湖南省长沙市长郡中学2019届高三下学期(一模)数学(文)试卷(含答案)

湖南省长郡中学2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设,a R i ∈为虚数单位.若复数()21z a a i =-++是纯虚数，则复数32a ii--在复面上对应的点的坐标为 A. 18,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 74,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 47,55⎛⎫-⎪⎝⎭D. 74,55⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知集合(){}(){}2222log 34,3200A x y x x B x x mx m m ==--=-+<>，B A ⊆若，则实数m 的取值范围为A. ()4+∞，B. [)4+∞，C. ()2+∞，D. [)2+∞，3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为 A.16B.23C.310D.254. 已知O 为坐标原点，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，若右支上有点M 满是221,cos 3OM OF MOF =∠=，则双曲线的离心率为5.长郡中学某次高三文数周测，张老师宣布这次考试的前五名是：邓清、武琳、三喜、建业、梅红，然后让五人分别猜彼此名次。

长郡中学2019届第一次适应性考试数学(文科)试题第I卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设为虚数单位.若复数是纯虚数，则复数在复面上对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数是纯虚数求出，化简为，问题得解。

【详解】因为复数是纯虚数，所以，解得：，所以复数可化为，所以复数在复面上对应的点的坐标为.故选：D【点睛】本题主要考查了复数的有关概念及复数对应点的知识，属于基础题。

2.已知集合若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求出集合A,B，利用列不等式即可求解。

【详解】由得：或.所以集合.由得：.又，所以（舍去）或.故选：B【点睛】本题主要考查了集合的包含关系及对数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。

3.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如11，323，4334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数，则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】列出所有小于150的三位回文数，从中选取两个得到基本事件总数，再从中找出两个回文数的三位数字之和均大于3的个数即可求解。

【详解】列出所有小于150的三位回文数如下：101,111,121,131,141.从中任取两个数共有10种情况如下：（101,111），（101, 121），（101, 131），（101, 141），（111, 121），（111, 131），（111, 141），（121,131），（121,141），（131,141）.两个回文数的三位数字之和均大于3的有：（121,131），（121,141），（131,141）共3种情况.两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为：.故选：C【点睛】本题主要考查了古典概型概率计算，还考查了新概念知识，属于基础题。

湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|110P x N x =∈≤≤,集合{}2|60Q x R x x =∈--<,则P Q 等于( )A ．{}1,2,3B ．{}1,2C ．[]1,2D ．[1,3)2.复数z 满足(2)3z i i +=-,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第三象限3.某公司的班车分别在7:30,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过15分钟的概率是( ) A ．13B ．38C ．23D ．584.已知曲线2()ln x f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π,则a 的值为( )A ．1B ．4-C ．12-D ．1-5.已知平面向量a ,b 满足||3a =,||2b =,a 与b 的夹角为120︒,若()a mb a +⊥,则实数m 的值为( ) A ．3B ．2C ．32D ．16.设{}n a 是公差不为0的等差数列,满足22224567a a a a +=+,则{}n a 的前10项和10S =( )A ．10-B ．5-C ．0D ．57.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>,02ϕπ≤≤)在R 上的部分图像如图所示,,则(2018)f 的值为( ) A ．25B ．5-C ．52-D ．58.设0a b >>,1a b +=,且1()bx a=,1log aby ab =,1log bz a =,则x 、y 、z 的大小关系是（ ）A ．y z x <<B ．z y x <<C ．x y z <<D ．y x z <<9.《九章算术》是我国古代数学名著，体现了古代劳动人民数学的智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的m 的值为35，则输入的a 的值为（ ） A ．4B ．5C ．7D ．1110.已知()f x 是定义在[]2,1b b -+上的偶函数，且在[]2,0b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ）A ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]1,1-D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体A OEF -中，下列结论中错误的是（ ） A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF所成角的正切值为C ．异面直线OH 和求AE 所成角为60︒ D ．四面体A OEF -的外接球表面积为6π12.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>与过原点的直线交于A 、B 两点，右焦点为F ，120AFB ∠=︒，若AFB ∆的面积为E 的焦距的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．[4,)+∞C．)+∞ D．)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x ，y 满足约束条件10,0,240,x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩则2z x y =-的最大值为 ．14.双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的渐近线与圆22(1x y +=相切，则此双曲线的离心率为 ．15.已知四棱锥P ABCD -的外接球为球O ，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD，且2PA PD AD ===，4AB =，则球O 的表面积为 ．16.已知数列{}n a 满足对13n ≤≤时，n a n =，其对*n N ∀∈，有312n n n n a a a a ++++=+，则数列{}n n a ⋅的前50项的和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 4A =，2C A =. （1）求sinB 的值；（2）若4a =，求ABC ∆的面积S 的值.18.如图，五面体ABCDE 中，四边形ABDE 是菱形，ABC ∆是边长为2的正三角形，60DBA ∠=︒，CD =（1）证明：DC AB ⊥；（2）若C 在平面ABDE 内的正投影为H ，求点H 到平面BCD 的距离.19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图.（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台关照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值.附：相关系数公式()()niix x y y r --=∑0.55≈0.95≈.20.已知动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2. （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）在x 轴正半轴上，是否存在某个确定的点M ，过该点的动直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，使得2211||||AM BM +为定值.如果存在，求出点M 坐标；如果不存在，请说明理由.21.已知函数21()()f x x λ=-，2()ln f x x =（0x >，且1x ≠）.（1）当1λ=时，若对任意(1,)x ∈+∞，12()()f x k f x ≥⋅恒成立，求实数k 的取值范围； （2）若(0,1)λ∈，设()f x 12()()f x f x =，'()f x 是()f x 的导函数，判断'()f x 的零点个数，并证明. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l：1,51x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；（2）若曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），曲线1C 上点P 的极角为4π，Q 为曲线2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|f x x =-，关于x 的不等式()3|21|f x x <-+的解集记为A . （1）求A ；（2）已知a ，b A ∈，求证：()()()f ab f a f b >-.湖南省长沙市长郡中学2019届高三高考模拟考试数学（文）试题答案一、选择题1-5:BDBDA 6-10:CDAAB 11、12：CB 二、填空题13.32 15.643π 16.2525 三、解答题17.解：（1）∵由3cos 4A =，得sin A =，∴221cos cos 2cos sin 8C A A A ==-=，∴sin C ==， 又∵A B C π++=，[]sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+，∴sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+=（2）由正弦定理得sin sin a b A B =，得sin 5sin a Bb A==，∴ABC ∆的面积1sin 2S ab C ==. 18.（1）证明：如图，取AB 的中点O ，连接OC ，OD ，因为ABC ∆是边长为2的正三角形，所以AB OC ⊥，OC =又四边形ABDE 是菱形，60DBA ∠=︒，所以DAB ∆是正三角形，所以AB OD ⊥，OD = 而ODOC O =，所以AB ⊥平面DOC ，所以AB CD ⊥.（2）解：取OD 的中点H ，连接CH ，由（1）知OC CD =，所以CH OD ⊥，AB ⊥平面DOC ，所以平面DOC ⊥平面ABD ，而平面DOC平面ABD OD =，所以CH ⊥平面ABD ，即点H 是C 在平面ABD 内的正投影， 设点H 到平面BCD 的距离为d ，则点O 到平面BCD 的距离我2d ，因为在BCD ∆中，2BC BD ==，CD =，得1122BCD S ∆===， 在OCD ∆中，OC OD CD ===1sin 602OCD S ∆=︒=， 所以由O BCD B OCD V V --=，得11133BCD OCD S h S OB ∆∆⋅=⋅，即112133d =，解得26d =，所以H 到平面BCD的距离为2619.解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==，因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，====所以相关系数()()0.95niix x y y r --===≈∑，因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当70X >时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=元， 当5070X ≤≤时，共有55周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=元， 当50X <时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=元. 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元.20.解：（1）设点P 的坐标为(,)x y ，因为动点P 到定直线l ：4x =-的距离比到定点(2,0)F 的距离大2，所以4x >-|4|2x =+-， 化简得28y x =，所以轨迹C 的方程为28y x =.（2）假设存在满足条件的点(,0)M m （0m >），直线l ：x ty m =+，有2,8,x ty m y x =+⎧⎨=⎩2880y ty m --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，有128y y t +=，128y y m =-，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222222121111||||(1)(1)AM BM t y t y +=+++222122222212114114y y t mt y y t m++=⋅=⋅++， 据题意，2211||||AM BM +为定值，则2221414t m t m λ+⋅=+， 于是2222444m t m m t λλ+=+，则有224,1,m m m λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得4m =， 故当4m =时，2211||||AM BM +为定值116，所以(4,0)M . 21.解：（1）当1λ=时，对任意(1,)x ∈+∞，2(1)ln 0x k x --⋅≥恒成立，令2()(1)ln g x x k x =--⋅，求导222'()x x kg x x--=，由1x >，则2222(1)0x x x x -=->，若0k ≤，则'()0g x >，所以()g x 在(1,)+∞上是增函数，所以()(1)0g x g >=，符合题意，当0k >时，令'()0g x =，解得10x =<，21x =>， 则()g x 在2(1,)x 上是减函数，当2(1,)x x ∈时，()(1)0g x g <=，不符合题意， 综上可知k 的取值范围为(,0]-∞.（2）证明：由题意：2()(2ln 1)'()ln x x xf x xλλ-+-=，由此可得1x λ=为一个零点，令()2ln 1h x x xλ=+-（0x >），则22'()x h x x λ-=， ()h x 的减区间为(0,)2λ，单调增区间为(,)2λ+∞，其中01λ<<，则min ()()2ln11ln 4022h x h λλ==+<-<，()2ln 0h λλ=<，(1)10h λ=-<，当2x λ=>时，110h =+->，由零点存在定理及单调性可知在(,)2λ+∞上存在唯一的零点2x ，取2222()2x e e λλλ=<，则222()4ln 5e h e λλλ=+-，令2()4ln 5e g λλλ=+-，知()g λ在(0,1)上是减函数， 故当(0,1)λ∈时，2()(1)50g g e λ>=->，即22()0h eλ>，由零点存在定理及单调性可知在22(,)2e λλ上存在唯一232(,)2x e λλ∈，3()0h x =，由()h x 的单调递减区间是(0,)2λ，则在(0,)2λ上()h x 仅存在唯一的零点3x ， 综上可知'()f x 共有三个零点.22.解：（1）由1C ：2240x y x +-=，l ：230x y +-=. （2）点)4P π的直角坐标为(2,2)，(2cos ,sin )Q αα，1(1cos ,1sin )2M αα++， M 到l的距离|sin()|54d πα==+，23.解：（1）由()3|21|f x x <-+，得|1||21|3x x -++<，即1,21213,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或11,21213,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或1,1213,x x x ≥⎧⎨-++<⎩ 解得112x -<≤-或112x -<<， 所以，集合{}|11A x R x =∈-<<. （2）证明：∵a ，b A ∈，∴11ab -<<，∴()|1|1f ab ab ab =-=-，()|1|1f a a a =-=-，()|1|1f b b b =-=-，∵()(()())111(1)(1)0f ab f a f b ab a b a b --=--++-=+->， ∴()()()f ab f a f b >-.。