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上课材料之二：第二章 数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为：矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==nk kj ikij b ac 1，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立的：● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。
行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。
如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。
矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。
显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '，● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。
计量经济学讲义第一部分：引言计量经济学是研究经济现象的量化方法，它结合了统计学和经济学原理，旨在提供对经济现象进行定量分析的工具和技术。
本讲义将介绍计量经济学的基本概念和方法，帮助读者理解和应用计量经济学的基本原理。
第二部分：经济数据和计量经济学模型1. 经济数据的类型- 我们将介绍经济数据的两种主要类型：时间序列数据和截面数据。
时间序列数据是在一段时间内收集的数据，而截面数据是在同一时间点上收集的数据。
2. 计量经济学模型- 我们将讨论计量经济学模型的基本原理和应用，例如最小二乘法和线性回归模型。
这些模型可以帮助我们分析经济数据之间的关系，并进行预测和政策评估。
第三部分：经济数据的描述性统计分析1. 描述性统计分析的概念- 我们将介绍描述性统计分析的基本概念和方法，包括中心趋势测量、离散度测量和分布形态测量。
这些方法可以帮助我们理解和总结经济数据的基本特征。
2. 经济数据的描述性统计分析实例- 我们将通过实例演示如何使用描述性统计分析方法来分析和解释经济数据。
例如，我们可以使用均值和方差来描述一个国家的经济增长和收入分配。
第四部分：计量经济学的统计推断1. 统计推断的概念- 我们将讨论统计推断的基本概念和方法，包括假设检验和置信区间。
这些方法可以帮助我们从样本数据中推断总体参数，并评估推断的精度和可靠性。
2. 统计推断的实例- 我们将通过实例演示如何使用统计推断方法来研究和解释经济现象。
例如，我们可以使用假设检验来判断一个政策措施对经济增长的影响。
第五部分：计量经济学的回归分析1. 单变量线性回归模型- 我们将介绍单变量线性回归模型的基本原理和应用。
这个模型可以帮助我们分析一个因变量和一个自变量之间的关系，并进行预测和政策评估。
2. 多变量线性回归模型- 我们将讨论多变量线性回归模型的基本原理和应用。
这个模型可以帮助我们分析多个自变量对一个因变量的影响，并进行政策评估和变量选择。
第六部分：计量经济学的时间序列分析1. 时间序列模型的基本概念- 我们将介绍时间序列模型的基本概念和方法，包括自回归模型和移动平均模型。
《计量经济学》《经济计量学》《Econometrics》一、主要知识点第一章绪论第一节计量经济学一、经济计量学的产生过程1930 世界经济计量学会二、经济计量学与其他学科的关系计量经济学的定义第二节建立计量经济学模型的步骤和要点一、数据类型1、时间序列数据2、截面数据3、面板数据二、经济变量与经济参数（一）、经济变量1、内生变量和外生变量内生变量(endogenous variable)：随机变量，模型自身决定；内生变量影响模型中内生变量，同时又受外生变量和其它内生变量影响。
外生变量(exogenous variable)：通常为非随机变量，在模型之外决定。
而外生变量只影响模型中的内生变量，不受模型中任何其它变量影响。
2、解释变量与被解释变量3、滞后变量与前定变量（二）建模步骤和要点。
模型假定把所研究的经济变量之间的关系用适当的数学模型表达出来。
估计参数模型检验：经济意义的检验、统计推断的检验、计量经济的检验、预测的检验第三节计量经济学模型的应用模型应用：政策评价、经济预测、结构分析、检验和发展经济理论第二章一元线性回归模型第一节概述一、相关关系与回归分析1、函数关系与统计相关关系2、相关分析与回归分析的区别和联系二、总体回归模型与样本回归模型1、总体回归模型（PRF）：总体回归函数随机扰动项2、样本回归模型（SRF）：样本回归函数残差第二节简单线性回归模型的参数估计一、对线性回归模型的假设（古典假定）如何表示？1、零均值假定2、同方差假定3、无自相关假定4、 与解释变量不相关5、 正态性假定二、普通最小二乘法（OLS ）1、 OLS 的思想 参数估计式2、Y i 的分布三、普通最小二乘估计量的统计性质 高斯—马尔可夫定理 BLUE1、参数估计量的性质 高斯-马尔科夫定理2、 总体方差/随机扰动项方差的估计式3、 参数估计量的概率分布四、最大似然估计的概念第三节 简单线性回归模型的检验一、对估计值的直观判断（经济意义的检验） 二、拟和优度的检验1、 TSS=ESS+RSS2、 TSS ESS RSS 各自的含义3、 R2的构造4、 ∑∑==22212ˆiyx TSSESS R iβ5、 2R [0，1]三、对1β的显著性检验（T 检验） 检验步骤 四、均值预测与个值预测的置信区间 P49 第三章 多元线性回归模型 第一节 概述一、基本概念偏回归系数及其解释二、多元线性回归的基本假定如何表示和理解？1、零均值假定2、同方差假定3、无自相关假定4、无多重共线性5、扰动项与解释变量不相关6、正态性假定第二节多元线性回归模型的最小二乘估计一、矩阵形式的OLS参数估计式二、总体方差/随机扰动项方差的OLS估计式三、参数估计量的性质：同一元情形四、样本容量问题第三节多元回归模型的检验一、拟和优度检验1、判定系数2、调整后的判定系数二、对单个回归系数的显著性检验（T检验）检验步骤三、总体回归模型的显著性检验（F检验）检验步骤第四节预测对个值预测、区间预测的理解：p74第五节可以线性化的其他函数形式一、线性回归模型的形式：对参数而言是线性的回归系数的含义:边际效应二、几种常见的线性回归模型1、 双对数模型 回归系数的经济含义:弹性2、 半对数模型3、 倒数变换模型第六节 受约束回归 基本思想和检验步骤 第四章 违背经典假设的回归模型第一节 异方差一、异方差1、 异方差，指的是回归模型中的随机误差项的方差不是常数。
第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型§2.1 回归分析概述一回归分析的概念无论自然现象之间还是社会经济现象之间，大都存在着不同程度的联系，计量经济学的主要任务之一就是寻找各种经济变量之间的相互联系程度、联系方式以及经济变量之间的运动规律。
一般来说，变量之间的关系可以分为两类：一类是确定性的函数关系。
例如，表示。
圆的半径与圆面积之间的关系，可以用函数关系S=2r另一类是非确定性的统计相关关系。
例如，商品房的价格Y与房屋面积X 的关系，随着X的增加，Y也增加。
但是，在给定X时，Y并不能确定。
原因在于，商品房的价格Y不仅与房屋面积X有关，而且还与所在的区域、楼层和小区的人文环境等等因素有关。
这样，虽然人们无法得到商品房的价格Y与房屋面积X之间的函数关系，但是，人们可以将商品房的价格Y作为随机变量，通过统计计量的方法研究它们之间的统计相关关系。
研究随机变量间统计相关关系的方法主要有两种，一种是相关分析法，另一种是回归分析法。
1 相关分析相关分析主要研究随机变量间的相关形式和相关程度。
（1）相关的定义与分类定义：相关（correlation）指两个或两个以上随机变量间相互关系的程度或强度。
分类：①按强度分完全相关：变量间存在函数关系。
例，圆的周长，L = 2πr高度相关（强相关）：变量间近似存在函数关系。
例，我国家庭收入与支出的关系。
弱相关：变量间有关系但不明显。
例，近年来我国耕种面积与产量。
零相关：变量间不存在任何关系。
例，某班学生的学习成绩与年龄。
2004006008001020304050YX121020304050YX0.51.01.52.02.53.02.02.53.03.54.04.5YX完全相关 高度相关、线性相关、正相关 弱相关②按变量个数分按形式分：线性相关, 非线性相关 简单相关：指两个变量间相关按符号分：正相关, 负相关, 零相关 复相关（多重相关）：指一个变量与两个或两个以上变量间的相关。
第二章 数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为：v a a a a a aa a a a A mn m m n n ij ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡== 212222111211][矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==nk kj ikij b ac 1，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立的：● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。
行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。
如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。
矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。
显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '，● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。
计量经济学讲稿第一章计量经济学概述1．1 什么是计量经济学一、计量经济学的产生计量经济学作为一门独立的学科产生于二十世纪30年代，是由挪威经济学家、第一届诺贝尔经济学奖得主R. Frisch 1926年仿照生物计量学一词提出来的。
半个多世纪以来，这门科学主要在资本主义中得到了发展，而且在理论和应用两个方面都取得了长足的进步。
今天的计量经济学已成为西方国家经济学的一个重要分支，其实用价值也正在越来越广泛的范围内表现出来。
著名经济学家诺贝尔经济学奖获得者萨谬尔森增经说：“第二次世界大战后的经济是经济计量的时代。
”我们不妨看看从1969年设立诺贝尔经济学奖起至1989年20年中共有27位获奖者，其中有15位是计量经济学家。
他们中有10位曾担任过世界计量经济学会会长，有4位是因为在计量经济学研究与应用方面有突出贡献而获奖。
这从一个侧面反映了计量经济学在经济科学中的地位。
1930年12月29日，一些国家的经济学家在美国成立了国际计量经济学会，学会的宗旨是“为了促进经济理论在与统计学和数学的结合中发展的国际学会”。
1933年该学会创办了会刊——《计量经济学》杂志。
R. Frisch在发刊词中有一段话：“用数学方法探讨经济学可以从好几个方面着手，但任何一方面都不能与计量经济学混为一谈。
计量经济学与经济统计学决非一码事；它也不同于我们所说的一般经济理论，尽管经济理论大部分都具有一定的数量特征；计量经济学也不应视为数学应用于经济学的同义词。
经验表明，统计学、经济理论和数学这三者对于真正了解现代经济生活中的数量关系来说，都是必要的。
三者结合起来，就有力量，这种结合便构成了计量经济学”。
计量经济学主要是以模型来研究经济现象，这种模型实际上是一组方程，模型所使用的数据有时间序列数据和截面数据1等。
这些数据不是从实验中得到的结果，而是经济学家被动的观测到的经济变量数据资料，而且经济变量大都是不独立的，因此，使得在经济分析中应用统计方法受到一定的限制。
第一讲 普通最小二乘法的代数一、 问题假定y 与x 具有近似的线性关系：01y x ββε=++，其中ε是随机误差项。
我们对01ββ、这两个参数的值一无所知。
我们的任务是利用样本数据去猜测01ββ、的取值。
现在，我们手中就有一个样本容量为N 的样本，其观测值是：1122(,),(,),...,(,)N N y x y x y x 。
问题是，如何利用该样本来猜测01ββ、的取值？为了回答上述问题，我们可以首先画出这些观察值的散点图（横轴x ，纵轴y ）。
既然y 与x 具有近似的线性关系，那么我们就在图中拟合一条直线：1ˆˆˆyx ββ=+。
该直线是对y 与x 的真实关系的近似，而01ˆˆ,ββ分别是对01,ββ的猜测（估计）。
问题是，如何确定0ˆβ与1ˆβ，以使我们的猜测看起来是合理的呢？笔记：1、为什么要假定y 与x 的关系是01y x ββε=++呢？一种合理的解释是，某一经济学理论认为x 与y 具有线性的因果关系。
该理论在讨论x 与y 的关系时认为影响y 的其他因素是不重要的，这些因素对y 的影响即为模型中的误差项。
2、01y x ββε=++被称为总体回归模型。
由该模型有：01E()E()y x x x ββε=++。
既然ε代表其他不重要因素对y的影响，因此标准假定是：E()0x ε=。
故进而有：01E()y x x ββ=+，这被称为总体回归方程（函数），而01ˆˆˆy x ββ=+相应地被称为样本回归方程。
由样本回归方程确定的ˆy与y 是有差异的，ˆy y -被称为残差ˆε。
进而有：01ˆˆˆy x ββε=++，这被称为样本回归模型。
二、 两种思考方法法一：12(,,...,)N y y y '与12ˆˆˆ(,,...,)N yy y '是N 维空间的两点，0ˆβ与1ˆβ的选择应该是这两点的距离最短。
这可以归结为求解一个数学问题：01012201ˆˆˆˆ,,11ˆˆˆ()()NNi i i i i i Min y y Min y x ββββββ==-=--∑∑ 由于ˆi i y y -是残差ˆi ε的定义，因此上述获得0ˆβ与1ˆβ的方法即是0ˆβ与1ˆβ的值应该使残差平方和最小。
第一章引言第一节：计量经济学是啥呀一、计量经济学概念计量经济学是经济理论混合物数理经济经济统计数理统计1、计量经济学（Econometrics）利用数学和统计推断为工具，在经济理论指导下对经济现象进行分析，并对经济理论进行检验和发展的一门学科。
其内容涉及经济理论、数理经济、经济统计和数理统计等。
2、计量经济学与经济理论经济理论：定性计量经济学：数值估计，检验3、计量经济学与数理经济学数理经济学：以数学形式表述经济理论，不涉及理论的可度量性和经验方面的可论证性。
计量经济学：利用数理经济学的数学方程式，并把之改造成适合于经验检验的形式。
4、计量经济学与经济统计学经济统计：经济数据的收集、加工，不利用数据来检验经济理论。
计量经济学：以经济统计数据为原始资料进行分析。
5、计量经济学与数理统计数理统计：是计量经济学的基本工具，但由于经济数据的特殊性，力量经济学需要特殊的处理方法经济理论所做到的陈述和假设都是定性性质的，例如微观经济理论声称在其他条件不变的情况下，一种商品的价格下降可以增加对该商品的需求量，即经济理论设想（postulates)商品的价格与需求量之间有负的或者逆向的关系。
但理论并没有对这两者之间的关系提供任何有价值的度量，也就是并没有说出随着商品价格的某一变化，需求量将会上升或者下降多少。
计量经济学就是要提供这一数值的估计。
计量经济学对大多数经济理论赋予经验实质的东西。
数理经济学是应用数学形式表述经济理论而不去问理论的可度量性或者经验方面的可论证性。
计量经济学的兴趣在于经济理论和经验的论证。
计量经济学常采用数理经济学所提出的数学方程式，但需要把这些方程式改造为可以进行经验检验的形式。
这种从数学方程到计量方程的转换需要许多的创造性和实际技巧。
统计学的问题是收集、加工并通过图表形式展现经济数据。
这也是经济学家的工作。
他们是收集国名生产总值、就业、失业等数据的主要负责人。
这些数据构成了计量工作的原始资料。
中级计量经济学讲义_第二章第一节...上课材料之三：第二节分布函数(Distribution function)，数学期望(Expectation) 与方差(Variance)本节主要介绍概率及其分布函数，数学期望，方差等方面的基础知识。
一、概率(Probability)1、概率定义(Definition of Probability)在自然界和人类社会中有着两类不同的现象，一类是决定性现象，其特征是在一定条件必然会发生的现象；另一类是随机现象，其特征是在基本条件不变的情况下，观察到或试验的结果会不同。
换句话说，就个别的试验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现那样结果，呈现出一种偶然情况，这种现象称为随机现象。
随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某了固定的常数附近变动，这种规律性我们称之为统计规律性。
频率的稳定性说明随机事件发生可能性大小是随机事件本身固定的，不随人们意志而改变的一种客观属性，因此可以对它进行度量。
对于一个随机事件A ，用一个数P （A ）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P （A ）就称为随机事件A 的概率，因此，概率度量了随机事件发生的可能性的大小。
对于随机现象，光知道它可能出现什么结果，价值不大，而指出各种结果出现的可能性的大小则具有很大的意义。
有了概率的概念，就使我们能对随机现象进行定量研究，由此建立了一个新的数学分支——概率论。
概率的定义定义在事件域F 上的一个集合函数P 称为概率，如果它满足如下三个条件：（i ）P （A ）≥0，对一切∈A F （ii ）P （Ω）=1；（iii ）若∈i A ，i=1,2…，且两两互不相容，则∑∑∞=∞==??11)(i ii i AP A P性质（iii ）称为可列可加性（conformable addition ）或完全可加性。
推论1：对任何事件A 有)(1)(A P A P -=；推论2：不可能事件的概率为0，即0)(=φP ；推论3：)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。
《中级计量经济学》课程简介课程号：课程名称(含英文主)：研究生《中级计量经济学》（Intermediate Econometrics）学分：2周学时：4预修课程：经济学、高等数学、概率论和数理统计内容简介：首先介绍计量经济学中必须具备的数学知识如高等代数中矩阵、概率论与数理统计中点估计、有效估计、一致估计、区间估计、假设检验、大样本与极限理论等。
而后介绍古典线性回归模型、多元线性回归模型、带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验、正态线性统计模型的最大似然估计、古典线性的大样本理论、非球形扰动与广义最小二乘、异方差性、非线性回归模型等。
选用教材或参考书：教材：William H. Greene，Econometrics Analysis, fourth edition。
参考书：1．William H. Greene，经济计量分析，Econometrics Analysis 的翻译, 中国社会科学出版社。
2．课件。
教学大纲课程号：课程名称(含英文主)：研究生《中级计量经济学》（Intermediate Econometrics）学分：2周学时：4预修课程：经济学、高等数学、概率论和数理统计一、课程的教学目的和基本要求：本课程为已具备经济学，概率论和数理统计以及初级计量经济学的研究生开设的《中级计量经济学》。
目的是为他们今后在经济和金融领域能够独立开展科学研究和调查提供坚实的统计与计量经济学的方法与技巧。
本课程的重点是使学生充分掌握和理解以下三个方面的知识与技能：1．计量经济学的理论与原理；2．计量经济学中广泛使用的统计推断知识，方法与技巧；3．掌握各种模型需要的条件与模型的局限性和适用性。
二、课程内容与学时分配第一章引言…………………………………………………………………..1学时 计量经济学概念为什么学计量经济学计量经济学模型第二章矩阵的基础知识……………………………………………………..4学时 矩阵的概念与运算矩阵的特征根与特征向量矩阵的二次型与二项式矩阵的微分第三章概率论与数理统计……………………………………………………..4学时 随机变量与概率分布函数与中心极限定理二元态分布与多元正态分布样本与样本的分布函数统计量及其分布点估计有效估计一致估计区间估计假设检验第四章古典线性回归模型…………………………………………………..4学时 古典线性回归模型与其假设条件最小二乘回归方差分析最小二乘统计量的有限样本性质预测第五章多元线性回归模型…………………………………………………..4学时 多元线性回归模型与其假设条件最小二乘回归方差分析最小二乘统计量的有限样本性质预测第六章带有线性约束的多元线性回归模型及其假设检验…………………4学时带有线性约束的多元线性回归模型与其假设条件线性约束的检验参数带有约束的最小二乘回归Wald检验实例第七章正态线性统计模型的最大似然估计………………………………..4学时 模型及其假设条件模型求解与最小二乘估计量的比较第八章古典线性回归的大样本理论………………………………..4学时 最小二乘统计量的有限样本性质古典回归模型的渐近分布理论最小二乘估计量的渐近正态性标准检验统计量的渐近行为第九章非线性回归模型………………………………..2学时非线性回归模型可供选择的几个统计量假设检验与参数约束Box-Cox 变换第十章异方差性………………………………..2学时OLS估计的探讨异方差性的检验GLS估计二阶段估计第一章引言1.1什么是计量经济学？计量经济学是由挪威经济学家R.Fisher在三十年代首先创立的一门学科，是关于运用统计方法测量经济关系的艺术与科学，已经成为现代经济学的重要组成部分之一。
第一章满足经典假定下的参数估计一、基本概念——变量、数据与模型（一）、经济变量具有特定的经济含义影响经济系统的因素，它是构成方程式的最基本要素，变量的基本特征是要求具有可观测和可计量。
1、变量的类型●被解释变量（应变量、因变量）●解释变量（自变量）被解释变量与解释变量之间的关系强调的是单向因果关系，即解释变量影响被解释变量，反之不行。
注：被解释变量为服从正态分布的连续随机变量（这是“经典”的核心）。
●内生变量（强调其随机性和不可控制性）●外生变量（强调其确定性和可控制性）●内生变量与外生变量的关系:外生变量控制影响内生变量，而内生变量不能控制影响外生变量●滞后内生变量（动态变量、能否控制信息）●前定变量=外生变量+滞后内生变量（二）数据1、时间数列数据；2、截面数据；3、面板数据4、虚拟变量数据（离散数据）（三）模型设定1、模型和方程：方程是模型的基本单位；决定方程的两要素是变量的个数和方程的函数形式。
2、在模型设定过程中应注意的问题基于经济理论的认识；模型的数学形式；变量的取舍。
3、计量经济模型对数据质量的基本要求●真实性●可靠性●完整性●一致性●可比性二、在总体回归函数中引入随机扰动项的原因：初级计量P26-27.三、经典假定的内容 （一）经典假定1、零均值假定。
2、同方差假定。
3、无自相关假定。
4、解释变量与随机误差项不相关。
5、无多重共线性假定。
6、正态性假定。
还有：回归模型关于参数线性；在重复抽样中X 值是固定的（或X 是非随机的）；X 的值要有变异；模型设定是正确的。
（二）多元线性回归模型的基本假定（用矩阵表示）。
1、零均值假定2、同方差和无自相关假定22(|),()(,|,)0,i i i j i j Var u X i jCov Var U I Cov u u X X i j σσ⎧==⎪-=⎨=≠⎪⎩（条件方差不变、条件自相关等于0）3、随机扰动项与解释变量不相关假定 ()0E X U '=4、无多重共线性假定。
上课材料之二：第二章 数学基础 (Mathematics)第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms)第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms)2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为：v a a a a a aa a a a A mn m m n n ij ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡== 212222111211][矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==nk kj ikij b ac 1，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立的：● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。
行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。
如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。
矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。
显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '，● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。
● 可逆矩阵（inverse matrix ），如果n 级方阵(square matrix)A 和B ，满足AB=BA=I 。
则称A 、B 是可逆矩阵，显然1-=B A ，1-=A B 。
如下结果是成立的：1111111)()()()(-------='='=A B AB A A AA 。
2.2 特殊矩阵1）恒等矩阵(identity matrix)对角线上元素全为1，其余全为0，可记为I ； 2）标量矩阵(scalar matrix) 即形如αI 的矩阵，其中α是标量； 3）幂等矩阵(idempotent matrix)如果矩阵A 具有性质A A A A ==⋅2，这样的矩阵称为幂等矩阵。
定理：幂等矩阵的特征根要么是1，要么是零。
4）正定矩阵（positive definite ）和负定矩阵（negative definite ），非负定矩阵(nonnegative ) 或 半正定矩阵（positive semi-definite ），非正定矩阵(nonpositive definite) 或 半负定矩阵（negative semi-definite ）；对于任意的非零向量x ，如有x A x '＞0（＜0），则称A 是正（负）定矩阵；如有xA x'≥0（≤0），非负（非正）定矩阵。
如果A 是非负定的，则记为A ≥0；如果是正定的，则记为A ＞0。
协方差矩阵∑是半正定矩阵，几个结论：a ）恒等矩阵或单位矩阵是正定的；b ）如果A 是正定的，则1-A 也是正定的；c ）如果A 是正定的，B 是可逆矩阵，则AB B '是正定的；d ）如果A 是一个n ×m 矩阵，且n ＞m ，m A r =)(，则A A '是正定的，A A '是非负定矩阵。
5）对称矩阵（symmetric matrix ）； 如果A =A ′，则A 称为对称矩阵。
2.3 矩阵的迹（trace ）一个n ×n 矩阵的迹被定义为它的对角线上的元素之和，记为)(A tr ，则∑==ni iiaA tr 1)(，如下结论是显然的。
1）)()(A tr A tr αα= （α是标量） 特例n I tr =)(2）)()(A tr A tr ='3）)()()(B tr A tr B A tr +=+ 4）)()(BA tr AB tr =，特例211)(ij nj n i a A A tr ∑∑==='５）循环排列原则 tr(ABCD)=tr(BCDA)=tr(CDAB)=tr(DABC) 定理：实对称矩阵A 的迹等于它的特征根之和。
因为A 是实对称矩阵，故有在矩阵C ，使得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Λ='n AC C λλ 1，其中I C C ='，所以，∑==='='=Λ=ni iA tr AI tr C C A tr AC C tr tr 1)()()()()(λ。
2.4 矩阵的秩(rank)一个矩阵A 的行秩和列秩一定相等，一个矩阵的秩就可以定义为它的行秩或列秩，记为r(A)，不加证明，我们给出如下结果：1）)()(A r A r '=≤min （行数、列数）2）1)()(n B r A r -+≤)(AB r ≤min ))(),((B r A r ，其中A 、B 分别为m ×n 1、n 1×n 矩阵，特例：如果A 、B 为n ×n 矩阵，而且AB=0，则)()(B r A r +≤n3）)()()(A A r A A r A r '='=，其中A 是n ×n 的方阵 4）)(B A r +≤)()(B r A r +5）设A 是n ×n 矩阵，且I A =2，则n I A r I A r =-++)()( 6）设A 是n ×n 矩阵，且A A =2，则n I A r A r =-+)()( 2.5 统计量的矩阵表示向量可理解为特殊的矩阵。
i 是一个其元素都为1的n 维列向量，即i'=（1，1，…，1），如果我们再假定),,,(21n x x x x='，计量经济模型中的许多统计量就可以用矩阵的形式表示出来，很方便进行数学推导。
显而易见，∑=⋅'=n i i x i x 1，∑=⋅'=n i i x x x 12，样本的均值与方差的矩阵表示如下：1）样本均值矩阵表示；事实上n i i =' 即11='i i n，而⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='111111111 i i ，x i n x n x n i i ⋅'==∑=111；2）样本方差矩阵表示易知：x i i n x i n i x i x x '=⋅'⋅⋅==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11。
其中矩阵i i n '1是一个每个元素都为n 1的n 阶方阵，从而x M x i i n I x i i n x x i x x x x x x x n 021)1()1()(∆'⋅-='-=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---。
定理：矩阵0M 是幂等矩阵。
矩阵0M 的对角线上的元素为)11(n -，非对角线的元素为n1-，是一个对称矩阵。
故样本方差：)()(1)(1122x x x x nx x n S n i i -'-=-=∑=x M x nx M x n x M M x n02000111'=='⋅=。
2.6 矩阵的二次型与多元正态分布1）矩阵的二次型（Quadratic Forms ）和线性变换（linear transferring ） 设P 是一数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式n n n x x a x x a x a x x x f 11211221112122),,,(+++= n n x x a x a 2222222+++……………………………2n nn x a + （1）称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型。
例如2332223*********x x x x x x x x x +++++就是有理数域上的一个三元二次型，为了以后讨论上的方便，在（1）中，i x x j i (＜)j 的系数写在ij a 2。
而不简单地写成ij a 。
和在几何中一样，在处理许多其它问题时也常常希望通过变量的线性替换简化有关的二次型，为此，我们引入定义1 设．n x x ,,1 ；n y y ,,1 是两组文字，系数在数域．．．．．．．．．．．P ．中的一级关系式．．．．．．．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 （2） 称为由．．．n x x ,,1 ，n x 到．n y y ,,1 的一个线性替换，或简称线性替换，如果系数行列式．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．0≠ij c那么线性替换．．．．．．（2）就称为非退化的．．．．．．．。
在讨论二次型时，矩阵是一个有力的工具，因此我们先把二次型与线性替换用矩阵来表示。
令ij ji a a =， i ＜j由于i j j i x x x x =所以二次型（1）可以写成n n n x x a x x a x a x x x f 112112211121),,,(+++=n n x x a x a x x a 2222221221++++……………………………………22211n nn n n n n x a x x a x x a ++++∑∑===n i nj j i ijx x a11（3）把（3）的系数排成一个n ×n 矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 （4） 它就称为二次型（3）的矩阵，因为ji ij a a =，i ，,,,1n j =所以A A '=我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的．．．．．．．．．．．。
令⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x X 21 于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来，AX X '⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2121222211121121),,,( ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=n nn n n n n n n n x a x a x a x x x a x a x a x a x a x x x 22112222121121211121),,,( ∑∑===ni nj j i ij x x a 11故 AX X x x x f n '=),,,(21 应该看到，二次型（1）的矩阵A 的元素ji ij a a =正是它的j i x x 项的系数的一半，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的，由此还能得到，若二次型BX X AX X x x x f n '='=),,,(21且A A ='，B B ='，则B A =。
