同样的判断2号点，3号点......对于这个过程，再套⼀个循环，便可以解决，所以最终的算法是循环k循环i循环j判断 e[i][j]>e[i][k]+e[k][j]赋值 e[i][j]=e[i][k]+e[k][j]end 判断end循环jend循环iend循环kDijkstra算法算法简介这个算法和Flyod算法⽐较像，就⼀并介绍⼀下。

思路⽐较简单，算法步骤如下：—————————————————————————————————\(S1. 令d(v_1)=0, d(v_j)=w_{ij}(权),s={v_1},R=v \ s=\{v_2...v_p\}\)\(S2. 在R中寻找⼀个顶点V_k,使得d(V_k)=min\{d(V_j)\},R=V\S.若R是空集，则结束\)\(S3. 修正的d(v_j),对R中每个V_j,令d(v_j)=min\{d(v_j),d(v_k)+w_{kj}\}\)—————————————————————————————————简单来说就是选中⼀个点作为起始点，然后在剩余的点⾥找到去往选中点权最⼩的点，然后这个点到每个可以抵达选中点的点（不包括已经⽤过的点和选中点）进⾏权值⽐较（即决定是否绕路）。

《数学建模》讲座：数学建模中的图论方法图论是离散数学的重要组成部分，它对于自然科学、工程技术、经济管理和社会现象等诸多问题，能够提供有力的数学模型加以解决，特别在国内外大学生数学建模竞赛当中，有不少问题可以应用图论模型解决。

我们在此有针对性地把图论的骨干概念和结论以及相关的有效算法做一简要介绍，愿听者增强图论建模的意识和能力。

MCM中与图论有关的题目：1．90-B 扫雪问题（二邮递员中国邮路问题）求欧拉回路的Fleury算法2．91-B 通讯网络的最小生成树寻找最优Steiner树3．92-B 应急电力修复系统最小生成树算法4．94-B 计算机网络的最小接通时间中国大学生数学建模竞赛试题：1. 94-A 逢山开路利用求最短路的Dijkstra算法94-B 锁具装箱DFS算法2. 98-B 灾情巡视路线多邮递员中国邮路问题3. 99-B 钻井布局4. 00-B 钢管订购和运输§1 图论的基础知识图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物及其关系的一个数学系统。

在历史上，图论的创立开始于对著名的nigsbergK 七桥问题的研究。

oK 是18世纪欧洲的一个城市，位于Pregel河畔，河中有两个岛屿A和onigsbergD，人们架设了七座桥把河岸和两个小岛连接起来。

当时城中的居民热衷于讨论这样一个问题：要从任何一块陆地出发，能否通过每座桥一次且不重复，最后返回出发地(图1)？瑞士数学家欧拉于1736年解决了这个问题，他发表了图论的第一篇论文（！），证明了七桥问题是无解的。

同时他提出并解决了更为一般的问题，从而奠定了图论的基础。

BC AD图1一.图的基本概念图G 是由非空结点集{}n v v v V ,,,21 =以及边集{}m e e e E ,,,21 =所组成，记作()E V G ,=。

它的结点数称为阶。

根据边有无方向，图分为有向图和无向图。

弗罗莱（Fleury）算法,求欧拉（Euler）通路/回路算法及分析2009-09-20 17:11:54 阅读807 评论0字号：大中小1、基本概念：（1）定义欧拉通路(欧拉迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。

欧拉回路(欧拉闭迹)—通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。

欧拉图—存在欧拉回路的图。

欧拉图就是从一顶出发每条边恰通过一次又能回到出发顶点的那种图，即不重复的行遍所有的边再回到出发点。

通路和回路－称v i e1e2…e n v j为一条从v i到v j且长度为n的通路，其中长度是指通路中边的条数．称起点和终点相同的通路为一条回路。

简单图－不含平行边和自回路的图。

混合图－既有有向边，也有无向边的图平凡图－仅有一个结点的图完全图－有n个结点的且每对结点都有边相连的无向简单图，称为无向完全图；有n个结点的且每对结点之间都有两条方向相反的边相连的有向简单图为有向完全图。

（2）欧拉图的特征：无向图a）G有欧拉通路的充分必要条件为：G连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。

b）G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。

有向图a）D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。

b）D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。

一个有向图是欧拉图，当且仅当该图所有顶点度数都是0。

2、弗罗莱（Fleury）算法思想－解决欧拉回路Fleury算法：任取v0∈V(G)，令P0=v0；设Pi=v0e1v1e2…ei vi已经行遍，按下面方法从中选取ei+1：（a）ei+1与vi相关联；（b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2,…, ei}中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；（c）当（b）不能再进行时，算法停止。

欧拉回路基本概念+判断+求解1.定义如果图G（有向图或者⽆向图）中所有边⼀次仅且⼀次⾏遍所有顶点的通路称作欧拉通路。

如果图G中所有边⼀次仅且⼀次⾏遍所有顶点的回路称作欧拉回路。

具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。

具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

2. 定理及推论欧拉通路和欧拉回路的判定是很简单的，请看下⾯的定理及推论。

⽆向图G存在欧拉通路的充要条件是：G为连通图，并且G仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者⽆奇度结点。

推论1：1) 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点。

2) 当G是⽆奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。

3) G为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G为⽆奇度结点的连通图。

有向图D存在欧拉通路的充要条件是：D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与⼊度都相等；或者除两个顶点外，其余顶点的出度与⼊度都相等，⽽这两个顶点中⼀个顶点的出度与⼊度之差为1，另⼀个顶点的出度与⼊度之差为-1。

推论2：1) 当D除出、⼊度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与⼊度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、⼊度之差为1的顶点作为始点，以出、⼊度之差为-1的顶点作为终点。

2) 当D的所有顶点的出、⼊度都相等时，D中存在有向欧拉回路。

3) 有向图D为有向欧拉图的充分必要条件是D的基图为连通图，并且所有顶点的出、⼊度都相等。

3.欧拉通路回路存在的判断根据定理和推论，我们可以很好的找到欧拉通路回路的判断⽅法，定理和推论是来⾃离散数学的内容，这⾥就给出简明的判断⽅法：A.判断欧拉通路是否存在的⽅法有向图：图连通，有⼀个顶点出度⼤⼊度1，有⼀个顶点⼊度⼤出度1，其余都是出度=⼊度。

⽆向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

B.判断欧拉回路是否存在的⽅法有向图：图连通，所有的顶点出度=⼊度。

⽆向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

4.欧拉回路的应⽤A.哥尼斯堡七桥问题B.⼀笔画问题C.旋转⿎轮的设计5.欧拉回路的求解A. DFS搜索求解欧拉回路基本思路：利⽤欧拉定理判断出⼀个图存在欧拉回路或欧拉通路后，选择⼀个正确的起始顶点，⽤DFS算法遍历所有的边（每⼀条边只遍历⼀次），遇到⾛不通就回退。