欧拉回路设计报告

欧拉图中欧拉回路的算法，演示，及分析
设G为欧拉图，一般来说G中存在若干条欧拉回路，下面介绍两种求欧拉回路的算法。

1．Fleury算法，能不走桥就不走桥：
（1）任取v0∈V(G)，令P0=v0.
（2）设Pi=v0e1v1e2…e i v i已经行遍，按下面方法来从E(G)-{e1,e2,…,e i}中选取e i+1：
（a）e i+1与v i相关联；
（b）除非无别的边可供行遍，否则e i+1不应该为G i=G-{e1,e2,…,e i}中的桥。

（3）当（2）不能再进行时，算法停止。

可以证明，当算法停止时所得简单回路P m=v0e1v1e2…e m v m(v m=v0)为G中一条欧拉回路。

例15.2 图15.4(1)是给定的欧拉图G。

某人用Fleury算法求G中的欧拉回路时，走了简单回路v2e2v3e3v4e14v9e10v2e1v1e8v8e9v2之后(观看他的错误走法)，无法行遍了，试分析在哪步他犯了错误?
解此人行遍v8时犯了能不走桥就不走桥的错误，因而他没行遍出欧拉回路。

当他走到v8时，G-{e2,e3,e14,e10,e1,e8}为图15.4(2)所示。

此时e9为该图中的桥，而e7,e11均不是桥，他不应该走e9，而应该走e7或e11，他没有走，所以犯了错误。

注意，此人在行遍中，在v3遇到过桥e3，v1处遇到过桥e8，但当时除桥外他无别的边可走，所以当时均走了桥，这是不会犯错误的。

题目意思：给你一个n,让你找到一个2^n的0、1串，使每循环移动一位，表示不同的数。

总共可以表示0---2^n-1中的每一个数。

解题思路：以0--2^（n-1）-1为编号建立一棵树，共2^（n-1）个节点，如果在某个节点后面添加一个0或者1,再去掉最高位，得到下一个节点，两节点之间连一条有向边。

图中每条边就表示了一个数，共有2^n个数，各不相同。

题目要求字典序最小，则从2^（n-1-1节点开始，并且每个节点先连加0的边，后连加1的边，这样的话，就能保证最终的字典序最小。

代码：[cpp]<SPAN style="FONT-SIZE: 18px">#include<iostream>#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<string>#include<cstring>#include<algorithm>#include<vector>#include<map>#include<stack>#include<list>#include<queue>#define eps 1e-6#define INF （1《30）#define PI acos（-1.0）using namespace std;struct Inf //表示一条边，序号表示边起始点，v表示终点，via表示连0还是1,vis表示该边是否访问{int v,via;bool vis;};vector<Inf>myv[17000]; //2^14=16384char path[33000]; //共可以表示2^n个数，2^15=32768int n,cnt;void init（） //初始化向量容器{for（int i=0;i<=n;i++）myv[i].clear（）；return ;}void dfs（int cur）{for（int i=0;i<myv[cur].size（）；i++）{if（myv[cur][i].vis==false）{myv[cur][i].vis=true;dfs（myv[cur][i].v）；path[++cnt]=myv[cur][i].via+'0';//保存边，最先进来的是最后的边，用栈保存}}return ;}int main（）{int k;while（scanf（"%d%d",&n,&k）！=EOF）{if（n+k==0）break;int lan=n;n=（1《（n-1））-1; //最大的节点标号init（）；struct Inf temp;for（int i=0;i<=n;i++）{int tt=（i《1）-（（i&（1《（lan-2）））《1）；//在后面添0并去掉最高位//printf（"i:%d %d\n",i,tt）；temp.v=tt;temp.via=0;temp.vis=false;myv[i].push_back（temp）；tt+=1; //在后面添1并去掉最高位temp.v=tt;temp.via=1;myv[i].push_back（temp）；}cnt=-1;dfs（n）；path[++cnt]='\0';std:reverse（path,path+cnt）；//倒过来//printf（"%s\n",path）；int ans=0;for（int i=k,j=1;j<=lan;j++,i++） //输出旋转k个位置后表示的数，注意是n位ans=（ans《1）+path[i%cnt]-'0';printf（"%d\n",ans）；}return 0;}</SPAN>#include<iostream>#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<string>#include<cstring>#include<algorithm>#include<vector>#include<map>#include<stack>#include<list>#include<queue>#define eps 1e-6#define INF （1《30）#define PI acos（-1.0）using namespace std;struct Inf //表示一条边，序号表示边起始点，v表示终点，via表示连0还是1,vis表示该边是否访问{int v,via;bool vis;};vector<Inf>myv[17000]; //2^14=16384char path[33000]; //共可以表示2^n个数，2^15=32768int n,cnt;void init（） //初始化向量容器{for（int i=0;i<=n;i++）myv[i].clear（）；return ;}void dfs（int cur）{for（int i=0;i<myv[cur].size（）；i++）{if（myv[cur][i].vis==false）{myv[cur][i].vis=true;dfs（myv[cur][i].v）；path[++cnt]=myv[cur][i].via+'0';//保存边，最先进来的是最后的边，用栈保存}}return ;}int main（）{int k;while（scanf（"%d%d",&n,&k）！=EOF）{if（n+k==0）break;int lan=n;n=（1《（n-1））-1; //最大的节点标号init（）；struct Inf temp;for（int i=0;i<=n;i++）{int tt=（i《1）-（（i&（1《（lan-2）））《1）；//在后面添0并去掉最高位//printf（"i:%d %d\n",i,tt）；temp.v=tt;temp.via=0;temp.vis=false;myv[i].push_back（temp）；tt+=1; //在后面添1并去掉最高位temp.v=tt;temp.via=1;myv[i].push_back（temp）；}cnt=-1;dfs（n）；path[++cnt]='\0';std:reverse（path,path+cnt）；//倒过来//printf（"%s\n",path）；int ans=0;for（int i=k,j=1;j<=lan;j++,i++） //输出旋转k个位置后表示的数，注意是n位ans=（ans《1）+path[i%cnt]-'0';printf（"%d\n",ans）； }return 0;}。

欧拉回路构造算法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：欧拉回路是图论中的一个重要概念，在一幅图中指的是一条包含图中每一条边且经过每一条边仅一次的闭合路径。

欧拉回路构造算法是指寻找一条欧拉回路的方法，即将给定的图转化为满足欧拉回路性质的路径。

欧拉回路构造算法有多种，其中最为经典和常用的算法是Fleury 算法和Hierholzer算法。

Fleury算法是一种基于贪心思想的算法，其基本思路是每次选择一条不是桥的边，通过DFS搜索来构造欧拉回路。

具体步骤如下：1. 从图中任选一个顶点作为起点。

2. 找到可以走的一条不是桥的边，并走向该边所连接的顶点。

3. 如果该边是割边，则在走完该边后，必须选择一条不是割边的边继续前进。

4. 重复步骤2和步骤3，直到不能走为止。

Fleury算法的时间复杂度为O(E^2)，其中E为图中的边数。

Hierholzer算法是另一种求解欧拉回路的经典算法，其基本思想是通过遍历所有的边来构造欧拉回路。

具体步骤如下：1. 从图中任意一个顶点开始，选择一条边进行遍历。

2. 如果走到某个节点时无法继续行走，则回退到之前分叉点重新选择一条边继续遍历。

3. 直到遍历完所有的边，形成一个闭合回路即为欧拉回路。

欧拉回路构造算法的应用十分广泛，例如在网络设计、图像处理、数据压缩等领域都有着重要的作用。

通过欧拉回路构造算法，我们可以快速有效地找到一条经过所有边的闭合路径，从而解决一系列实际问题。

欧拉回路构造算法是解决图论中欧拉回路问题的重要工具。

不同的算法适用于不同的情况，可以根据具体问题的要求选择合适的算法。

通过学习和了解欧拉回路构造算法，我们可以更好地运用图论知识解决实际问题，提高问题解决的效率和准确性。

希望本文对读者有所帮助，欢迎大家进一步深入学习和探讨。

第二篇示例：欧拉回路构造算法是图论中一种重要的算法，用于寻找图中存在的欧拉回路。

欧拉回路是指一条包含所有边且不重复经过任何边的闭合路径。

在很多实际应用中，欧拉回路是一个非常有用的概念，比如在电子电路的布线设计、网络路由、以及城市旅行等领域都有很多应用。

Eulerian Tour欧拉路径译 by 孖哥 and tim greenSample Problem: Riding The Fences农民John每年有很多栅栏要修理。

他总是骑着马穿过每一个栅栏并修复它破损的地方。

John是一个与其他农民一样懒的人。

他讨厌骑马，因此从来不两次经过一个一个栅栏。

你必须编一个程序，读入栅栏网络的描述，并计算出一条修栅栏的路径，使每个栅栏都恰好被经过一次。

John能从任何一个顶点(即两个栅栏的交点)开始骑马，在任意一个顶点结束。

每一个栅栏连接两个顶点，顶点用1到500标号(虽然有的农场并没有500个顶点)。

一个顶点上可连接任意多(>=1)个栅栏。

所有栅栏都是连通的(也就是你可以从任意一个栅栏到达另外的所有栅栏)。

你的程序必须输出骑马的路径(用路上依次经过的顶点号码表示)。

我们如果把输出的路径看成是一个500进制的数，那么当存在多组解的情况下，输出500进制表示法中最小的一个 (也就是输出第一个数较小的，如果还有多组解，输出第二个数较小的，等等)。

输入数据保证至少有一个解。

The Abstraction已知:一幅无向图寻找一条只过每边一次的路径.这条路径叫欧拉路径(Eulerian tour).如果此路径和起点和终点是同一点,则此种路径叫欧拉回路.The Algorithm判断一幅图有没有欧拉路径或欧拉回路是很简单,有两个不同的规则可用.∙当且仅当一幅图是相连的(只要你去掉所有度数为0的点)且每个点的度都是偶数,这幅图有欧拉回路.∙当且仅当一幅图是相连的且除两点外所有的点的度都是偶数.∙在第二种情况中,那两个度为奇数的节点一个为起点,剩下的一个是终点.一个解决此类问题基本的想法是从某个节点开始,然后查出一个从这个点出发回到这个点的环路径。

现在,环已经建立,这种方法保证每个点都被遍历.如果有某个点的边没有被遍历就让这个点为起点，这条边为起始边，把它和当前的环衔接上。

一、欧拉回路所谓欧拉回路与哥尼斯堡7桥问题相联系的．在哥尼斯堡7桥问题中，欧拉证明了不存在这样的回路，使它经过图中每条边且只经过一次又回到起始点．与此相反，设G （V ，E ）为一个图，若存在一条回路，使它经过图中每条边且只经过一次又回到起始点，就称这种回路为欧拉回路，并称图G 为欧拉图．在一个图中，连接一个节点的边数称为该节点的度数．对欧拉图，我们有下列结果： 定理1 对连通图G （V ，E ），下列条件是相互等价的： （1）G 是一个欧拉图；（2）G 的每一个节点的度数都是偶数；（3）G 的边集合E 可以分解为若干个回路的并．证明 ：()()12⇒ 已知G 为欧拉图，则必存在一个欧拉回路．回路中的节点都是偶度数．()()23⇒ 设G 中每一个节点的度数均为偶数．若能找到一个回路C 1使G=C 1，则结论成立．否则，令G 1=G\C 1，由C 1上每个节点的度数均为偶数，则G 1中的每个节点的度数亦均为偶数．于是在G 1必存在另一个回路C 2．令G 2=G 1\C 2，···．由于G 为有限图，上述过程经过有限步，最后必得一个回路C r 使 G r =G r-1\C r 上各节点的度数均为零，即C r =G r-1．这样就得到Ｇ的一个分解 G C C C r =⋅⋅⋅12 ．()()31⇒ 设G C C C r =⋅⋅⋅12 ，其中i C （I=1,2,…,r ）均为回路．由于G 为连通图，对任意回路i C ,必存在另一个回路j C 与之相连，即i C 与j C 存在共同的节点．现在我们从图G 的任意节点出发，沿着所在的回路走，每走到一个共同的节点处，就转向另一个回路，···，这样一直走下去就可走遍G 的每条边且只走过一次,最后回到原出发节点，即G 为一个欧拉图．利用定理1去判断一个连通图是否为欧拉图比较容易，但要找出欧拉回路，当连通图比较复杂时就不太容易了．下面介绍一种求欧拉回路的算法．二、弗罗莱算法算法步骤如下：（1）任取起始点v v R 00,;→（2）设路)},({,),,({),,({1211201rr i i r i i i v v e v v e v v e R -⋅⋅⋅=已选出，则从E\},,,{21r e e e ⋅⋅⋅中选出边1+r e ，使1+r e 与ri v 相连，除非没有其它选择，G e r r \{}+1仍应为连通的．（3）重复步骤（2），直至不能进行下去为止．定理2 连通的有向图存在欧拉回路的充分必要条件是对任意节点，进入该节点边数（进数）与离开该点的边数（出数）相等．三、中国邮递员问题一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过他管辖范围内的每一条街道，如何选择投递路线，使邮递员走尽可能少的路程．这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮递员问题．用图论的述语，在一个连通的赋权图G （V ，E ）中，要寻找一条回路，使该回路包含G 中的每条边至少一次，且该回路的权数最小．也就是说要从包含G 的每条边的回路中找一条权数最小的回路．如果G 是欧拉图，则很容易由弗罗莱算法求出一个欧拉回路，但是若G 不是欧拉图，即存在奇度数的节点，则中国由递员问题的解决要困难得多．本节的主要目标是给出在有奇度数节点的连通图中寻找最小权数的回路的方法．首先注意到，若图G 有奇数度节点，则G 的奇数度节点必是偶数个．把奇数度节点分为若干对，每对节点之间在G 中有相应的最短路，将这些最短路画在一起构成一个附加的边子集E '．令G / =G+E /，即把附加边子集E / 叠加在原图G 上形成一个多重图G /，这时G /中连接两个节点之间的边不止一条．显然G /是一个欧拉图，因而可以求出G /的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图G 中每条边，同时还通过E / 中的每条边，且均仅一次．邮递员问题的难点在于当G 的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E / 的权数ω(E / )为最小？为此有下列定理．定理 3 设G （V ，E ）为一个连通的赋权图，则使附加边子集E / 的权数ω(E / )为最小的充分必要条件是G+E / 中任意边至多重复一次，且G+E / 中的任意回路中重复边的权数之和不大于该回路总权数的一半．证明： 必要性．用反证法．设存在一种奇节点集的配对，使其附加边子集E / 权数 ω(E / )为最小．若 G+E / 中有一条边重复n n ()≥2次，由于G+E /为欧拉图，所以删去相应的二次重复边后仍为欧拉图．这样，相应的附加边子集的权数将减小，这与 ω(E /)为最小的假设矛盾．这说明E /中的边均互不相同．其次，若G+E / 中存在一个回路，使它的重复边的权数之和大于该回路总权数的一半，则在E / 中删去这些重复边（注意：这些边均在E /中），而代之以该回路的其余部分的边再重复一次．经过这种替代后所得到的边子集E //仍为附加子集，且ω(E //)<ω(E /)，又产生矛盾． 充分性．设有两个附加边子集E /和E //，均使G+E /和G+E //中每条边至多重复一次，且每个回路中的重复边的权数和不大该回路权数的一半，我们来证明ω(E /)=ω(E //)．首先注意到，由E /和E //不相同的部分组成的图（记为]\[//////）（E E EE G ）是由一个或若干个欧拉子图所组成的．这是因为E /＋E //中每个节点的度数均为偶数，而E /和E //的公共边数也是偶数，故]\[//////）（E E EE G 中每个节点的度数仍为偶数，所以它若为连通图时是一个欧拉图；若为非连通图时则由若干个欧拉子图组成．]\[//////）（E E EE G 的任何回路都由E /和E //中的边组成，而E /和E //在回路中的权数分别不大于该回路权数的一半，因而任何回路中属于E /中的权数之和与属于E //中的边数之和必定相等，所以ω(E /)=ω(E //)．它就是最优附加边子集的权数，即E /和E //均为使附加边子集的权数达到最小的最优附加边子集．由定理3可得一个寻找邮递员问题最优解的方法．现举例如下：例1 已知邮递员要投递的街道如图11-20所示，试求最优邮路．解 先找出奇节点：A 1，A 2，A 3，A 4，B 1，B 2，B 3，B 4．奇节点进行配对，不妨把A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3，A 4与B 4配对，求其最短路．显然它不是最优解．下面我们根据定理3来进行调解．第一次调整：删去多于一条的重复边，即A 3与B 3，A 4与B 4中的（A 4，B 3）．调整后，实际上成为A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与A 4，B 3与B 4的配对，它们的最短路如图11-21所示． 第二次调整：发现在回路{A 1，A 2，B 2，A 4，B 3，B 4，B 1，A 1}中重复边的权数和为11，大于该回路权数20的一半．因而调整时，把该回路的重复边删去，代之以重复其余部分，得图11-22．可以看出，实际上是调整为A 1与A 2，B 1与B 4，A 3与A 4，B 2与B 3配对．第三次调整：在图11-22中发现回路{ A 3，A 4，B 2，A 3}中重复边的权数和为7，大于该回路权数10的一半，因而删去原重复边（A 3，V 2，A 4）和（A 4，B 2），而添加（B 2，A 3），得到图11-23．进行检查发现，既没有多于一条的重复边，也没有任何回路使其重复边的权数之和大于该回路的一半，因此图11-23就是最优的附加边子集E /，而G+E /为欧拉图，可由弗罗莱算法找出最优邮路．在现实生活中，很多问题都可以转化为中国邮递员问题，例如道路清扫时如何使开空车的总时间最少的问题等等．上面例1题所用的求最优邮路的方法叫“奇偶点图上作业法”．因为此方法要验证每个回路，很不方便，Edmods 和Johnson 在1973年提出一种比较有效的方法，有兴趣的读者可参考有关资料．习 题 11-31．证明，若图G 为欧拉图，则G 的边数不少于节点数．2．一名邮递员的投邮区，如下图11-24所示，每条边（街道）都有邮件需投递，各边旁所注的数字为该街道的长度，试求该邮区的最短投递路径及其长度． 3．求下列图11-25（a ）(b)所示的投邮区的最佳邮路及其长度．【算法】欧拉图，欧拉回路，Eular Circuit ，随机生成欧拉图，搜索欧拉回路背景：图论起源于18世纪，1736年瑞士数学家欧拉（Eular ）发表了图论的第一篇论文“哥尼斯堡七桥问题”。

欧拉回路存在的条件
能够有欧拉路径的条件：
1、在无向图中，所有边都是连通的
（1）存在欧拉路径的充分必要条件：度数为奇数的点只能有0或2个
（2）存在欧拉回路的充分必要条件：所有点的度数都是偶数
2、对于有向图，所有边都是连通的
（1）存在欧拉路径的充分必要条件：要么所有点的出度均等于入度；要么除了两个点之外，其余所有点的出度等于入度，剩余两个点；一个满足出度比入度多1（起点），另外一个满足入度比出度多1（终点）
（2）存在欧拉回路的充分必要条件：所有点的出度均等于入度。

欧拉回路性质与应用探究湖南师大附中 仇荣琦【摘要】欧拉回路，又称“一笔画”，是图论中可行遍性问题的一种。

本文首先介绍了欧拉回路的相关理论知识，以及求欧拉回路的算法。

然后通过几个实例，介绍了与欧拉回路相关的几类典型问题。

最后对欧拉回路的模型进行了总结，指出其特点和具备的优势。

【关键词】欧拉回路 欧拉路径【正文】一 引言欧拉回路问题是图论中最古老的问题之一。

它诞生于十八世纪的欧洲古城哥尼斯堡。

普瑞格尔河流经这座城市，人们在两岸以及河中间的两个小岛之间建了七座桥（如图1）。

市民们喜欢在这里散步，于是产生了这样一个问题：是否可以找到一种方案，使得人们从自己家里出发，不重复地走遍每一座桥，然后回到家中？这个问题如果用数学语言来描述，就是在图2中找出一条回路，使得它不重复地经过每一条边。

这便是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。

无数热衷于此的人试图解决这个问题，但均以失败告终。

问题传到了欧拉（Leonhard图2图1Euler, 1707-1783）那里，立即引起了这位大数学家的重视。

经过悉心研究，欧拉终于在1736年发表了论文《哥尼斯堡的七座桥》，不但成功地证明了“七桥问题”无解，而且找到了对于一般图是否存在这类回路的充要条件。

后人为了纪念欧拉这位伟大的数学家，便将这类回路称为欧拉回路。

欧拉回路问题在信息学竞赛中有着广泛的应用，近年来在各类比赛中出现了许多与之相关的试题。

本文将介绍欧拉回路的相关理论知识，并通过几道例题分析欧拉回路的实际应用。

二 相关知识首先介绍相关概念和定理。

设),(E V G =是一个图。

欧拉回路 图G 中经过每条边一次并且仅一次的回路称作欧拉回路。

欧拉路径 图G 中经过每条边一次并且仅一次的路径称作欧拉路径。

欧拉图 存在欧拉回路的图称为欧拉图。

半欧拉图 存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图称为半欧拉图。

在以下讨论中，假设图G 不存在孤立点1；否则，先将所有孤立点从图中删除。

显然，这样做并不会影响图G 中欧拉回路的存在性。