湖南省长郡中学2018届高三下学期第一次模拟考试文科数学试题

湖南省长郡中学2018届高三下学期第一次模拟考试文科数学试题

长郡中学2018届高考模拟卷（一）

数学（文科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}

2

|4B x x =≥，则如图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A ．{}2,1,0,1--

B ．{}0

C ．{}1,0-

D ．{}1,0,1-

2.复数11i

z i

-=+的虚部是（ ） A ．i

B ．1

C ．i -

D ．1-

3.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（ ）

A ．1

B ． 34 C D ．

14

4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A ．16+

B ．16+

C ．48+

D ．48+

5.“|2|5x -<”是“37x -≤≤”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件

6.若x ，y 满足约束条件10,20,220,x y x y x y -+≥??

-≤??+-≤?

则z x y =+的最大值为（ ）

A ．3-

B ．

12

C ．1

D ．

32

7.执行如图所示俄程序框图，若输入的2018x =，则输出的i =（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 8.已知双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >

）的一条渐近线的方程是y =，它的一个焦点落在抛物线

216y x =的准线上，则双曲线的方程的（ ）

A ．

22

1824

x y -= B ．

221248x y -= C ．22

1412

x y -= D ．

22

1124

x y -= 9.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里

斯和乌龟的距离恰好为2

10-米时，乌龟爬行的总距离为（ ）

A ．410190-

B ．5101900-

C ．510990-

D ．4109900

-

10.已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，1SA AB ==

，BC =则球O 的表面积等于（ ） A ．4π

B ．3π

C ．2π

D ．π

11.已知函数()y f x =是定义域为R 的周期为3的奇函数，且当3(0,)2

x ∈时，2()ln(1)f x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]0,6上的解得个数是（ ） A ．5

B ．6

C ．7

D ．9

12.偶函数()f x 定义域为(,0)(0,)22π

π-，其导函数是'()f x ，当02

x π

<

，则关于x 的不等式()()cos 4

f x x π

>

的解集为（ ）

A ．(

,)42ππ B ．(,)(,)2442ππππ

-

C ．(,0)(0,)44

ππ-

D ．(,0)(,)442

π

ππ -

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.ABC ?为边长为2的正三角形，则AB BC ?= ．

14.若过点(1,1)的直线与圆22

6440x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为 ．

15.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤，则数列11n n a a +?

的前9项和

为 ．

16.P 为双曲线22

149

x y -=右支上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，且120PF PF ?=，直线2PF 交y 轴于点A ，则1AF P ?的内切圆半径为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.设函数2

()2sin cos cos sin sin 2

f x x x x ?

=+-（0?π<<）在x π=处取最小值．

（1）求?的值；

（2）在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知1a =

，b =

()f A =

，求角C ． 18.在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是矩形，平面PAB ⊥平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点．

（1）求证：//EF 平面PCD ； （2

）若12

AD AP PB AB ===

=，求三棱锥P DEF -的体积． 19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2

/W cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度i D 和声音能量i I

（1i =，2，…，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值．

表中lg i i W I =，10

1

110i i W W ==∑． （1）根据散点图判断，11D a b I =+与22lg D a b I =+哪一个适宜作为声音强度D 关于声音能量I 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程；

（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是1I

和2I ，且

1012

14

10I I +=．已知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I 之和．请根据（1）中的回归方程，判断P 点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由．

附：对于一组数据11(,)v μ，22(,)v μ，…，(,)n n v μ，其回归直线v αβμ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

1

2

1

()()

()n

i

i i n i

i v v μ

μβμ

μ==--=

-∑∑，v αβμ=-．

20.已知椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，

B 为椭圆的上顶点，12BF F ?为等

A 为椭圆的右顶点．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于M ，N 两点（M ，N 不是左、右顶点），且满足MA NA ⊥，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由． 21.已知定义域为(0,)+∞的函数()()x

f x x m e =-（常数m R ∈）． （1）若2m =，求函数()f x 的单调区间；

（2）若()10f x m ++>恒成立，求实数m 的最大整数值．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，已知点(1,2)P -，直线l :1,

2x t y t =+??

=-+?

（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为A ，B ． （1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）求||||PA PB +． 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()|21|f x x

=-．

（1）设()(1)5f x f x ++

（2）已知m 为集合A 中的最大自然数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数）

，若111a b c

M a b c

---??≥恒成立，求实数M 的最大值．

长郡中学2018届高考模拟卷（一）数学（文科）答案

一、选择题

1-5:DDACA 6-10:DBCBA 11、12：DC

二、填空题

13.2- 14.4 15.9

1

-

16.2 三、解答题

17.解：（1）1cos ()2sin cos sin sin 2

f x x x x ?

+=?

+- sin sin cos cos sin sin x x x x ??=++- sin cos cos sin sin()x

x x =+=+，

因为函数()f x 在x π=处取最小值，所以sin()1π?+=-， 由诱导公式知sin 1?=， 因为0?π<<，所以2

π

=，

所以()sin()cos 2

f x x x π

=+

=．

（2）因为()2f A =

，所以cos 2

A =， 因为角A 为ABC ?的内角，所以6