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人教版数学七年级上册一元一次方程1. 引言一元一次方程是数学中非常重要的一个概念，也是数学学习中的基础。
在数学七年级上册中，我们将学习一元一次方程的概念、解法以及应用。
本文档将详细介绍一元一次方程的相关内容。
2. 一元一次方程的定义一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且该未知数的最高次幂为一的方程。
一元一次方程通常可以表示为: ax+ b = 0，其中a、b为已知数，a ≠ 0。
3. 一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤如下： 1. 移项：将方程中的项重新排列，使得未知数项与常数项在不同侧。
2. 合并同类项：合并方程两侧相同的项，得到简化形式的方程。
3. 消元：通过逆运算，将未知数项的系数化为1，得到最简形式的方程。
4. 求解：根据最简形式的方程，通过逆运算求得未知数的值。
5. 验证：将求得的未知数代入原方程，验证方程是否成立。
4. 一元一次方程的解的性质一元一次方程的解具有以下性质：- 方程有且仅有一个解。
- 方程无解。
- 方程有无限多解。
5. 一元一次方程的应用一元一次方程在生活中有许多实际应用，例如： - 商业应用：利润、成本和售价之间的关系可以通过一元一次方程来表示和解决。
- 几何应用：通过解一元一次方程，可以求得几何图形的边长、面积等。
- 动力学应用：物体运动过程中的速度、距离和时间之间的关系可以通过一元一次方程来描述。
6. 总结一元一次方程是数学学习中的重要内容，通过本文档的介绍，我们了解了一元一次方程的定义、解法、解的性质以及应用。
掌握一元一次方程的解法和应用，对于未来的学习和生活中的问题解决都具有重要意义。
提示：在撰写文档时，可以结合具体的例子和问题来说明一元一次方程的概念和解法，以增加文档的可读性和实用性。
2020-2021学年
人教版新标数学七年级上册
精品课件全套
一元一次方程的解法
（一）
合并同类项与移项
约公元825年，中亚细亚
数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程。
这本书的拉丁译本为《对消与还原》。
“对消”与“还原”是什么意思呢？
35x x
−合并同类项
(1)37x x +(2)-(3)52y y y +−22213(4)22x y x y x y +−解：（1）x
x x x 2)53(53−=−=−（2）
x x x x 4)73(73=+−=+−（3）y
y y y y 4)251(25=−+=−+y x y x y x y x y x 22222)12321(2
321=−+=−+（4）
问题1：
某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？
设前年购买x台。
可以表示出：去年购买计算
2x4x
机台，今年购买计算机台。
你能找出问题中的相等关系吗？
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台
x+2x+4x=140思考：怎样解
这个方程呢？“总量＝各部分量的和”是一个基本的相等关系．。
专题训练(一) 一元一次方程的解法1．解下列方程：(1)(南宁校级月考)2x ＋5＝5x －7； 解：2x －5x ＝－7－5， －3x ＝－12， x ＝4.(2)12x ＋x ＋2x ＝140； 解：72x ＝140，x ＝40.(3)56－8x ＝11＋x ； 解：－8x －x ＝11－56， －9x ＝－45， x ＝5.(4)43x ＋1＝5＋13x. 解：43x －13x ＝5－1，x ＝4.2．解下列方程：(1)(玉林期末)10(x －1)＝5； 解：10x －10＝5， 10x ＝5＋10， 10x ＝15，x ＝32.(2)4x －3(20－2x)＝10； 解：4x －60＋6x ＝10， 4x ＋6x ＝60＋10， 10x ＝70， x ＝7.(3)3(x －2)＋1＝x －(2x －1)； 解：3x －6＋1＝x －2x ＋1， 4x ＝6，x ＝1.5.(4)4(2x －3)－(5x －1)＝7； 解：8x －12－5x ＋1＝7， 8x －5x ＝7＋12－1， 3x ＝18， x ＝6.(5)4y －3(20－y)＝6y －7(9－y)． 解：4y －60＋3y ＝6y －63＋7y. 4y ＋3y －6y －7y ＝60－63， －6y ＝－3， y ＝12.3．解下列方程：(1)2x －13－2x －34＝1；解：4(2x －1)－3(2x －3)＝12， 8x －4－6x ＋9＝12， 8x －6x ＝4－9＋12， 2x ＝7， x ＝72.(2)16(3x －6)＝25x －3； 解：5(3x －6)＝12x －90， 15x －30＝12x －90， 15x －12x ＝－90＋30， 3x ＝－60， x ＝－20.(3)2（x ＋3）5＝32x －2（x －7）3；解：12(x ＋3)＝45x －20(x －7)，12x ＋36＝45x －20x ＋140， 12x －45x ＋20x ＝－36＋140， －13x ＝104， x ＝－8.(4)2x －13－10x ＋16＝2x ＋12－1；解：2(2x －1)－(10x ＋1)＝3(2x ＋1)－6， 4x －2－10x －1＝6x ＋3－6， 4x －10x －6x ＝3－6＋2＋1， －12x ＝0， x ＝0.(5)x ＋45－(x －5)＝x ＋33－x －22.解：6(x ＋4)－30(x －5)＝10(x ＋3)－15(x －2)， 6x ＋24－30x ＋150＝10x ＋30－15x ＋30， 6x －30x －10x ＋15x ＝30＋30－24－150， －19x ＝－114， x ＝6.4．解下列方程：(1)x －40.2－2.5＝x －30.05；解：原方程整理，得5x －20－2.5＝20x －60. 移项，得5x －20x ＝－60＋20＋2.5. 合并同类项，得－15x ＝－37.5. 系数化为1，得x ＝2.5.(2)0.5x ＋0.90.5＋x －53＝0.01＋0.02x 0.03.解：原方程整理，得5x ＋95＋x －53＝1＋2x 3.去分母，得15x ＋27＋5x －25＝5＋10x.移项、合并同类项，得10x ＝3. 系数化为1，得x ＝0.3.5．解方程：3|x|－5＝|x|－22＋1.解：6|x|－10＝|x|－2＋2， 5|x|＝10， |x|＝2， x ＝2或－2.6．解下列方程：(1)119x ＋27＝29x －57；解：119x －29x ＝－57－27，x ＝－1.(2)278(x －3)－463(6－2x)－888(7x －21)＝0.解：278(x －3)＋463×2(x－3)－888×7(x－3)＝0， (278＋463×2－888×7)(x－3)＝0， x ＝3.专题训练(二) 一元一次方程的应用1．某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船3 h ，已知船在静水中的速度是8 km /h ，水流速度是2 km /h ，若A 、C 两地距离为2 km (A 、B 、C 三地在一条直线上)，则A 、B 两地间的距离是10或252k m .2．兄弟两人由家里去学校，弟每小时走6里，哥每小时走8里，哥晚出发10分钟，结果两人同时到校，学校离家有多远？解：设学校离家有x 里．由题意，得x 6－1060＝x8.解得x ＝4. 答：学校离家有4里．3．用两台水泵从同一池塘中向外抽水，单开甲泵5小时可抽完，单开乙泵2.5小时便能抽完．(1)如果两台水泵同时抽水，多长时间能把水抽完？(2)如果甲泵先抽2小时，剩下的由乙泵来抽，乙泵用多少时间才能把水抽完？ 解：(1)设两台水泵同时抽水，x 小时能抽完．由题意，得x 5＋x 2.5＝1，解得x ＝53. 答：两台水泵同时抽水，53小时能把水抽完．(2)设乙泵用y 小时才能抽完，由题意，得 15×2＋12.5y ＝1，解得y ＝1.5. 答：乙泵用1.5小时才能把水抽完．4．一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到的里程碑上是一个两位数，过了1小时，里程碑上的数恰好是原来的个位上的数与十位上的数交换位置后所得到的两位数，又过了1小时，里程碑上的数是一个三位数，这个三位数的百位上的数与个位上的数分别是起初看到的两位数的十位上的数与个位上的数，而十位上的数为0，且起初的两位数个位上的数比十位上的数的5倍多1，求卡车的速度．解：设起初看到的两位数十位上的数是x ，则个位上的数是5x ＋1.由题意，得 [10(5x ＋1)＋x]－[10x ＋(5x ＋1)]＝(100x ＋5x ＋1)－[10(5x ＋1)＋x]． 解得x ＝1.则5x ＋1＝6，61－16＝45(千米)． 答：卡车的速度是45千米/时．5．某会议厅主席台上方有一个长12.8 m 的长条形(长方形)会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空∶字宽∶字距＝9∶6∶2，如图所示：根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少． 解：设边空、字宽、字距分别为9x cm 、6x cm 、2x cm .由题意，得 9x ×2＋6x×18＋2x(18－1)＝1 280. 解得x ＝8.则9x ＝72，6x ＝48，2x ＝16.答：边空为72 cm ，字宽为48 cm ，字距为16 cm .6．某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：胜场 12 10 其中一队的胜场总积分能否等于负场总积分？请说明理由． 解：由D 队可知，负一场积分为：16÷16＝1(分)， 则由A 队可知，胜一场积分为：28－4×112＝2(分)．设其中一队的胜场为x 场，则负场为(16－x)场，则 2x ＝16－x ，解得x ＝163.因为场数必须是整数，所以x ＝163不符合实际．所以没有一队的胜场总积分能等于负场总积分．7．某商场在元旦期间搞促销活动，一次性购物不超过2 000元不优惠；超过2 000元，但不超过5 000元，按9折优惠；超过5 000元，超过部分按8折优惠，其中的5 000元仍按9折优惠．某人两次购物分别用了1 340元和4 660元．问：(1)此人的两次购物，若物品不打折，需多少元钱？ (2)此人两次购物共节省多少元钱？(3)若将两次购物的钱合起来，一次购买相同的商品，是否更节省？请说明理由． 解：(1)因为2 000×90%＝1 800(元)＞1 340元，所以购1 340元的商品未优惠． 又因为5 000×90%＝4 500(元)＜4 660元，所以购4 660元的商品有两个等级优惠． 设其售价为x 元，依题意，得5 000×90%＋(x －5 000)×80%＝4 660， 解得x ＝5 200.所以如果不打折，那么分别需1 340元和5 200元，共需6 540元． (2)共节省6 540－(1 340＋4 660)＝540(元)．(3)6 540元的商品优惠价为5 000×90%＋(6 540－5 000)×80%＝5 732(元)， 1 340＋4 660＝6 000(元)， 因为5 732<6 000，所以若一次购买相同的商品，更节省．8．一个车队共有n(n 为正整数)辆小轿车，正以每小时36千米的速度在一条笔直的街道上匀速行驶，行驶时车与车的间隔均为5.4米，甲停在路边等人，他发现该车队从第一辆车的车头到最后一辆的车尾经过自己身边共用了20秒的时间，假设每辆车的车长均为4.87米．(1)求n 的值；(2)若乙在街道一侧的人行道上与车队同向而行，速度为v 米/秒，当车队的第一辆车的车头从他身边经过了15秒钟时，为了躲避一只小狗，他突然以3v 米/秒的速度向前跑，这样从第一辆车的车头到最后一辆车的车尾经过他身边共用了35秒，求v 的值．解：(1)36千米/时＝10米/秒，则4．87n ＋5.4(n －1)＝20×10，解得n ＝20.(2)车队总长度：20×4.87＋5.4×19＝200(米)． 由题意，得(10－v)×15＋(10－3v)×(35－15)＝200， 解得v ＝2.9．一辆汽车从A 地驶往B 地，前三分之一路段为普通公路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km /h ，在高速公路上行驶的速度为100 km /h ，汽车从A 地到B 地一共行驶了2.2 h ．请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间”，提出一个用一元一次方程解决的问题，并写出解答过程．解：答案不唯一，例如：①问题：普通公路和高速公路各为多少km?解：设普通公路长为x km，根据题意，得x 60＋2x100＝2.2.解得x＝60.则2x＝120.答：普通公路和高速公路各为60 km和120 km.②问题：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少h?解：设汽车在普通公路上行驶了x h，根据题意，得60x×2＝100(2.2－x)．解得x＝1.则2.2－x＝1.2.答：汽车在普通公路上和高速公路上分别行驶了1 h和1.2 h.。
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一元一次方程应用题专题讲解一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路)（1）审——审题:认真审题,弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）．（2)设-—设出未知数：根据提问，巧设未知数．（3）列——列出方程：设出未知数后,表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．(4）解-—解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）答——检验,写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际，检验后写出答案．（注意带上单位）二、各类题型解法分析一元一次方程应用题归类汇集：行程问题,工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），等积变形问题，调配问题,增长率问题,数字问题，方案设计与成本分析 ,古典数学，浓度问题等。
(一)和、差、倍、分问题——读题分析法这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语.仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如:“大，小，多，少，是,共,合，为，完成，增加，减少，配套……"，利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。
1.倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍,增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
七年级上学期【考点易错题型50题专训】一．方程的解（共4小题）1．（2023秋•晋江市期中）已知实数a，b，c皆为正数，且满足方程a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，则abc的值为（）A．672B．688C．720D．7502．（2023春•蒸湘区期末）若x＝﹣1是方程2x+m﹣6＝0的解，则m的值是（）A．﹣4B．4C．﹣8D．83．（2023春•莱州市期中）关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，若a，b，c满足4a+2b+c ＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（）A．0B．1，﹣1C．2，﹣2D．无法确定4．（2023•东河区模拟）如果方程（a﹣b）x＝|a﹣b|的解是x＝﹣1，那么（）A．a＝b B．a＞b C．a≠b D．a＜b二．等式的性质（共5小题）5．（2023秋•蜀山区校级期中）下列利用等式的性质，错误的是（）A．由a＝b，得到a+c＝b+cB．由a＝b，得到1﹣2a＝1﹣2bC．由，得到a＝bD．由ab＝a，得到b＝16．（2023秋•九龙坡区校级期中）下列运用等式的性质，变形不正确的是（）A．若a＝b，则a﹣m＝b﹣m B．若，则a＝bC．若，则a＝b D．若m2a＝m2b，则a＝b7．（2023春•东阿县期末）一个天平的托盘中形状相同的物体质量相等，如图①、图②所示的两个天平处于平衡状态，要使图③的天平也保持平衡，则需要在它的右盘中放置（）A．3个〇B．4个〇C．5个〇D．6个〇8．（2023•武山县一模）宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）做了一下试验．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（）A．左盘上加2克砝码B．右盘上加2克砝码C．左盘上加5克砝码D．右盘上加5克砝码9．（2023•安徽二模）设a，b，c为互不相等的实数，且a+c＝b，则下列结论正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．a﹣b＝2（b﹣c）D．a﹣c＝3（a﹣b）三．一元一次方程的定义（共5小题）10．（2023秋•秦淮区期中）如果方程（a﹣2）x|a﹣1|+3＝9是关于x的一元一次方程，则a的值为（）A．0B．2C．6D．0或211．（2023秋•西城区校级期中）如果关于x的方程（m﹣1）x n﹣2﹣3＝0是一元一次方程．那么m，n应满足的条件是（）A．m＝1，n＝2B．m≠0，n＝3C．m≠1，n＝3D．m＞1，n＝312．（2023秋•玉泉区期中）已知方程（a﹣2）x|a|﹣1+6＝0是关于x的一元一次方程，则a＝（）A．2B．﹣2C．0D．2或﹣213．（2023秋•南岗区校级期中）已知是关于x的一元一次方程，那么m＝．14．（2023秋•越秀区校级期中）已知方程m•x|m﹣1|+4＝7是关于x的一元一次方程，则m＝．四．一元一次方程的解（共7小题）15．（2023秋•渝中区校级期中）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，又把x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}，则有x＝[x]+{x}．如：[1.3]＝1，{1.3}＝0.3，1.3＝[1.3]+{1.3}．下列说法中正确的有（）个．①[2.8]＝2；②[﹣5.3]＝﹣5；③若1＜|x|＜2，且{x}＝0.4，则x＝1.4或x＝﹣1.4；④方程4[x]+1＝{x}+3x的解为x＝0.25或x＝2.75．A．1B．2C．3D．416．（2023春•耒阳市期末）在解关于x的方程＝﹣2时，小冉在去分母的过程中，右边的“﹣2”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝2，则方程正确的解是（）A．x＝﹣12B．x＝﹣8C．x＝8D．x＝1217．（2023春•静安区期末）如果关于x的方程（m+2）x＝1无解，那么m的取值范围是（）A．m＝﹣2B．m≠﹣2C．m＞﹣2D．m＜﹣218．（2023春•南安市期中）在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若每一横行，每一竖列，以及每条对角线上的3个数之和都相等，则“诚实守信”这四个字表示的数之和为（）A．20B．21C．30D．3119．（2023春•惠城区期末）已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（）A．﹣6B．﹣7C．﹣14D．﹣1920．（2023•沙坪坝区校级开学）已知关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和（）A．﹣9B．﹣7C．﹣6D．021．（2023秋•椒江区校级期中）关于x的一元一次方程（k﹣1）x＝4的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和为．五．解一元一次方程（共4小题）22．（2023秋•工业园区校级期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a与b，满足a*b＝，譬如5*3＝3×5﹣3＝12，，若有理数x满足x*3＝12，则x的值为（）A．4B．5C．21D．5或2123．（2023秋•青羊区校级期中）如果4a﹣9与3a﹣5互为相反数，那么a2﹣a+1的值等于．24．（2023秋•香坊区校级月考）在有理数集合里定义一种新运算“※”；规定a※b＝a+b，则4※（x※3）＝1中x的值为．25．（2023春•周口月考）我们定义一种运算：a*b＝ab+2a﹣b，若3*x＝12，则x＝．六．认识立体图形（共1小题）26．（2023秋•中原区校级期中）下列说法：①有理数可以分为正有理数和负有理数；②若|a|＝﹣a，则a为负数；③多项式2x3﹣3xy+3y的二次项系数是3；④所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑤五棱柱有7个面，10个顶点，15条棱．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个七．展开图折叠成几何体（共3小题）27．（2023秋•榆阳区期中）下列图形中不能围成正方体的是（）A．B．C．D．28．（2023秋•蓬莱区期中）如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（）A．4种B．3种C．2种D．1种29．（2023•利通区校级模拟）小欣同学用纸（如图）折成了个正方体的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中（）A．B．C．D．八．专题：正方体相对两个面上的文字（共6小题）30．（2023秋•锦江区校级期中）一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“我”相对面上的汉字是（）A．习B．学C．数D．爱31．（2023秋•福田区校级期中）如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“数”字对面的文字是（）A．考B．试C．加D．油32．（2023•浉河区三模）习近平总书记在党的二十大报告中提出：“新时代十年的伟大变革，在党史、新中国史、改革开放史、社会主义发展史、中华民族发展史上具有里程碑意义”将“二”“十”“大”“里”“程”“碑”这六个汉字分别写在某正方体的六个面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“里”字所在面相对的面上的汉字是（）A．十B．二C．程D．碑33．（2023秋•沙坪坝区校级期中）如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字和为5，则的值为（）A．B．4C．D．34．（2023•上杭县校级开学）有三块相同数字的积木，摆放如图，相对两个面的数字积最大是（）A．20B．18C．15D．1235．（2023秋•温县期中）如图是一个正方体盒子的展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“等”字一面相对的面上的字是．九．直线、射线、线段（共2小题）36．（2023秋•聊城月考）如图所示，由济南始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：济南﹣淄博﹣潍坊﹣青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（）种．A．4B．6C．10D．1237．（2023秋•莘县校级月考）如图所示图形中，共有（）条线段．A．10B．12C．15D．30一十．线段的性质：两点之间线段最短（共2小题）38．（2023•清苑区二模）如图，琳琳将三角形沿虚线剪去一个角得到四边形，设三角形ABC与四边形BCDE 的周长分别为m和n，则m与n的大小关系是（）A．m＝n B．m＞n C．m＜n D．无法比较39．（2023春•环翠区期中）下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中不可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④一十一．两点间的距离（共1小题）40．（2023秋•宝安区期中）如图，点A，B在数轴上对应的有理数分别为m，n，若点A向右移动x个单位长度后到达B点，则x的值为（）A．m B．m﹣n C．n﹣m D．n一十二．钟面角（共2小题）41．（2023秋•遵化市期中）从10点到10点40分，分针转过的角度为（）A．60°B．30°C．120°D．240°42．（2023春•牟平区期末）实验中学上午10：10时通常准时上第三节课，此时时针与分针所夹的角是（）A．105°B．110°C．115°D．120°一十三．度分秒的换算（共3小题）43．（2023秋•雁塔区校级期中）36.33°用度、分、秒表示正确的是（）A．36°19'48″B．36°18'108″C．36°30'33″D．36°30'3″44．（2022秋•韩城市期末）把40°12′36″化为用度表示，下列正确的是（）A．40.11°B．40.21°C．40.16°D．40.26°45．（2023秋•管城区校级期中）下列说法中正确的有（）①在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°；②线段AB的长度就是A，B两点间的距离；③若点P使AP＝PB，则P是AB的中点；④1°＝3600′．A．1个B．2个C．3个D．4个一十四．余角和补角（共5小题）46．（2023春•垦利区期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（）A．B．C．D．47．（2023春•绥化期末）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BOD＝∠AOB＝90°．下列判断：①射线OF是∠BOE的角平分线；②∠DOE的补角是∠BOC；③∠AOC的余角只有∠COD；④∠DOE的余角有∠BOE和∠COD；⑤∠COD＝∠BOE．其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个48．（2023•香洲区校级一模）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，哪种摆放方式中∠α与∠β相等（）A．B．C．D．49．（2023•义乌市模拟）若∠α＝60°32'，则∠α的余角是（）A．29°68'B．29°28'C．119°68'D．119°28'50．（2023•富顺县校级一模）若钝角∠1与∠2互补，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系满足（）A．∠1﹣∠3＝90°B．∠1+∠3＝90°C．∠1+∠3＝180°D．∠1＝∠3。
期末难点突破专题（二）一元一次方程中的方案问题引言数学作为一门普遍存在于我们生活中的学科，对于培养逻辑思维、解决问题的能力非常重要。
在初中阶段，一元一次方程是数学学习中的重要内容之一。
但对于一些初学者来说，解决一元一次方程中的方案问题可能会遇到一些困难。
本文将针对初一数学（人教版）中的一元一次方程中的方案问题进行分析，并给出相应的解题方法，以帮助同学们突破这一难点。
一、一元一次方程的基本概念回顾在讨论一元一次方程中的方案问题之前，我们先回顾一下一元一次方程的基本概念。
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为一的方程。
一般的一元一次方程可以写作形如ax+b=0的方程，其中a和b是已知系数。
解一元一次方程的过程就是求出未知数的值，使得方程成立。
具体来说，可以使用逆运算的方式，通过对方程两边进行等式变换，将未知数的系数和常数项表示出来，从而求得方程的解。
二、方案问题的特点在一元一次方程中，方案问题是指通过列方程，解得未知数的值，从而得出最终解决实际问题的方法。
它的特点是要经过一系列的计算步骤，通过代数方法求解。
方案问题中，常见的情况包括求某种物品的价格、长度、面积等，或者求解符合一定条件的数值。
解决方案问题的过程中，需要根据具体的条件提取出方程中的各个元素，并进行计算处理。
三、解决方案问题的一般步骤解决一元一次方程中的方案问题，一般可以按照以下步骤进行：1.理解问题和确定未知数：首先要明确所给问题的意思，确定要求解的未知数，通常用字母表示。
2.列方程：根据问题中要求的条件，将其转化为代数方程的形式，即列出方程。
3.解方程：对所列出的方程进行等式变换，将未知数的系数和常数项表示出来，从而求得方程的解。
4.检验结果：将求得的解代入原方程，验证是否满足原问题的条件。
5.写出答案：根据问题的要求，将计算得到的解写成最终的答案。
四、例题分析及解题方法为了更好地理解解决方案问题的具体步骤，我们来看几个例题并进行分析。
人教版数学2023-2024学年七年级上册期末专训一元一次方程应用题（销售问题）1．列方程解应用题：某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：甲乙进价（元/件）2230售价（元/件）2940（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原售价销售，乙商品在原售价上打折销售．第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多720元，求第二次乙种商品是按原价打几折销售？2．某服装店因为换季更新，采购了一批新服装，有A，B两种款式共100件，花费了11200元，已知A种款式的单价是120元/件，B种款式的单价是100元/件．(1)设A种款式的服装采购了x件，根据题意，可以列出方程____________，求出A种款式的服装采购了___________件；(2)如果另一个服装店也想要采购这两种款式的服装共60件，若A种款式的售价是200元/件，B种款式的售价是140元/件．采购的服装全部售出后所获利润至少为3300元，那么A种款式的服装至少采购多少件？（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？（3）为了吸引顾客，增加人气，超市决定拿一款产品参加双十一活动．该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，但乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润少480元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？5．某体育用品专卖店准备购进篮球服和足球服两种运动服装，根据批发商提供的信息，每套篮球服的价格比每套足球服的价格多5元，进购5套篮球服和4套足球服共需700元．(1)篮球服和足球服的进购单价各是多少元？(2)专卖店第一次进购了两种服装共260套，并且将篮球服和足球服的售价均定为每套100元，售完后获得总利润5800元，求专卖店第一次进购了两种服装各多少套？(3)由于进购的服装销售情况良好，所以专卖店又进购了一批服装，两种服装的数量分别与上次相同，且批发商对所有服装都给予了八折的优惠．因此专卖店采取了篮球服在上次售价的基础上打折，足球服售价不变的方式销售，结果全部售完后总利润比上次还多540元，求篮球服打了几折？额y （元）与销售量()kg x 之间的关系如图所示．(1)求甲种苹果的销售额y 与销售量x 之间的函数关系式；(2)求点B 的坐标，并写出点B 表示的实际意义；(3)若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为(30)kg a a >时，它们的利润和为1650元，求a 的值．7．元旦期间，某商场开展优惠促销活动，将甲种商品打六折出售，乙种商品打八折出售，已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为1400元，某顾客参加活动购买甲、乙两种商品各一件，共付款1000元．(1)甲、乙两种商品原销售单价各是多少元？(2)商场在这次促销活动中共销售甲种商品800件，乙种商品1500件，共获利99000元，已知在促销活动中，每件甲种商品的利润比每件乙种商品的利润低20元，那么甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？8．盲盒近来火爆，这种不确定的“盲盒”模式受到了大家的喜爱，某玩具商店计划采购文具盲盒和Molly盲盒，计划采购两种盲盒共100盒，这两种盲盒的进价、售价如表所示：类型进价（元/盒）售价（元/盒）文具盲盒1620Molly盲盒3652(1)若采购共用去3400元，则两种盲盒各采购了多少盒？(2)在（1）的条件下全部售完这100盒，那么玩具商店获利多少元？(3)是否有一种采购方案使得销售完这100盒盲盒的总利润恰好为1400元？若能，请说出采购方案；若不能，证明理由．9．某商场经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价250元，售价400元，乙种服装商品每件售价600元，可盈利50％．(1)每件甲种服装利润率为______，乙种服装，每件进价为______元．(2)该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，总进价恰好为13750元，求商场销售完这批服装共盈利多少？(3)在元旦当天，该商场实行“满500元减200元”的优惠（比如某顾客购买600元，他只需付款400元，购物1300元，他只需付款900元）．到了晚上八点后，又推出先打折再参与“满500元减200元”的活动．张女士想买一件标价为1600元的羽绒服，细心的张女士发现，打折后价格在1000到1400之间，如果在八点后购买，可以便宜40元，求商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？10．甲、乙两个玩具的成本共300元，商店老板为获取利润，并快速出售玩具，决定甲玩具按60%的利润率标价出售，乙玩具按50%的利润率标价出售，在实际出售时，应顾客要求，两个玩具均按标价9折出售，这样商店共获利114元，求甲、乙两个玩具的成本各是多少元11．某服装店购进一批衬衫，原计划每件标价为200元，由于受疫情影响，该店决定对这批衬衫全部降价销售，设每次降价的百分率相同，经过两次降价，现在每件售价为162元．（1）求每次降价的百分率；（2）若按标价出售，每件能获利100%，问第一次降价后销售100件，第二次降价需要销售多少件，总利润能达到11100元？12．利用一元一次方程解应用题：现在是互联网时代，微商小李一次购进了一种时令水果200kg，前两天他以每千克高于进价40%的价格卖出150kg，第三天他发现网上卖该种水果的商家陡增，于是他果断将剩余的该种水果在前两天的售价基础上打4折全部售出，最后他卖该种水果获得570元的利润．求这批水果的进价为多少元/千克．13．我市倡导“幸福生活，健康生活”，提升幸福指数，某社区积极推进全民健身，计划购进A，B两种型号的健身器材200套，已知A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套800元和600元，且每种型号健身器材必须整套购买．(1)若购买这两种型号的健身器材恰好支出130000元，求这两种型号的健身器各购买多少套；(2)若购买时恰逢健身器材店店庆，所有商品打九折销售，要使购买这两种健身器材的总支出不超过130000元，那么A种型号健身器材最多只能购买多少套？14．某书店为了迎接“读书节”制定了活动计划，以下是活动计划书的部分信息：“读书节”活动计划书书本类别A类B类（1）贲经理查看计划书时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用720元恰好可购买A类图书12本和B类图书22本，请求出A、B两类图书每本的标价．（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A类图书每本标价降低4元销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？15．已知一块A型纸板可以制成1个C型正方形纸板和2个D型长方形纸板，一块B型纸板可以制成2个C型正方形纸板和1个D型长方形纸板．现有A，B两种纸板共20块，设A型纸板有x块（x为正整数）．（1）求总共可以制成多少个C型正方形纸板（用含有x的式子表示）（2）出售一个C型正方形纸板可以获利10元，出售1个D型长方形纸板可以获利12元．若将所制成的C型，D型纸板全部售出可以获利650元，求x的值．参考答案： 1．（1）两种商品全部卖完后可获得1950元利润；（2）9折2．(1)120100(100)11200x x +-=，60(2)23件3．（1）在新办法出台后第一个月，该销售员销售了A 型为150台， B 型为96台；（2）20a =. 4．（1）购进甲240件，购进乙商品120件；（2）3600元；（3）8折5．(1)篮球服的进购单价为80元，足球服的进购单价为75元(2)篮球服进购了140套，足球服进购了120套(3)篮球服打了七五折6．(1)20y x =(2)点B 的坐标为()601200，，点B 表示的实际意义是当销售量为60kg 时，甲和乙的销售额相同，都是1200元(3)90a =7．(1)甲种商品原销售单价是600元，乙种商品原销售单价是800元(2)甲、乙两种商品每件的进价分别是330元、590元8．(1)文具店采购了文具盲盒10盒，Molly 盲盒90盒；(2)销售完这100盒盲盒，文具店共获利1480元；(3)销售完这100个盲盒的总利润不可能恰好为1400元．9．(1)60%，400(2)销售完这批服装共盈利7250元；(3)商场晚上八点后打八五折之后再参加活动．10．甲玩具的成本是100元，乙玩具的成本是200元；11．（1）每次降价的百分率为10%；（2）第二次降价需要销售50件，总利润能达到11100元．12．这批水果的进价为15元/千克13．(1)购买A 种型号健身器材50套，B 种型号健身器材150套(2)122套14．（1）A 类图书的标价为27元，B 类图书的标价为18元；（2）A 类图书购进600本，B 类图书购进400本时，利润最大．15．（1）40x -；（2）5x =.。
人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人人21.某开发商按照分期付款的形式售房，小明家购了一套总共为120万的新房，购房时首付款40万元，从第二年起，以后每年应付款为：5万元房款与上一年剩余欠款的利息之和．已知剩余欠款的年利率为5．0%，按题意填写表格：（1）完成表格．（2）求第几年时小明家应付款为7万元．（3）若在购房后第12 年的时候，小明妈妈打算把剩余欠款一次性付清，请通过计算说明这样可以比原来的付款方式便宜多少万元？2.某快车的计费规则如表1，小明几次乘坐快车的情况如表2，请仔细观察分析表格解答以下问题：（1）填空：a=______，b=______；（2）列方程求解表1中的x；（3）小明的爸爸23：10打快车从机场回家，快车行驶的平均速度是100公里/小时，到家后小明爸爸支付车费603元，请问机场到小明家的路程是多少公里？（用方程解决此问题）表1：某快车的计费规则（说明：总费用=里程费+时长费+远途费）表2：小明几次乘坐快车信息3.某市水果批发部门欲将A市的一批水果运往本市销售，有火车和汽车两种运输方式，运输过程中的损耗均为200元/时，其它主要参考数据如下：(1)如果A市与某市之间的距离为800千米，根据上面的表格你可以算出:选择火车运输的总费用是__________, 选择汽车运输的总费用______________.（运输的总费用=运费+损耗费用+装卸费用）(2)如果选择汽车的总费用比选择火车费用多1100元，那么本市与A市之间的路程是多少千米？4.某商场用25000元购进A、B两种新型护眼台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示：(1)A、B两种新型护眼台灯分别购进多少盏？(2)若A型护眼灯按标价的9折出售，B型护眼灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利7200元，请求出表格中m的值．5.为了鼓励市民节约用水，某市水费实行阶梯式计量水价．每户每月用水量不超过25吨，收费标准为每吨a元；若每户每月用水量超过25吨时，其中前25吨还是每吨a元，超出的部分收费标准为每吨b元．下表是小明家一至四月份用水量和缴纳水费情况．根据表格提供的数据，回答：（1）a=______；b=______；（2）若小明家五月份用水32吨，则应缴水费______元；（3）若小明家六月份应缴水费102.5元，则六月份他们家的用水量是多少吨？6.七年级一班开展了一次“纪念抗日战争胜利七十周年”知识竞赛，竞赛题一共有20道题，如表是其中四位参赛选手的答对题数和不答或答错题数及得分情况，请你根据表格中所给的信息回答下列问题：（1）问答对一题得多少分，不答或答错一题扣多少分？（2）一位同学说他得了75分，请问可能吗？请说明理由．7.如图，点A、B在数轴上表示的数分别为﹣12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时匀速出发，同向而行（1）请填写上表格；（2）若两只蚂蚁在数轴上点P相遇，求点P在数轴上表示的数；（3）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值．8.为了鼓励市民节约用水，某市水费实行分段计费制，每户每月用水量在规定用量及以下的部分收费标准相同，超出规定用量的部分收费标准相同．例如：若规定用量为10吨，每月用水量不超过10吨按1.5元/吨收费，超出10吨的部分按2元/吨收费，则某户居民一个月用水8吨，则应缴水费：8×1.5=12（元）；某户居民一个月用水13吨，则应缴水费：10×1.5+（13-10）×2=21（元）．表是小明家1至4月份用水量和缴纳水费情况，根据表格提供的数据，回答：（1）该市规定用水量为______吨，规定用量内的收费标准是______元/吨，超过部分的收费标准是______元/吨．（2）若小明家五月份用水20吨，则应缴水费______元．（3）若小明家六月份应缴水费46元，则六月份他们家的用水量是多少吨？9.某水果经销商到水果批发市场采购苹果，他看中了甲、乙两家苹果的某种品质一样的苹果，零售价都为8元/千克，批发价各不相同。
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选(难)I.某手机经销商购进甲，乙两种品牌手机共100部.甲种手机乙种手机(1)已知甲种手机每部进价1500元，售价2000元：乙种手机每部进价3500元，售价4500元：采购这两种手机恰好用了27万元.把这两种手机全部售完后，经销商共获利多少元？(2)已经购进甲，乙两种手机各一部共用了5000元，经销商把甲种手机加价50%作为标价，乙种手机加价40%作为标价.从A, B两种中任选一题作答：A：在实际出售时，若同时购买甲，乙手机各一部打九折销售，此时经销商可获利1570元. 求甲，乙两种手机每部的进价.B：经销商采购甲种手机的数量是乙种手机数量的1.5倍.由于性能良好，因此在按标价进行销售的情况下，乙种手机很快售完，接着甲种手机的最后10部按标价的八折全部售完.在这次销售中，经销商获得的利润率为42.5%.求甲，乙两种手机每部的进价.【答案】(1)解：设购进甲种手机*部，乙种手机000-算)部，根据题意，得1500x + 3500(100 - x) =270000,解得：x = 40.100-尤=60,40 X (2000 -1500) + 60(4500 - 3500) = 80000 元・答：销商共获利&历兆元.(2)解：A:设每部甲种手机的进价为P元，每部乙种手机的进价(5000-y)元，根据题意，得[(1 + 50%)y + (1 + 40%)(5000-y)] X 0.9 = 5000 +1570.解得：y = 3000,5000-y = 2000.答：求甲，乙两种手机每部的进价分别为：3000元，2000元.B:乙种手机：10。
+(1 + 1.5) = 40部，甲种手机100-40 - 60部，设每部甲种手机的进价为P元，每部乙种手机的进价(5000 - y)元，根据题意，得50%(60- 10)y+ [(1 + 50%) X 0.8 -1]X lOy + 40(5000-y)40% =4-2.5% X [60y+40(5000- y)].解得：y 二 2000,5000-y = 3000.答：求甲，乙两种手机每部的进价分别为：2000元，3000元.【解析】【分析】（1）甲的单价乘以部数加上乙的单价乘以部数等于总数，根据题意列 出，然后解方程得到结果。
